Реферат Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 25.11.2024

Гипероглавление:
Раздел 1 «Прогнозирование на основе стационарного временного ряда»
2. Отобразим исходные данные на рис.1:
3. Анализ методом коэффициента Кендэла:
4. Прогнозирование стационарного процесса:
2. Отобразим исходные данные на рис.2:
3. Сглаживание исходных данных методом скользящей средней:
4. Анализ методом Фостера-Стюарта:
5. Анализ методом коэффициента Кендэла:
6. Определение параметров линейного тренда методом усреднения по левой и правой половине ряда:
7. Определение параметров линейного тренда методом наименьших квадратов:
8. Определение параметров нелинейной трендовой модели:
9. Рассчитаем параметры для показательного тренда:
10.Сравним линейный и выбранный нелинейный – показательный тренды:
11. Сравнение трендовых моделей с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений:
12. Оценка адекватности выбранной трендовой модели:
13. Прогнозирование на основе трендовой модели:
13.1 Точечный прогноз:
Раздел 3 «Прогнозирование на основе сезонного цикла временного ряда»
2. Отобразим исходные данные на рис.8:
3. Анализ методом коэффициента Кендэла:
4.Сезонное прогнозирование:
Раздел 4 «Прогнозирование с помощью метода экспоненциального сглаживания»
2. Отобразим исходные данные на рис.9:
3. Метод экспоненциального сглаживания:
4.Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕКСТИЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени А.Н. Косыгина»
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

по курсу

«Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка»
группа 15в/04
Вариант 23

Выполнила	____________________	Т.В. Матюнина
Проверил	____________________	конд. экон. наук, доц. А.В. Станкевич

Москва 2009

Содержание
Задание №1. «Прогнозирование на основе стационарного временного ряда». 3

Оценка временного ряда на наличие в нем тенденции. 3

Визуальный анализ. 3

Анализ методом коэффициента Кендэла. 4

Прогнозирование стационарного процесса. 5

Задание №2. «Прогнозирование на основе тренда временного ряда». 7

Оценка временного ряда на наличие в нем тенденции. 8

Визуальный анализ. 9

Анализ методом Фостера-Стюарта. 10

Анализ методом коэффициента Кендэла. 13

Выбор трендовой модели. 15

Определение параметров линейной трендовой модели. 15

Метод усреднения по левой и правой половине данных. 15

Метод наименьших квадратов (МНК) 16

Определение параметров нелинейной трендовой модели. 19

Оценка адекватности выбранной трендовой модели. 26

Прогнозирование на основе трендовой модели. 33

Точечный прогноз. 33

Интервальный прогноз. 33

Задание №3. «Прогнозирование на основе сезонного цикла временного ряда». 35

Оценка временного ряда на наличие в нем тенденции. 35

Визуальный анализ. 35

Анализ методом коэффициента Кендэла. 37

Сезонное прогнозирование. 39

Задание №4. «Прогнозирование с помощью метода экспоненциального сглаживания». 49

Метод экспоненциального сглаживания. 50

Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений. 53

Раздел 1 «Прогнозирование на основе стационарного временного ряда»

Исходные данные для Варианта №23:

1. Таблица с исходными данными:

Таблица 1. Оборот овощной палатки за последнюю декаду

t	*y_t*
1	8,7
2	10,0
3	10,3
4	10,1
5	10,4
6	9,1
7	9,4
8	9,2
9	9,9
10	9,7

2. Отобразим исходные данные на рис.1:

На основе визуального анализа со средней вероятностью можно сделать вывод: во временном ряду отсутствует тенденция среднего уровня ряда.

3. Анализ методом коэффициента Кендэла:

Оценим наличие тенденции среднего уровня ряда в исходных данных, с помощью коэффициента Кендэла. Отобразим расчет в таблице 2.

Таблица 2

t	*Y_t*	P _t
1	8,7	-
2	10,0	1
3	10,3	2
4	10,1	2
5	10,4	4
6	9,1	1
7	9,4	2
8	9,2	2
9	9,9	4
10	9,7	4
*Итого*	-	22

Рассчитаем число случаев превышения текущим уровнем ряда предыдущих ему уровней ряда. Первый уровень ряда у₁=8,7 не с чем сравнить (нет предыдущих уровней ряда), поэтому в графе 3 поставим прочерк. Второй уровень ряда у₂=10,0 больше предыдущего у₁=8,7 и к тому же он всего один, поэтому в графе 3 ставим 1. Третий уровень у₃=10,3 больше у₂=10,0 и у₁=8,7, поэтому в графе 3 ставим 2. Четвертый уровень у₄=10,1 меньше у₃=10,3, но больше у₂=10,0 и у₁=8,7, поэтому в графе 3 ставим 2… Аналогичным образом определим число таких случаев и для остальных уровней ряда.

Подведя итог по графе P_t, найдем общее число случаев, когда текущий уровень ряда больше предыдущих по формуле :

Р=Σ Рt=1+2+2+4+1+2+2+4+4=22.

                                  (1)

Определим расчетное значение коэффициента Кендэла по формуле:

                                              (2)

Рассчитаем теоретическую дисперсию по формуле:

(3)

Для оценки наличия в ряде тенденции среднего уровня ряда выберем вероятность, равную 0,95 (95%). С учетом выбранной вероятности коэффициент доверия t=1,96.

Сопоставим расчетное и теоретическое значения коэффициента Кендэла. При сопоставлении может возникнуть три варианта:

Первый вариант, когда с вероятностью t во временном ряде нет тренда;

(4)

- соотношение выполняется

Второй вариант, когда с вероятностью t во временном ряде есть убывающая тенденция среднего уровня ряда;

(5)

Третий вариант, когда с вероятностью – t во временном ряде есть возрастающая тенденция среднего уровня ряда.

(6)

Из трех вариантов мы выбираем первый, поскольку только в нем выполняется необходимое соотношение расчетного и теоретического значений коэффициента Кендэла

Из установленного соотношения следует, что с вероятностью 95% во временном ряде отсутствует тенденция среднего уровня ряда.

На основе ранее полученных частных выводов, можно сделать обобщенный вывод: с высокой вероятностью 95% во временном ряде отсутствует тенденция среднего уровня ряда. С учетом обобщенного вывода можно считать, что временный ряд является стационарным временным рядом или стационарным процессом.

4. Прогнозирование стационарного процесса:

Исходя из ранее произведенных анализов, выяснилось, что временной ряд является стационарным. При нахождении прогноза по такому временному ряду вначале определяется точечный прогноз, а затем уже – интервальный.

Определим точечный и интервальный прогнозы оборота овощной палатки на следующий (одиннадцатый) уровень ряда.

Для простоты расчетов воспользуемся таблицей 3.

Таблица 3

t	*y_t*
1	2	3	4
1	8,7	-0,98	0,9604
2	10,0	0,32	0,1024
3	10,3	0,62	0,3844
4	10,1	0,42	0,1764
5	10,4	0,72	0,5184
6	9,1	-0,58	0,3364
7	9,4	-0,28	0,0784
8	9,2	-0,48	0,2304
9	9,9	0,22	0,0484
10	9,7	0,02	0,0004
*Итого:*	*96,8*		2,836

Для расчета дисперсии ряда при определении интервального прогноза понадобиться разница между у_t
и

. Рассчитаем эту разницу для каждого уровня ряда и занесем в соответствующие строки графы 3. В графе 4 возведем выражение

каждого ряда в квадрат.

