Реферат

Реферат Лекции по линейной алгебре МГИЕМ, ФПМ

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 10.11.2024





ГРУППЫ  ПРЕОБРАЗОВАНИЙ


                                                     (окончание)
14.
Группы правильных многогранников.

        Хорошо известно (по крайней мере со времен Евклида), что в пространстве существует ровно 5 правильных многогранников . Это - тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих многогранников происходят от латинских числительных, указывающих количество граней этих фигур. В переводе это 4-, 6-,8-,12-, и 20- гранники. Некоторые авторы причисляют к числу правильных многогранников еще и диэдр - многогранник с 2 гранями, которые являются правильными n-угольниками. Эта фигура удовлетворяет всем условиям, которые задают правильный многогранник, за исключением того, что его объем равен 0. Опишем кратко группу  -симметрий каждого из этих многогранников.

1.    Диэдр.                                                                                                                            Пусть диэдр реализован в виде правильного n- угольника в плоскости p и l - прямая, перпендикулярная p , проходящая через его центр симметрии. Группа  симметрий диэдра содержит повороты на углы, кратные 2p/n вокруг l. Кроме того, если m -любая ось симметрии многоугольника, то поворот вокруг этой оси на 180° переводит диэдр в себя и действует на многоугольник так же как отражение относительно этой оси в плоскости многоугольника. Таким образом, группа симметрии диэдра на многоугольнике совпадает с диэдральной группой , но все ее элементы в рассматриваемом случае реализуются вращениями. Эта группа обозначается  и называется пространственной диэдральной.(заметим, что ).

2.    Тетраэдр.                                                                                                                                                                                                Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Это единственный правильный многогранник не имеющий центра симметрии . Повороты, переводящие тетраэдр в себя это, прежде всего, вращения на углы, кратные 2p/3 вокруг 4 осей, проходящих через вершину и центр противоположной грани (ось L на рисунке 1). Кроме того тетраэдр само совмещается при поворотах на угол 180° вокруг осей, соединяющих середины противоположных ребер (ось M на рисунке 1). Таким образом группа тетраэдра T содержит 12 элементов.


3.    Октаэдр и куб.                                                                                                                             Эти два многогранника двойственны в следующем смысле: центры граней куба являются вершинами октаэдра и наоборот - центры граней октаэдра суть вершины куба (рис. 2, 3)                                                      Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр соответственно 8,12 и 6.Перечислим повороты, которые переводят куб в себя. Прежде всего это вращения на углы кратные p/2 вокруг трех осей, проходящих через центры противоположных граней (ось L). Затем это вращения на углы кратные 2p/3 вокруг 4-х осей, проходящих через противоположные вершины (ось N). Наконец имеется еще 6 поворотов на углы p вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер (ось M).Добавляя тождественное преобразование мы получаем группу октаэдра W (она же группа куба) из 24 элементов.

4.    Икосаэдр и додекаэдр.                                                                                             Эти два многогранника находятся в такой же двойственности, как  куб и октаэдр - центры граней одного из них являются вершинами другого и поэтому их группы симметрий совпадают.                                                                                                                                                           Икосаэдр имеет 20 граней, 30 ребер и 12 вершин, а додекаэдр соответственно 12, 30 и 20. Группа икосаэдра содержит повороты на углы кратные 2p/3 вокруг 10 осей, проходящих через центры противоположных граней, повороты на углы кратные 2p/5 вокруг 6 осей, проходящих через противоположные вершины и, наконец, повороты на p вокруг 15 осей, проходящих через середины противоположных ребер. Вся группа икосаэдра P содержит 60 элементов.
Замечание 1.

По теореме 12 полные группы симметрии многогранников (включающие и перемещения с определителем (-1) ) содержат ровно вдвое больше элементов, чем группы  - симметрий. Это группы, , содержащие соответственно 4n, 24, 48 и 120 элементов- поворотов и зеркальных поворотов.

Замечание 2.

Группы правильных многогранников можно задавать соответствующим набором кватернионов. Напомним, что поворот на угол a вокруг оси, заданной единичным вектором  задается кватернионом q = cosa/2 +nsina/2. Приведем (без обоснования ) описание групп T, W и P с помощью кватернионов.

Группа T.

Выберем оси координат так, чтобы они проходили через середины противоположных ребер тетраэдра (эти прямые попарно ортогональны). Рассмотрим 16 единичных кватернионов вида , а также 8 кватернионов  Оказывается, что произведение любых двух кватернионов указанного вида снова будет кватернионом такого же вида. Всего мы имеем 24 кватерниона. Если рассмотреть повороты, заданные этими кватернионами, то учитывая, что q и (-q) задают одинаковые вращения, получаем группу вращений из 12 элементов. Оказывается, что это в точности группа T.

Группа W.

Здесь естественно выбрать оси, параллельные ребрам куба. К рассмотренным выше 24 кватернионам добавим еще 24 вида , где s и t какая то пара (различных) единиц 1, i, j, k. Всего получаем 48 кватернионов, которые задают группу вращений пространства из 24 элементов. Оказывается, что это в точности группа W. Отметим, что, по построению  - подгруппа. Это включение возникает потому, что тетраэдр можно вписать в куб - две пары противоположных вершин параллельных граней куба являются вершинами тетраэдра и каждый поворот, входящий в группу T переводит куб в себя, то есть содержится в группе W.

Группа P.

