Реферат Характеристика электрических цепей постоянного тока
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1.1. ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА ПОСТОЯННОГО ТОКА
Систематическое исследование электрических явлений и их практических приложений исторически началось с изучения свойств не изменяющегося во времени тока — постоянного тока на рубеже
XVIII—
XIX вв. Этому способствовали наличие и доступность источников электрической энергии постоянного тока — сначала гальванических элементов (А. Вольта, 1745—1827), позднее аккумуляторов, а также первые успехи применения электричества для освещения (П. Н. Яблочков, 1847— 1894), электролиза и гальванопластики (Б. С. Якоби, 1801-1874).
Экспериментальное исследование свойств постоянного тока позволило выявить и обосновать ряд закономерностей и понятий (А. М. Ампер, 1775-1836; Г. С. Ом, 1787-1854; Ш. О. Кулон, 1736-1806 и др.). Дальнейшие исследования (М. Фарадей, 1791-1867; Э.Х. Ленц, 1804— 1865; Д. Генри, 1797-1878; В. Сименс, 1816-1892; Д. П. Джоуль, 1818-1889; В. Э. Вебер, 1804-1891; Д. К. Максвелл, 1831-1879; Г. Р. Герц, 1857-1894 и др.) показали, что большинство закономерностей, первоначально полученных при анализе цепей постоянного тока, являются фундаментальными законами электротехники.
Термином электротехническое устройство принято называть промышленное изделие, предназначенное для определенной функции при решении комплексной проблемы производства, распре деления, контроля, преобразования и использования электрической энергии. Электротехнические устройства постоянного тока весьма разнообразны, например аккумулятор, линия передачи энергии, амперметр, реостат. Постоянный ток применяется при электрохимическом получении алюминия, на городском и железнодорожном электротранспортере, в электронике, медицине и других областях науки и техники.
Быстрыми темпами развиваются и совершенствуются различные типы источников электрической энергии постоянного тока. Так, солнечные батареи и фотоэлементы служат основными источниками энергии космических аппаратов в автономном полете. Разрабатываются новые источники электрической энергии постоянного тока — МГД-генераторы. Их освоение позволит в перспективе существенно повысить КПД электрических станций.
1.2. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Электрическая цепь, или, короче, цепь, постоянного тока в общем случае содержит источники электрической энергии, приемники электрической энергии, измерительные приборы, коммутационную аппаратуру, соединительные линии и провода.
В источниках электрической энергии осуществляется преобразование в электрическую энергию каких-либо других форм энергии, например энергии химических процессов в гальванических элементах и аккумуляторах, тепловой энергии в термопреобразователях на основе термопар.
В приемниках электрической энергии электрическая энергия преобразуется, например, в механическую (двигатели постоянного тока), тепловую (электрические печи), химическую (электролизные ванны).
Коммутационная аппаратура, линии и измерительные приборы служат для передачи электрической энергии от источников, распределения ее между приемниками и контроля режима работы всех электротехнических устройств.
Графическое изображение электрической цепи называется схемой. Различают несколько способов изображения цепи. На рис. 1.1 в качестве примера приведено эскизное изображение электротехнических устройств и способа их соединения в простейшей цепи постоянного тока. При замыкании рубильника 1 к лампе накаливания 2 — приемнику электрической энергии — подключается источник электрической энергии постоянного тока — аккумуляторная батарея 3. Для контроля режима приемника энергии включены амперметр 4 и вольтметр 5. Но натурное изображение электротехнических устройств и их соединений приводит к громоздким и трудоемким чертежам. Изображение цепи можно упростить, если каждое электротехническое устройство заменить (по
правилам ГОСТ) его условным обозначением (рис. 1.2). Такие графические изображения цепей называются принципиальными схемами. Принципиальная схема показывает назначение электротехнических устройств и их взаимодействие, но неудобна при расчетах режима работы цепи. Для того чтобы выполнить расчет, необходимо каждое из электротехнических устройств представить его схемой замещения.
Схема замещения
электрической цепи состоит из совокупности различных идеализированных элементов, выбранных так, чтобы можно было с заданным или необходимым приближением описать процессы цепи.
Конфигурация схемы замещения цепи определяется следующими геометрическими (топологическими) понятиями: ветвь, узел, контур. Ветвь схемы состоит иэ одного или нескольких последовательно соединенных элементов, каждый из которых имеет два вывода (начало и конец), причем к концу каждого предыдущего элемента присоединяется начало следующего. В узле схемы соединяются три или большее число ветвей. Контур — замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям так, что ни одна ветвь и ни один узел не встречается больше одного раза.
Схема замещения (рис. 1.3) цепи, показанной на рис. 1.1, содержит три ветви, причем две состоят из одного элемента каждая, а третья — из трех элементов. На рисунке указаны параметры элементов: г — сопротивление цепи лампы, гу — сопротивление цепи вольтметра, г. —
сопротивление цепи амперметра, Е - ЭДС аккумулятора иг -его внутреннее сопротивление. Три ветви соединены в двух узлах а и Ь.
Бели значения параметров всех элементов схемы замещения цепи известны, то, пользуясь законами электротехники, можно рассчитать режим работы всех ее элементов, т. е. определить электрическое состояние всех электротехнических устройств.
В дальнейшем вместо термина схема замещения электрической цепи будем пользоваться сокращенными; схема цепи и, еще короче, схема.
