Транспортные свойства  
придонных
 
топографических
волн      на  шельфе и континентальном  склоне   

        A.A. Слепышев

Исследование динамических эффектов в придонном слое море имеет актуальное значение в связи с  изученим тепло-массоперноса через придонный слой, процессов седиментации  и осадконакопления, генерации и эволюции донных рифелей и мезоформ, транспорта наносов и взвеси. Важный вклад в динамику придонного слоя вносят волновые процессы на шельфе и континентальном склоне .  Ветровое волнение является важным фактором аккумуляции или размыва наносов  непосредственно в прибрежной зоне моря [1,2]. Влияние поверхностных волн прослеживается, по-видимому, до глубин, составляющих половину длины волны [3].  На больших глубинах преобладает влияние внутренних волн и топографических волн. Нелинейные эффекты при распространении как поверхностных, так и внутренних волн проявляются в генерации  средних на временном масштабе волны  течений, которые обусловлены  действием в слабонелинейном пакете волновых напряжений  [4,5,6]  В предельном случае  слабонелинейной плоской волны указанные волновые напряжения отличны от  0 при учёте турбулентной вязкости  и диффузии [6,7]. В придонном  слое  моря на шельфе и континетальном склоне существует важный класс захваченных топографических волн, физической причиной существования которых  является взаимодействие гравитации и сил плавучести, с одной стороны,  неодородностей рельефа дна и вращения  Земли-с  другой .Частота захваченных волн не превышает  N (угол наклона дна). Фаза волны распространяется, оставляя более мелкую воду справа в Северном полушарии [8]  Амплитуда волны затухает по экспоненциальному закону при удалении от дна. Придонные волны, по видимому , вносят важный вклад  в транспорт наносов   на шельфе.

Если  турбулентные тангенциальные напряжения у дна превышают критические значения, соответствующие началу движения наносов , волна взмучивает донный осадочный материал, осуществляя его горизонтальный перенос средними течениями , индуцированными придонными топографическими волнами .

В этой связи актуальным является определение средних течений, индуцированных придонными волнами  за счёт нелинейных эффектов в присутствии турбулентной вязкости и диффузии над склоном произвольной ориентации.  Исходные нелинейные уравнения гидродинамики для волновых возмущений  решаются  в  слабонелинейном приближении методом      возмущений   [ 4 ]: в первом порядке малости по амплитуде волны  находятся решения линейного приближения и дисперсионное соотношение, во втором порядке малости - средние течения, индуцированные волнами после осреднения исходных уравнений по периоду волны.

Горизонтальным дном будем называть плоскость, перпендикулярную вектору ускорения свободного падения   и параллельную свободной невозмущённой поверхности океана. Плоскость, касательную поверхности Земли и параллельную горизонтальному дну обозначим  К. Плоскость К₁ ,  соответствующую наклонному дну, получаем из плоскости  K поворотом её на угол   вокруг линии пересечения плоскостей К  и  К₁ (оси Х). Условимся,  что положительному значению угла   соответствует поворот плоскости K против часовой стрелки (если смотреть с положительной полуоси Х). Систему уравнений гидродинамики  для  волновых  возмущений  в приближении  Буссинеска запишем в системе координат, плоскость XOY которой совпадает с плоскостью  К₁  ,ось Х  совпадает с линией пересечения плоскостей   K и К₁ и составляет с западным направлением угол  , ось Z   направлена от поверхности Земли перпендикулярно плоскости  К₁. Положительному значению угла соответствует поворот параллели к оси Х против часовой стрелки.

Вектор угловой скорости вращения Земли имеет  проекции на оси Z,Y и X соответственно

 _z= ;  _y= (                 (1)

и    _x=                        

где  с^-1  -угловая скорость вращения Земли,.широта.