Определим точечный прогноз по формуле:

                                           (7)

         Перед определением интервального прогноза рассчитаем дисперсию ряда по формуле:

(8)

Для того чтобы найти интервальный прогноз нам необходимо узнать значение t_γ. Для этого выбираем уровень значимости, равный 0,05, т.е. а=0,05. Отсюда доверительная вероятность γ=1−а γ=1–0,05=0,95. Определим число степеней свободы k=n–1 k=10–1=9. Зная доверительную вероятность и число степеней свободы по приложению 2 (2, стр. 70), найдем табличное значение t
_γ. Оно будет равно 2,262.

Найдем интервальный прогноз по формуле:

(9)

Отсюда верхняя граница интервального прогноза 10,082 (9,68+0,402), а нижняя – 9,278 (9,68–0,402).

Таким образом, с вероятностью 95% прогнозный оборот овощной палатки на следующую декаду будет лежать между 10,082 и 9,278.

Раздел 2 «Прогнозирование на основе тренда временного ряда»
Исходные данные для Варианта №23:

1. Таблица с исходными данными:

Таблица 4. Ежедневный оборот магазина «Ткани для дома»

t	*y_t*
1	10,2
2	10,8
3	10,4
4	11,9
5	12,2
6	12,5
7	13,1
8	12,4
9	13,6
10	14,3
11	14,9
12	13,8

2. Отобразим исходные данные на рис.2:

На основе визуального анализа со средней вероятностью можно сделать вывод: во временном ряду присутствует тенденция в виде тренда, и он имеет линейный характер.

3. Сглаживание исходных данных методом скользящей средней:

Чтобы полученная визуальная оценка была более убедительной и наглядной, осуществим сглаживание временного ряда с помощью метода скользящей средней с интервалом сглаживания, равным трем. Рассчитаем сглаженные уровни ряда по формуле:

                                                                                       (10)

Так, первый сглаженный уровень ряда:

Аналогично рассчитаем остальные сглаженные уровни ряда:




Результаты расчетов внесем в таблицу 5:

           Таблица 5

t

y_t

y^’_t

1

10,2

-

2

10,8

10,47

3

10,4

11,03

4

11,9

11,50

5

12,2

12,20

6

12,5

12,60

7

13,1

12,67

8

12,4

13,03

9

13,6

13,43

10

14,3

14,27

11

14,9

14,33

12

13,8

-

И построим график сглаженного ряда на рис. 3:

На основе визуального анализа сглаженного временного ряда с высокой вероятностью можно сделать вывод: во временном ряду присутствует тенденция в виде тренда, и он имеет линейный характер.

4. Анализ методом Фостера-Стюарта:

Оценим данные, приведенные в таблице 5, с помощью метода Фостера–Стюарта с точки зрения наличия в них тенденции среднего уровня ряда и дисперсии. Расчет проведем с помощью таблицы 6.

Таблица 6

t

y_t

u_t

l_t

S_t

D_t

1

2

3

4

5

6

1

10,2

-

-

-

-

2

10,8

1

0

1

1

3

10,4

0

0

0

0

4

11,9

1

0

1

1

5

12,2

1

0

1

1

6

12,5

1

0

1

1

7

13,1

1

0

1

1

8

12,4

0

0

0

0

9

13,6

1

0

1

1

10

14,3

1

0

1

1

11

14,9

1

0

1

1

12

13,8

0

0

0

0

Итого

-

-

-

8

8

Для реализации этого метода вначале определим u_tиl_t
по следующим условиям :

                     в графе 3 определим u_t.

Так как для у₁=10,2 нет предыдущего уровня у₀, то в графе 3 поставим прочерк. Сравниваем у₂=10,8 со всеми предыдущими уровнями ряда. Он всего один − у₁=10,2. Поскольку у₂>y₁, постольку в графе 3 ставим 1. Сравниваем у₃=10,4 со всеми предыдущими уровнями ряда (у₂=10,8; у₁=10,2). Так как у₃ меньше хотя бы одного из предыдущих, а именно у_2, то в графе 3 ставим 0. Сравниваем у₄=11,9 со всеми предыдущими уровнями ряда (у₃=10,4; у₂=10,8; у₁=10,2). Он больше у₁, у₂и у₃, поэтому в графе 3 ставим 1. Аналогично проводится сравнение и других уровней ряда.

                             для графы 4 определим l_t
.

         Расчет проводится так же как и для графы 3, но с обратным условием: текущий уровень ряда у_t должен быть меньше всех предыдущих уровней:

Для у₁нет предыдущего уровня, значит в графе 3 ставим прочерк;

Для у₂– ставим 0 (у_2> у₁);

Для у₃– ставим 0 (у_3<у_2;у₃_> у₁);

Для у₄– ставим 0 (у₄_> у_1,у_3,у₂);

Для у₅– ставим 0 (у_5> у_4,у_3, у_1, у_2,);

Для у₆– ставим 0 (у_6> у_4,у_5,у_3, у_2, у₁);

Для у₇– ставим 0 (у₇_> у_1,у_2, у_3,у_4,у_5, у₆);

Для у₈– ставим 0 (у_8> у_5,у_4,у_3, у_2, у_1;у_8<у_7,у_6,);

Для у₉– ставим 0 (у_9> у_8,у_7,у_6,у_4,у_5,у_3,у_2, у₁);

Для у₁₀– ставим 0 (у₁₀_> у_9,у_8,у_6,у_5,у_3,у_2,у_1,у_7, у₄);

Для у₁₁– ставим 0 (у₁₁_> у_10,у_9,у_8,у_7,у_6,у_5,у_4, у_3;у_2,у₁);

Для у₁₂– ставим 0 (у_12< у_11,у_10;у₁₂_>у_9,у_8,у_7,у_6,у_5, у_4, у_3,у_2, у₁);

Затем, на основе величин u_tиl_t
, для графы 5 определим величину S по формуле:

                                        S=ΣS_t,    где S_t= u_t+l_t ;                                         (11)

Для t=1 в графе 5 поставим прочерк. Рассчитаем величну S для t=2:


S
₂
=
u
₂+l
₂=1+0=1

Для t=2 в графе 5 поставим 1. Для остальных уровней ряда проводится аналогичные расчеты. Результаты заносятся в графу 5 таблицы 6.

Затем найдем итоговую сумму по графе 5:


S
=

ΣS_t
=1+0+1+1+1+1+0+1+1+1+0=8                            (12)

         Для графы 6 по формуле:


D=ΣD_t,   где D_t= u_t– l_t                                      (13)

D_t для t=1 в графе 6 ставим прочерк. Найдем значения D_t
для t
=2:

D
₂
=
u
₂– l
₂
=1-0=1

в графе 6 ставим 1. Для остальных уровней ряда проводится аналогичные расчеты. Результаты заносятся в графу 6 таблицы 6.

         Затем найдем итоговую сумму по графе 6:


D
=
ΣD_t
=1+0+1+1+1+1+0+1+1+1+0=8                             (14)



Выдвинем нулевую гипотезу: во временном ряде нет тенденции среднего уровня и нет тенденции дисперсии.