В качестве координатных осей выберем диагонали трех смежных граней додекаэдра. Рассмотрим 24 кватерниона из первого примера. Присоединим к ним еще 96 единичных кватернионов, которые получаются следующим образом. Рассмотрим 4 числа , , , . Заметим, что  Пусть  - четная перестановка индексов 1, 2, 3, 4 . Рассмотрим числа  Их действительно 96, поскольку . Всего получается 120 кватернионов, задающих группу P из 60 элементов.
 15.Классификация конечных групп вращений в пространстве.
Теорема 16.

Всякая конечная подгруппа  совпадает с одной из групп ;                                                                                                                                                                                                    

Доказательство.

Мы докажем только, что всякая такая группа содержит столько же элементов, что и одна из групп указанных в списке. Остающуюся (чисто геометрическую!) часть рассуждений мы оставляем читателю.

Пусть G состоит из N элементов. Каждый элемент , отличный от тождественного представляет собой вращение вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат О. Назовем полюсами точки пересечения этих осей со сферой радиуса 1 с центром О. Пусть - множество всех полюсов. Если s -вращение вокруг оси l, проходящей через полюс x , то s(x) = x. Если g(x) = y , то , то есть  - вращение с полюсом y. Значит, G - группа преобразований множества X. Пусть  орбиты G на X. Число полюсов в орбите  согласно теореме 10 равно , где - порядок стабилизатора орбиты. Значит, . Заметим, что . По лемме Бернсайда .Отсюда получаем: . Если N=1, то . Пусть N>1. Тогда правая часть последнего равенства - число a между 1 и 2 (1£a<2). Поэтому k>1. Но, поскольку , каждое слагаемое слева не меньше 1/2. Поэтому, 4 или больше слагаемых слева быть не может. Итак, k =2 или k =3. Если k =2 , то  или , откуда . Два полюса (на одной оси!) порядка N соответствуют случаю группы . Пусть теперь k = 3. Соотношение принимает вид: . Пусть . Если , то сумма слева меньше 1, что невозможно. Значит,  и равенство принимает вид: . Если , то сумма не больше 1/2, что невозможно. Итак,  или =3. Если , то . Это случай группы . Пусть, наконец, . Имеем: , откуда  . Для  находим N = 12, что соответствует случаю группы T. Для  получаем N =  24 - случай группы W, Наконец при   - N = 60 и мы приходим к группе P.

16.Пространственные группы, содержащие зеркальные отражения.
Пусть S конечная группа перемещений в пространстве содержащая преобразования с определителем (-1). По теореме 12 такая группа содержит 2n элементов , причем первые n ее элементов имеют определитель 1 и составляют подгруппу G=G(S) , а последние n имеют определитель (-1) и получаются из элементов подгруппы путем их умножения на любой фиксированный элемент g с определителем (-1):  Напомним, что буквой Z была обозначена симметрия относительно начала координат (зеркальный поворот на p). Это перемещение перестановочно с любым другим и .

Теорема 17.

Пусть S конечная группа перемещений в пространстве и . Если G(S) = {}, то S = {}.

Доказательство.

Теорема очевидна, так как  det(Z) = -1.

Замечание.

Группа S в этом случае обозначается

Теорема 18.

Пусть S конечная группа перемещений в пространстве и . Если G(S) = {}, то множество  является группой - преобразований . Обратно, если Г любая группа вращений из 2n элементов, содержащая G, то, домножая все элементы из Г-G на Z, получаем группу перемещений S, для которой G(S) = G.

Доказательство.

Надо проверить, что и . Если , то эти условия выполнены поскольку G - группа преобразований. Если ,то ни один из элементов  не входит в G и потому это множество совпадает с множеством { }. Поэтому  . Аналогично, поскольку ни один из элементов  не входит в G, все произведения  и потому . Таким же образом убеждаемся, что  и, значит, . Обратное утверждение теоремы проверяется точно таким же образом.

Замечание.

Стандартное обозначение для S в этом случае - .
Следствие.

Конечная группа перемещений пространства, содержащая зеркальные вращения совпадает с одной из групп ( в скобках указаны их порядки):

(2n), (4n), (24), (48), (120);

(2n), (2n), (4n), (24).

Замечание 1.

Полные группы симметрий правильных многогранников получаются по способу, указанному в теореме 17, если этот многогранник имеет центр симметрии. В противном случае используется конструкция теоремы 18.

Следовательно, это следующие группы:

, , , , .

Замечание 2.

Назовем флагом многогранника тройку (D, R, v), где D- некоторая его грань, R - одно из ребер, ограничивающих эту грань и v - вершина, лежащая на этом ребре. Многогранник называется правильным (это одно из возможных определений ), если для любых двух его флагов  и  существует перемещение, переводящее многогранник в себя и отображающее первый флаг во второй. Поскольку перемещение оставляющее флаг неподвижным очевидно является тождественным, мы видим, что порядок группы G правильного многогранника совпадает с количеством его флагов. Таким образом, =2Гr, где Г - количество его граней, r - количество ребер, ограничивающих некоторую грань, 2 - количество вершин на ребре.

1. Реферат на тему Darwin And Science Essay Research Paper Charles
2. Контрольная работа на тему Отпуска на предприятии согласно главе 19 Трудового кодекса РФ
3. Реферат на тему Ford Expedition Vs Chevy Tahoe Essay Research
4. Реферат на тему Джайнизм буддизм брахманизм
5. Реферат География России
6. Диплом на тему Колороніми в структурі фразеологізмів в англійській мові
7. Курсовая Ніколя Буало як теоретик французького класицизму
8. Реферат Вербальные и невербальные средства общения 2
9. Реферат на тему Napoleon Essay Research Paper Essay OutlineThe Fall
10. Реферат Виды монополий 3