Реферат

Реферат Метод касательных метод Ньютона

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 23.11.2024


Содержание




Содержание. 1


Используемая литература. 1

Метод Ньютона (касательных). 2


Описание. 2


Блок-схема алгоритма. 3


Листинг программы.. 4


Результаты  работы программы.. 6


Пример №1. 6


Пример №2. 6


Пример №3. 7

Метод итераций. 8


Блок-схема алгоритма. 8


Листинг программы.. 9


Результаты  работы программы.. 11


Пример №1. 11


Пример №2. 11


Пример №3. 12

Используемая литература




1. http://www.kyshtym.net.ru/rww/ Учимся программировать на С++

2. http://www.sprin.ru/soft.php Решение линейных уравнений методом Ньютона (касательных)

Метод Ньютона (касательных).

Описание


В рамках метода Ньютона предполагается, что функция дифференцируема. Согласно этому методу строится линейная аппроксимация функции в начальной точке, а точка, в которой аппроксимирующая линейная функция обращается в нуль, принимается в качестве следующего приближения.
Итерационый процесс схождения к корню реализуется формулой:
xn+1=xn-f(xn)/f '(xn). Вычисления продолжаются пока соблюдается условие
|xn+1-xn |>=eps.
В зависимости от выбора начальной точки и вида функции алгоритм по методу Ньютона может как сходиться к корню уравнения, так и расходиться.
Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы, реализующей данный алгоритм на языке С++. Также привожу текст, которая выдает данная программа при решении исходного уравнения.



Блок-схема алгоритма







Листинг программы




//метод Ньютона для решения кубических уравнений

#include<math.h>

#include<iostream.h>

double a[4]={0},

       b[3]={0},

       c[2]={0},

       prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);

double Calc_Second(double);

main(void)

{

     Hello();

     Input();

     Derivative();

     Calculation();

     return 0;

}

void Hello(void)

{

     cout<<"Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод                     Ньютона).\n\n";

}

void Input()

{

     cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<<endl

         <<"a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0"<<endl<<endl;

     for (int i=0;i<4;i++)

     {

          cout<<"Введите значение коэффициента a["<<i+1<<"] : ";

          cin>>a[i];

     }

     cout<<endl<<"Необходимо указать интервал поиска решения."<<endl

               <<"Введите нижнюю границу поиска : ";

     cin>>minim;

     cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";

     cin>>maxim;

     while(minim==maxim||minim>maxim)

     {

          cout<<"\nНижняя граница должна быть меньше верхней и не может быть ей    равна."<<endl

              <<"Повторите ввод нижней границы : ";

          cin>>minim;

          cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";

          cin>>maxim;

     }

     cout<<"Введите допустимую погрешность : ";

     cin>>prec;

}

void Derivative()

{

     b[0]=a[0]*3;

     b[1]=a[1]*2;

     b[2]=a[2];

     c[0]=b[0]*2;

     c[1]=b[1];

     cout<<"\n\n\n"

         <<"Исходное уравнение имеет вид : \n\n"

         <<a[0]<<"x^3+("<<a[1]<<")x^2+("<<a[2]<<")x+("<<a[3]<<")=0\n\n"

         <<"Первая производная имеет вид : \n\n"

         <<"f'(x)="<<b[0]<<"x^2+("<<b[1]<<")x+("<<b[2]<<")\n\n"

         <<"Вторая производная имеет вид : \n\n"

         <<"f''(x)="<<c[0]<<"x+("<<c[1]<<")\n\n";

}

void Calculation()

{

     double x=0, m=0;

     cout<<"-------------------------------------------------"<<endl

         <<"|      Xn       |     f(Xn)     |   |f(Xn)|/m   |"<<endl

         <<"-------------------------------------------------"<<endl;

     if (abs(Calc_Fun(minim))*abs(Calc_Second(minim))>0) x=minim;

     else x=maxim;

     if (Calc_First(minim)>Calc_First(maxim)) m=abs(Calc_First(maxim));

     else m=abs(Calc_First(minim));

     cout<<"|";

     cout.width(15);cout.precision(10);

     cout<<x;

     cout<<"|";

     cout.width(15);cout.precision(10);

     cout<<Calc_Fun(x);

     cout<<"|";

     cout.width(15);cout.precision(10);

     cout<<(fabs(Calc_Fun(x))/m);

     cout<<"|\n";

     while((fabs(Calc_Fun(x))/m)>prec)

     {

          x=(x-(Calc_Fun(x)/Calc_First(x)));

          cout<<"|";

          cout.width(15);cout.precision(10);

          cout<<x;

          cout<<"|";

          cout.width(15);cout.precision(10);

          cout<<Calc_Fun(x);

          cout<<"|";

          cout.width(15);cout.precision(10);

          cout<<fabs(Calc_Fun(x))/m;

          cout<<"|\n";