         Проверим выдвинутую нулевую гипотезу по формулам:

                                                     , ,                                       (15)

Найдем значения μ, σ₁,σ_2.В приложении 1 (2, стр. 70) приведены данные для n=10 и для n=15, а нам надо найти данные для n=12.

Найдем μ для n=12 следующим образом. Значение μ для n=10 равно 3,858, для n=15 равно 4,363. Увеличение μ при изменении n на 2 шага найдем следующим образом:

                                                 (16)

Отсюда μ(12)=μ(10)+Δμ=3,858+0,311=4,169

         Найдем σ_1.Значение σ₁для n=10 равно 1,288, для n=15 равно 1,521. Увеличение σ₁ при изменении n на 2 шага найдем следующим образом:

                                                      (17)

         Отсюда σ₁ (12)= σ₁ (10)+Δ σ₁=1,288+0,093=1,381.

         Найдем σ_2.Значение σ₂для n=10 равно 1,964, для n=15 равно 2,153. Увеличение σ₂ при изменении n на 2 шага найдем следующим образом:

                                                     (18)

Отсюда σ₂ (12)= σ₂ (10)+Δ σ₂=1,964+0,076=2,040

Найдем значения t₁и t₂:



         Найдем табличное значение t_γ. Для этого зададимся уровнем значимости, например а=0,05 (это стандартная величина). Затем определим доверительную вероятность γ=1– а=1– 0,05=0,95 и число степеней свободы k
=
n
– 1=12 –1=11. Относительно найденных значений γ и k по приложение 2 (2, стр. 70) найдем табличное значение t_γ - оно равно 2,201.

         Сопоставим значения t₁и t₂ с t_γ:

Поскольку |t₁=2,77|>|t_γ=2,201|, гипотеза отвергается, следовательно, во временном ряде имеет место тенденция дисперсии.

Поскольку |t₂=3,92|>|t_γ=2,201|, гипотеза отвергается, следовательно, во временном ряде имеет место тенденция среднего уровня.
         На основе сопоставлений с выбранной вероятностью 95% можно утверждать, что во временном ряде присутствуют тенденция дисперсии и тенденция среднего уровня.

5. Анализ методом коэффициента Кендэла:

Оценим наличие тенденции среднего уровня ряда в исходных данных, с помощью коэффициента Кендэла. Расчет проведем с помощью данных таблицы 4, а результаты расчета приведем в таблице 7.

Таблица 7

t	*y_t*	P _t
1	10,2	-
2	10,8	1
3	10,4	1
4	11,9	3
5	12,2	4
6	12,5	5
7	13,1	6
8	12,4	5
9	13,6	8
10	14,3	9
11	14,9	10
12	13,8	9
Итого	-	61

Рассчитаем число случаев превышения текущим уровнем ряда предыдущих ему уровней ряда.

Первый уровень ряда у₁=10,2 не с чем сравнить (нет предыдущих уровней ряда), поэтому в графе 3 поставим прочерк. Второй уровень ряда у₂=10,8 больше предыдущего у₁=10,2, поэтому в графе 3 ставим 1. Третий уровень у₃=10,4 больше у₁=10,2 и меньше у₂=10,8), поэтому в графе 3 ставим 1. Четвертый уровень у₄=11,9 больше у₃=10,4, у₁=10,2, у₂=10,8, поэтому в графе 3 ставим 3.

Аналогичным образом определим число таких случаев и для остальных уровней ряда.

Подведя итог по графе 3, найдем общее число случаев, когда текущий уровень ряда больше предыдущих по формуле (1):

Р
=Σ Р
_t
=1+1+3+4+5+6+5+8+9+10+9=61.

Определим расчетное значение коэффициента Кендэла по формуле (2):

Рассчитаем теоретическую дисперсию по формуле (3):

Для оценки наличия в ряде тенденции среднего уровня ряда выберем вероятность, равную 0,95 (95%). С учетом выбранной вероятности коэффициент доверия t=1,96,

Сопоставим расчетное и теоретическое значения коэффициента Кендэла. При сопоставлении может возникнуть три варианта.

Первый вариант, когда с вероятностью t во временном ряде нет тренда;

соотношение не выполняется

Второй вариант, когда с вероятностью t во временном ряде есть убывающая тенденция среднего уровня ряда;

соотношение не выполняется

Третий вариант, когда с вероятностью – t во временном ряде есть возрастающей тенденция среднего уровня ряда.

соотношение выполняется

С выбранной вероятностью 95 % можно сделать вывод, что во временном ряде есть возрастающая тенденции среднего уровня.

Этот вывод согласуется с выводами, полученными нами ранее при визуальном анализе и применении метода Фостера-Стюарта.

6. Определение параметров линейного тренда методом усреднения по левой и правой половине ряда:

Рассчитаем параметры линейного тренда графическим методом – методом усреднения по левой и правой половине данных. Отобразим в таблице 8.

Таблица 8

t	*y_t*
1	10,2
2	10,8
3	10,4
4	11,9
5	12,2
6	12,5
7	13,1
8	12,4
9	13,6
10	14,3
11	14,9
12	13,8

Разделим данные таблицы на две части. В первую часть попадут данные с 1-го по 6-й день, а во вторую часть – с 7-го по 12-й день работы. Рассчитаем по каждой половине среднее число дней и средние объемы продаж. По формулам:

(19)

(20)

найдем искомые значения для первой половины данных таблицы:

По формулам:

(21)

(22)

найдем искомые значения для второй половины данных таблицы:

В результате расчетов мы получили координаты двух точек А(3,5; 11,33) и В(9,5; 13,68). Построим эти точки, через них проведем прямую до пересечения с осью ординат (объем продаж) (рис. 4). Точка пересечения а₀=9,95.


                                рис. 4 Определение параметра а₀

Теперь определим значение параметра а₁ по формуле:

(23)

В результате расчетов линейная модель

будет иметь следующий конкретный вид

7. Определение параметров линейного тренда методом наименьших квадратов:

Чтобы найти параметры линейного тренда

, необходимо решить систему нормальных уравнений:

(24)

Для расчета параметров линейного тренда

методом МНК используем данные таблицы 4. Для проведения промежуточных расчетов построим таблицу 9 и проведем в ней необходимые расчеты.

Таблица 9

	t	*y_t*	t²	y _t t
	1	2	3	4
	1	10,2	1	10,2
	2	10,8	4	21,6
	3	10,4	9	31,2
	4	11,9	16	47,6
	5	12,2	25	61,0
	6	12,5	36	75,0
	7	13,1	49	91,7
	8	12,4	64	99,2
	9	13,6	81	122,4
	10	14,3	100	143,0
	11	14,9	121	163,9
	12	13,8	144	165,6
Итого	78	150,1	650	1032,4

Найдем параметры а₀ и а₁подставив цифры из итоговой строки в формулы:

(25)

(26)

В результате расчетов линейный тренд

примет конкретный вид

.