1.3. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ
Согласно электронной теории электропроводности валентные электроны в металлах легко отделяются от атомов, которые становятся положительными ионами. Ионы образуют в твердом теле кристаллическую решетку с пространственной периодичностью. Свободные электроны хаотически движутся в пространстве решетки между атомами (тепловое движение), сталкиваясь с ними.
Под действием продольного электрического поля напряженностью £, создаваемого в проводнике длиной / источником электрической энергии, свободные электроны приобретают добавочную скорость (дрейфовую скорость) и дополнительно перемещаются в одном направлении (вдоль проводника на рис. 1.4).
В общем случае постоянный ток в проводящей среде представляет собой упорядоченное движение положительных и отрицательных зарядов под действием электрического поля, например в электролитах и газах движутся навстречу друг другу ионы с положительными и отрицательными зарядами. Так как направления движения положительных и отрицательных зарядов противоположны, то необходимо договориться о том, движение каких зарядов следует считать направлением тока. Принято считать направлением тока / направление движения положительных зарядов, т. е. направление, обратное направлению движения электронов в проводнике под действием электрического поля (рис. 1.4). Это направление показано стрелкой.
Постоянный ток / = \
Q\/
t, где
t — время равномерного перемещения суммарного заряда |
Q | через поперечное сечение рассматриваемого участка цепи.
Основная единица тока в международной системе единиц (СИ) — ампер (А)*, заряда — кулон (Кл).
Напряжением называется скалярная величина, равная линейному интегралу напряженности электрического поля. Разность потенциалов -напряжение в безвихревом электрическом поле, в котором напряжение не зависит от пути интегрирования. (Электрическое поле цепи постоянного тока — безвихревое.) Она вычисляется вдоль любых участков цепи, не содержащих ЭДС источников.
Постоянное напряжение для участка проводника (рис. 1.4)
· При постоянном токе 1 А в двух параллельных прямолинейных проводниках бесконечной длины и ничтожно малой площади поперечного кругового сечения, расположенных на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, сила их взаимодействия равна 2 • 10»7 Н/м (ньютон на метр.)
UTTU
где
t' =
qlk - сила, которая действовала бы на положительный заряд
q в однородном постоянном электрическом поле с напряженность^ £;
- работа электрического поля при перемещении положительного заряда вдоль участка проводника; <ра и <рь - потенциалы однородного постоянного электрического поля в поперечных сечениях а и Ь участка проводника.
Основная единица напряжения в системе СИ - вольт (В), напряженности электрического поля — вольт на метр (В/м).
При расчете це,пи действительные направления токов в ее элементах в общем случае заранее не известны. Поэтому необходимо предварительно выбрать условные положительные или, короче, положительные направления токов во всех элементах цепи.
Положительное направление тока в элементе (с сопротивлением г на рис. 1.5) или в ветви выбирается произвольно и указывается стрелкой. Если при выбранных положительных направлениях токов в результате расчета режима работы цепи ток в данном элементе получится положительным, т. е. имеет положительное значение, то действительное направление тока совпадает с выбранным положительным. В противном случае действительное направление противоположно выбранному положительному.
Положительное направление напряжения на элементе схемы цепи (рис. 1.5) также может быть выбрано произвольно и указывается стрелкой, но для участков цепи, не содержащих источников энергии рекомендуется выбирать его совпадающим с положительным направлением тока, как на рис. 1.5.
Если выводы элемента обозначены (например, а и
b
на рис. 1.5) и стрелка направлена от вывода а к выводу
bt то положительное направление означает, что определяется напряжение
Аналогичное обозначение можно принять и для тока. Например, обозначение 1дЬ указывает положительное направление тока в элементе цепи или схемы от вывода а к выводу Ъ.
1.4. РЕЗИСТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Столкновения свободных электронов в проводниках с атомами кристаллической репс тки тормозят их поступательное (дрейфовое) движение. Это противодействие направленному движению свободных электронов, т. е. постоянному току, составляет физическую сущность сопротивления проводника. Аналогичен механизм сопротивления постоянному току в электролитах и газах.
Для участка цепи с сопротивлением г (рис. 1.5) ток и напряжение связаны простым соотношением — законом Ома:
Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью:
g =
Mr .
Основная единица сопротивления в системе СИ — ом (Ом), проводимости - сименс (См).
Проводящие свойства материала определяют его объемное удельное сопротивление р„, равное сопротивлению между противоположными
сторонами куба с ребром 1 м, изготовленного из данного материала. Величина, обратная объемному удельному сопротивлению, называется
объемной удельной проводимостью: уу=\1ру.
Единицей объемного сопротивления служит 1 Ом • м, объемной удельной проводимости — 1 См/м.
Сопротивление проводника постоянному току зависит от температуры. В общем случае наблюдается достаточно сложная зависимость. Но при изменениях температуры в относительно узких пределах (примерно 200 ° С) ее можно выразить формулой
где /*! я /*2 — сопротивления соответственно при температурах &
i и 02; а — температурный коэффициент сопротивления, равный относительному изменению сопротивления при изменении температуры на 1 °С.
В табл. 1.1 приведены значения объемного удельного сопротивления и температурного коэффициента сопротивления некоторых материалов, где 1 мкОм = 10~6 Ом.
