ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО ТОмский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА КАРТОГРАФИИ И ГИС
Лабораторная работа №3
Проверка статистической гипотезы о нормальном

законе распределения случайной величины
Вариант 6
Выполнил: ст.981гр.

                                                                      Васиковский В. А.

                                                                            Проверил: ст.преп. 

                                                                      Войкова О.А.
Тюмень 2009 г.

Цель работы: приобрести навыки по овладению методом проверки статистической гипотезы о нормальном законе распределения изучаемой случайной величины.

Содержание работы:

1.      Проверка гипотезы о нормальном законе распределения с помощью критериев согласия:

·       критерия Пирсона;

·       критерия Романовского;

·       критерия Ястремского;

·       критерия Колмогорова.

2.      Проверка гипотезы о нормальном законе распределения с помощью приближенных методов:

·       с использованием σ_в;

·       с использованием a_s и e_k;

·       графическим методом.

3.      Графическая иллюстрация сходства (или расхождения) эмпирического распределения с теоретическим.
Вариант 6

Дана себестоимость продукции в рублях

xi	5	7	9	11	13	15	17
mi	3	8	24	31	23	7	4

Этап I

Представление исходных данных в виде дискретного вариационного ряда и вычисление необходимых числовых характеристик

1.      Представим исходные данные в виде дискретного вариационного ряда частот.

xi	5	7	9	11	13	15	17
mi	3	8	24	31	23	7	4

2.      Вычислим числовые характеристики. Промежуточные расчеты оформим в виде таблицы:

xi	mi	ui	mi*ui	mi*ui2	mi*ui3	mi*ui4
5	3	-3	-9	27	-81	243
7	8	-2	-16	32	-64	128
9	24	-1	-24	24	-24	24
11	31	0	0	0	0	0
13	23	1	23	23	23	23
15	7	2	14	28	56	112
17	4	3	12	36	108	324
			∑=0	∑=170	∑=18	∑=854

Непосредственный подсчет числовых характеристик:

В условных вариантах	В исходных вариантах
М1*=0/100=0
М2*=170/100=1,7
М3*=18/100=0,18
М4*=854/100=8,54
xв=0	xв=0*2+11=11
Dв=m2= М2*-( М1*)2=1,7	Dв=1,7*22=6,8
	σв=√6,8=2,6
m3(U)=0,18-3*1,7*0+2*03=0,18	m3(х)=0,18*23=1,44
m4(U)=8,54-4*0,18*0+6*1,7*02-3*04=8,4	m4(х)=8,54*24=136,64
	as= m3/ σв3=1,44/17,6=0,08
	ek=m4/σв4-3=136,64/45,7-3=-0,02
	Vσ=2,6/11*100%=23,6%

Этап II

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

 с помощью критериев согласия

3.      Вычисление теоретических частот.

n*h/σ_в=100*2/2,6=76,9

xi	mi	xi-xв	Ui= xi-xв/σв	φ(Ui)	nh/σв*φ(Ui)	mi´
5	3	-6	-2,3	0,0283	2,17	2,2
7	8	-4	-1,5	0,1295	9,95	10
9	24	-2	-0,8	0,2897	22,27	22,3
11	31	0	0	0,3989	30,67	30,7
13	23	2	0,8	0,2897	22,27	22,3
15	7	4	1,5	0,1295	9,95	10
17	4	6	2,3	0,0283	2,17	2,2
						∑=100

4.      Вычисление наблюдаемого значения χ².

mi	mi´	mi-mi´	(mi-mi´)2	(mi-mi´)2/mi
3	2,2	0,8	0,64	0,2
8	10	-2	4	0,5
24	22,3	1,7	1,36	0,06
31	30,7	0,3	0,09	0,003
23	22,3	0,7	0,49	0,02
7	10	-3	9	1,3
4	2,2	1,8	3,24	0,8
				∑=2,88

χ²_набл=2,88

5.      К=7-3=4

6.      Для нахождения табличного значения зададимся уровнем значимости L=0,05,

χ²_табл(0,05;4)=9,49

7.      Сравним χ²_набл и χ²_табл; 2,88<9,49; χ²_набл<χ²_табл, то эмпирические данные не противоречат предположению о нормальном их распределении, т.е. гипотеза о нормальном законе распределения принимается на уровне значимости 0,05*P(χ²_набл;γ)=P(2,88;4)≈0,95>1.

8.      Для применения критерия Романовского подсчитаем величину выражения:

Р=׀ χ²_набл-К׀/√2К=׀2,88-4׀/√2*4=׀-1,12׀/2,83≈0,4

9.      Так как 0,4<3, то гипотеза о нормальном законе распределения.

