Введение.
Российские коммерческие банки являются объектом пристального внимания. В настоящий момент банки стали весьма весомым фактором деловой и политической жизни общества, с их деятельностью увязывается решение широкого спектра проблем переходной экономики. Таким образом, банковская система, кроме выполнения своих “обычных функций” , является активным агентом и проводником экономических реформ.

Условия жесткой конкурентной борьбы ставят требования по высокому качеству  предоставляемых банку услуг. Следовательно, одной из основных задач  является оптимизация внутреннего функционирования. Данный подход предоставляет следующие возможности: проведение расчета и обоснование плановых показателей, входящих в систему  планирования; обеспечение контроля выполнения   планов и оценки деятельности по результатам за период; обоснование и принятие организационных решений  по движению кадров, ликвидации и  создании  подразделений банка.

С точки зрения методологии, здесь наиболее  широко применим метод группировки данных, то есть на основании нескольких экономических критериев выделяется база для расчета доходов и расходов. 

На основании этих данных при помощи методов математико-экономического моделирования  (в частности, используемая в данной работе  динамическая модель стохастического программирования) может быть получено эффективное решение, которое поможет оптимизировать внутреннее функционирование банка. С помощью такого подхода определяется эффективность деятельности филиальной сети  и продуктов ее производства.
1.Банковская система.
Наличие  эффективной, разветвленной  банковской  системы  -  важнейшая  черта любой  развитой  рыночной  экономики. В  России  мы  можем наблюдать интереснейший феномен. За считанные месяцы множество банков, объединившись  в  систему, взяло на себя все обеспечение  внутреннего денежного  обращения и внешнего оборота страны. При этом их начальный капитал образовался из активов  государственных  промышленных  и  торговых  предприятий, получивших самостоятельность  структурных подразделений Госбанка СССР.  

Когда  же  в  1994 году было прекращено централизованное льготное кредитование производства, коммерческие банки  мгновенно взяли на себя и все кредитные операции. В  настоящее время, несмотря на определенные признаки кризиса, банковская система является наиболее  активным сектором экономики и занимает в ней доминирующее положение.

Главным в сущности банка, его основой, считается организация денежно-кредитного процесса и  имитирование денежных знаков.

Одно из  определений коммерческого банка: это фирма,  имеющая  чартер  правительства  на ведение банковских  операций.

 К  основным  видам  предоставляемых услуг можно  отнести:

факторинг - ряд комиссионно-посреднических  услуг, оказываемых банком  клиенту, в процессе  осуществления последним расчетов  за товары и  услуги  и  сочетающихся,  как  правило,  с  кредитованием  его  оборотного  капитала;

 лизинг - банк  в  данном  случае  может выступать арендодателем, либо посредником    между  арендодателем  и  арендатором;

доверительные услуги - с ценными  бумагами, депозитными  операциями, управление имуществом;

информационные - о кредитоспособности, о процентной ставке; консультационные услуги - о повышении  класса кредитоспособности клиента.

    Для  обеспечения  экономических условий  устойчивого  функционирования  банка, ЦБ  России  устанавливает следующие  экономические  нормативы  деятельности  коммерческих  банков:

    - нормативы  достаточности  капитала  коммерческого  банка;

    - нормативы  ликвидности  баланса  коммерческого  банка;

    - минимальный  размер  обязательных  резервов, депонируемых  в  ЦБ  России;

    - максимальный размер  риска  на  одного  заемщика.[1]

Наиболее часто ликвидность определяют, как способность актива быть переведенным в наличные деньги за непродолжительное время без неопределенности и существенных потерь  его стоимости. Однако рыночная структура в цивилизованных странах уже настолько развита, что даже для самых низколиквидных активов  время реализации можно считать малым при долгосрочном планировании и первым признаком ликвидности актива становится степень возможности его использования в качестве средства платежа . 

При  этом  ЦБ  применяет  нормативы  как  директивного  характера, обязательные  для  выполнения  всеми  коммерческими банками, так  и  оценочные,  используемые  для  анализа  их  деятельности  и  финансового  состояния.