Электротехническое устройство, обладающее сопротивлением и применяемое для ограничения тока, называется резистором. Регулируемый резистор назьюается реостатом. Условные обозначения различных типов резисторов даны в табл. 1.2.
| Таблица 1.1. Удельное сопротивление и температурный коэффициент сопротивления некоторых проводниковых материалов | ||||
| Материал | Объемное удельное сопротивление при- 20° С, мкОм ■ м | Температурный коэффициент сопротивления (на 1 ° С) | ||
| Серебро | 0,016 | 0,0035 | ||
| Медь техническая | 0,0172-0,0182 | 0,0041 | ||
| Алюминий | 0,0295 | 0,0040 | ||
| Сталь | 0,125-0,146 | 0,0057 | ||
| Железо | 0,09-0,11 | 0,0060 | ||
| Чу 17 и | 0,15 | 0,001 | ||
| Свинец | 0,218-0,222 | 0,0039 | ||
| Вольфрам | 0,0503 | 0,0048 | ||
| Уголь | 10-60 | - 0,005 | ||
| Манганин (сплав: Си - 85%, Мп -12%, Ni-3%) | 0,040-0,52 | 0,00003 | ||
| Константам | 0,44 | 0,00005 | ||
| Нихром (сплав: Сг - 20%, № - 80%) | 1,02-1,12 | 0,0001 | ||
| Таблица L2. Условные графические изображения резисторов | ||||
| Наименование | Условное изображение | |||
| Резистор; | ||||
| постоянный | | |||
| о отвода ми | | |||
| переменный (реостат) | | |||
| с разрывом цепи | | |||
| без разрыва цепи | | |||
| переменный (реостат) со ступенчатым рсчулироиаписм | | |||
| | ||||
| саморегулирующийся нелинейно, например н зависимости от параметра внешней среды П | | |||
Резистивными элементами называются идеализированные модели резисторов и любых других электротехнических устройств или их частей, оказывающих сопротивление постоянному току независимо от физической природы этого явления. Они применяются при составлении схем замещения цепей и расчетах их режимов. При идеализации пренебрегают токами через изолирующие покрытия резисторов, каркасы проволочных реостатов и т. и.
Линейный резистивный элемент является схемой замещения любой части электротехнического устройства, в которой ток пропорционален напряжению. Его параметром служит сопротивление г =
const.
Если зависимость тока от напряжения нелинейна, то схема замещения содержит нелинейный резистивный элемент, который задается нелинейной вольт-амперной характеристикой
f(U) . На рис. 1.6 приведены вольт-амперные характеристики (ВАХ) линейного и нелинейного резистивных элементов (линии а, б), а также условные обозначения их на схемах замещения.
1.5. ИСТОЧНИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ЭНЕРГИИ ПОСТОЯННОГО
ТОКА
Рассмотрим источник энергии на примере гальванического элемента. Один из типов гальванических элементов (рис. 1.7, а) представляет собой две пластины — из меди Си и из цинка
Zn, помещенные в раствор серной кислоты
H2SO4 -*2Н+ +
SO”.
Вследствие химических процессов положительные ионы цинка
Zn++ переходят в раствор серной кислоты, оставляя на цинковой пластине избыток отрицательных свободных зарядов. Одновременно в растворе серной кислоты тяжелые и малоподвижные положительные ионы цинка
Zn + + оттесняют легкие и подвижные положительные ионы водорода Н + к медной пластине, на поверхности которой происходит восстановление нейтральных атомов водорода. При этом медная пластина теряет свободные отрицательные заряды, т. е. заряжается положительно. Между разноименно заряженными пластинами возникает однородное электрическое поле с напряженностью &, которое препятствует направленному движению ионов в растворе. При некотором значении напряженности поля £ = 60 накопление зарядов на пластинах прекращается. Напряжение или разность потенциалов между пластинами, при которой накопление зарядов прекращается, служит количественной мерой сторонней силы (в данном случае химической природы), стремящейся к накоплению заряда.
Количественную меру сторонней силы принято называть электродвижущей силой (ЭДС). Для гальванического элемента ЭДС Е = £0^ = = Uabx, где d - расстояние между пластинами; £/дЬх =<Ра х - fyx - напряжение, равное разности потенциалов между выводами пластин в режиме холостого хода, т. е. при отсутствии тока в гальваническом
элементе.
Если к выводам гальванического элемента подключить приемник, например резистор, то в замкнутой цепи возникнет ток. Направленное движение ионов в растворе кислоты сопровождается их взаимными столкновениями, что создает внутреннее сопротивление гальванического элемента постоянному току.
Таким образом, гальванический элемент, эскизное изображение которого дано на рис. 1.7, а, а изображение на принципиальных схемах -на рис. 1.7, б, можно представить схемой замещения (рис. 1.7, в), состоящей из последовательно включенных источника ЭДС Е и резистив-ного элемента с сопротивлением гвт, равным его внутреннему сопротивлению. Стрелка ЭДС указывает направление движения положительных зарядов внутри источника под действием сторонних сил. Стрелка напряжения Uab указывает направление движения положительных зарядов в приемнике, если его подключить к источнику энергии.
Схема замещения на рис. 1.7, в справедлива для любых других источников электрической энергии постоянного тока, которые отличаются от гальванического элемента физической природой ЭДС и внутреннего сопротивления.
1.6. ИСТОЧНИК ЭДС И ИСТОЧНИК ТОКА
Рассмотрим процессы в цепи, состоящей из источника электрической энергии, подключенного к резистору с сопротивлением нагрузки V
Представим источник электрической энергии схемой замещения ни
рис. 1.7, в, а всю цепь - схемой на рис. 1.8, д.
