Реферат Поверхности 2-го порядка
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Министерство высшего образования Российской Федерации
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
РЕФЕРАТ
На тему:
“ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА”
Факультет:
ФТиКМ
Группа:
РТС-99
Студент:
Коцурба А
.
В
.
Лебедева Г.А.
Иркутск
1999
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
1.
Эллипсоид
.
:
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
1) Если
2) Если
3) Если
откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями
Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосямиэллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой
.
2.
Однополосный гиперболоид
.
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy
(
y=0)
и
Oyx (x=0).
Получаем соответственно уравнения
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy
. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
3.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
из которых следует, что при
При
При
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
4.
Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
из которых следует, что при
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
5.
Гиперболический параболоид
.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением
где p>0, q>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.
рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых
точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
6.
Конус второго порядка
.
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим
из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями
При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).
C
писок использованной лит-ры
:
1
.
Шипачёв В
.
С
.:”
Высшая мат-ка
”
Если сдал РЕФЕРАТ, то отправь свои данные в коллекцию!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