     }

     cout<<"-------------------------------------------------";

}

double Calc_Fun(double x)

{

     return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);

}

double Calc_First(double x)

{

     return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);

}

double Calc_Second(double x)

{

     return (c[0]*x+c[1]);

}



Результаты  работы программы



Пример №1







Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : -4

Введите верхнюю границу поиска : -3

Введите допустимую погрешность : 0.00005
Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0
Первая производная имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)
Вторая производная имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)

-------------------------------------------------

|      Xn       |     f(Xn)     |   |f(Xn)|/m   |

-------------------------------------------------

|             -4|            -66|    1.222222222|

|    -3.24137931|   -9.922506048|    0.183750112|

|   -3.079817529|    -0.40621762| 0.007522548518|

|    -3.07261683|-0.000789793230|1.462580056e-05|

-------------------------------------------------

Пример №2







Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : 3

Введите верхнюю границу поиска : 4

Введите допустимую погрешность : 0.00005
Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0
Первая производная имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)
Вторая производная имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)
-------------------------------------------------

|      Xn       |     f(Xn)     |   |f(Xn)|/m   |

-------------------------------------------------

|              3|              4|   0.4444444444|

|    3.222222222|    0.159122085|  0.01768023167|

|    3.231855174| 0.000341137633|3.790418145e-05|

-------------------------------------------------

Пример №3







Программа для решения кубических уравнений методом касательных (метод Ньютона).

Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : 5

Введите верхнюю границу поиска : 6

Введите допустимую погрешность : 0.00005
Исходное уравнение имеет вид :

1x^3+(-6)x^2+(-9)x+(58)=0
Первая производная имеет вид :

f'(x)=3x^2+(-12)x+(-9)
Вторая производная имеет вид :

f''(x)=6x+(-12)
-------------------------------------------------

|      Xn       |     f(Xn)     |   |f(Xn)|/m   |

-------------------------------------------------

|              6|              4|   0.6666666667|

|    5.851851852|   0.2601229487|  0.04335382479|

|    5.840787634| 0.001413241032| 0.000235540172|

|    5.840726862|4.255405933e-08|7.092343222e-09|

-------------------------------------------------



Метод итераций.

Блок-схема алгоритма


Блок-схема решения и листинг программы, реализующей этот алгоритм на языке программирования С++.




Листинг программы




//метод итераций для решения кубических уравнений

#include<math.h>

#include<iostream.h>
double a[4]={0},

       b[3]={0},

       prec=0.00000;

double minim=0, maxim=0;
void Hello(void);

void Input();

void Derivative();

void Calculation();

double Calc_Fun(double);

double Calc_First(double);
main(void)

{

   Hello();

   Input();

   Derivative();

   Calculation();

   return 0;

}
void Hello(void)

{

   cout<<"Программа для решения кубических уравнений методом итераций.\n\n";

}
void Input()

{

   cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<<endl

       <<"a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0"<<endl<<endl;

   for (int i=0;i<4;i++)

   {

      cout<<"Введите значение коэффициента a["<<i+1<<"] : ";

      cin>>a[i];

   }

   cout<<endl<<"Необходимо указать интервал поиска решения."<<endl

       <<"Введите нижнюю границу поиска : ";

   cin>>minim;

   cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";

   cin>>maxim;

   while(minim==maxim||minim>maxim)

   {

      cout<<"\nНижняя граница должна быть меньше верхней и не может быть ей

              равна." <<endl

          <<"Повторите ввод нижней границы : ";

      cin>>minim;

      cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";

      cin>>maxim;

   }

   cout<<"Введите допустимую погрешность : ";

   cin>>prec;

}

void Derivative()

{

   b[0]=a[0]*3;

   b[1]=a[1]*2;

   b[2]=a[2];

}
void Calculation()

{

   double x=0, x_old=0, m=0;

   cout<<"-------------------------------------------------"<<endl

       <<"|      Xn       |     f(Xn)     |   X(n+1)-Xn   |"<<endl

       <<"-------------------------------------------------"<<endl;

   if(fabs(Calc_First(minim))>fabs(Calc_First(maxim))) m=x=x_old=minim;

   else m=x=x_old=maxim;

   m=fabs(1/Calc_First(m));

   cout<<"|";

   cout.width(15);cout.precision(10);

   cout<<x;

   cout<<"|";

   cout.width(15);cout.precision(10);

   cout<<Calc_Fun(x);

   cout<<"|               |\n";

   if(Calc_First(x)>0)

   {

      do

      {

            x_old=x;

            x=x_old-m*Calc_Fun(x_old);

            cout<<"|";

            cout.width(15);cout.precision(10);

            cout<<x;

            cout<<"|";

            cout.width(15);cout.precision(10);

            cout<<Calc_Fun(x);

            cout<<"|";

            cout.width(15);cout.precision(10);

            cout<<fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) );

            cout<<"|\n";