Рассчитаем значения линейного тренда для каждого момента времени подставив соответствующие значения t в уравнения

и отобразим в таблице 10:
Таблица 10

t	*y_t*
1	10,2	10,326
2	10,8	10,723
3	10,4	11,12
4	11,9	11,517
5	12,2	11,914
6	12,5	12,311
7	13,1	12,708
8	12,4	13,105
9	13,6	13,502
10	14,3	13,899
11	14,9	14,296
12	13,8	14,693

Построим линейный тренд на графике (рис. 5):

На основе визуального анализа можно сделать вывод: что соответствие линейного тренда с трендом, который может иметь место во временном ряду очевидно. Ранее был сделан вывод, что во временном ряду присутствует тенденция в виде тренда, и он имеет линейный характер. На графике присутствует линейный тренд

Сравним параметры линейного тренда, вычисленные графическим методом – а₀=9,95 и а₁=0,394 и методом МНК – а₀=9,929 и а₁=0,397. Они достаточно близки.

Таблица 11

t

y_t

1

10,2

10,344

10,326

2

10,8

10,738

10,723

3

10,4

11,132

11,120

4

11,9

11,526

11,517

5

12,2

11,920

11,914

6

12,5

12,314

12,311

7

13,1

12,708

12,708

8

12,4

13,102

13,105

9

13,6

13,496

13,502

10

14,3

13,890

13,899

11

14,9

14,284

14,296

12

13,8

14,678

14,693

8. Определение параметров нелинейной трендовой модели:

8.1 Предварительным условием выбора параболы для описания исходных данных является относительное постоянство разностей второго порядка по абсолютной величине. Проверим, можно ли описать изменения данных с помощью параболы второго порядка. Для этого необходимо рассчитать абсолютный цепной прирост уровней временного ряда ∆_t или разности первого порядка

, разности второго порядка

. Расчет будет производиться по сглаженным данным, так как их колебание меньше, чем колебание исходных данных.

Расчеты внесем в таблицу 12, с расчетами прироста первого (графа 4) и второго порядков (графа 5):

Таблица 12

	t	*y_t*	*y^’_t*
	1	2	3	4	5
	1	10,2	-	-	-
	2	10,8	10,47	-	-
	3	10,4	11,03	0,56	-
	4	11,9	11,50	0,47	-0,09
	5	12,2	12,20	0,70	0,23
	6	12,5	12,60	0,40	-0,3
	7	13,1	12,67	0,07	-0,33
	8	12,4	13,03	0,36	0,29
Продолжение таблицы 12
	9	13,6	13,43	0,40	0,04
	10	14,3	14,27	0,84	0,44
	11	14,9	14,33	0,06	-0,78
	12	13,8	-	-	-

Так как по сглаженным данным первый и двенадцатый уровни отсутствуют, а для второго уровня отсутствует предыдущий, рассчитаем абсолютный прирост уровней ряда с третьего по одиннадцатый.

Абсолютный цепной прирост третьего и последующих уровней ряда рассчитаем по формуле:

(27)

Итак,

Рассчитанные значения приростов занесем в графу 4 таблицы 12.

Условием выбора параболы для описания сглаженных данных является относительное постоянство разностей второго порядка по абсолютной величине

Определим их по формуле:

(28)

Расчет начнем с четвертого уровня, так как он является первым, имеющим предыдущий ряд, а закончим одиннадцатым рядом.

Итак,

Анализ графы 5 показывает, что разности второго порядка по абсолютной величине относительно постоянны (0,2, 0,3 или 0,4). Это позволяет предположить, что для описания исходных данных может быть использована и парабола. Но эта трендовая модель используется тогда, когда значения экономического показателя, в среднем, вначале возрастают (убывают), достигают максимального (минимального) значения, а затем – убывают (возрастает). У нас же, на лицо, наличие возрастающей тенденции, скорее свойственной для степенного или показательного тренда.

8.2 Степенной тренд используется тогда, когда темпы роста экономического показателя, в среднем, либо постепенно возрастают, либо постепенно убывают. Рассмотрим возможность использования степенного тренда для описания исходных данных в таблице 13, рассчитав цепные темпы роста.

Таблица 13

t	*y_t*	,%
1	2	3
1	10,2	-
2	10,8	105,88
3	10,4	96,30
4	11,9	114,42
5	12,2	102,52
6	12,5	102,46
7	13,1	104,80
8	12,4	94,66
9	13,6	109,68
10	14,3	105,15
11	14,9	104,20
12	13,8	92,62

Рассчитаем цепные темпы роста для каждого уровня ряда, начиная со второго, по формуле:

(29)

Итак,

_%

Анализ третьей графы таблицы 13 показывает, что по мере роста объема сбыта темп сбыта продукции остается относительно постоянным. Это позволяет предположить, что для описания исходных данных использование степенного тренда менее предпочтительно, чем показательный тренд.

8.3 Показательный тренд используется при условии, когда экономический показатель имеет относительно постоянный цепной темп роста, который в среднем равен а₁.

Оценим возможность описания данных, приведенных в таблице 13 с помощью показательного тренда. Так как цепные темпы роста, приведенные в третьей графе, относительно постоянны, то исходные данные могут быть описаны с помощью показательного тренда.

9. Рассчитаем параметры для показательного тренда:

С помощью таблицы 14 рассчитаем необходимые промежуточные данные:

Таблица 14

	t	y_t	t²	lny_t	tlny_t
	1	2	3	4	6
	1	10.2	1	2.322388	2.322388
	2	10.8.	4	2.379546	4.759092
Продолжение таблицы 14
	3	10.4	9	2.341806	7.025418
	4	11.9	16	2.476538	9.906152
	5	12.2	25	2.501436	12.507180
	6	12.5	36	2.525729	15.154374
	7	13.1	49	2.572612	18.008284
	8	12.4	64	2.517696	20.141568
	9	13.6	81	2.610070	23.490630
	10	14.3	100	2.660259	26.602590
	11	14.9	121	2.701361	29.714971
	12	13.8	144	2.624669	31.496028
	78	-	650	30.23411	201.128675

На основе данных итоговой строки определим параметры линеаризированной модели показательного тренда lna₀
и lna₁:

(34)

(35)

Найдем значение a
₀, пропотенцировав lna₀. Тогда

. Найдем a
₁, пропотенцировав величину lna₁. Тогда

. В результате расчетов параметров показательный тренд будет иметь следующий конкретный вид:

10.Сравним линейный и выбранный нелинейный – показательный тренды:

В одной системе координат, построим 3 графика: исходный временной ряд, линейную и показательную модели. Для построения графиков используем таблицу 15. Рассчитаем значения линейного и показательного трендов для каждого момента времени, подставив соответствующие значения t в уравнения

Таблица 15

t	*y_t*
1	2	3	4
1	10,2	10,326	10,407
2	10,8	10,723	10,751
3	10,4	11,120	11,106
4	11,9	11,517	11,472
5	12,2	11,914	11,851
6	12,5	12,311	12,242
7	13,1	12,708	12,646
8	12,4	13,105	13,063
9	13,6	13,502	13,494
10	14,3	13,899	13,939
11	14,9	14,296	14,399
12	13,8	14,693	14,875

Нарисуем график по исходным данным на рис.6:

На основе визуального анализа можно сделать вывод: что совпадение выбранного нелинейного тренда с реальным трендом временного ряда очевидно.

