Реферат Логические формулы и операции Виды и правила вопросов
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Логические операции
.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.
Выделяют следующие логические операции: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквиваленция.
1. Операция инверсия (отрицание):
Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
Обозначается:
В естественном языке: соответствует словам "неверно, что..." и частице "не"
Диаграмма Эйлера-Венна:
Принимаемые значения:
| Диаграмма Эйлера-Венна: В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества соответствует множество, дополняющее его до универсального множества. | |
| | |
| | |
Пример: Луна — спутник Земли (А). Луна — не спутник Земли (
2. Операция конъюнкция (лат. conjunctio — соединение) (логическое умножение):
Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Обозначается:
В естественном языке: соответствует союзу "и"
Принимаемые значения:
| Диаграмма Эйлера-Венна: В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам. | |
| | |
| | |
Примеры:
1. 10 делится на 2 (A - и). 5 больше 3 (B - и). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A
2. 10 не делится на 2 (A - л). 5 больше 3 (B - и). 10 не делится на 2 и 5 больше 3 (A
3. 10 делится на 2 (A - и). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 и 5 не больше 3 (A
4. 10 не делится на 2 (A - л). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A
3. Операция дизъюнкция (лат. disjunctio — разделение) (логическое сложение):
Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
Обозначается:
В естественном языке: соответствует союзу "или"
Принимаемые значения:
| Диаграмма Эйлера-Венна: В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В. | |
| | |
| | |
Примеры:
1. 10 делится на 2 (A - и). 5 больше 3 (B - и). 10 делится на 2 или 5 больше 3 (A
2. 10 не делится на 2 (A - л). 5 больше 3 (B - и). 10 не делится на 2 или 5 больше 3 (A
3. 10 делится на 2 (A - и). 5 не больше 3 (B - л). 10 делится на 2 или 5 не больше 3 (A
4. 10 не делится на 2 (A - л). 5 не больше 3 (B - л). 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 (A
4. Операция импликация (лат. лат. implico — тесно связаны) (логическое сложение):
Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Обозначается: о
В естественном языке: соответствует обороту "если ..., то ..."
Принимаемые значения:
л
Примеры:
1. Данный четырёхугольник — квадрат (A - и). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - и). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A
2. Данный четырёхугольник — не квадрат (A - л). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - и). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность (A
3. Данный четырёхугольник — квадрат (A - и). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - л). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A
4. Данный четырёхугольник — не квадрат (A - л). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - л). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность (A
5. Операция эквиваленция (двойная импликация):
Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Обозначается: о
В естественном языке: соответствует оборотам речи "тогда и только тогда"; "в том и только в том случае"
Принимаемые значения:
Примеры:
1. 24 делится на 6 (A - и). 24 делится на 3 (B - и). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A
2. 24 не делится на 6 (A - л). 24 делится на 3 (B - и). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A
3. 24 делится на 6 (A - и). 24 не делится на 3 (B - л). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A
4. 24 не делится на 6 (A - л). 24 не делится на 3 (B - л). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 не делится на 3 (A
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (“не”), затем конъюнкция (“и”), после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь — импликация и эквиваленция.
Логические формулы.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.
Определение логической формулы:
1. Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.
2. Если А и В — формулы, то
3. Никаких других формул в алгебре логики нет.
В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.
Пример:
Рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог".
Обозначим буквой A высказывание: "купить яблоки", буквой B - высказывание: "купить абрикосы", буквой C - высказывание: "испечь пирог".
Тогда высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог" формализуется в виде формулы:
(A v B)
C
Формула выполнимая - если при определенных сочетаниях значений переменных она принимает значение "истина" ("1") или "ложь" ("0").
Как показывает анализ формулы (A v B)
Некоторые формулы принимают значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v
Тавтология - тождественно истинная формула, или формула принимающая значение "истина" ("1") при любых входящих в нее значениях переменных.
Логически истинные высказывания - высказывания, которые формализуются тавтологиями.
В качестве другого примера рассмотрим формулу А &
Противоречие - тождественно ложная формула, или формула принимающая значение "ложь" ("0") при любых входящих в нее значениях переменных.
Логически ложные высказывания - высказывания, которые формализуются противоречиями.
Равносильные формулы - две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных.
Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом
Равносильное преобразование формулы - замена формулы другой, ей равносильной.