Свойства источника электрической энергии определяет вольт-ампер-
пая характеристика или внешняя, характеристика - зависимость напряжения между его выводами Uab = U от тока / источника, т. е. £/(/)
которой соответствует прямая на рис. 1.9, а. Уменьшение напряжения источника при увеличении тока объясняется увеличением падения напряжения на его внутреннем сопротивлении гвт. При напряжении U=Q ток источника равен току короткого замыкания: / =1К~Е/ГВТ-
Участок внешней характеристики при отрицательных значениях тока соответствует зарядке аккумулятора.
Во многих случаях внутреннее сопротивление источника электрической знергии мало по сравнению с сопротивлением гц и справедливо неравенство г
I < Е. В этих случаях напряжение между выводами источника электрической энергии практически не зависит от тока, т. е.
U яв Е = const.
Источник электрической энергии с малым внутренним сопротивлением можно заменить идеализированной моделью, для которой г =0. Такой идеализированный источник электрической энергии называется идеальным источником ЭДС с одним параметром Е = Ux~ U. Напряжение между выводами идеального источника ЭДС не зависит от тока, а его внешняя характеристика определяется выражением
которому соответствует прямая на рис. 1.9, б. Такой источник называется также источником напряжения. На этом же рисунке показано изображение идеального источника ЭДС на схемах.
В ряде специальных случаев, в частности в цепях с полупроводниковыми приборами и электронными лампами, внутреннее сопротивление источника электрической энергии может быть во много раз больше сопротивления нагрузки ги (внешней по отношению к источнику части цепи). При выполнении условия гвт > г(| в таких цепях ток источника электрической энергии
т. е. практически равен току короткого замыкания источника. Источник электрической энергии с большим внутренним сопротивлением можно заменить идеализированной моделью, у которой гвт -* ~> и £■->«• и для которой справедливо равенство
E/rBT -J . Такой идеализированный источник электрической энергии называется идеальным источником тока с одним параметром
J =/к. Ток источника тока не зависит от напряжения между его выводами, а его внешняя характеристика определяется выражением
которому соответствует прямая на рис. 1.9, в. На этом же рисунке дано изображение источника тока на схемах. Участок внешней характеристики с отрицательным значением напряжения соответствует потреблению источником тока энергии из внешней относительно него
цепи.
От схемы замещения источника энергии на рис. 1.8, а можно перейти к эквивалентной схеме замещения с источником тока. Для этого разделим все слагаемые выражения (1.2) на внутреннее сопротивление источника г ■
или
Последнее равенство можно истолковать следующим образом: ток источника тока J складывается из тока / в резистивном элементе гн (во внешнем участке цепи) и тока /вт в резистивном элементе с сопротивлением лвт, включенном между выводами а и b источника энергии (рис. 1.8,-б).
Отметим, что представление реальных источников электрической энергии в виде двух схем замещения является эквивалентным представлением относительно внешнего участка цепи: в обоих случаях одинаковы напряжения между вьшодами источника.
Однако энергетические соотношения**!* двух схемах замещения не одинаковы. Не равны между собой мощности, развиваемые источником ЭДС (рис. 1.8, a) EI и источником тока (рис. 1.8,5) UJ, а также мощности потерь г I2
Ф г
I2 (см. о мощности ниже, в § 1.15).
ВТ ВТ
ВТ
В теории цепей различают независимые и зависимые источники ЭДС и тока. В последнем случае источники имеют отличительное изображение на схемах, например Е{1') (рис. 1.9, г), J (£/') (рис. 1.9, д), где /' и U’ — ток и напряжение какой-либо из ветвей цепи, а их параметры зависят от значений других величин.
1.7. ПЕРВЫЙ
И
ВТОРОЙ
ЗАКОНЫ
КИРХГОФА
Два закона Кирхгофа, называемые иногда правилами Кирхгофа, — основные законы электрических цепей. Оба закона были установлены на основании многочисленных опытов.
Согласно первому закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для токов) алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:
где со знаком плюс записываются токи с положительными направлениями от узла, а со знаком минус — с положительными направлениями к узлу, или наоборот. Иначе: сумма токов, направленных от узла, рев-на сумме токов, направленных к узлу. Например, для узла цепи на рис. 1.10
или
Этот закон является следствием того, что в узлах цепи постоянного тока заряды не могут накапливаться. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов й токи в ветвях.
Согласно второму закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для напряжений) алгебраическая сумма напряжений участков любого контура электрической цепи равна нулю;
где
m — число участков контура.
В (1.6) со знаком плюс записываются напряжения, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус — противоположно направленные, или наоборот.
В частности, для контура схемы замещения цепи, содержащего только источники ЭДС и резистивные элементы, алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС:
где
m - число резистивных элементов; п — число ЭДС в контуре.
В (1.7) со знаком плюс записываются ЭДС и токи, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус — противоположно направленные, или наоборот. Для контуров, содержащих источники тока, например контура 1, показанного штриховой линией на рис. 1.11, допустима запись второго закона Кирхгофа только в виде (1.6), но не в виде (1.7).