11. Сравнение трендовых моделей с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений:

Выбранные тренды имеют одинаковое число параметров, поэтому для расчета критерия наименьшей суммы квадратов отклонений выберем формулу

. (36)

Для проведения промежуточных расчетов используем таблицу 16:

Таблица 16

t	yt
1	2	3	4	5	6
1	10,2	10,326	10,407	0,016	0,043
2	10,8	10,723	10,751	0,006	0,002
3	10,4	11,120	11,106	0,518	0,498
4	11,9	11,517	11,472	0,147	0,183
5	12,2	11,914	11,851	0,082	0,122
6	12,5	12,311	12,242	0,036	0,067
7	13,1	12,708	12,646	0,154	0,206
8	12,4	13,105	13,063	0,497	0,440
9	13,6	13,502	13,494	0,010	0,011
10	14,3	13,899	13,939	0,161	0,130
11	14,9	14,296	14,399	0,365	0,251
12	13,8	14,693	14,875	0,797	1,156
-	-	-	-	2,789	3,109

В графу 5 внесем отклонение фактических данных от линейного тренда: для t=1

=(10,2–10,326)²=0,016, для t=2

=(10,8–10,723)²=0,006 и т.д. Аналогичным образом в графу 6 впишем отклонения фактических данных от показательного тренда, и подведем итог.

Сравним значения критерия наименьшей суммы квадратов отклонений для линейного и показательного трендов. Для линейного тренда критерий равен 2,789 (итог графы 5), а для показательного тренда 3,109 (итог графы 6). Коэффициент для линейного тренда меньше, чем для показательного, поэтому линейный тренд лучше аппроксимирует исходные данные. Следовательно, для прогнозирования необходимо взять линейный тренд
.

12. Оценка адекватности выбранной трендовой модели:

Чтобы оценить адекватность выбранной линейной трендовой модели теоретическому тренду временного ряда, найдем разность е
_t между исходными данными у
_t и нашей трендовой моделью

по формуле

(37)

результаты занесем в таблицу 17.

Таблица 17

t	y_t
1	2	3	4
1	10,2	10,326	-0,126
2	10,8	10,723	0,077
3	10,4	11,120	-0,72
4	11,9	11,517	0,383
5	12,2	11,914	0,286
6	12,5	12,311	0,189
7	13,1	12,708	0,392
8	12,4	13,105	-0,705
9	13,6	13,502	0,098
10	14,3	13,899	0,401
11	14,9	14,296	0,604
12	13,8	14,693	-0,893
-	-	-	-

Построим график ряда отклонения е
_t
по данным графы 4 на рис.7:

Визуальный анализ показывает, что колебание величины
е
_t

не содержит элементов тенденции, т.е. носит случайный характер.

Оценим адекватность выбранной модели тренда исходному ряду на основе анализа данных ряда отклонений е
_t. Величина е
_t должна отвечать следующим четырем условиям (требованиям):
Условие 1. Колебание величины е
_t
должно носить случайный характер.

         Проверим условие 1 с помощью критерия поворотных точек.

Величина е
_t считается поворотной, если она соответствует одному из двух условий:

е
_t_-1< е_t >е_t₊₁ или е
_t_-1> е_t <е_t₊₁

          Для этого на базе данных графы 4 определим поворотные точки и в графе 5 проставим соответствующие им значения. Рассматриваемые точки обозначим Рt. Тем точкам, которые будут поворотными, присвоим значение Рt=1. А тем точкам, которые не будут поворотными, присвоим значение Рt=0. результаты занесем в таблицу 18.

                         Таблица 18

t

y_t

P_t

1

2

3

4

5

1

10,2

10,326

-0,126

-

2

10,8

10,723

0,077

1

3

10,4

11,120

-0,72

1

4

11,9

11,517

0,383

1

5

12,2

11,914

0,286

0

6

12,5

12,311

0,189

1

7

13,1

12,708

0,392

1

8

12,4

13,105

-0,705

1

9

13,6

13,502

0,098

0

10

14,3

13,899

0,401

0

11

14,9

14,296

0,604

1

12

13,8

14,693

-0,893

-

-

-

-

-

7

Определим общее число поворотных точек по формуле

Результат занесем в итоговую строку графы 6.

Для проверки выполнения условия 1 выдвинем нулевую гипотезу Н₀: колебание величины е_t
носит случайный характер
.

Для проверки этой гипотезы определим математическое ожидание числа поворотных точек по формуле:

                           ;                    (38)

и его дисперсию по формуле:

                                               (39)
Кроме того, для проверки нулевой гипотезы используем вероятность, равную 95%, которой соответствует коэффициент доверия t=1,96. С помощью формулы

                                                                 (40)

проверим нулевую гипотезу, подставив в нее значения М(Р), D(P), t:

или 4,029<7<9,305

Расчет показывает, общее число поворотных точек – 7 находится в требуемом интервале. Это позволяет сделать следующий вывод: с вероятностью 0,95 (95%) колебание величины е
_t
носит случайный характер и, следовательно, отвечает данному условию.
Условие 2. Распределение величины е
_t
соответствует нормальному распределению.
Проверим распределение е_t на соответствие нормальному распределению. Вначале определим среднее квадратическое отклонение по формуле:

                                                            (41)

         для определения расчетного значения критерия RS_р из графы 4 таблицы 18 найдем максимальное e_max=0,604 и минимальное e_min=−0,893 значения. Расчетное значение критерия RS_рнайдем по формуле:

                                                  (42)

          Следующим шагом проверки условия 2 является нахождение табличного значения RS-критерия – RS_T по приложению 3 (2, стр. 71). В таблице приводятся нижнее и верхнее значения RS-критерия для n=10 и n=20; а у нас n=12. Для нахождения нижнего и верхнего значений RS-критерия для n=12 используем линейную интерполяцию. Найдем величину RS_12н:

·        Увеличение RS_n_нпри изменеие n на 2 найдем по формуле:

·        Значение RS_nнпри t=12 найдем по формуле:

          Найдем величину RS_n_в:

·        Увеличение RS_n_впри изменеие n на 2 найдем по формуле:

·        Значение RS_nвпри n=12 найдем по формуле:

Выдвинем нулевую гипотезу Н₀: величина е_t соответствует нормальному распределению. Сопоставим по формуле:

                                           RSnн< RSр< RSnв                                          (43)

расчетное значение критерия RSр с табличным –RSТ.. Сопоставление показывает, что RSр попадает в интервал, определяемый нижним и верхним табличными значениями RS-критерия, т.е. 2,772<2,835<3,978

       Это позволяет нам сделать следующий вывод: с вероятностью 95% нулевая гипотезе принимается, т.е. величина е_t
соответствует нормальному распределению и, следовательно, отвечает условию 2.
Условие 3. Математическое ожидание величины е
_t
равно нулю

Для проверки данного условия выдвинем нулевую гипотезу Н₀: математическое ожидание e_t=0.