Деятельность отдельных подразделений , в соответствии с выполнением определенных функций , оценивается  при помощи введения системы специальных индивидуальных экономических показателей, как правило, валовых. Функции предварительно не анализируются. При этом работа нескольких подразделений, включенных в одну «технологическую цепочку», может оцениваться совершенно независимо и рассматривается изолированно.

Для банка в целом, может использоваться, к примеру, еще и следующая система показателей:

1)темпы роста прибыли (убытков) за период в результате деятельности;

2)темпы роста валюты баланса; доля накопленной прибыли в валюте баланса;

3)величина и качество работающих активов: доля работающих активов, доля предоставленных кредитов в общей сумме активов;

4)показатели рентабельности: доходы/расходы, прибыль/активы, прибыль/активы работающие, доходы/собственный капитал банка;

5)экономические нормативы деятельности установленные Центральным Банком;

6)основные коэффициенты ликвидности.

Все  нормативные  таблицы, формулы, можно  найти  в  любом  учебнике  по  банковскому  делу. В  дальнейшем , при постановке  и  рассмотрении  задачи  будем  считать  естественным выполнение  этих  ограничений .

Важную  роль  при  конкретизации  функционирования  банка  может играть  тип  стратегии:

1)  продажа  освоенных  услуг  старым  клиентам;

2)  проникновение (прежние услуги  новым  клиентам  на  старом  рынке);

3)  развитие (продажа старых  услуг  на  новом  рынке);

4)  сбыт  новых  услуг (новые  услуги  на  старом  рынке);

5)  диверсификация (новые  услуги  на  новом  рынке).

Существует иерархическая структура целей:

    - перспективные цели (максимизация прибыли, выживание, максимизация доходов акционеров, максимизация корпорационного роста и др.)

    - среднесрочные цели (увеличение рыночной доли, рост дохода в расчете на акцию, расширение клиентуры, увеличение капитальной базы и др.)

   - краткосрочные цели (доходность активов, доходность капитала, доходность инвестиций, повышение квалификации персонала и др.)

      Таким  образом, мы  видим, что  все  зависит  от  целей,  которые  ставит  перед  собой  банк. Обобщим  их, будем  считать, что  банк  стремится  максимизировать  прибыль.

       Опишем  структуру  коммерческого  банка, она  нам  понадобится  в  дальнейшем. (рис.1).

Разумеется,  приведенная  схема  является  примерной,  так  как  огромное влияние  на  структуру  аппарата  управления  банка  оказывают  масштабы  его  деятельности, степень  специализации,  возможность  совершать  те  или  иные  операции. В  ряде  случаев  банк  не  выполняет  тех  или  иных  услуг, объем  его  операций  слишком  незначительный, что  бы  формировать  не  только  управление,  но  и  отделы.  Но  мы не  будем  заострять на  этом  внимание.

Для эффективного решения непосредственно управленческих задач, достижения устойчивого и прибыльного функционирования банка необхо­димо проведение глубокого анализа всех сторон его деятельности на осно­ве внутренней информации: рентабельности комплекса оказываемых услуг и операций, окупаемости произведенных затрат, прибыльности функциони­рования отдельных подразделений и др.. Особую важность подобный ана­лиз приобретает в условиях обострившейся конкуренции на банковских рынках, усиления регулирующих ограничений со стороны государственных органов, участившихся банкротств и отзывов лицензий коммерческих бан­ков.
2.Виды моделей.

2.1.Линейное программирование.
Ответственные решения в современных целенаправленных системах  планирования   и   управления   должны   быть   в   некотором   смысле  экстремальными или близкими к ним. Отступление от этого принципа обычно связано с излишними затратами (часто весьма значительными) и снижает эффективность управления (часто весьма существенно).

Большое число задач планирования, управления и проекти­рования укладывается в схему линейного программирования:

                                        C x ® min,                         (1.1)

                                          Ax £ b,                              (1.2)

                                             X ³ 0.                             (1.3)

Еще более широкий класс задач выбора эффективного ре­шения укладывается в рамки общей схемы математического программирования.