Второй закон Кирхгофа (1.6) является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкнутого контура длиной / в безвихревом поле §
Јdl =0. Например, для контура 1 на рис. 1.11 по (1.6)
для контура 2 по (1.7)
В частном случае в контур может входить только одна ветвь цепи, так что он замыкается вне ветвей цепи (рис. 1.12). В этом случае согласно (1.7)
откуда
Уравнение (1.8) выражает обобщенный закон Ома для любой ветви с источником ЭДС (но без источников тока) с суммарными сопротивлением г и ЭДС Е или отдельного участка этой ветви с параметрами г 'и Е.
1.8. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА ОМА И ЗАКОНОВ КИРХГОФА ДЛЯ РАСЧЕТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В общем случае схема замещения цепи имеет В ветвей, из которых
Bj ветвей содержат источники тока и У узлов.
Рассмотрим сначала расчет режима в цепи без источников тока, т. е. при
Bj = 0. Ее расчет сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить У — 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа пК=В-У+1 независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми.
Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов потому, что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.
В качестве примера рассмотрим расчет цепи, схема замещения которой показана на рис. 1.13 и которая содержит У = 2 узла и В = 3 вет-
Рис. 1.13
ви, т.
t. К - В - У
+ 1 =3 — 2 + 1 = 2 независимых контура (/ и 2, или
/ и 3, или 2 и 3).
Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей Л,
h, h- По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У — 1 = = 2 — 1=1) независимое уравнение, например для узла а
и по второму закону Кирхгофа — два (К - 2) независимых уравнения, например для контура 1 п 2
Решение системы трех уравнений (1.9) с тремя неизвестными токами, например методом подставок, определяет токи ветвей 1Х, 12, /3.
Систему алгебраических уравнений сложной цепи, составленных на основе законов Ома и Кирхгофа, целесообразно решать численными методами на ЭВМ. Например, для схемы замещения без источника тока удобно воспользоваться матричной формой
где А и В — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка В х В, где В — число ветвей; 1 и Е - матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.
Элементы матрицы А и В являются коэффициентами в уравнениях (1.10) соответственно при токах и ЭДС. Отсутствие тех или иных токов и ЭДС в каких-либо уравнениях задается значениями «нуль» соответствующих элементов матриц.
Реше ние системы (1.10):
где
(1.116)
- обратная матрица; Д и А-к - определитель матрицы А и алгебраические дополнения ее элементов
aif[;
- матрица так называемых собственных
gu и взаимных
gik проводимо стей.
Токи ветвей:
Форма записи системы уравнений (1Л2) предполагает, что направления ЭДС и положительные направления токов в ветвях совпадают. Так, система уравнений (1.9) в матричной форме
или
определяет токи ветвей;
где
Математическое обеспечение современных ЭЗМ имеет стандартные подпрограммы решения системы алгебраических уравнений в матричной форме.
При расчете схем замещения с источниками тока возможны упрощения. Действительно, токи В, ветвей с источниками тока известны.
Поэтому число независимых контуров (без источников тока!), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно К= В ~ Bj-
У+ \.
При помощи законов Ома и Кирхгофа можно рассчитать режим работы любой электрической цепи. Однако порядок системы уравнений может быть большим. Для упрощения вычислений применяют различные расчетные методы: контурных токов, узловых потенциалов, межузлового напряжения, эквивалентного источника и т. д. Все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа.
1.9. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СХЕМ
В ряде случаев расчет сложной электрической цепи упрощается, если в ее схеме замещения заменить группу резистивных элементов другой эквивалентной группой, в которой резистивные элементы соединены иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится.
А. Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюю по отношению к нему части схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов.
Для расчета такой цепи удобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов. Например, в цепи на рис. 1.14, а между узлами а и Ъ включены три резистивных элемента с сопротивлениями r2t r3 иг4, т. е. про води мостя ми g2 = 1/^2» £з = 1/^з* #4 = 1/^4; эквивалентная проводимость
После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением г =
Ijg получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивных элементов г, и гэ (рис. 1.14,5).
Ток в не разветвленной части
и токи в параллельных ветвях
где
Б. Соединение резистивных элементов по схеме звезды и треугольника. В общем случае схему замещения цепи по схеме /i-лучевой звезды из резистивных элементов можно заменить эквивалентной схемой в виде w-стороннего многоугольника. Обратное преобразование возможно в ограниченном числе случаев. В частности, преобразования в обоих направлениях возможны для случая треугольника и трехлучевой звезды. Такое преобразование применяется при расчетах сложных цепей постоянного тока и цепей трехфазного тока (см. гл. 3).
Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды (рис. 1.15) получается приравниванием значений сопротивлений или проводимо-стей между одноименными узлами этих схем, отсоединенных от остальной части цепи.
Найдем сопротивление между узлами Аи В.
Проводимость между узлами А и В для схемы треугольника на рис. 1.15, дг
Сопротивление между узлами А и В - величина, обратная проводимости между этими узлами, т. е.
Рис. 1.15
Для схемы звезда на рис. 1.15,6 сопротивление между теми же узлами А и В равно сумме сопротивлений двух ветвей: гА + гд. Согласно условию эквивалентности должно выполняться равенство
здесь
-сумма сопротивлений всех ветвей для треугольника.