Для промежуточных расчетов используем таблицу 19:

                                    Таблица 19

t

1

3

4

1

-0,126

0,016

2

0,077

0,006

3

-0,72

0,517

4

0,383

0,148

5

0,286

0,082

6

0,189

0,036

7

0,392

0,155

8

-0,705

0,495

9

0,098

0,010

10

0,401

0,162

11

0,604

0,366

12

-0,893

0,795

-

-0,014

2,788

Вначале определим среднюю арифметическую величину е_t, использовав итог графы 3 таблицы 19;

                                                                     (44)

Затем рассчитаем и внесем в графу 4 табл. 19 квадрат отклонения фактического значения е_t от ее среднего значения. Так, для t=1

=(−0,126−(-0,0012))² =0,016 и т.д.

Далее определим среднее квадратическое отклонение, используя итог графы 4 таблицы 19 по формуле:

                                                          (45)

Теперь найдем расчетное значение величины t_p по формуле:

                                                            (46)

Чтобы найти табличное значение величины t_T, зададимся уровнем значимости а=0,05, относительно которого определим доверительную вероятность γ=1−0,05=0,95, а также число степеней свободы k
=12–1=11. Теперь, зная γ и k
, определим t_T по Стьюденту (приложение 2 (2, стр. 70)); t_Т =2,201.

Сопоставим расчетное t_p=-0,0083 и табличное t_T=2,201 значения:

t
_p
<

t
_T или   -0,0083 < 2,201.

Сопоставление показывает, расчетное значение меньше табличного.

Это позволяет нам сделать следующий вывод: с вероятность 0,95 (95%) нулевая гипотеза принимается и мы может утверждать: математическое ожидание е
_t
=0.

Условие 4. Независимость членов ряда друг от друга

Оценим наличие автокорреляции в ряде данных е_t с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Вначале в графу 3 таблицы 20 внесем квадраты величины е_t, а в графе 4 – квадраты разниц между текущим и предыдущим значениями е_t. Так, для t=1 мы не можем найти требуемое значение квадрата разницы, так как у нас нет значения е₀. А для t=2

                    (е₂–е₁)²=(0.077 – (–0.126))²=0.041 и т.д.                         (47)

           Таблица 20

t

1

2

3

4

1

-0,126

0,016

-

2

0,077

0,006

0,041

3

-0,72

0,518

0,635

4

0,383

0,147

1,217

5

0,286

0,082

0,009

6

0,189

0,036

0,009

7

0,392

0,154

0,041

8

-0,705

0,497

1,203

9

0,098

0,010

0,645

10

0,401

0,161

0,092

11

0,604

0,365

0,041

12

-0,893

0,797

2,241

-

-0,014

2,789

6,175

          Рассчитаем итоговые значения граф 3 и 4 и по ним определим расчетное значение критерия Дарбина - Уотсона d_p по формуле:

                                                                  (48)

         Расчетное значение критерия Дарбина–Уотсона оказалось больше двух, (следовательно, коэффициент попал в область отрицательной автокорреляции), поэтому пересчитаем его для области с положительной автокорреляцией по формуле:

                                                                       (49)

Найдем табличное значение критерия Дарбина–Уотсона d_T при n=12, и числе факторов в используемой трендовой модели V=1 (в линейном тренде один фактор – время).

При n=12 и V=1 в приложении 4 (2, стр. 71) находим табличное значение критерия Дарбина–Уотсона d_T. Однако у нас n=12, а в таблице наименьшее значение n=15, поэтому возьмем табличное значение критерия Дарбина–Уотсона для n = 15. Его нижнее значение равно d₁=1,08, а верхнее d₂=1,36:

Сопоставим расчетное (1,786) и табличное (1,08; 1,36) значения критерия Дарбина–Уотсона. При этом могут возникнуть три ситуации:

1)      d
_p
<
d
₁, что будет говорить о наличии в ряде автокорреляции

2) d
_p
>
d
₂, что будет говорить об отсутствии в ряде автокорреляции;

3) d
₁
≤
d
_p
≤
d
₂, что будет говорить о необходимости дополнительной

проверки наличия в ряде автокорреляции.

Расчетное значение больше верхнего табличного, т.е. возникает вторая ситуация, когда d
_p
>
d
₂ или 1,786>1,36.

С учетом этого мы может сделать вывод: с вероятностью 0,95(95%) в ряде е
_t
отсутствует автокорреляция.

Поскольку соблюдаются 4 условия:

1.
Условие 1. Колебание величины еt должно носить случайный характер. Это условие означает, что колебание (изменение) величины е_t не содержит элементов тенденции.

2.
Условие 2. Распределение величины е_t соответствует нормальному распределению.

3.
Условие 3. Математическое ожидание величины е_t равно нулю

4.
Условие 4. Независимость членов ряда друг от друга. Это условие означает отсутствие автокорреляции во временном ряде е_t

         Можно утверждать, что выбранная трендовая модель: адекватна тенденции, имеющей место во временном ряде.

13. Прогнозирование на основе трендовой модели:

13.1 Точечный прогноз:

Определим точечный прогноз на 13-й день. Из условия задачи вытекает: период основания прогноза n=12, а период упреждения прогноза τ=1. Одновременно определим уровень значимости а=0,05. Рассчитаем точечный прогноз по формуле:

(50)

13.2 Интервальный прогноз:

Для расчета интервального прогноза предварительно определим табличное значение критерия Стьюдента с уровнем значимости а и числом степеней свободы k
=
n−2. Так как мы выбрали, а=0,05, доверительная вероятность γ=1−а=1−0,05=0,95, а число степеней свободы k=n−2=12−2=10. По приложению 2 (2, стр. 70) при γ=0,95 и k=10 табличное значение критерия Стьюдента t_T=2,228. Найдем стандартную ошибку тренда, по формуле:

(51)

Определим интервальный прогноз по формуле:

           (52)

Отсюда верхняя граница прогнозного интервала 15,09+1,381=16,471, а нижняя   15,09–1,381=13,709. Таким образом, прибыль от продаж на фабрике на 13-й день с вероятностью γ=0,95 будет расположена в интервале от 13,709 … 16,471.

Для расчета интервального прогноза с использованием формулы

(53)

определим К. Согласно исходным данным число уровней ряда n=12, а период упреждения прогноза τ=1, поэтому К= 2,1274 (2, стр. 73). Подставим найденное К в формулу и получим интервальный прогноз

Отсюда верхняя граница прогнозного интервала 15,09+1,123=16,213, а нижняя 15,09–1,123=13,967. Таким образом, прогноз оборота магазина на 13-й день с вероятностью γ=0,9 будет расположен в интервале 13,967 … 16,213.

Верхняя и нижняя границы прогнозного интервала отличаются от полученных ранее. Причиной этого является то, что при расчете по 1-й формуле был использован уровень значимости а=0,05, откуда доверительная вероятность γ=0,95, а при расчете по 2-й формуле была использована величина К, которая в приложении 6 (2, стр. 73) рассчитана относительно уровня значимости а=0,1, откуда доверительная вероятность равна 0,9.

Раздел 3 «Прогнозирование на основе сезонного цикла временного ряда»

Исходные данные для Варианта №23:

1. Таблица с исходными данными:

Таблица 21. Объем реализации продукции фирмы АО «Лен» (усл.ед.)

