Министерство образования и науки

Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Филиал государственного образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«Тюменский государственный университет»

В г. Тобольске

Специальность «Финансы и кредит»
Контрольная работа

Предмет: «Теория вероятности и математическая статистика»

Вариант №8
Выполнила:

№ зачетной книжки:

№ группы:

Домашний адрес:
Тобольск, 2009
1.     На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»?
Решение
Вариант получившегося слова является размещением 3-х элементов по 3.



N(n-1)(n-2)…(n-k+2)(n-k+1)=

Отсюда получаем:



Число таких вариантов равно:



Из этих вариантов правильным будет только один, т.е. m=1, тогда по классическому определению вероятности


2.     Какое из восьми вычислительных устройств обслуживается одним оператором? В штатном составе вычислительного центра имеется 6 операторов. Назначение оператора на данное вычислительное устройство производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть вычислительных устройств будут обслужены.
Решение
Поскольку количество испытаний не велико (n=8), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k=6 раз воспользуемся формулой Бернулли:

, где q=1-p

По условию задачи вероятность назначения оператора равна , значит



 
3.     Опыт состоит в четырехкратном выборе с вращением одной из букв алфавита Е={а, б, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово «мама»?
Решение


Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями из четырёх элементов по четыре элемента, т.е.

N = =

Слову «мама» соответствует лишь один исход. Поэтому

Р(А) =  = 0,00390625 ≈ 0,004

Ответ: 0,004.
4.     70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом, дающим 2% брака, а остальные детали автоматом, дающим 5% брака. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом?
Решение


                           детали                   брак

1 автомат  70%            2%   

2 автомат      (100-70)%         5%

Введём обозначения для событий: А - взятая деталь оказалась бракованной; В₁, В₂ – эта деталь изготовлена соответственно первым и вторым автоматом. Имеем:

Р(В₁) = 0,7;          Р(В₂) = 0,3

 =0,02                    = 0,05

По формуле Байеса  Р_А(В_k) =  (k = 1, 2, …, п) находим

Р_А(В₂) =  =  =  ≈ 0,52



5.     В первый класс должны были принять 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажутся 100 девочек, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.
Решение
Пусть событие А состоит в том, что в первый класс приняли 200 детей, девочек будет 100. Поскольку количество испытаний велико (n=200), то для нахождения вероятности того, что событие А появится ровно k=100 раз воспользуемся локальной теоремой Лапласса:

, где  и F(x) – диф. функция Лапласса-Гаусса.

По условию задачи вероятность рождения мальчиков равна q=0.515,значит

 вероятность рождения девочек равна p=1-q=1-0.515=0.485

Определим аргумент функции Лапласса-Гаусса x:



По таблице значений функций Лапласса определяем, что F(0,42)=0,1628

Теперь

  
6.     Случайная величина Х задана функцией f(x). Определить: а) плотность распределения f(x); b) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b); с) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функций F(x) и f(x).


Решение


                                                 0               x ≤ -1,5

а) f(x) = F'(x)                          f(x) =                   -1,5 < x ≤ 1,5

  0                x > 1,5
b
) P (a ≤ x ≤ b) =  =>

= > P (-1,5 ≤ x ≤ 1,5) =  =  =  (1,5 - 0,5) =    ≈ 0,33
c
)М(х)= = =    =    ≈ 0,75
      D(x)=
= = 3,9375  ≈  4

Построим графики F(x) и f(x)




7.     Даны результаты наблюдений некоторой случайной физической величины Х, сгруппированные в статистический ряд.

а) Построить гистограмму и полигон частот.

b) Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

с) Вычислить числовые характеристики:

1)            выборочную среднюю;

2)            выборочное среднее квадратичное отклонение;

3)            асимметрию;

4)            эксцесс;

5)            коэффициент вариаций.

d) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов а_x и е_х и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

е) Определить точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, записать плотность распределения вероятностей f(x).

f) Найти теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.

g) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

Время выполнения упражнения (с):

Границы интервалов	9,35-9,45	9,45-9,55	9,55-10,05
Частоты	5	7	2

Решение

Границы интервалов	9,35-9,45	9,45-9,55	9,55-10,05
Середины интервалов	9,40	9,50	9,80
Частоты	5	7	2	п = 14

а) Построим гистограмму и полигон частот.
Гистограмма частот


Полигон частот


b
) Составим эмпирическую функцию распределения и изобразим ее графически.

Найдём объём выборки: n = 5 + 7 + 2 = 14

Зная, что                      

0      при x < x₁

                    при x_k ≤ x ≤ x_k+1     (k € N)

                   1        при x ≤ x_s

 , при 9,35 < x < 9,45

, при 9,45 < x < 9,55

, при 9,55 < x < 10,05
можем записать эмпирическую функцию и изобразить графически:

0      при  х ≤ 9,35




                при  9,35 < x < 9,45
           , при  9,45 < x < 9,55
            1     при  9,55 ≤ x

с) Вычислим числовые характеристики:

1.            выборочную среднюю;

,

в данной задаче в качестве x_i возьмём серидины интервалов, а n_i – соответствующие этим интервалам частоты.

  ≈ 7,18
2.            выборочное среднее квадратичное отклонение;

 ,                     

≈  -  ≈ 38,87

 

  6,23
3.            асимметрию;

 ,                        
 ≈ 12,74
 ≈ 0,05
4.            эксцесс;

 ,                     
 ≈ 30
 -3 = -2,98017 ≈  -3

 

5.            коэффициент вариаций.