Турбулентные напряжения в данной работе параметризуются  через  сдвиги волновых скоростей по гипотезе Сент-Гелли с введением коэффициентов горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости и диффузии [6] Введём безразмерные  переменные  ,   , (-характерная глубина), _* (   _* - характерная частота волны), размерные величины отмечены  волнистой чертой  сверху.  Определим  безразмерные величины компонент волновых возмущений скорости (),  давления ,  плотности   , коэффициентов  вертикальнoй и горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии следующим образом:

 =/(_*H ),   =/(_*H )  ,     =/(_*H ),     =/(₀₁(_*H )²)             (2)

₃= ₃/    , ₃=₃/   ,         ₁= ₁/    , ₁=₁/,  =(₀₁H_*² )

                                        

где  =- значение горизонтальной  турбулентной вязкости,   ₀₁-характерная средняя плотность воды. Система  уравнений гидродинамики для волновых возмущений в безразмерных переменных в приближении Буссинеска имеет вид:

2(_y-_zv)+()=-²(K₁+K₁+ K₃)

                                                                                                                                  (3a)

/+2(_z-_x)+()= --+²(K₁/+ K₁/+ K₃/)

                                                                                                                                    (3б)

/+2(_xv- _y )+()= - +²(K₁/+ K₁w/+ K₃/)-                                                                                                                    (3в)      

 //0                                                                                           (3г) 

()+v=²(M₁/+ M₁/+ M₃/)    (3д)                 

где  ²=,  - средняя плотность, ,-волновые возмущения скорости  течения  вдоль осей  X,Z,Y  соответственно;  -волновые возмущения плотности  и давления. Оператор () раскрывается  по формуле: ()=

Введём частоту  Брента-Вяйсяля: N²=-d/dz_1,  где d/dz₁  - градиент  средней  плотности, z₁=. Очевидно, что вектор  градиента средней плотности коллинеарен вектору  g.

        Уравнение (3д) можно переписать в виде:

()-)=²(M₁/+M₁/+M₃/)    (4)

Граничные  условия у дна:

   (0)=0

                                                                                                                        (5)

В качестве решения в линейном приближении рассмотрим  волну , у которой  , введём  функцию тока . Волновые возмущения  скорости  выражаются через функцию тока:

/                                = -/                                                                (6)

Решение системы (3) в  линейном приближении  будем искать в виде:



                                                                               (7)



где - комплексно  сопряжённые  слагаемые, А(-амплитудная функция, медленно меняющаяся на масштабе волны. Из системы (3) следуют уравнения для

.

+-d²/d]=-                                        (8)
[+l²-d²/d)][2+)]=+-d²/d]d/d{[+-d²/d]}+N²

                                                                                                                          (9)                 

Граничные условия  у  дна  функций    и   имеют  вид:

=0 ,                              =0                                                                 (10)                                                                                                


В  [12], следуя асимптотическому методу Люстерника-Вишика [13,14] ,функ-

ции  (z) и  (z) и частота волны   получены в виде:

(z)= ₁₀(z)+

(z)=+                                                                     (11)               



где  ₁₀(z)  и  ₁₀(z) - "невязкие" решения  , т .е.  решения  при  ,    и - "погранслойные"  решения, быстро убывающие  (по сравнению с  ₁₀(z)) при удалении  от дна.  Приведём  выражения для ₁₀(z) и   ₁₀(z)          которые потребуются в дальнейшем:

₁₀(z)= exp(z)               ,        ₁₁()=-exp()

=sin^.₁₀(z)/   ,      

 ₁₁(z)=exp()sin/                                                                                        (12)

где    -дисперсионное соотношение при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии, поправка к чаcтоте, обусловленная турбулентной вязкостью и диффузией  [12],

=[2+)+i0.5sin2]/[2i]

 =z/,                                                                   (13а)

                                                     (13б)

Амплитудная функция      А   является медленно меняющейся  функцией  на  масштабах  волны.  Умножим  обе части уравнения (3а) на , уравнения (3б) на  и  сложим эти  уравнения, после осреднения по периоду волны в линейном приближении  получим  уравнение  для огибающей А   :
                                  (14)          

  где      +      ,

   +-                                                        (15) 

компонеты групповой скорости вдоль осей X  и Y соответственно.                                                       

здесь  ,       

В стационарном случае уравнение (14) преобразуется к виду:

  ,                                                                                (16)

где -координата вдоль луча, -групповая  скорость.

