Уфимский государственный авиационный технический университет

РЕФЕРАТ

по предмету:

Дополнительные главы математики
Выполнил:                                                                            Михайлов В.С.

                                                                                                ст. гр. ДВ-512М

Проверил:                                                                              Гайсин А.М.
Уфа - 2005

Содержание

1.       Предел числовой последовательности.                                                    2

2.       Предел функции. Непрерывность.                                                            3

2.1.    Предел функции.                                                                                        3

2.1.1. Предел функции в точке.                                                                           3

2.1.2. Односторонние пределы.                                                                          4

2.1.3. Предел функции при х ® ¥.                                                                     5

2.2.    Непрерывность функций.                                                                          5

2.2.1. Непрерывность функции в точке.                                                             5

2.2.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке.                                 7

2.2.3. Точки разрыва функции и их классификация.                                          7

2.2.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность элементарных функций.                                                            9

2.2.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.                                          10

1. Предел числовой последовательности

Можно заметить, что члены последовательности u_n неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность u_n, n Î N стремится к пределу 1.

Число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любого положительного числа  найдется такое натурального число N, n > Nчто при всех         выполняется неравенство

êх_n - аç < e.                                        (1.1)

В этом случае пишут  или х_n → а и говорят, что последовательность {х_n} (или переменная х_n, пробегающая последовательность х₁, х₂, х₃) имеет предел, равный числу а (или х_n стремится к а). Говорят также, что последовательность {х_n} сходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

("e > 0 $N: "n > N Þ çх_n – aç < e) Û .

Пример. Доказать, что

Решение: По определению, число 1 будет пределом последовательности n Î N, если "e > 0 найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N выполняется неравенство , т.е. . Оно справедливо для всех , т.е. для всех n > N = , где  - целая часть числа  (целая часть числа х, обозначаемая [х], есть наибольшее целое число не превосходящее х; так [3]=3, [5,2]=5).

Если e > 1, то в качестве N можно взять .

Итак, "e > 0 указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что

Заметим, что число N зависит от e. Так, если , то



если e = 0,01, то



Поэтому иногда записывают N = N(e).

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.

Неравенство (1.1) равносильно неравенствам - e < х_n – a < e или a - e < х_n < a + e, которые показывают, что элемент х_n находится в e-окрестности точки a.



Рис. 1.1

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любой e-окрестности точки a найдется натуральное число N, что все значения х_n, для которых n > N, попадут в e-окрестности точки a (см рис 1.1).

Ясно, что чем меньше e, тем больше число N, но в любом случае внутри e- окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Отсюда следует, что сходящая последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Постоянная последовательность х_n = с, n Î N имеет предел, равный числу с, т. е. lim c =c. Действительно, для "e > 0 при всех натуральных n  выполняется неравенство (1.1). Имеем êх_n -сç = êс-сç = 0< e.

2. Предел функции. Непрерывность.

2.1 Предел функции.

2.1.1 Предел функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀.

Сформулируем два эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется пределом функции y = f(x) в точке х₀ (или при х ® х₀), если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_n, n Î N (х_n ¹ х₀), сходящейся к х₀ (т. е. х_n = х₀), последовательность соответствующих значений функции f(х_n), n Î N, сходится к числу А (т. е. f(х_n) = А).

В этом случае пишут f(х) = А или f(х_n) ® А при х ® х₀. Геометрический смысл предела функции: f(х) = А означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀ соответствующее значению функции как угодно мало отличается от числа А.

Определение 2 (на «языке e-d», или по Коши). Число А называется пределом функции х₀ (или при х ® х₀), если для любого положительного e найдется такое положительное число d, что для всех х_n ¹ х₀, удовлетворяющих неравенству êх- х₀ ç < d, выполняется неравенство êf(х)-Aç < e.

Записывают f(х)=A. Это определение можно кратко записать так:



Геометрический смысл предела функции: А= f(x), если для любой e-окрестности точки А найдется такая d-окрестность точки х₀, что для всех х ¹ х₀ из этой d-окрестности соответствующее значения функции f(x) лежат в e-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=f(x) лежат внутри полосы шириной у = А - e. Очевидно, что величина d зависит от выбора e, поэтому пишут d = d(e).

Пример 1. Доказать, что  (2х - 1) = 5.

Решение: Возьмем произвольное e > 0, найдем d = d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству êх-3ç < d, выполняется неравенство ê(2х - 1) – 5ç < e, т. е. êх - 3ç < e/2. Взяв d = e/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству êх - 3ç < (d = e/2), выполняется неравенство ê(2х - 1) – 5ç < e. Следовательно,  (2х - 1) = 5.