План, набор команд управления или проект часто могут быть формально представлены в виде системы чисел или функ­ций, удовлетворяющих определенным ограничениям — равен­ствам, неравенствам или логическим соотношениям. План, си­стема команд управления или проект оптимальны, если они, кроме того, обращают в минимум или в максимум (в зависи­мости от постановки задачи) некоторую функцию от искомых параметров — показатель качества решения.

Запись (1.1)—(1.3), вполне осмысленная при детерминиро­ванных значениях параметров условий задачи, теряет опреде­ленность и требует дополнительных разъяснений при случайных значениях исходных данных. Между тем во многих прикладных задачах коэффициенты  c_j   целевой функции, элементы матрицы условий А или составляющие вектора ограничений b
— случай­ные величины.

Исходная информация для планирования, проектирования и управления в экономике, как пра­вило, недостаточно достоверна. Планирование производства обычно ведется в условиях неполной информации об обстановке, в которой будет выполняться план и реализовываться произ­веденная продукция. Во всех случаях в моделях математического программирования, к исследованию которых сводятся задачи планирования, проектирования и уп­равления, отдельные или все параметры целевой функции и ограничений могут оказаться неопределенными или случай­ными, Естественный на первый взгляд путь анализа подобных задач—замена случайных параметров их средними значениями и вычисление оптимальных планов полученных таким образом детерминированных моделей—не всегда оправдан. При сгла­живании параметров условий задачи может быть нарушена адекватность модели изучаемому явлению. Усреднение исходных данных может привести к потере полезной информации и привнести в модель ложную информацию. Решение детерми­нированной задачи с усредненными параметрами может не удовлетворять ограничениям исходной модели при допустимых реализациях параметров условий.
2.2.Стохастическое программирование.
В одних случаях опыт, статистика и изучение процессов, определяющих изменение исходных данных и формирующих условия, в которых реализуется план, проект или система управ­ления, позволяют устанавливать те или иные вероятностные характеристики параметров целевой функции и ограничений задачи. В других случаях нет оснований, для каких бы то ни было суждений о статистических особенностях явлений, способ­ных изменить предполагаемые значения параметров условий задачи. Ситуации первого типа называются ситуациями, связан­ными с риском, а ситуации второго типа -  неопределенными. И те, и другие являются предметом исследования стохастического программирования—раздела математического програм­мирования, изучающего теорию и методы решения условных экстремальных задач при неполной информации о параметрах условий задачи.

Постановки задач стохастического программирования суще­ственным образом зависят от целевых установок и информаци­онной структуры задачи.

В приложениях стохастическое программирование исполь­зуется для решения задач двух типов. В задачах первого типа прогнозируются статистические характеристики поведения мно­жества идентичных  экстремальных си­стем. Соответствующий раздел стохастического программирова­ния будем называть пассивным стохастическим программиро­ванием. Модели второго типа предназначены для построения методов и алгоритмов планирования и управления в условиях неполной информации. Соответствующий раздел стохастического программирования будем называть активным стохастическим программированием, подчеркивая этим действенную целевую на­правленность моделей.

Подходы к постановке и анализу стохастических экстре­мальных задач существенно различаются в зависимости от того, получена ли информация о параметрах условий задачи (пли об их статистических характеристиках) в один прием или по частям (в два или более этапов). При построении стохастиче­ской модели важно также знать, необходимо ли единственное решение, не подлежащее корректировке, или можно по мере накопления информации один или несколько раз подправлять решение. Другими словами, речь идет о том, какая задача рас­сматривается: статическая или динамическая. В соответствии с этим в стохастическом программировании исследуются одно­этапные, двухэтапные и многоэтапные задачи.

Статические, или одноэтапные, задачи стохастического про­граммирования представляют собой естественные стохастиче­ские аналоги детерминированных экстремальных задач, в кото­рых динамика поступления исходной информации не играет роли, а решение принимается один раз и не корректируется. Одноэтапные стохастические задачи, как те, что порождены де­терминированными моделями стохастического программирова­ния, так и те, что имеют смысл только при случайных парамет­рах условий, различаются характером ограничений и выбором целевой функции.

