Р  Е  Ф  Е  Р  А  Т

на   тему  :

“ Динамическое  представление   сигналов “














Выполнил: Зазимко С.А.

Принял :   Котоусов А.С.

МОСКВА

Динамическое представление сигналов.

          Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.

ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

          Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:

         Реальный сигнал представляется суммой           некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.

          На практике широкое применение нашли два способа динамического представления.

          Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени  D . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени D.  В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.

                                                  

                                                                       рис.  1

          При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее .  В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.
                                                            


                             рис. 2
          Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления по первому способу.

ФУНКЦИЯ   ВКЛЮЧЕНИЯ.

          Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :
        
ì
   0,             t < -
x
,

  u(t)
=

í
0.5(t/
x
+1), -
x

£
t
£

x
,       (1)

        
î
   1,            t >
x
.
          Такая  функция  описывает  процесс  перехода  некоторого  физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.

                

Переход  совершается по линейному закону за время 2x.  Теперь если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое  будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получила название функции включения  или  функции Хевисайда :

           
         
     
       
ì
     
0
,
           t <
0
,


                  
s
(
t
)
 
=
 
í
   
0
.
5
,
                   t
=

0
,
                           (2)

                                
î
    
1
,

           t
>

0
.

          В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину  t0.  Запись смещенной функции такова :
           
         
     
        
ì
     
0
,
                   t < t
0
,


              
s
(
t - t
0
)

=

 
í
   
0
.
5
,
                   t
=
t
0
,
                           (3)

                                 
î
    
1
,

          t
>
t
0
.

           

ДИНАМИЧЕСКОЕ     ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО   СИГНАЛА   ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ   ВКЛЮЧЕНИЯ.

          Рассмотрим некоторый сигнал  S(t),  причем для определенности скажем, что  S(t)=0  при  t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде  суммы  ступенчатых  функций :

                                   
 
¥


s(t)
»
s
0
s
(t)+(s
1
-s
0
)
s
(t-
D
)+...=s
0
s
(t)+
å
(s
k
-s
k-1
)
s
(t-k
D
).

                                    
k=1

·     Если теперь шаг  D  устремить к нулю. то дискретную переменную  kD  можно заменить непрерывной переменной  t. При этом малые приращения значения сигнала превращаются  в  дифференциалы   ds=(ds/dt)dt ,  и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда

                  
¥


                  
ó
ds

    S(t)=s
0

s
(t) +
ô
    
s
(t-
t
) d
t
      (4)

                  
õ
d
t


                  
0

          Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие  -  понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .


          Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы,  заданный следующим образом :

 

                         1    é
             
x
                    
x
     
ù
               

        u(t;
x
) =  -----
ê

s
(t +  ---- )  -
s
(t -  ---- ) 
÷               (5)  

                          x
   
ë
              2                     2     
û

                                     

     
          При любом выборе параметра  x  площадь этого импульса

равна единице :

                                    ¥

                   П  =  ò
  
u

 dt  =  1

                            - ¥
          Например, если  u-  напряжение, то  П =  1  В*с.

          Теперь устремим величину  x  к нулю.  Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при  x ® 0  носит название  дельта-функции , или функции Дирака[1] :

               
                        
d
(t)  =  lim  u (t;
x
)

                                                     x®0

          Дельта функция  -  интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке   t = 0  [2] дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом.  А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :
                                    

ДИНАМИЧЕСКОЕ  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ  СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ  ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.      
          Теперь вернемся  к  задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов      (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов.  Если  Sk -  значение сигнала на  k - ом  отсчете, то элементарный импульс с номером  k  представляется как :                   
         
h
k
(t) =  S
k

 [
s
(t - t
k
) -  
s
(t - t
k

-
D
) ]                        (6)


                                   
          

          В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал  S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :

                                                              
¥

                      S(t)  =  
å
   
h
(t)                                             (7)

                                           k= -
¥
   
k

          В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для  t :
                                 t
k

<  t < t
k+1

          Теперь,  если произвести подстановку  формулы  (6)  в  (7)  предварительно разделив и умножив на величину шага  D, то
                       
                 
¥
           
1
             

                   S(t)  = 
å
S
k
 --- [
s
(t - t
k
) - 
s
(t - t
k
-
D
) ]
D


                                        
 k=-
¥
      
D
       
          Переходя к пределу при  D

®
0  ,  необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой  dt ,будет отвечать величине D .
  Поскольку

                                                                                                                      1    

                              lim [ s
(t - t
k
) - 
s
(t - t
k
-
D
) ] ---

                                   
D
®
0                                                     
 
D

 получим искомую   формулу  динамического представления сигнала
                                                
  
¥


                            
S (t) =
ò
  s (
t
)
d
(t -
t
) d
t


                                   
           -
¥

          Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени,  то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен   d - импульс. Принято говорить, что в  этом состоит фильтрующее свойство  дельта-функции.[3]

          Из определения дельта-функции следует  (3) .  Следовательно,  интеграл  дельта-функции  от  -
¥  до  t   есть  единичный скачок  , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :

                                               
d
(t) = 1
’
(t) ;

                            
d
(t-t
0
) =  1
’
(t-t
0
) .

                   Обобщенные функции как математические модели сигналов.

          В классической математике полагают,  что функция  S(t)  должна  принемать какие-то значения в каждой точке оси  t
.  Однако рассмотренная функция  d
(t)
 не вписывается в эти рамки - ее значение при   t = 0   не определено вообще,  хотя эта функция и имеет единичный интеграл.  Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие  обобщенной функции.

          В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости.  Аналогом проекции исследуемой функции  ¦
(t)
  может служить, например, значение интеграла
                                              ¥


                          ò
  
¦
(t)
j
(t)  dt                                            (8)

                                   - ¥

при известной функции  j
(t)
, которую называют пробной функцией.

          Каждой функции  j
(t)
отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула  (8)   задает некоторый  функционал на множестве пробных функций j
(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
                                (
¦
,
a
j
1

+

b
j
2) =
a(
¦
,
j
1
) +
b
(
¦
,
j
2).
          Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций  j
(t)
задана обобщенная функция   ¦
(t) [4]. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.

          Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
          И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения.  На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.

                                               

                                                                                               

                                                               

  
Литература :
1.   А. Л. Зиновьев,   Л. И. Филипов     ВВЕДЕНИЕ   В

                             ТЕОРИЮ   СИГНАЛОВ   И   ЦЕПЕЙ.
2.   С. И. Баскаков      РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ   ЦЕПИ

                                       И    СИГНАЛЫ.
                                 

---

---