Месяцы

Годы

2006

2007

2008

Январь

7851

8359

9603

Февраль

7105

7791

9003

Март

8147

8992

10153

Апрель

9386

9627

11440

Май

9731

10429

12234

Июнь

11091

11785

12941

Июль

12036

12685

13138

Август

12360

12514

13100

Сентябрь

11457

11883

12265

Октябрь

9423

10475

10805

Ноябрь

7875

8838

8941

Декабрь

8081

8742

9123

2. Отобразим исходные данные на рис.8:

Вначале в одной системе координат построим два графика – один по исходным данным, другой график линейной трендовой модели

(рис. 8) и проведем его визуальный анализ.

Визуальный анализ графика временного ряда показывает, что исходный ряд содержит сезонную компоненту, так как характер колебания ряда стабильно повторяется из года в год и имеет приблизительно одинаковый характер изменения. Можно предположить о наличии тенденции в виде тренда. И он может быть описан линейным трендом

3. Анализ методом коэффициента Кендэла:

Оценим наличие тенденции среднего уровня ряда в исходных данных, с помощью коэффициента Кендэла. Расчет проведем с помощью данных таблицы 21, а результаты расчета приведем в таблице 22.

Таблица 22

2006			2007			2008
t	y_t	P_t	t	y_t	P_t	t	y_t	P_t
1	2	3	1	2	3	1	2	3
1	7851	-	13	8359	5	25	9603	12
2	7105	0	14	7791	1	26	9003	10
3	8147	2	15	8992	7	27	10153	16
4	9386	3	16	9627	10	28	11440	20
5	9731	3	17	10429	12	29	12234	25
6	11091	5	18	11785	15	30	12941	29
7	12036	6	19	12685	18	31	13138	30
8	12360	7	20	12514	18	32	13100	30
9	11457	6	21	11883	16	33	12265	26
10	9423	4	22	10475	13	34	10805	19
11	7875	2	23	8838	7	35	8941	9
12	8081	3	24	8742	7	36	9123	13
ИТОГО								409

         Рассчитаем число случаев превышения текущим уровнем ряда предыдущих ему уровней ряда. Первый уровень ряда у₁=7851 не с чем сравнить (нет предыдущих уровней ряда), поэтому в графе 3 поставим прочерк. Второй уровень ряда у₂=7105 меньше предыдущего у₁=7851 и к тому же он всего один, поэтому в графе 3 ставим 0. Третий уровень _у3=8147 больше у₂=7105 и у₁=7851, поэтому в графе 3 ставим 2. Четвертый уровень у₄=9386 больше у₃=8147, у₂=7105, у₁=7851, поэтому в графе 3 ставим 3.

         Аналогичным образом определим число таких случаев и для остальных уровней ряда.

         Подведя итог по графе 3, найдем общее число случаев, когда текущий уровень ряда больше предыдущих по формуле (1):

Р
=Σ Р
_t
=409

Определим расчетное значение коэффициента Кендэла по формуле (2):

Рассчитаем теоретическую дисперсию по формуле (3):

Для оценки наличия в ряде тенденции среднего уровня ряда выберем вероятность, равную 0,95 (95%). С учетом выбранной вероятности коэффициент доверия t=1,96,

         Сопоставим расчетное и теоретическое значения коэффициента Кендэла. При сопоставлении может возникнуть три варианта:

Первый вариант, когда с вероятностью t во временном ряде нет тренда;

Второй вариант, когда с вероятностью t во временном ряде есть убывающая тенденция среднего уровня ряда;

Третий вариант, когда с вероятностью – t во временном ряде есть возрастающая тенденция среднего уровня ряда.

.

                             соотношение выполняется

         Из трех вариантов мы выбираем третий, поскольку только в нем выполняется необходимое соотношение расчетного и теоретического значений коэффициента Кендэла.

         Из установленного соотношения следует, что с вероятностью 95% во временном ряде имеет место возрастающая тенденция среднего уровня ряда.

4.Сезонное прогнозирование:

Осуществить прогноз сезонного цикла на основе линейной трендовой модели

. Параметры прогнозирования отображены в таблице 23.

Таблица 23

Месяц	Год
Месяц	2009
Январь	9979
Февраль	9222
Март	10526
Апрель	11740
Май	12466
Июнь	13801
Июль	14604
Август	14638
Сентябрь	13709
Октябрь	11790
Ноябрь	9849

         Таким образом, согласно таблице необходимо осуществить прогнозирование с января по ноябрь 2009 года с использованием мультипликативной модели прогнозирования.

Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в январе 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в январе 2006 года:

·        в январе 2007 года:

·        в январе 2008 года:

Определим абсолютное отклонение фактических данных от тренда по формуле:

(54)

Рассчитаем эти отклонения:

· в январе 2006 года:

· в январе 2007 года:

· в январе 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для января по формуле:

(55)

Перед определением сезонного тренда найдем значение тренда в январе 2009 года. Исходный ряд содержит данные за три года (k=3), период упреждения прогноза равен одному году (τ=1), январь имеет номер 1, поэтому январь 2009 года будет иметь номер

. Отсюда объем реализации продукции в январе 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в январе по формуле:

              (56)

Отразим спрогнозированное значение на январь на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в феврале 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в феврале 2006 года:

·        в феврале 2007 года:

·        в феврале 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в феврале 2006 года:

· в феврале 2007 года:

· в феврале 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для февраля по формуле (55):

Объем реализации продукции в феврале 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в феврале по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за февраль на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в марте 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в марте 2006 года:

·        в марте 2007 года:

·        в марте 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в марте 2006 года:

· в марте 2007 года:

· в марте 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для марта по формуле (55):

·

Объем реализации продукции в марте 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в марте по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за март на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в апреле 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в апреле 2006 года:

·        в апреле 2007 года:

·        в апреле 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в апреле 2006 года:

· в апреле 2007 года:

· в апреле 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для апреля по формуле (55):

Объем реализации продукции в апреле 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в апреле по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за апрель на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в мае 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в мае 2006 года:

·        в мае 2007 года:

·        в мае 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в мае 2006 года:

· в мае 2007 года:

· в мае 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для мая по формуле (55):

Объем реализации продукции в мае 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в мае по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за май на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в июне 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в июне 2006 года:

·        в июне 2007 года:

·        в июне 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в июне 2006 года:

· в июне 2007 года:

· в июне 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для июня по формуле (55):

·

Объем реализации продукции в июне 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в июне по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за июнь на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в июле 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в июле 2006 года:

·        в июле 2007 года:

·        в июле 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в июле 2006 года:

· в июле 2007 года:

· в июле 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для июля по формуле (55):

·

Объем реализации продукции в июле 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в июле по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за июль на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в августе 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в августе 2006 года:

·        в августе 2007 года:

·        в августе 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в августе 2006 года:

· в августе 2007 года:

· в августе 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для августа по формуле (55):

·

Объем реализации продукции в августе 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в августе по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за август на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в сентябре 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в сентябре 2006 года:

·        в сентябре 2007 года:

·        в сентябре 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в сентябре 2006 года:

· в сентябре 2007 года:

· в сентябре 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для сентября по формуле (55):

·

Объем реализации продукции в сентябре 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в сентябре по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за сентябрь на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в октябре 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в октябре 2006 года:

·        в октябре 2007 года:

·        в октябре 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в октябре 2006 года:

· в октябре 2007 года:

· в октябре 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для октября по формуле (55):

·

Объем реализации продукции в октябре 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в октябре по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за октябрь на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в ноябре 2006, 2007 и 2008 годов:

·        в ноябре 2006 года:

·        в ноябре 2007 года:

·        в ноябре 2008 года:

Рассчитаем отклонения:

·        в ноябре 2006 года:

· в ноябре 2007 года:

· в ноябре 2008 года:

На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для ноября по формуле (55):

·

Объем реализации продукции в ноябре 2009 года по тренду:

В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в ноябре по формуле (56):

Отразим спрогнозированное значение за ноябрь на рис 8.

