Реферат Сопромат 2

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 26.11.2024

Рис. 3.1 Рис. 3.2

                                 (3.3)

        Величины а и b можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы выполнялись следующие равенства:

                 b×F = S_x;     a×F = S_y
,                                          (3.4)

тогда статические моменты .

        Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С(x
_C, y
_C) пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (x, y) и определяется из (3.4):

                       .                   (3.5)

        Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) с общей площадью F. Обозначим через F_k (k
= 1,2,3,...,n) площадь k-ой области, принадлежащей к составному сечению бруса. Тогда выражение (3.1) можно преобразовать в следующем виде:

,        (3.6)

где - статические моменты k-той области относительно осей x и y. Следовательно, статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

3.2. Моменты инерции сечения

Рис. 3.3

        В дополнение к статическим моментам в системе координат x0y (рис. 3.1)рассмотрим три интегральных выражения:

           (3.7)

        Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.

        Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 3.3), формулы (3.7) по аналогии с (3.6) будут иметь вид:

        Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 3.2). Преобразуя формулы (3.7) с учетом выражения (3.2), получим :

                                  (3.8)

        Если предположить, что оси x₁ и y₁ (см. рис. 3.2) являются центральными, тогда и выражения (3.8) упрощаются и принимают вид:

         (3.9)

Рис. 3.4

Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y, проходящих через его центр тяжести (рис. 3.4). В качестве элементарной площадки dF возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 3.4). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом можно установить, что .

Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 3.5, а), вводится также полярный момент инерции:

.

где r - радиус-вектор точки тела в заданной полярной системе координат.

Рис. 3.5

        Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 3.5, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью

dF = rdrdj.

        Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием:

.

        Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 3.5, б), что

r²= x²+ y²,

следовательно,

.

        Так как оси x и y для круга равнозначны, то I_x

= I
_y
= .

        Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):

.

3.3. Главные оси и главные моменты инерции

        Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что

u = ysina + xcosa;     v = ycosa - xsina.                              (3.10)

        Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

                             (3.11)

        Складывая первые два уравнения, получим:

                             I
_u + I_v = I_x + I_y = I_r,                                               (3.12)

где ; I_r - полярный момент инерции сечения, величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

        Дифференцируя в (3.11) выражение I_u по a и приравнивая его нулю, находим значение a = a₀, при котором функция I_u принимает экстремальное значение:

                             .                                    (3.13)

        С учетом (3.12) можно утверждать, что при a = a₀один из осевых моментов I_u или I_v будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a = a₀  I_u
_v обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

        Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:

             .                       (3.14)

        В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x и y - i_x и i_y
, соответственно, которые определяются по формулам:

                             .                               (3.15)

3.4. Пример расчета (задача № 3)

        Для сечения, составленного из швеллера №20 а, равнобокого уголка (80´80´8)×10^-9 м³и полосы (180´10)×10^-6 м² (рис. 3.6) требуется:

        1. Найти общую площадь сечения;

        2. Определить центр тяжести составного сечения;

        3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести;

        4. Найти положение главных центральных осей инерции;

        5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления;

        6. Вычислить величины главных радиусов инерции.

Рис. 3.6
   Решение

        Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение.        Швеллер № 20 а (ГОСТ 8240-72): h_шв = 0,2 м, b_шв= 0,08 м, F_шв=25,2×10^-4м², =1670×10^-8м⁴, =139×10^-8м⁴, =0,0228м.

        Уголок (80´80´8)×10^-9м³(ГОСТ 8509-72): b_уг = 0,08 м, F_уг = = 12,3×10^-4м², = 73,4×10^-⁸м⁴, = 116×10^-⁸м⁴, =30,3×10^-8м⁴, = 0,0227 м.

Полоса b
_П×d_П = 18×1×10^-4м², F_П = b
_П×d_П = 18×1×10^-4м² = 18×10^-4м²;

м⁴, = 486×10^-⁸ м⁴.

        1. Определение общей площади составного сечения. Общая площадь составного сечения определяется по формуле:

F = F_шв + F_уг + F_П,     F = (25,2 + 12,3+18)×10^-4 = 55,5×10^-4 м².

        2. Определить центр тяжести составного сечения. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси x_шв и y_шв, проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:

        Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:

        3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести. Для определения указанных моментов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выражающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

                                        (3.16)

                         (3.17)

        (3.18)

        В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (рис. 3.6), в рассматриваемом случае будут равны:





        Подставив числовые значения величин в формулы (3.16) и (3.17), получим:

=[1670+25,2(-1,7)²+73,4+12,3(-9,43)²+1,5+18×(8,8)²]×10^-⁸=            =4305,4×10^-8м⁴.