Структуры треугольника и звезды по отношению к узлам симметричны. Поэтому уравнения равенства сопротивлений между узлами В и С и между узлами С и А можно получить из (1.17) простой циклической перестановкой индексов:
Чтобы определить сопротивление гА звезды, сложим (1.17) и (1.19) и вычтем из этой суммы (1.18); разделив последнее на 2, найдем
Сопротивления других ветвей звезды получим путем циклической перестановки индексов:
В случае равенства сопротивлений ветвей треугольника (гАВ = гвс = = гСА = Гд) сопротивления ветвей
эквивалентной звезды тоже одинаковы:
Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эквивалентный треугольник. Для этого перемножим попарно выражения (1.20) — (1.22) и сложим полученные произведения:
Последнее уравнение разделим на (1.22) и определим сопротивление ветви треугольника:
Путем циклической перестановки индексов в (1.24) найдем выражения для сопротивлений двух других ветвей:
Примером упрощения расчетов может служить преобразование мостовой схемы соединения резистивных элементов (рис, 1.16, а). После замены одного из треугольников эквивалентной звездой всю цепь (рис. 1.16, б) можно рассматривать как смешанное соединение резистивных элементов.
1.10. МЕТОД УЗЛОВЫУ ПОТЕНЦИАЛОВ
Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до У — 1, где У - число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем:
1) один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым потенциалом. Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов;
2) для остальных У - 1 узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов;
3) решением составленной системы уравнений определяем потен-
циалы У - 1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома (Ь8).
Рассмотрим применение метода на примере расчета цепи по рис. 1.17, содержащей У = 3 узла. Узел 3 принимаем базисным, т. е. <^з =0. Для узлов 1 и 2 уравнения по первому закону Кирхгофа:
узел 1
узел 2
где
т. е. после подстановки
или в матричной форме
Решение системы уравнений (1.27а) методом подстановок или (1.276) численным методом на ЭВМ определяет потенциалы узлов ifix и^,а следовательно, и токи ветвей по (1.8).
Из записи (1.27) очевиДен принцип составлений уравнений по методу узловых потенциалов. В левой части уравнений коэффициент при потенциале рассматриваемого узла положителен и равен сумме прово-димостей сходящихся к нему ветвей. Коэффициенты при потенциалах узлов, соединенных ветвями с рассматриваемым узлом, отрицательны и равны» про-водимостям соответствующих ветвей.
Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму токов ветвей с источниками токов и токов короткого замыкания ветвей с источниками ЭДС, сходящихся к рассматриваемому узлу, причем слагаемые берутся со знаком плюс (минус), если ток источника тока и ЭДС направлены к рассматриваемому узлу (от узла).
В частном случае схемы замещения без источников тока с двумя узлами потенциал узла 1 при базисном узле 2, т. е. при v?2 = 0, равен напряжению между узлами
Выражение (1.28) называется формулой межузлового напряжения. Например, для цепи на схеме рис. 1.18 напряжение между узлами по (1.28)
1.11. метод контурных токов
Метод контурных токов позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до К = В -
Bj - У + \ и основан на применении второго закона Кирхгофа.
Рассмотрим сущность метода сначала для расчета схемы цепи без источников тока,т.е. при В, ~0:
1) выбираем К = В — У + 1 независимых контуров и положительных направлений так называемых контурных токов, каждый из которых протекает но всем элементам соответствующего контура.
Для планарных схем, т. е. допускающих изображение на плоскости без пересечения ветвей, достаточным условием выделения А.' незави-
симых контуров является наличие в каждом из них хотя бы одной ветви, принадлежащей только этому контуру;
2) для К независимых контуров составляем уравнения но второму закону Кирхгофа, совместное решение которых определяет все контурные токи;
3) ток каждой ветви определяем по первому закону Кирхгофа как алгебраическую сумму контурных токов в соответствующей ветви.
В качестве примера рассмотрим расчет цепи на рис. 1.19, а с числом ветвей В -6, узлов У - 4, независимых контуров К -В — У +• 1 = 6 •- 4 + + 1=3. Выбирем независимые контуры 1-3
w положительные направления контурных токов в них /| 1, /22 и /1Л (рис. 1.19,(5). В отличие от токов ветвей каждый контурный ток обозначим двойным индексом номера контура. Уравнения по второму закону Кирхгофа:
или в матричной форме
РецЕние системы уравнений (1.29а) мгтодом подстановок или (1.196) численными методами на ЭВМ определяет контурные токи Л 1, Л2. Лз- Токи ветвей (рис.
*J
.19) находим по первому закону Кирхгофа: /,=/,,, /2=/22,
h
=/-13- ;4 = -7м -'зз,
h
=1гг
+
hi,U =
=
/j
! - /22 .
Из (1.29) очевиден принцип составления уравнений по методу контурных токов. В левой части уравнений коэффициент при контурном токе рассматриваемого контура положителен и равен сумме сопротив-
лений его ветвей. Коэффициенты при контурных токах в контурах, имеющих общие ветви с рассматриваемым контуром, равны сумме сопротивлений общих ветвей со знаком плюс (минус), если направления контурных токов в общих ветвях совпадают (противоположны).
Первая часть уравнений содержит алгебраическую сумму ЭДС ветвей рассматриваемого контура, причем слагаемое записывается со знаком плюс (минус), если направления ЭДС и положительное направление контурного тока совпадают (противоположны).
При расчете схемы замещения с источниками тока возможны упрощения. Контурный ток, выбранный так, что других контурных токов в ветви с источником тока нет, известен. Поэтому в схеме с В ветвями, В. из которых содержат источники тока, число независимых контуров без источников тока и соответствующих им неизвестных контурных токов равно К = В —
Bj — У + 1.