Разработка предварительного плана и компенсация невя­зок - два этапа решения одной задачи. В соответствии с этим задачи рассматриваемого типа называют двухэтапными за­дачами стохастического программирования.

Естественным обобщением двухэтапных задач являются многоэтапные (динамические) задачи стохастического програм­мирования. Часто в процессе управления представляется воз­можность последовательно наблюдать ряд реализаций парамет­ров условий и соответствующим образом корректировать план. Естественно, что как предварительный план, так и последова­тельные корректировки должны, помимо содержательных огра­ничений, учитывать априорные статистические характеристики случайных параметров условий на каждом этапе.

К анализу многоэтапных задач стохастического программи­рования сводятся формальные исследования численных методов планирования производства и развития экономической системы.

Роль стохастических моделей и методов в исследо­вании закономерностей поведения экономических систем и в разработке количественных методов планирования экономики и управления производством  имеет два аспекта — методологический и вычислительный. И тот и другой связаны с одной из важнейших категорий современной матема­тической логики — с понятием сложности, точнее, с понятиями «сложность алгоритма», «сложность вычислений» и «сложность развития».

Роль вычислительного аспекта проблемы определяется тем, что планирование, управление и проектирование происходят, как правило, в условиях неполной информации. Рыночная конъюнктура, спрос на продукцию, изменения в состоянии обо­рудования не могут быть точно предсказаны. В условиях кон­курентной экономики дополнительно возникает направленная дезинформация.

Учет случайных факторов и неопределенности в планировании и управлении — важная задача стохастического программирования.

Однако этим не исчерпывается роль стохастических методов в экономическом анализе. Принципы стохастического програм­мирования дают основание для сопоставления затрат на накоп­ление и хранение информации с достигаемым экономическим эффектом, позволяют аргументировать рациональное разделе­ние задач между человеком и вычислительной машиной и слу­жат теоретическим фундаментом для алгоритмизации управле­ния сложными системами. Принципы стохастического програм­мирования позволяют сблизить точные, но узко направленные формальные математические методы с широкими, но нечеткими содержательными эвристическими методами анализа. И здесь, таким образом, мы переходим к методологической роли стоха­стического программирования в исследовании сложных систем.

В связи с оценками сложности алгоритмов и вычислений представляет смысл условно разделить задачи планирования, управления и проектирования на задачи вычислительного и не вычислительного характера.

Многие задачи управления, должны быть отнесены к классу задач не вычислительного характера. Т.о. необходимо согласование сложности управляемого объекта и управляющего устройства за счет ра­ционального упрощения объекта (разумной переформулировки задачи).
2.3.Формальная постановка стохастической задачи.
  Приведем формальную постановку многоэтапной стохастиче­ской задачи. Пусть w_i—набор случайных параметров i-го этапа, a  x_i —решение, принимаемое на i-м этапе. Обозначим  w^k  =(w₁ , … , w_k) , x^k =  (x₁ , … ,x_n) ,

 k = 1,…,n .

Общая модель многоэтапной задачи стохастиче­ского  программирования имеет вид:

                        M_wⁿ y₀ ( wⁿ , xⁿ ) ® min,                 (4.1)

                  M _wk {y_k  ( w^k , x^k ) ½w^k-1 }³b_k (w^k-1) ,      (4.2)

                          x_kÎG_k ,k=1,…,n.                            (4.3)

     Здесь y₀ (wⁿ , xⁿ)  —случайная функция от решений всех этапов,

{y_k  (w^k , x^k) -случайная вектор-функция, определяющая ограни­чения k-го этапа; b_k (w^k-1) —случайный вектор; G_k —некоторое множество, определяющее жесткие ограничения k-го этапа; M _wk {y_k  ½w^k-1 }—условное математическое ожидание  y_k в пред­положении, что на этапах, предшествующих k-му, реализован набор

                                                 w^k-1  =(w₁ , … , w_k-1).