0,87
d
) По виду гистограммы и полигона, а также по значению выборочных коэффициентов а_x и е_х и, исходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

Решение:

Сделаем предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.

·               а_x = 0,05  и  е_х = -3, что неприемлимо для нормального закона распределения.

·               М(х) = σ(х) – для показательного закона распределения. Здесь имеем М(х) =  = 7,18, а
σ(х) = 6,23 => отпадает версия о показательном распределении.

·               При законе распределения Пуассона М(х) = D(х) = а. В данной задаче М(х) = 7,18, а

D(х)=d_B=  = ≈
≈ 5,44                   =>     и этот закон отпадает.

·               Таким образом, сходя из механизма образования исследуемой случайной величины Х можно сделать вывод-предположение, что она распределена  по биноминальному закону распределения.

е) Определим точные оценки параметров нормального закона распределения а и b, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, запишем плотность распределения вероятностей f(x).

Предположим, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону распределения, тогда параметр а – это математическое ожидание М(х), а параметр b – это среднее квадратичное отклонение σ(х).

Плотность распределения вероятностей f(x) будет выглядеть так:


а  = М(х) = 7,18 , b  = σ(х) = 6,23.

f
) Найдём теоретические частоты с нормальным законом с помощью основных критериев согласия – критерия Пирсона и критерия Колмагорова.

При нахождении теоретических частот  за оценку математического ожидания и среднего квадратического ожидания нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик  и σ_в , т.е.
m =  = 7,18 , G = σ_в = 6,23
 ,                    где n – объём выборки, n
= 14

        р_i – величина попадания значения нормально распределённой случайной величины в i-ый интервал.
р_i = р (а_i < x ≤ b_i ) ≈   ,

 ,                   

ai	bi	ni	T1i	T2i	1/2 Ф(T1i)	1/2 Ф(T2i)	pi	pi*n	Mti
9,35	9,45	5	0,35	0,36	0,1847	0,19465	0,00995	0,04975	0,05
9,45	9,55	7	0,36	0,38	0,19465	0,2045	0,00985	0,06895	0,07
9,55	10,05	2	0,38	0,46	0,2045	0,24235	0,03785	0,0757	0,08

g
) Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

 ,        γ = 0,95.

где   = δ – точность оценки,

        n – объём выборки,

        t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t) =  = 0,475 => t = 1,96

δ = 1,96 *  = 3,27

7,18 – 3,27 <   < 7,18 + 3,27

3,91 <  < 10,45

S =  =  =  ≈ 5,86 ,

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение
S( 1 - q) < σ < S( 1 + q) если q < 1
0 < σ < S( 1 + q)  если q < 1

По данным задачи  γ = 0,95 и n = 14 в специальном приложении найдём q = 0,48< 1. Итак:
6,23*( 1 – 0,48) < σ < 6,23*( 1 + 0,48)

     3,2396 < σ < 9,2204

           3,2 < σ
< 9,2
Математическое ожидание найдём при неизвестном σ нормального распределения.



По таблице в специальном приложении к учебнику определим t_γ => t_γ = 2,16
   6,23 – 2,16*

                  2,8535 9,6157

             2,9 9,6
8. Зависимость между признаками X и Y задана корреляционной таблицей. Требуется:

а) вычислить выборочный коэффициент корреляции;

b) составить уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y  на X.

X – стрела кривизны рельса, см.

Y – количество дефектов рельса, см на 25 м.

Y X	6,75-7,25	7,25-7,75	7,75-8,25	8,25-8,75
0	2	1		2
5		1	2
10				1
15		2		4
20		1	1	3

Решение
а) вычислим выборочный коэффициент корреляции;

 ,   C_xy = M(xy) – M(x)M(y) ,        M(xy) =

Y X	6,75-7,25	7,25-7,75	7,75-8,25	8,25-8,75	nx
	7	7,5	8	8,5
0	2	1		2	5
5		1	2		3
10				1	1
15		2		4	6
20		1	1	3	5
ny	2	5	3	10	20

M(x) = m_x =  

M(x) = m_x = 20* + 15* + 10* + 5* + 0 =
 = 10,75
M(y) = m_y =  7* + 7,5* + 8* + 8,5* =  = =8,025
M(xy) = 20*+ 15* +10* +
+ 5*  = 87,875
D(x) = M(x²) – [M(x)]² = 20²*+15²*+10²*+5²*+ 0- -87,875² = 176,25 - 115,56 =  60,6875
D(y) = M(y²) – [M(y)]² = 7²* + 7,5²* + 8²* + 8,5²* - 8,025² = 64,6875 -
-  64,40063 = 0,286875
σ(х) =  =  ≈ 7,8
σ(y) =  =  ≈ 0,54
 =  = 0,384961383 ≈ 0,4

Если || *  3, то связь между случайными величинами x и y
достаточно вероятна.

|0,4|* ≈ 1,39 < 3 – связь между случайными величинами x и y
мало вероятна.

b) составим уравнение прямых линий регрессии X на Y и Y  на X.
 =
 =  =  = 10 ,           =  =  =  7,75
 - 10 = 0,4 ** (y - 7,75)

 = 5,78y – 44,78 + 10

 = 5,78y – 34,78 – уравнение прямой линии регрессии X на Y
 =
– 7,75 = 0,4 ** (х - 10)

= 0,03y – 0,28 +7,75

= 0,38y + 7,47 - уравнение прямой линии регрессии Y на X