Например, в цепи на схеме рис. 1.20 число ветвей В = 5, ветвей с источниками тока В - 2, узлов У - 3, независимых контуров без источников тока К=В -
Bj -У+1=5-2-3+1-=1 (контур 3). Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура 3 при выбранных положительных направлениях контурных токов:
т.е.
где
- известные токи контуров I и 2.
Токи ветвей:
1,12. ПРИНЦИП
И
МЕТОД
НАЛОЖЕНИЯ
(СУПЕРПОЗИЦИИ
)
Для линейных электрических цепей справедлив принцип наложения: ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов в этой ветви (частичных токов) при действии каждого источника в отдельности, если остальные источники заменяются резисторами с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлениям соответствующих источников*.
На оснойе принципа наложения для расчетов линейных цепей применяется метод наложения (суперпозиции). - ~
В схем*1 замещения с В эетвями ток каждой к-и ветви равеналге-браической сумме частичных токов от действия каждой из ЭДС li. ветви / и каждого источника тока J. ветви / .
Для схемы без источников тока метод наложения определяется системой (1.12):
где
- собственная проводимость ветви к, равная отношению частичного тока ветви к ЭДС источника этой ветви при условии, что ЭДС остальных источников равны нулю;
взаимная проводимость ветвей к и / , равная отношению частичного тока ветви к к ЭДС источника ветви i при условии, что ЭДС остальных источников равны нулю.
Собственная проводимость ветви имеет положительное значение, так как по договоренности (см. § 1.8) положительное направление ее тока и ЭДС источника выбираются одинаковыми. Взаимная проводимость двух ветвей может иметь положительное и отрицательное значения, причем (1.13)
что означает выполнение принципа взаимности.
Взаимная проводимость отрицательная, если при выбранном положительном направлении частичного тока в ветви к его численное значение получается отрицательным (действительное направление частичного тока противоположно положительному).
Принцип взаимности выполняется для всех линейных цепей с независимыми источниками. Но он в общем случае не справедлив для ли-
В механике принцип наложения именуется принципом независимого действия сил, согласно которому движение тала под действием нескольких сил можно рассматривать как результат сложения движений, вызываемых каждой силой в отдельности.
Рис. 1.21
не иной цепи с зависимыми источниками, например для схемы замещения усилителя в режиме малого сигнала.
В качестве примера рассмотрим расчет методом наложения цепи на рис. 1.21, а. Токи ветвей равны сумме частичных токов в схемах на рис. 1.21, б и в:
где собственные проводимости ветвей
gn и #2 2 имеют положительные значения, взаимные проводимости ветвей #12 =£21 — отрицательные значения,
a g3i и #32 - положительные значения (1.14) и обозначено
В схемах замещения с источниками тока частичные токи ветвей определяются от каждого из них при исключении остальных источников тока в результате разрыва содержащих их ветвей.
1.13. ПРИНЦИП КОМПЕНСАЦИИ
Различают принципы компенсации напряжения и компенсации тока.
Принцип компенсации напряжения заключается в том, что участок а -
b схемы с напряжением
U . можно заменить эквивалентным источником ЭДС Е =
U ., направление действия которого противоположно положительному направлению напряжения
U ь. Доказательство принципа следует из второго закона Кирхгофа (1.6), в котором любое слагаемое суммы напряжений участков можно перенести с противополож-
Рис. 1.22
ным знаком в правую часть уравнения, что эквивалентно замене соответствующего участка источником ЭДС. Например, уравнения контуров цепи на рис. 1.22, а
и на рис. 1,22,6
эквивалентны, если Е- £/дй.
Принцип компенсации тока заключается в том, что участок а - b схемы с током / й можно заменить эквивалентным источником тока
J = / £, направление которого совпадает с положительным направлением тока / ь. Действительно, уравнения по первому закону Кирхгофа
для узлов а и b цепей на рис, 1.22, а и в будут одинаковы, если в последней ветвь а - Ъ заменена источником тока J = IQh.
' 1.14.
МЕТОД
ЭКВИВАЛЕНТНОГО
ИСТОЧНИКА
(
АКТИВНОГО
ДВУХПОЛЮСНИКА
)
Двухполюсником называется цепь, которая соединяется с внешней относительно нее частью цепи через два вывода — полюса, Различают активные и пассивные двухполюсники. Активный двухполюсник со-
Рис. 1.23
Рис. 1.24
держит источники электрической энергии, а пассивный двухполюсник их не содержит. Условные обозначения активного А и пассивного П двухполюсников приведены на рис. 1.23. Для расчета цепей с двухполюсниками последние представляют схемами замещения.
Схема замещения линейного двухполюсника определяется его линейной вольт-амперной или внешней характеристикой
U (J).
Вольт-амперная характеристика пассивного двухполюсника — прямая а на рис. 1.6. Поэтому его схема замещения представляется ре-зистивным элементом с сопротивлением
где и, 1 и гвх - напряжение между выводами, ток и входное сопротивление пассивного двухполюсника.
Вольт-амперную характеристику активного двухполюсника (рис. 1.24, а) можно построить по двум точкам, соответствующим режимам холостого хода, т. е. при г =°°, 11=11, / =0, и короткого замыка-ния, т. е. при гн =0, (/ = 0, 1=1 . Эта характеристика и ее уравнение
где
- эквивалентное или выходное сопротивление двухполюсника, совпадают с одноименными характеристикой и уравнением (1.2) источника
электрической энергии, представляемого схемами замещения на рис. 1.8. Итак, активный двухполюсник представляется эквивалентным источником с ЭДС Е^к =
Ux и внутренним сопротивлением г^к -= г (рис. 1.24, а). Как следует из сравнения рис. 1.24, а с рис. 1.8, а, гальванический элемент — это пример активного двухполюсника.