 Предполагается, что совместное рас­пределение вероятностей всех случайных параметров условий задано (или, по крайней мере, известно, что оно существует).

Для того чтобы постановка задачи (4.1)—(4.3) была пол­ной, необходимо еще указать, среди какого класса функций (ре­шающих правил x=x(w) ÎХ) от реализаций случайных исход­ных данных следует разыскивать решение.

К моменту, когда должно быть принято решение k-то этапа, можно успеть  обработать  результаты  наблюдения  реализаций  случая  на  этапах 1, ..., s
;
s
£
k
.

В задачах  решение на 1-м этапе принимается после реализации случайных параметров условий на предыду­щем (i—1)-м этапе. Решающие правила  имеют вид   x_i=x_i (w^i-1 ) , i = 1,…,n .

Будем называть такие задачи  многоэтапными зада­чами стохастического программирования с условными ограниче­ниями и с априорными решающими правилами.

Сведение задачи управления к анализу модели стохастиче­ского программирования позволяет разделить процесс выбора решения на два этапа. Первый - трудоемкий предваритель­ный - использует структуру задачи и априорную статистиче­скую информацию для получения решающего правила (или ре­шающего распределения) - формулы, таблицы или инструкции, устанавливающей зависимость решения (или функции распре­деления оптимального плана) от конкретных значений парамет­ров условий задачи. Второй -нетрудоемкий оперативный этап - использует решающее правило (решающее распределение) и те­кущую реализацию условий для вычисления оптимального плана (или его распределения).
2.4.Методы решения задач стохастического программирования.
          Основные классы задач, для решения которых создается вы­числительный комплекс, непосредственно или методами стоха­стического расширения формулируются как модели стохастиче­ского программирования.

Вообще говоря, все модели выбора решения, сформулирован­ные в терминах математического программирования, могут быть (а в практических задачах, отвечающих управлению сложными системами и процессами, должны быть) сформулированы как модели стохастического программирования.

Соответствие формально построенных стохастических моде­лей содержательным постановкам - решающее условие успеш­ного управления в условиях неполной информации. Вряд ли мо­гут быть приведены универсальные рекомендации по выбору информационной структуры модели и статистических характери­стик, используемых для формирования целевого функционала задачи и области его определения.

Анализ опыта решения практических экстремальных задач методами математического программирования свидетельствует о серьезных успехах этого подхода (и о внедрении данных ме­тодов в практику планирования, управления и проектирования) в задачах относительно простой структуры, главным образом одно экстремальных, при не слишком большой размерности задачи, когда число переменных и ограничений (в моделях достаточно общего вида) не превышает сотен или тысяч. Однако методы детерминированного математического программирования не прививаются в системах большой сложности, отвечающих многоэкстремальным задачам или задачам большой размерно­сти.

До сих пор нет достаточно конструктивного метода решения общей (даже линейной) двухэтапной задачи стохастического программирования. Стандартные методы выпуклого программи­рования в общем случае неприменимы для вычисления предва­рительного плана — решения выпуклой задачи первого этапа. Основная трудность в том, что целевая функция и область определения планов первого этапа заданы. вообще говоря, неявно. В случаях, когда область К имеет относительно простую структуру или задача оказывается с простой рекурсией, эффек­тивным, хотя и трудоемким методом вычисления предваритель­ного плана, оказывается метод стохастических градиентов[2], представляющий собой итеративный метод типа стохастической аппроксимации.

Все это подсказывает путь алгоритмизации решения сложных задач в автоматизированных системах управления - замену трудоемких процедур, отвечающих обоснованным (точным или приближенным) методам решения детерминированных экстремальных задач, относительно простыми «законами управления» - решающими правилами или решающими распределениями стохастического расширения соответствующих задач.

Платой за упрощение задачи и за переход от громоздких алгоритмов к относительно простым решающим механизмам служат трудоемкая предварительная работа по построению «за­конов управления» и некоторая потеря эффективности решения задачи в каждом отдельном случае.