Пространственные производные функции   следующим образом выражаются через градиент

                                                                     (17)



Осредним исходные уравнения движения  (3) по периоду волны ,  получим с точностью  до членов , квадратичных   по  амплитуде волны  уравнения для средних полей , индуцированных волной  в слабонелинейном приближении  (черта сверху означает осреднение по периоду волны):

=  

                                                                                                                           (18a)                                  

=    

                                                                                                                             (18б)

                            (18в)              

)  (18г)                                                                     

                                                                                     (18д)               

 Волновые напряжения , , выражаются с помощью  (6,7) через  :

=-                                                    

=+                                                    (19)                        

=                                                                                

=                                                                                 

Из анализа системы  (18)  с учётом  (19)  следует, что индуцируемые волной средние поля плотности , давления  и  скорости  течения   следует искать в виде:

,              ,                                                     (20)                                                       ,                                     ,                                                                                           

Система уравнений  для  функций   следует из (18)  после подстановки (19)  и (20) при использовании соотношений (16),(17). Данная система сводится к неоднородной системе линейных дифференциальных уравнений , которую запишем в матричном виде:

                                                                                               (21)

где А- матрица размрностью 88 , элементы которой являются постоянными (не зависящими от z величинами):





                                                                                                    

Все  остальные элементы матрицы А равны 0. Столбцы  и  имеют вид:

                                                                                  

где  

Система дифференциальных уравнений (21) решается аналитически при следующих граничных условиях:  и  при . Окончательно индуцируемые волной поля скорости течения  и плотности  определяются по формулам:

,    ,     ,      

                                                                                                                                 (22)

Амплитудный множитель  найдём из условия нормировки, которое состоит в следующем. Пусть максимальная амплитуда волновой орбитальной скорости.

Тогда,где.                                                             (23)                  

        Пусть                                             (24)                           -осреднённое за период волны тангенциальное напряжение у дна. Следуя [15,16 ] введём коеффициент донного трения . При заданном  коэффициент вертикального турбулентного обмена для данной волны  находится из (24).

Если тангенциальное напряжение у дна превышает критическое значение  , соответствующее началу движения наносов, то волна взмучивает наносы, осуществляя их горизонтальный перенос. В стационарном и горизонтально -однородном  случае уравнение вертикальной диффузии для   средней концентрации наносов имеет вид [ 15 ]:

                                                                               (25)

где     , скорость гравитационного оседания наносов [15 ]. Решение уравнения (25), затухающее при удалении от дна имеет вид:

                                                                            (26)

Здесь - концентрация наносов у дна, которая находится из следующего граничного условия. Пусть -вертикальный поток наносов у дна, тогда следуя работе [ 15]

                                                                                         (27)                     

С другой стороны, вертикальный поток наносов равен .

Учитывая, что у дна , найдём :

                                                                                    (28)                     

Из (26) и (28) найдём :          

                                                                                           (29)

Учитывая, что при      [16]  величина  для i-ой фракции определяется по формуле : , где -динамическая скорость у дна, , ,    -плотность материала наносов, кинематическая вязкость жидкости, -содержание частиц  i- ой фракции в материале дна. Для смеси фракций вертикальное распределение концентрации наносов имеет вид:

   (30)

где      [16]

Найдём расход наносов вдоль и поперёк изобат:

 

 -                                                           (31)

где    ,  распределение концентрации -ой фракции, -скорость гравитационного осаждения  i –ой фракции.

Расчёт индуцируемых  полей  скорости  проводить будем проводить на континентальном склоне Южного берега Крыма между мысами Сарыч  и Аю-Даг, где  ,       , средний уклон  дна равен   , при типичном значении частоты Брента-Вяйсяля глубже главного пикноклина ~ 3 цикл/час  [1],  Коэффициент придонного трения  принимался равным   [15,17], соответствующим наиболее типичным условиям шероховатости морского дна на рассматриваемых масштабах.

