Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения

 

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z₀ этой области представляется в виде степенного ряда:
(1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z₀ до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

(2)

где - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z₀ (в частности, - окружность ), или по формуле:

(3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z₀ до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

     

Основные разложения.

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);





Пример 1. Записать разложение по степеням z функции f (z) = ch z.

Найдем производные функции:
f ⁽ⁿ⁾ (z) = ch⁽ⁿ⁾ z = ch z при n = 2k,
f ⁽ⁿ⁾ (z) = ch⁽ⁿ⁾ z = sh z при n = 2k-1.

В данном примере z₀ = 0. По формуле (3) имеем:
C_n = 0 при n = 2k; C_n = 1/n! при n = 2k-1;
.

Так как ch z - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:
(z принадлежит области действительных чисел).



Пример 2. Разложить по степеням (z-3) функцию f(z) = sin z.

Обозначим z-3 = t. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t) = sin3 cos t+cos3 sin t.

Используя основные разложения, имеем:



Так как t = z-3, то   



т.е.   

где       



Пример 3. Разложить по степеням z функцию   

Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:


Раскладываем элементарные дроби по степеням z:







Для исходной дроби получаем разложение:



или, складывая ряды:



Окончательный ответ:



Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце
r < | z - z₀ | < R,   
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
         (1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z₀; в частности,
- окружность  

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями  называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
 или  

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
 где  
r  -  радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Пример 1. Разложить функцию    в ряд Лорана по степеням z.

Решение. Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z₁ = -1 и z₂ = 3. Запишем функцию в виде


Кольца аналитичности | z | < 1, 1 < | z | < 3, | z | > 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:


При | z | < 1 имеем:



Таким образом, в круге | z | < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:


В кольце 1 < | z | < 3:



В итоге имеем:  

В круге | z | > 3:  
     

В итоге имеем:  



Пример 2. Разложить функцию f(z) = z³·e^1/z в окрестности точки z₀ = 0.

Решение. Из основного разложения    получаем





или


Вычет функции ~ Вычисление вычетов

 

Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z₀ (точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида:

где - контур, принадлежащий окрестности точки z₀ и охватывающий ее. Обход контура - положительный, т.е. область ограниченная им и принадлежащая окрестности z₀ при обходе расположена слева: обход против часовой стрелки.

Обозначается вычет                             

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С_-1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z-z₀) для z₀, принадлежащей области комплексных чисел:                       

 

ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.

 

Если конечная особая точка z₀ является устранимой особой точкой функции f(z), то 

 

ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.

 

Если z₀ - полюс порядка n функции f(z), z₀ принадлежит области комплексных чисел, то




 

ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.

Если z₀ - простой полюс функции   ,
где аналитические функции в точке z₀ и ,
то  

 

ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.

 

Если z₀ - существенно особая точка функции f(z), то вычет в ней находится, исходя из определения, т.е. как С_-1 - коэффициент в разложении f(z) в ряд Лорана в окрестности z₀.

 

ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.

Пример 1. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z²-2z-3) в точке z = 3.

Решение.

Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:


Из этого разложения находим  

Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс.



Пример 2. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,  

Решение.

Запишем  

т.е. z = 0 - устранимая особая точка. Следовательно,  

Пример 3. Вычислить вычет функции  

Так как   то z = 0 для f(z) - полюс второго порядка. Следовательно,  






Пример 4. Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках.

Решение.

В точках    данная функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы), поскольку

 



Следовательно,




Пример 5. Вычислить вычет функции  

Решение.

Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z = 1:


Из этого разложения следует, что z = 1 является существенной особой точкой и
С _-1 = 3/2, т.е.  

Теорема о вычетах ~ Примеры

Теорема (Основная теорема о вычетах).

Если функция f(z - аналитична в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство

где D - односвязная область в комплексной плоскости,   - граница D,
- вычет функции f(z) в точке z_k.

 

ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

 

ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

 

ПРИМЕР 3. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

Пример 1. Вычислить интеграл  

 


Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z) - i = 0, т.е. точки  

Кругу принадлежит только одна из этих точек, точка  

Эта точка - простой полюс функции   , т.к. она является простым нулем знаменателя.

Вычислим вычет в простом полюсе f (z):



Тогда



Пример 2. Вычислить интеграл  

 


Решение. Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z = 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.

Вычислим вычет в существенно особой точке функции f (z):   поскольку





Тогда



Пример 3. Вычислить интеграл  

 


Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения z⁴ + 1 = 0, т.е. точки  

Все эти точки - простые полюсы подынтегральной функции, кругу      принадлежат только две из них:      и  

Вычислим вычеты f(z) в этих точках:



Тогда