В литературе по стохастическому программированию опи­саны многочисленные модели выбора решений, сформулирован­ные в терминах стохастического программирования. Разнообразные задачи управления запаса­ми - классические примеры стохастических моделей. Синтез си­стем массового обслуживания, удовлетворяющих заданным тре­бованиям и оптимизирующих пропускную способность системы или определяемый ею доход, сводится к решению экстремаль­ных стохастических задач.
3.Динамическая модель работы банка.
3.1.Вводные сведения.
В общем случае, проведение управленческого анализа разбивается на три основных этапа:

I. Производится группировка банковских услуг и операций по признаку сферы оказания и осуществления, функциональному подразделению, мес­ту выполнения и общей клиентской базе. Подобные комплексы услуг и опе­раций являются источниками прибыли, составляют единую технологиче­скую цепочку и называются бизнес-центрами. Далее следует сбор и аналитическая обработка данных по каждому из бизнес-центров. Методика анализа включает составление портфеля привле­чения и размещения средств, расчета операционных доходов, расходов и прибыли, накладных и обще банковских расходов, конечной прибыли и анализ окупаемости инвестиций в деятельность бизнес-центра. Для продвижения определенного комплекса услуг бизнес-центра требуют­ся капитальные вложения - инвестиции в техническое и программное обес­печение, помещения и оборудование. Данные инвестиции необходимо оце­нить с точки зрения окупаемости и рентабельности, потоков денежных посту­плений и потоков финансовых средств. Для этой цели производится анализ окупаемости инвестиционных проектов. В рамках этого же этапа производится наиболее важный и необходимый анализ рентабельности отдельных услуг и операций, осуществляемых биз­нес-центром.

II. На втором этапе сгруппированные комплексы услуг и операций (биз­несы) локализуются в организационной структуре банка. Происходит "наложение" и увязывание технологических цепочек бизнесов с функционально территориальной структурой организации. Формируются центры более высо­кого уровня - центры ответственности (или центры прибылей), включающие в себя несколько функционально взаимосвязанных и организационно объеди­ненных бизнес-центров. Необходима методика обоснованного перераспределения затрат ин­фраструктурных подразделений по центрам ответственности. Возможно, так­же такого перераспределения не осуществлять, выделяя в конечных продук­тах анализа результаты деятельности инфраструктурных центров. В ходе анализа рассчитываются основные показатели деятельности цен­тров ответственности - конечная прибыль, объемы привлеченных и разме­щенных средств, окупаемость инвестиционных проектов центра ответствен­ности, которые могут включать несколько взаимосвязанных проектов уровня бизнес-центров.

III. Общую сумму прибыли, заработанную банком, необходимо      перерас­пределить, во-первых, по осуществляемым отдельным операциям и услугам, во-вторых, по функциональным подразделениям. Данный этап интегрирует результаты двух предыдущих и является наиболее трудоемким.

Данная разбивка финансовых результатов может производиться до уровня любой глубины - вплоть до каждого отдельного вида услуг и функционально­го подразделения - филиала или отдела.

Рассмотрим  общий  случай.
3.2.Постановка задачи.
       Некоторый  банк, организационная  структура  которого  построена  на  базе  отделений, ежегодно  распределяет  ассигнования  на  выполнение различных  работ. Каждое  из  S  отделений  представляет  руководству  банка  данные  трех  видов . Информация  первой  группы  относится  к  проведению  поисковых  исследований неопределенного  характера .  Если  на  исследования  такого  рода  в  отделении  j выделяют  v_j    тысяч долларов, то  оценка  ожидаемого  долгосрочного  дохода   равна    P_j (v_j )   миллионов  долларов.  Информация  второй  группы  относится  к  услугам, по которым  поисковые  исследования  уже  завершены  и  для  внедрения  которых  требуется  проведение  ряда  работ  и  подсчетов. Для  таких  проектов  ассигнования  в  объеме  w_j     тысяч  долларов, согласно  имеющейся  оценке, дадут,  в  конечном  счете,  доход  в  размере  Q_j (w_j )  миллионов  долларов. К  третьей  группе  относится  информация , связанная  с  улучшением  качества  уже  оказываемых  услуг  .  Затраты x_j  тысяч  долларов, согласно  сделанным  оценкам, должны  принести всего  R_j(x_j) миллионов  долларов дополнительного  дохода.