Нормирующий множитель А определялся  таким образом, чтобы  максимальная амплитуда горизонтальной скорости равнялась ~0.18 м/с, т.е. А  находилось из соотношения (23). При     максимальное значение    достигается при z=1.8  м. Коэффициент вертикального турбулентного обмена определялся из соотношения (24) при  и составил .  Kоэффициент горизонтального турбулентного обмена выразим через , следуя эмпирической зависимости коэффициента обмена от масштаба явления  [18].



.Частота волны  ,декремент затухания волны равен -, При столь значительном уклоне дна необходим учёт в тангенциальном напряжении гравитационной составляющей, обусловленной наклоном дна в выражении для потока  (27):

,                                  (32)           

 Для алевритовой фракции размером частиц  мм  величина  , критическое тангенциальное напряжение, соответствующее началу движения наносов [19,20]. У фракций   мм величина . Доля частиц указанных размеров составляет в донных осадках континентального склона  [21]. Доля фракций > 0.1 мм не превышает 1% [21,22]. Скорости гравитационного осаждения частиц фракций   находились по формуле Стокса [23] и составили

Донная концентрация взвешенных волной наносов равна (или ) при равномерном распределении рассматриваемых частиц по размерам .

 На  рис. 1,2,3  показаны вертикальные профили индуцированного за счёт нелинейности  компонент скорости среднего  течения ,,. Вертикальное распределение  концентрации наносов, взвешенных волной показано на рис. 4.  Расход  наносов (44)  вдоль и попрёк склона соответственно равен: .

Выводы.

1.       При распространении  придонных топографических  волн при наличии  турбулентной вязкости и диффузии  нелинейные эффекты  проявляются в генерации  средних  на временном масштабе волны полей скорости течения и плотности.

2.       При превышении турбулентного касательного напряжения у дна критического значения волна взмучивает донные осадки, осуществляя их горизонтальный перенос. Расмотренный механизм переноса наносов, по-видимому, является определяющим в поперечном переносе наносов на шельфе и континентальном склоне.

3. Концентрация взвешенной волной алевритовой фракции  (~) быстро убывает с удалением от дна, более мелкие фракции не взвешиваются волной. Расход наносов поперёк склона отрицателен и направлен вниз по склону, расход наносов вдоль изобат также отрицателен и сонаправлен с проекцией горизонтального волнового вектора.
                                         Литература

1.     Блатов А.С., Иванов В.А. Гидрология и гидродинамика шельфовой зоны Чёрного моря.- К.: "Наукова Думка", 1992.-237 с.

2.     Михинов А.Е. Транспорт донных наносов в волновом потоке //  Моделирование гидрофизических процессов в замкнутых водоёмах и морях.-М.:Наука,1989.-С.139-149.

3.  Ястребов В.С., Парамонов А.Н. и др. Исследование придонного слоя буксируемыми аппоратами. М.: изд . ИО АН  СССР, 1989, 128с.

4. Борисенко Ю. Д. , Воронович А.Г. , Леонов А.И. , Миропольский Ю.З.   К теории  нестационарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости  // Изв. АН  СССР  ФАО.- 1976.-т. 12, N 3,- C. 293-301.

5. Grimshow R.  The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion.// Stud. In Appl.  Math.- 1977.- v.56.-p.241-266.

6.     Дворянинов  Г.С. Эффекты волн в пограничных слоях атмосферы и океана.-Киев:  Наукова Думка, 1982.-176 с.

7.     Слепышев А.А.  Процессы  переноса, обусловленные слабонелинейными внутренними  волнами при наличии  турбулентности // Изв. РАН  ФАО, 1997.- № 4, с. 536-548.

8.     Ле Блон  П., Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир,1981,ч.1-478 с.

9.     Brink K.H. A comparision of long coastal trapped waves theory with observation off Peru // J. Phys. Oceanogr.- 1982.-V.12.-No 8.-P. 897-913.

10. Rhines P.  Edge- ,bottom-,and  Rossby waves  in  a  rotating  stratified fluid //  Geophys.  Fluid Dyn.-1970.-V.1-P.273-302.

11. Ou, H.-W.  On the propogation of free topographic Rossby waves near continental margins. Part 1 Analitical  model for a wedge // Journal of Physical  Oceanography.--1980 -Vol. 10.-N  7.- P. 1051-1060.