Пример 2. Доказать, что, если f(х) = c то,  с = с.

Решение: Для "e > 0 можно взять "d > 0. Тогда при êх- х₀ç < d х ¹ х₀ имеем êf(х)-cç = êc-cç = 0 < e. Следовательно,  с = с.

2.1.2 Односторонние пределы.

В определении предела функции f(x) = А считается, что х стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем х₀ (слева от х₀), большим чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки х₀.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х₀ существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А₁ называется пределом функции y = f(x) слева в точке х₀, если для любого число e > 0 существует число d = d (e) > 0 такое, что при х Î (х₀ - d; х₀), выполняется неравенство çf(x) - Аç < e. Предел слева записывают так:  f(x) = А₁ или коротко f(х₀ -0) = А₁ (обозначение Дирихле) (см. рис. 2.1).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

("e > 0 $d = d(e) "x Î (х₀; х₀ + d) Þ çf(x) – А₂ç < e) Û f(x) = А₂.

Коротко предел справа обозначают f(х₀ + 0) = А₂.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует f(x) = А, то существуют и оба односторонних предела, причем А = А₁ = А₂.
                                                                                   Рис. 2.1

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела f(х₀ - 0) и f(х₀ +0) и они равны, то существует предел А = f(x) и А = f(х₀ - 0).

Если же А₁ ¹ А₂, то f(x) не существует.

2.1.3 Предел функции при х
®
¥.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке (- ¥; ¥). Число А называется пределом функции f(x) при х ® ¥, если для любого положительного числа e существует такое число М = М (e) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство . Коротко это определение можно записать так:

("e > 0 $М > 0 "x:  > М Þ çf(x) – Аç < e) Û f(x) = А.

Если , то пишут , если , то . Геометрический смысл этого определения таков: для , что при х Î (- ¥; - М) или   х Î (М; + ¥) соответствующие значения функции f(x) попадают в e-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2e, ограниченной прямыми у = А + e и у = А - e.

2.2 Непрерывность функций.

2.2.1 Непрерывность функции в точке.

Пусть функция у = f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

f(x) = f(х₀).                                  (2.1)

Это равенство означает выполнение трех условий:

1.     функция f(x) определена в точке х₀ и в ее окрестности;

2.     функция f(x) имеет предел при x ® х₀;

3.     предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (2.1);

Так как х = х₀, то равенство (2.1) можно записать в виде:

f(x) = f(х) = f(х₀).                           (2.2)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀.

Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. .(2.2)) в силу непрерывности функции е^х.

Пример. Вычислить А = .

Решение:



Отметим, что ln(1 + x) ~ x при x ® 0.

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция у = f(x) определена в некотором интервале (a;b). Возьмем произвольную точку х₀ Î (a;b). Для любого х Î (a;b) разность х - х₀ называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается Dх («дельта х»): Dх = х - х₀. Отсюда х = х₀ + Dх.

Разность соответствующих значений функций f(x) - f(х₀) называется приращением функции f(x) в точке х₀ и обозначается Dу (или Df или Df(х₀)): Dу = f(x) - f(х₀) или Dу = f(х₀ + Dх) - f(х₀). (см. рис. 2.2)

Очевидно, приращения Dх и Dу могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (2.1) в новых обозначениях. Так как условия х ® х₀ и х - х₀ ® 0 одинаковы, то равенство (2.1) принимает вид        (f(x) - f(х₀)) = 0 или

Dу = 0.           (2.3)
Рис. 2.2

Полученное равенство (2.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство (2.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо равенство (2.1) либо равенство (2.3).

Пример. Исследовать на непрерывность функцию у = sin x.

Решение: Функция у = sin x определена при всех x Î R.

Возьмем произвольную точку x и найдем приращение Dу:

Dу = sin (x + Dx) – sin x = 2 cos (x + ) × sin .

Тогда Dу = 2 cos (x + ) × sin = 0, так как произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция.

Согласно выражению (2.3), функция у = f(х) непрерывна в точке x.

2.2.2 Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

Функция у = f(х) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х = а непрерывна справа (т. е. f(x) = f(a)), а в точке х = b непрерывна слева (т. е. f(x) = f(b)).

2.2.3 Точки разрыва функции и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х₀ – точка разрыва функции у = f(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀.

Например, функция у =  не определена в точке х₀ = 2.

2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела f(x) при х ® х₀.

Например, функция:

f(x) =

определена в точке х₀ = 2 (f(2) = 0), однако в точке х₀ = 2 имеет разрыв, так как эта функция не имеет предела при х ® 2:

f(x) = 1, а f(x) = 0.

3. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, существует f(x), но этот предел не равен значению функции в точке х₀: f(x) ¹ f(х₀).

Например, функция:

g(х) =

Здесь х₀ = 0 – точка разрыва:

g(х) =  = 1, а g(х₀) = g(0) = 2.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. f(x) = A₁ и f(x) = A₂. При этом:

а) если A₁ = A₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

б) если A₁ ¹ A₂, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину çA₁ - A₂ç называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше. у = , х₀ = 2 – точка разрыва второго рода.

2. Для функции:

f(x) =

х₀ = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен ç1 - 0ç = 1.

3. Для функции:

g(x) =

х₀ = 0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x) =1 (вместо g(x) = 2) при x = 0, разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Пример. Дана функция f(x) = . Найти точки разрыва, выяснить их тип.

Решение: Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 3. Очевидно, f(x) =  Следовательно, f(x) =1, а      f(x) = -1. Поэтому в точке x = 3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1 – (-1) = 2.

2.2.4 Основные теоремы о непрерывных функциях.

         Непрерывность элементарных функций.

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Пусть функция f(x) и j(x) непрерывны на некотором множестве Х и х₀ – любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения F(x) = f(x) × j(x). Применяя теорему о пределе произведения, получим:

F(x) = (f(x) × j(x)) = f(x) × j(x) = f(x₀) × j(x₀) = F(x₀).

Итак, F(x) = F(x₀), что и доказывает непрерывность функции f(x) × j(x) в точке x₀.

Теорема 2. Пусть функции u = j(x) непрерывна в точке x₀, а функция у = f(u) непрерывна в точке u₀ = j(x₀). Тогда сложная функция f(j(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x₀.

В силу непрерывности функции u = j(x), j(x) = j(x₀) = u₀, т. е. при x® x₀ имеем u ® u₀. Поэтому вследствие непрерывности функции у = f(u) имеем:

f(j(x)) = f(u) = f(u₀) = f(j(x₀)).

Это и доказывает, что сложная функция у = f(j(x)) непрерывна в точке x₀.

Теорема 3. Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Оx, то обратная функция у = j(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с;d] оси Оу (без доказательства).

Так, например, функция tg x = , в силу теоремы 1, есть функция непрерывная для всех значений x, кроме тех, для которых cos x = 0, т. е. кроме значений x = (p / 2) + p n, n Î Z.

Функции arcsin x, arctg x, arccos x, arcctg x , в силу теоремы 3, непрерывны при всех значениях x, при которых эти функции определены.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях x, для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операция взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

Пример. Найти 2^{ctg x}.

Решение: Функция 2^{ctg x} непрерывна в точке x = p / 4, поэтому 2^{ctg x} = 2^ctgp/4 = 2 ¹ = 2.

2.2.5 Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
                                                                                          Рис. 2.3

Изображенная на рисунке 2.3 функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], принимает свое наибольшее значение М в точке x₁, а наименьшее m – в точке x₂. Для любого x Î [a;b] имеет место неравенство m £ f(x) £ М.

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 5 (Больцано - Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(а) = А и f(b) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 2.4).

Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри этого отрезка такая, что f(с) = С. Прямая у = С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие 2. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль f(с) = 0.

                                                                                             

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Оx на другую, то он пересекает ось Оx.

Следствие 2 лежит в основе так называемого “метода половинного деления”, который используется для нахождения корня уравнения f(x) = 0.

Рис. 2.4

Утверждения теорем 4 и 5, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [a;b], а в интервале (a;b), либо функция на отрезке [a;b] имеет разрыв.

Пример. Определить с точностью до e = 0,00001 корень уравнения е^{2х + 1} + х² – 5 = 0, принадлежащий отрезку [0,1], применив метод половинного деления.

Решение: Обозначим левую часть уравнения через f(x).

Шаг 1. Вычисляем  и , где а = 0, b = 1.

Шаг 2. Вычисляем .

Шаг 3. Вычисляем . Если =0, то х – корень уравнения.

Шаг 4. При  если , то полагаем b = х, , иначе полагаем      а = х, .

Шаг 5. Если b – a - e  0, то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью ) принимается величина . Иначе процесс деления отрезка [a; b] пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.

В результате произведенных действий получим х = 0,29589.

Список используемой литературы

1. Беклемишев В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры» М: ФизМатЛит 2002 г., 375 с.

2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления» М: Интеграл-пресс 2000 г., 416 с. том 1.

3. Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике». М: Рольф 2001г.. 1ч.

4. Шипачёв В.С. «Курс высшей математики» М: Проспект 2002 г., 600с.

5. «Линейная алгебра и основы математического анализа» под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. М: Наука 1993 г., 480 с.