      Правление  банка  утверждает  общую  сумму  ассигнований   на  все  проекты  в  размере  N  тысяч  долларов, и  верхний  предел  L_j    ассигнований  между  отделениями j.  Следовательно,  необходимо  распределить  ассигнования  между  отделениями  таким  образом,  чтобы  обеспечивалась максимизация  общего  дохода  банка  при  наложенных  ограничениях.

       Математическая  модель  задачи  описывается  следующими  соотношениями:

 [P_j (v _j ) + Q _j (w _j ) + R_j (x _j )]                 (1)

                                                             максимизировать, при ограничениях
  (v_j  + w_j + x_j )   N                 (2)                                                                                                         

                                                                             общая сумма   ассигнований
   v_j  + w_j + x_j   L_j   ,  j=1,2..s        (3)       
v_j  ,  w_j  ,  x_j                                    (4)      неотрицательные целые при любом j .

   

       Поскольку  на  все  управляемые  переменные  наложено  только  одно  ограничение  (2) , а  остальные  бюджетные  и  целочисленные  ограничения (3)  и (4)  относятся только  к  отделению  j ,то  в  данном  случае  имеет  место  задача  распределения  усилий  с  одним  ограничением.[3] Таким  образом  получаем  следующее  рекуррентное  соотношение :

   

  g_j (n) = max [ P_j ( v_j ) + Q_j (w_j ) + R_j (x_j ) + g_j ( n - v_j  - w_j - x_j ) ] , j = 1,2...s     (5)
где   n = 0,1,2...N  и максимизация производится только по  неотрицательным  целочисленным  значениям  v_j ,w_j и x_j    удовлетворяющим  условию:

 

     v_j  + w_j +  x_j     min (L_j , n)
       На  каждом  шаге  отыскания  максимума   можно  использовать  метод  решения  задачи  о  распределении  усилий,  представив  этот  пример  в  следующем  виде:

 

       P_j ( v_j ) + Q_j (w_j ) + R_j (x_j )  max        (6)  при  ограничениях 
        v_j  + w_j +  x_j     y ,              (7)
где     v_j   ,w_j  и   x_j    должны  быть  неотрицательными  целыми  числами.  Необходимо    получить  решение  для  каждого  значения  y = 0,1....L_j .

          Чтобы  использовать  рекуррентный  подход  к  задаче  (6)-(7)  ,  примем 
         p _j (y) =  P_j (y) ,              y = 0,1...L_j  ,         (8)
         q _j (y) =   max   [ Q_j  (w_j  ) + p_j ( y- w_j  ) ] ,      y = 0, 1 ...  L_j          (9)

                          w_j 
где  максимизация  производится  только  по  неотрицательным  целым  значениям 

w_j      y ,  и 
         r _j  (y) =   max  [ Q_j (x_j ) + q _j (y - x_j )] ,      y = 0,1... L_j                    (10)

                           x_j

       

где  максимизация  производится  только  по  неотрицательным  целым  значениям 

x_j      y .
           Далее  находится  решение  по  соотношению:

 
       g _j (n) =    max  [ r _j  (y)  + g _j ( n - y ) ] ,     j = 1,2...s,                (11)

                         y
где  n = 0,1...N  и  максимизация  производится  только  по  неотрицательным  целым  значениям     y , удовлетворяющим  условию   у     min (L_j , n) .

Следовательно,  для  решения  этой  задачи  нужно  связать  s  расчетов распределения  усилий  с  общей  моделью  распределения  усилий.

           Таким  образом,  в качестве  решения  мы  получим  значения   v_j   , w_j  и  x_{j   -}  выделяемые  средства  на  соответствующие  проекты,  дающие  максимизацию  общего  дохода  банка   g _j (n)   по  отделам   j = 1,2...s .
Заключение.