12.Пантелеев Н.А. Слепышев А.А.  Воздействие мелкомасштабной турбулентности  на придонные топографические волны // Морской гидрофизический журнал.-2000, № 1-С. 3-18

13.Задорожный А.И. Затухание длинных волн  в  экспоненциально стратифицированном  море // Морские гидрофизические исследования .-1975,№3.-С 96-110.

14.   Черкесов Л.В.  Гидродинамика  волн, Киев:  Наукова  Думка.-1980.-259 с.

15. Шапиро Г.И., Аквис Т.М., Пыхов Н.В., Анциферов С.М. Перенос мелкодисперсного осадочного материала мезомасштабными течениями в шельфово-склоновой  зоне  моря  // Океанология.-2000.-Том 40.-№ 3.-С. 333-339.

16.  Анциферов С.М. , Дебольский В.К  Распределение концентрации взвесей в стационарном потоке над размываемым дном.// Водные ресурсы.- 1997.-Том 24.- № 3.-с.270-276.

17. Green O., McCave I.N. Seabed drag coefficient under tidal currents in the  eastern Irish Sea// Journal of Geophysical Research- 1995.-Vol. 100.- № C8.-P. 16057-16069.

18. Озмидов Р.В. Диффузия примесей в океане.-Л.: Гидрометеоиздат.-1986.-280 с.

 19. Uncles R.J., Stephens J.A. Distribution of suspended  sediment at high  water in a macrotidal estuary // J.Geophys. Res.-1989.-V.94.-P.14395-14405.

20. Van Rijn L. Principles of sediment  transport in rivers, estuaries and coastal seas. Aqual Publ.-1993.-720 p.

21. Щербаков Ф.А, Куприн П.Н., Потапова Л.И., Поляков А.С., Забелина Э.К., Сорокин В.М. Осадконакопление на континентальной окраине Чёрного моря.-М.: Наука,1978.-210с.

22. Айтбулатов Н.А.   Динамика твёрдого вещества в шельфовой зоне.Л.: Гидрометеоиздат, 1990.-271с.

23. Шамов Г.И. Речные наносы.-Л.: Гидрометеоиздат,1959.-378с.

 
УДК 551.466.8
     

                                         А Н Н О Т А Ц И Я

К статье Слепышева А.А. "Транспортные свойства придонных топографических волн на шельфе и континентальном склоне."
В  приближении Буссинеска для захваченных наклонным дном топографических волн определены средние течения, индуцированные волной  за счёт нелинейности

при наличии стока энергии волны    в турбулентность для  плоского склона произвольной ориентации. В диффузионном приближении находится вертикальное распределение концентрации наносов, взвешенных волной . Определяется расход наносов вдоль и поперёк изобат.
                                             

                                                                 Ответ

рецензенту статьи Слепышева А.А.  « Транспортные свойства придонных топографических волн  на шельфе и континентальном склоне»

   

       Автор  доработал статью в соответствии с  замечаниями рецензента. Первая часть статьи сокращена, в частности , Приложение , на которое есть ссылка в первой части статьи , убрано, т. к. предложенный метод аналитического решения системы дифференциалных уравнений общеизвестен.
        5.03.2002 г.                                                                     А.А. Слепышев     
Редакции журнала

«Физика атмосферы и океана»

Пыжевский пер., д.3

Москва, Ж-17, 109017

   Россия
                                  Глубокоуважаемая редакция !

        Высылаю два доработанных и один первоначальный варианты статьи

Слепышева А.А.  «Транспортные свойства придонных топографических волн на шельфе и континентальном склоне». Статья доработана в соответствии    с замечанием рецензента, в частности, сокращена первая часть статьи и Приложение, на которое есть ссылка в первой части статьи.

Сведения об авторе:

Слепышев Александр Алексеевич- старший научный сотрудник отдела турбулентности Морского гидрофизического института НАН Украины , кандидат физ.-мат.  наук,  тел.   0692(код)   42-83-88 (домашний),

Черноморский  филиал    МГУ им.  М.В. Ломоносова, доцент. 
5.03.2002 г.                                                                          А.А. Слепышев