Раздел 4 «Прогнозирование с помощью метода экспоненциального сглаживания»

Исходные данные для Варианта №23:

1. Таблица с исходными данными:

Таблица 24. Курсы акций АО «Московская швея»

Таблица 24

t	y_t
1	659
2	663
3	656
4	650
5	658
6	658
7	657
8	653
9	654
10	655
11	663
12	669

2. Отобразим исходные данные на рис.9:

По графику исходных данных интуитивно можно предположить, что курс акций на 13 день составит от 666-675.

3. Метод экспоненциального сглаживания:

          Рассчитаем при помощи метода экспоненциального сглаживания прогнозные оценки на 7-, 8-, 9-, 10-, 11-, 12-ый дни

Параметр сглаживания, а=0,2

         Рассчитаем прогноз курсов акций с параметрами сглаживания, а=0,1 по формуле

(57)

· На 7 день:

· На 8 день:

· На 9 день:

· На 10 день:

· На 11 день:

· На 12 день:

· На 13 день:

Занесем полученные прогнозное значение в последнюю строчку графы 2 и в предпоследнюю строчку графы 3 таблицы 25 (например, расчет, сделанный седьмого дня на восьмой равен 657,8 – это значение занесем в последнюю строчку графы 3 и в предпоследнюю строчку графы 4).

Параметр сглаживания, а=0,3

Рассчитаем прогноз курсов акций с параметрами сглаживания, а=0,3 по формуле (57):

· На 7день:

· На 8 день:

· На 9 день:

· На 10 день:

· На 11 день:

· На 12 день:

· На 13 день:

Занесем полученные результаты в таблицу 26.

Параметр сглаживания, а=0,45

Рассчитаем прогноз курсов акций с параметрами сглаживания, а=0,45 по формуле (57):

· На 7 день:

· На 8 день:

· На 9 день:

· На 10 день:

· На 11 день:

· На 12 день:

· На 13 день:
Занесем полученные результаты в таблицу 27.

Таблица 25

Показатель

День

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Текущее (сегодняшнее) значение уровня ряда у_t

Прогноз, сделанный вчера (t−1) на сегодня t

Прогноз, сделанный сегодня t     на завтра (t+1)

Таблица 26

Показатель

День

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Текущее (сегодняшнее) значение уровня ряда у_t

Прогноз, сделанный вчера (t−1) на сегодня t

Прогноз, сделанный сегодня t     на завтра (t+1)

Таблица 27

Показатель

День

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Текущее (сегодняшнее) значение уровня ряда у_t

Прогноз, сделанный вчера (t−1) на сегодня t

Прогноз, сделанный сегодня t     на завтра (t+1)

Построим графики по полученным прогнозным оценкам, рассчитанным на основе трех уровней сглаживания, на одном рисунке с графиком по исходным данным:

При визуальном анализе графиков на рис. 10. Можно сделать вывод: что наилучшая аппроксимация исходных данных осуществляется с помощью уровня сглаживания равного 0,45.

4.Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений.

Чтобы определить какой уровень сглаживания дает наименьшую ошибку необходимо с помощью критерия наименьшей суммы квадратов рассчитать параметры линейных трендов для данных, полученных в результате прогноза.

Так как прогноз проводился для 7,8,9,10,11,12 дней, то и критерий наименьшей суммы квадратов будет применен к этим дням.
Для промежуточных расчетов построим таблицу 28.
     Таблица 28

t

y_t

1

2

3

4

5

6

7

8

7

657

658,00

658,00

658,00

1

1

1

8

653

657,80

657,70

657,55

23,04

22,09

20,703

9

654

656,84

657,49

655,50

8,0656

12,18

2,2575

10

655

656,27

656,44

654,83

1,618

2,0822

0,0301

11

663

656,02

656,01

654,90

48,754

48,859

65,537

12

669

657,41

658,11

658,55

134,23

118,66

109,26

-

-

-

-

-

216,7

204,9

198,8

Сравним значения критерия наименьшей суммы квадратов отклонений значений посчитанных при трех уровнях сглаживания с исходными данными. Для параметра сглаживания a=0,2 критерий равен 216,7 (итог графы 6), для а=0,3 204,9 (итог графы 7), а для а=0,45 198,8 (итог графы 8). Коэффициент для параметра а=0,45 меньше, чем для двух других параметров, поэтому значения, посчитанные при таком параметре сглаживания лучше аппроксимируют исходные данные. Следовательно, наилучшим прогнозом курса валют на тринадцатый день станет прогноз сделанный при параметре сглаживания, а=0,45.

Построим на рисунке график исходных данных с 1 – по 12 дни, а также прогнозную величину на 13 день (рис. 11).

Список литературы

1.     Станкевич А.В. Методические указания к выполнению индивидуального задания по курсу «Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка»: - М.: МГУТ им. А.Н.Косыгина, 2009

2.     Станкевич А.В. Основы прогнозирования емкости и конъюнктуры рынка. Учебное пособие. – М.:РИО МГТУ им. А.Н.Косыгина, 2007, 76стр.

1. Реферат Новый курс Ф.Рузвельта
2. Реферат Информационно-техническое сопровождение образовательного процесса
3. Курсовая Методы уклонения от риска
4. Реферат на тему Y2k Essay Research Paper Y2K Everybody is
5. Реферат Религиозная реформация в странах Востока
6. Реферат на тему Поиск и сохранение информации в сети Интернет
7. Реферат Средневековая христианская философия 3
8. Реферат на тему Yoga Meditation Essay Research Paper
9. Контрольная_работа на тему Аудит финансовой бухгалтерской отчетности
10. Реферат Американская модель менеджмента 3

Показатель	День
Показатель	6	7	8	9	10	11	12	13
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Текущее (сегодняшнее) значение уровня ряда у_t
Прогноз, сделанный вчера (t−1) на сегодня t
Прогноз, сделанный сегодня t на завтра (t+1)

t	y_t
1	2	3	4	5	6	7	8
7	657	658,00	658,00	658,00	1	1	1
8	653	657,80	657,70	657,55	23,04	22,09	20,703
9	654	656,84	657,49	655,50	8,0656	12,18	2,2575
10	655	656,27	656,44	654,83	1,618	2,0822	0,0301
11	663	656,02	656,01	654,90	48,754	48,859	65,537
12	669	657,41	658,11	658,55	134,23	118,66	109,26
-	-	-	-	-	216,7	204,9	198,8

3. Анализ методом коэффициента Кендэла:

4.Сезонное прогнозирование:

Раздел 4 «Прогнозирование с помощью метода экспоненциального сглаживания»

2. Отобразим исходные данные на рис.9:

3. Метод экспоненциального сглаживания:

4.Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений.

Bukvasha