=[139+25,2(1,42)²+73,4+12,3(-3,13)²+486+18(0,14)²)×10^-⁸==870,1×10^-8м⁴.

        При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что и равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а

,

где a - угол между осью x и главной осью x₀ уголка. Этот угол может быть положительным или отрицательным. В нашем примере a = +45°, поэтому:

        Далее, подставив числовые значения в формулу (3.18), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:

= [0+25,2×(-1,7)×1,42+42,85+12,3×(-9,43)(-3,13)+0+

           +18×8,8×0,14]×10^-⁸= 367,2×10^-8 м⁴.

        4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции x
_C и y
_C определим по формуле:

.

Так как угол a получился отрицательным, то для отыскания положения главной оси максимального момента инерции u следует ось x₀, осевой момент инерции относительно которой имеет наибольшее значение, повернуть на угол a по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендикулярна оси u.

        5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:

        Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки.

1-ая проверка:           I_max+ I_min== const;

I_max+ I_min= (4344,55+830,95)×10^-8=(5175,5)×10^-8 м⁴;

= (4305,4+870,1)×10^-8= (5175,5)×10^-8м⁴.

2-ая проверка:       I_max>>> 0;

4344,55 ×10^-8> 4305,4×10^-8> 870,1×10^-8> 830,95×10^-8 м⁴.

        Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычисления моментов инерции составного сечения.

        6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам:

4. КРУЧЕНИЕ

4.1. Кручение бруса с круглым поперечным
сечением

        Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. N_z
, Q_x
, Q_y
, M_x
, M_y
равны нулю.

        Для крутящего момента, независимо от формы поперечного сечения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент M_z
направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

        При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемещения сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

        Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.

Рис. 4.1

        Для построения эпюры крутящих моментов M_z
применим традиционный метод сечений - на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SM
_z
= 0, получим:

M
_z = M.                                                                (4.1)

        Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сделать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала -крутящий момент M_z
в данном случае постоянен по всей длине бруса.

        Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r+dr выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол g и займет положение АВ¢. Дуга BВ¢ равна с одной стороны, rdj, а с другой стороны - gd
z. Следовательно,

.                                                         (4.2)

        Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол g представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений t, вызванных действием крутящего момента. Обозначая

,                                                           (4.3)

где Q - относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина Q аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатии стержня.

        Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

g = rQ.                                                                (4.4)

        Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

t = GQr,                                                            (4.5)

где t - касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях - в осевых сечениях.       Величину крутящего момента M_z можно определить через t с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от действия касательных напряжений t на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM = trdF.

Рис. 4.2

        Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

.                    (4.6)

        Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

        . (4.7)

        Откуда

                .                           (4.8)

        Величина G
I_r называется жесткостью бруса при кручении.

        Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

          .                                             (4.9)

        Если крутящий момент M_z и жесткость G
I_r по длине бруса постоянны, то из (4.9) получим:

,                                             (4.10)

где j(0) - угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

        Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим:

        t(r)=.                                                    (4.11)

        Величина называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом R. Определяется эта величина из следующих соображений:

                   (4.12)

        Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость радиусом r = , то для кольца

             ,                          (4.13)

где с = .

4.2. Кручение бруса с некруглым
поперечным сечением

        Определение напряжений в брусе с некруглым поперечным сечением представляет собой сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого поперечного сечения упрощающая гипотеза плоских сечений, оказывается неприемлимой. В данном случае поперечные сечения существенно искривляются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений.

        Таким образом, при определении углов сдвига, в данном случае, необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но и деформации сечений в своей плоскости, связанная с искривлением сечений.

        Задача резко усложняется тем, что для некруглого сечения, напряжения должны определяться как функции уже не одного независимого переменного r, а двух - x и y.

        Отметим некоторые особенности законов распределения напряжений в поперечных сечениях некруглой формы. Если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения должны обращаться в нуль. Если наружная поверхность бруса при кручении свободна, то касательные напряжения в поперечном сечении, направленные по нормали к контуру также будут равны нулю.

Рис. 4.3

        На рис. 4.3 показана, полученная методом теории упругости, эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видно, напряжения равны нулю, а наибольшие их значения возникают по серединам больших сторон:

в точке А                    t_A= t_max=,    (4.14)

где W_К= bb³ - аналог полярного момента сопротивления поперечного сечения прямоугольного бруса;

в точке В               t_B= ht_max,           (4.15)

здесь необходимо учесть, что b-малая сторона прямоугольника.

        Значения угла закручивания определяется по формуле:

                          ,                                   (4.16)

где I_K = ab⁴ - аналог полярного момента инерции поперечного сечения бруса.