10.  Для применения критерия Ястремского подсчитаем величину

Р=׀ χ²_набл-S׀/√2n+4*0,6=׀2,88-7׀/√2*100+4*0,6=׀-4,12׀/202,4≈0,02

11.  Так, как 0,02<3, то гипотеза о нормальном распределении принимается.

12.  13. Для применения критерия Колмогорова, необходимо подсчитать величину D. Для подсчета накопленных частот и разности между ними составим таблицу:

xi	mi	mi´	Mi	Mi´	Mi-Mi´	׀Mi-Mi´׀
5	3	2,2	1	2,2	-1,2	1,2
7	8	10	9	12,2	-3,2	3,2
9	24	22,3	33	34,5	-1,5	1,5
11	31	30,7	64	65,2	-1,2	1,2
13	23	22,3	87	87,5	-0,5	0,5
15	7	10	94	97,5	-3,5	3,5
17	4	2,2	98	99,7	-1,7	1,7

14.  D=max׀m-m´׀=1,7

15.  λ=D/√n=1,7/√100≈0,17

16.  По специальной таблице находим Р(λ)=Р(0,17)=0,000

17.  Так как 0,000<0,05,то гипотезу о нормальном распределении следует принять.
Этап III

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

 с помощью приближенных методов

18.  Приближенная проверка с использованием значений σ_в.

0,3σ_в=0,3*2,6=0,78;

0,7σ_в=0,7*2,6=1,82;

1,1σ_в=1,1*2,6=2,86;

3,0σ_в=3,0*2,6=7,8.

19.  Вычисление границ интервалов

№1: 11±0,78→[11,78; 10,22]

№2: 11±1,82→[12,82; 9,18]

№3: 11±2,86→[13,86; 8,14]

№4: 11±7,8→[18,8; 3,2]

20.  Подсчитаем число значении, попавших в последний интервал

m_N1=31;

m_N2=11;

m_N3=33;

m_N4=77;

21.   m_N1/ n=0,31; m_{N2 /}  n=0,11; m_N3/  n=0,33; m_{N4 /}  n=0,77

22.  Приближенная проверка с помощью a_s и e_k.

a_s= m₃/ σ_в³=0,081

e_k=m₄/σ_в⁴-3=136,64/45,7-3=-0,011

23.  Подсчитаем несмещенные оценки

a_s=√n(n-1)/n-2*a_s=√100*99/98*(0,08)=0,08;
24.  Вычислим средние квадратические отклонения S_a, S_e.

S_a=√6n(n-1)/(n-2)(n-1)(n+3)=√59400/999306=√0,0594412=0,2438

S_e=√24(n-1)²/(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)=√235224/1,03=√228372,81=0,048

25.  Проверим выполнимость условий

׀a_s׀≤3S_a; 0,08≤0,72

׀e_k׀≤5S_e; 0,04≤0,24

Вывод: Изучаемое эмпирическое распределение скорее всего подчиняется нормальному закону распределения.

Графическая проверка.

26.  От дискретного вариационного ряда перейдем к интервальному, учитывая, что данные значения вариант есть середины интервалов, длины которых равны 2.

xi	5	7	9	11	13	15	17
mi	3	8	24	31	23	17	4

xi-xi+1	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18
mi	3	8	24	31	23	17	4

27.  28. 29. Составим расчетную таблицу для подсчета накопленных частот и нахождения квантилей:

i	xi	mi	∑mi	Pi=∑mi/n	Pi*100%	Up
1	5	3	3	0,03	3	0,382
2	7	8	11	0,11	11	0,456
3	9	24	35	0,35	35	0,298
4	11	31	66	0,66	66	0,255
5	13	23	89	0,89	89	0,164
6	15	7	96	0,96	96	0,245
7	17	4	100	1	100	0,159

              30. В прямоугольной системе координат построим точки с координатами:

(5; 0,382), (7; 0,456), (9; 0,298), (11; 0,255), (13; 0,164), (15; 0,245), (17; 0,159).
Вывод: Так как точки располагаются вблизи некоторой прямой, то есть основания предполагать, что эмпирическое распределение подчиняется нормальному закону.

Этап IV.

            31. Увидеть величину расхождения поможет построение соответствующих графиков.

Точки теоретического распределения соединены светлой линией, эмпирического – темнее.

(x_i; m<sub>i): ( 5;3), (7;8), (9; 24), (11;31), (13; 23), (15;7), (17;4)

(</sub>x_i; m_i^´ ): (5; 2,2), (7;10), (9;22,3), (11;30,7), (13;22,3), (15;10), (17;2,2)