      }

      while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);

   }

   else

   {

      do

      {

            x_old=x;

            x=x_old+m*Calc_Fun(x_old);

            cout<<"|";

            cout.width(15);cout.precision(10);

            cout<<x;

            cout<<"|";

            cout.width(15);cout.precision(10);

            cout<<Calc_Fun(x);

            cout<<"|";

            cout.width(15);cout.precision(10);

            cout<<fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) );

            cout<<"|\n";

      }

      while(( fabs( Calc_Fun(x) - Calc_Fun(x_old) ) )>prec);

   }

   cout<<"-------------------------------------------------";

}

double Calc_Fun(double x)

{

      return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);

}

double Calc_First(double x)

{

      return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);

}




Результаты  работы программы

Пример №1




Программа для решения кубических уравнений методом итераций.
Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : -4

Введите верхнюю границу поиска : -3

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

|      Xn       |     f(Xn)     |   X(n+1)-Xn   |

-------------------------------------------------

|             -4|            -66|               |

|    -3.24137931|   -9.922506048|    56.07749395|

|   -3.127327517|    -3.12093462|    6.801571427|

|   -3.091454705|   -1.064778438|    2.056156183|

|   -3.079215872|   -0.372281515|   0.6924969227|

|   -3.074936774|   -0.131239433|    0.241042082|

|   -3.073428275| -0.04639844126|  0.08484099175|

|    -3.07289496| -0.01642029825|  0.02997814301|

|   -3.072706221|-0.005813178631|  0.01060711962|

|   -3.072639403|-0.002058264249| 0.003754914382|

|   -3.072615744|-0.000728799396| 0.001329464852|

|   -3.072607367|-0.000258060628|0.0004707387678|

|   -3.072604401|-9.137721784e-0|0.0001666834108|

|   -3.072603351|-3.235601088e-0|5.902120696e-05|

|   -3.072602979|-1.145703711e-0|2.089897377e-05|

-------------------------------------------------

Пример №2




Программа для решения кубических уравнений методом итераций.
Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : 3

Введите верхнюю границу поиска : 4

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

|      Xn       |     f(Xn)     |   X(n+1)-Xn   |

-------------------------------------------------

|              3|              4|               |

|    3.222222222|    0.159122085|    3.840877915|

|    3.231062338|  0.01338370012|   0.1457383849|

|    3.231805877| 0.001151957391|  0.01223174272|

|    3.231869875|9.934183961e-05| 0.001052615552|

|    3.231875394|8.568402322e-06|9.077343728e-05|

|     3.23187587|7.390497921e-07| 7.82935253e-06|

-------------------------------------------------


Пример №3





Программа для решения кубических уравнений методом итераций.
Кубическое уравнение имеет вид

a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0
Введите значение коэффициента a[1] : 1

Введите значение коэффициента a[2] : -6

Введите значение коэффициента a[3] : -9

Введите значение коэффициента a[4] : 58
Необходимо указать интервал поиска решения.

Введите нижнюю границу поиска : 5

Введите верхнюю границу поиска : 6

Введите допустимую погрешность : 0.00005

-------------------------------------------------

|      Xn       |     f(Xn)     |   X(n+1)-Xn   |

-------------------------------------------------

|              6|              4|               |

|    5.851851852|   0.2601229487|    3.739877051|

|    5.842217669|   0.0346921878|   0.2254307609|

|    5.840932773| 0.004788677115|  0.02990351069|

|    5.840755414|0.0006639855431| 0.004124691572|

|    5.840730822|9.212373716e-05|0.0005718618059|

|     5.84072741|1.278267885e-05|7.934105832e-05|

|    5.840726937|1.773688694e-06|1.100899016e-05|

-------------------------------------------------







МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ
Кафедра информатики
Курсовая работа

На тему: метод касательных (метод Ньютона)




Работу выполнил студент гр. 52-61

Низамова Г.Н.



Проверил: Борганова Э.М.


Альметьевск 2003 г.

1. Контрольная работа на тему Организация адвокатуры
2. Реферат на тему Борьба с экстремизмом в России
3. Реферат Подготовка и проведение собраний кредиторов в процессе банкротства предприятий
4. Реферат на тему Violence Essay Research Paper Violence has been
5. Творческая работа на тему Коммуникативные навыки
6. Реферат Технология производства пресервов Паста из сельди Сюрприз
7. Реферат Путешествия 2
8. Доклад Этика русских революционных демократов
9. Задача Органы местного самоуправления 6
10. Реферат Психологические черты, свойства и качества личности, необходимые для профессиональной деятельнос