        Коэффициенты a, b и h зависят от отношения сторон m = h/b, и их значения приведены в табл. 3.

Таблица 3

m	1	1,5	2,0	3,0	6,0	10
a	0,141	0,294	0,457	0,790	1,789	3,123
b	0,208	0,346	0,493	0,801	1,789	3,123
h	1,000	0,859	0,795	0,753	0,743	0,742

        Геометрические характеристикинаиболее представительных форм сечений обобщены в табл. 4.

4.3. Пример расчета (задача № 4)

        Стальной валик переменного сечения, испытывающего кручение, закручивается крутящими моментами, действующими в двух крайних и двух пролетных сечениях. Расчетная схема валика, ее геометрические размеры, величины и точки приложения внешних крутящих моментов указаны на рис. 4.4, а.

   Требуется:

        1. Построить эпюру крутящих моментов;

        2. Найти допускаемую величину момента М;

        3. Построить эпюры касательных напряжений по сечениям вала, отметив на сечениях опасные точки;

        4. Построить эпюру углов закручивания;

        Модуль упругости при сдвиге материала вала G = 8×10⁷кН/м². Расчетное сопротивление материала вала срезу R_C = 10⁵ кН/м².

   Решение

1.     Построить эпюру крутящих моментов
. Для определения величины крутящих моментов используется метод сечений. Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, а) для I участка (0 £ z £ 0,5 м):

    откуда    .

        Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, б) для участка II (0,5 м £ £ z £ 1,0 м):

    откуда    .

        Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, в) для участка III (1,0 м £ £ z £ 1,8 м):

    откуда    .

        По полученным данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.4, б).

        2. Найти допускаемую величину момента М. Допускаемая величина момента М_P определяется из условия прочности:

.

Рис. 4.4

Сначала определим моменты сопротивления сечения валика для каждого участка.

I участок (трубчатое сечение) согласно (4.13):

где ;

м³.

II участок (круглое сечение):

Рис. 4.5

м³.
III участок (прямоугольное сечение):

,

где b - коэффициент, зависящий от отношения сторон прямоугольного сечения h
/
b (h
> b). В данном случае , тогда

м³.

        Подсчитаем теперь напряжения по участкам в зависимости от момента М:

.

        Из сравнения результатов видно, что наиболее напряженным является участок II, поэтому допускаемая величина момента [M] определяется из зависимости:



откуда

                       кН×м.

        4. Построить эпюры касательных напряжений по сечениям вала, отметив на сечениях опасные точки. Касательные напряжения в точках поперечного сечения валика определяются по формулам:

для круглого сечения                        при , t;

для трубчатого сечения    при ,               t;

для прямоугольного сечения (в середине большей стороны) и t₁ = gt_max (в середине меньшей стороны).

        Подсчитаем моменты инерции сечений валика относительно центра их кручения.

Участок I (трубчатое сечение):

м⁴.

Участок II (круглое сечение):

м⁴.

Участок III (прямоугольное сечение):

м⁴,

где a = 0,243 при h/b = 1/33.

        Определим значения напряжений в характерных точках сечений.

Участок I (0
£
z
£
0,5 м):

при кН/м² = 77,5 МПа;

при кН/м² =97,0МПа.

Участок II ( 0,5 м
£
z
£
1,5 м):

при

при кН/м² = 100,0 Мпа.

Участок III (1,0 м
£
z
£
1,8 м): в середине большей стороны

кН/м²= 86,8 МПа,

в середине меньшей стороны

t₃= gt_max= 0,906×86,7 = 78,6 МПа.

где g = 0,906 при h/b = 1,33.

        По полученным данным строятся эпюры напряжений, приведенные на рис. 4.6.

        4. Построить эпюру углов закручивания. Угол закручивания на i-ом участке вала в соответствии с (4.10) определяется:

,

где-угол закручивания на правом конце (i-1)-го участка (для первого участка - начальный угол закручивания вала); l_i - координата начала i-го участка.

Рис. 4.6

Так как, в данном случае в пределах каждого из трех участков крутящие моменты и жесткости на кручение GI_r постоянны, то эпюры углов закручивания на каждом из участков будут линейны. В связи с этим, достаточно подсчитать их значения лишь на границах участков. Приняв, что левый конец вала защемлен от поворота, т.е. j(0) = 0, получим:

рад;

рад;

рад.

По полученным данным строим эпюру углов закручивания j (рис. 4.4, в). Сравнивая эпюры t и j, можно отметить очевидную закономерность их изменения по оси z, вытекающую из расчетных формул.

Bukvasha