            Коммерческий  банк -  это  кредитное  учреждение,  реализующее  экономические  интересы. Банковское  дело  -  как  правило,  весьма  выгодный  бизнес,  основанный  на  определенных  принципах. Основной - прибыльность. Показатель  прибыли  официально  считается основным  показателем  деятельности  банка. Иначе говоря, размер капитала, т.к. в балансовом отчете в разделе собственные средства (капитал) прибыль занимает не последнее место. Размер капитала банка имеет исключительное значение для его деятельности. Во-первых, регулирующие органы устанавливают мини­мально необходимый размер капитала для вновь созда­ваемых и работающих банков. Во-вторых, капитал бан­ков служит основой (капитальной базой) для установ­ления регулирующими органами нормативов, определя­ющих контролируемые показатели  их деятельности. Наконец, чем больше размер капитала банка, тем выше уверенность его вкладчиков, кредиторов и клиентов, поскольку при этом повышается его надежность.

     Т.о. для получения наибольшей прибыли  предполагается создание и организация:

системы информации;

системы прогнозирования  денежных ресурсов;

системы принятия решений;

системы контроля.
Приложение.


Модель общего вида  задачи распределения усилий.


Такой же динамический под­ход в той же мере справедлив и в случае, когда  огра­ничение нелинейно, и в случае, когда огра­ничение является линейным.

Модель описывается следующими соотношениями:

                                                                                                              

                        Максимизировать                              (1’)                
            при  ограничениях                                    (2’)

                                  y_j = 0 , 1, 2, ...  при  любом j.                       (3’)

Допустим, что каждая функция H_j(y_j) есть неубывающая функция, принимающая целочисленные значения при любом y_j = 0, 1, 2, ... и удовлетворяющая условию H_j(0) = 0. Для упрощения рассужде­ний принимается, что H₁(y₁) = y₁, вследствие чего допустимое решение существует при любом значении N
. На каждую величину y_j можно также наложить ограничение сверху.

Рекуррентное соотношение динамического программирования, соответствующее задаче (1’) — (3’), имеет следующий вид:

   g_j = max {R_j (y_j) +g_j-1 [ n – H_j(y_j)]},    j = 1,2,...,s,                   (4’)

                                  g₀ ( n ) ≡ 0, j = 0 ,                                          (5’)

где n = 0, 1, ..., N, а максимум берется только по неотрицатель­ным целочисленным значениям y_j, удовлетворяющим условию H_j(y_j) ≤ n. Отыскивается значение g_s(N). Для выполнения вычисле­ний нужно определить по выражению (4’) значения каждой функции g_j(n) при  n = 0, 1, ..., N, начиная с j = 1 и заканчивая  j=s.






Литература.
1)Банки  и  банковские  операции: Учебник  для  вузов. / Под  редакцией  Е.Ф.Жукова.

-М.:Банки  и  биржи , ЮНИТИ ,1997.
2)Банковское  дело  / Под  редакцией  О.И.Лаврушина. М .: Банковский и биржевой  научно- консультационный  центр , 1992 .
3)Банковское  дело  / Под  редакцией  В.И.Колесникова , Л.П.Кроливецкой  .- М.:Финансы  и  статистика , 1995 .
4)Вагнер Г. Основы  исследования  операций.-М.: Мир, т.2 ,1973.
5)Гуриев С.М. ,Поспелов И.Г. .Модель  деятельности  банка   при  отсутствии инфляции  и  экономического  роста.// Экономика  и  математические  методы ,     том 33 ,  вып.3 ,1997.
6)Перар Ж. Управление международными денежными потоками.- М.: Финансы и статистика,1998.
7)Садвакасов К. Коммерческие банки. Управленческий анализ деятельности .

  Планирование и контроль. - М.:Ось-89,1998.
8)Черкасов В.Е. Финансовый анализ в коммерческом  банке. – М.:ИНФРА-М, 1995.
9)Юдин Д.Б., Березнева Т.Д.. Статистические и динамические модели стохастического программирования.// Применение исследования  операций в экономике.М.:Экономика,1977.

---