При изменении тока в пределах 0 </
</R активный двухполюсник отдает энергию во внешнюю цепь. При токе / < 0, т. е. действительном направлении тока, обратном показанному на рис. 1.24, а, получает энергию из внешней цепи. Это возможно, если к выводам а - Ь двухполюсника присоединен не резистор с сопротивлением нагрузки гн, а участок внешней цепи, содержащий необходимые источники энергии.
Если приемник с сопротивлением нагрузки ги подключен к активному двухполюснику, то его ток определяется по методу эквивалентного источника:
что следует из второго закона Кирхгофа.
В качестве примера рассмотрим расчет тока / в цепи на рис. 1.25, а методом эквивалентного источника. Для расчета напряжения холостого хода
U между выводами а и Ъ активного двухполюсника разомкнем ветвь с резистивным элементом гн (рис. 1.25, б). Применяя метед на-лои€ния и учитывая симметрию схемы, находим
Заменив источники электрической энергии (в этом примере источники ЭДС и тока) активного двухполюсника резистивными элементами с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлениям соответствующих источников (в этом примере нулевым для источника ЭДС и бесконечно большим для источника тока сопротивлениями), полу-
Рис. 1.25
чим выходное сопротивление (сопротивление, измеренное на выводах а и Ь) г - г/2 (рис. 1.25,в). По (1.34) искомый ток
1.15. РАБОТА И МОЩНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС
Работа, совершаемая электрическим полем мри перемещении положительного заряда Q вдоль неразветвлеиного участка а - /) электрической цепи, не содержащего источников электрической энергии, равна произведению этого заряда на напряжение Uaf} = U между концами участка: А =
QU. При равномерном движении заряда в течение времени /, т. с. при постоянном токе / ^ = /, заряд
Q = h и работа Л = Ult.
Для оценки энергетических условий важно знать, сколь быстро совершается работа, т. е. определить мощность
Р =
VI. (I -35)
Основная единица работы в системе СИ - джоуль (Дж), мощности ватт (Вт).
Практической единицей измерения электрической энергии служит киловатт-час (кВт • ч), т. е. работа, совершаемая при неизменной мощности 1 кВт в течение 1 ч. Так как 1 Вт ■ с = 1 Дж, то 1 кВт ■ ч = = 3 600 000 Дж.
Для резистивных элементов выражение (1.35) можно преобразовать, воспользовавшись законом Ома
U-rl;
Для источника ЭДС, направление которой совпадает с направлением тока (рис. 1.26, а), мощность сторонних сил Р}/ = Uab I - El. Баш направления ЭДС и тока противоположны, то мощность Р^ - -
Uaf} I =
-VI (рис. 1.26, б) (например, при зарядке аккумулятора). Аналогично мощность источника тока Р. =
U })l = Vaf?J, если направления тока внутри источника J -
I и напряжения между его выводами L’afj противоположны (рис. 1.26, в). В противном случае мощность Р, -
Uaf)f = = -U ,J (рис. 1.26, г), т. с. источник получает энергию из внешней цепи.
Заметим, что идеальные источники ЭДС и тока могут развивать бесконечно большую мощность. Действительно, подключим к каждому
источнику приемник с сопротивлением нагрузки г . В первом случае, если г -* 0, ток /^°°и, следовательно, мощность
Pj. -F.I -*«>, а во втором случае, если гн -^°°, напряжение
U-* °° и мощность Р
f
= UJ -*
В любой электрической цепи должен соблюдаться энергетический баланс — баланс мощностей: алгебраическая сумма мощностей всех источников энергии (в частности, источников тока и источников ЭДС) равна арифметической сумме мощностей всех приемников энергии (в частности, резистивных элементов) :
В качестве примера составим баланс цени на рис. 1.19:
1.16. УСЛОВИЕ ПЕРЕДАЧИ ПРИЕМНИКУ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
В устройствах связи, в электронике, автоматике и т. д, часто желательно передать от источника к приемнику (исполнительному механизму) наибольшую энергию, причем КПД передачи имеет второстепенное значение в силу малости энергии. Рассмотрим общий случай питания приемника с сопротивлением гн от активного двухполюсника. На рис. 1.27 последний представлен эквивалентным источником с ЭДС Е и внутренним сопротивлением г (см. § 1.14). Найдем мощно-сти приемника
источника ЭДС Е
ЭК
и КПД передачи энергии
При двух предельных значениях сопротивления гн = 0 и гн =°° мощность приемника равна нулю, так как в первом случае равно нулю напряжение между выводами приемника, а во втором случае — ток в цепи. Следовательно, некоторому определенному значению г^ соответствует наибольшее возможное (при данных /Г и /■) значение мощно-сти приемника. Чтобы определить это значение сопротивления, приравняем нулю первую производную от мощности Рн по гн:
Так как знаменателе этого выражения не равен бесконечности, то
откуда следует, что при условии
мощность приемника будет максимальна:
Равенство (1.38) называется условием максимальной мощности приемника, т.е. передачи максимальной энергии.
На рис. 1.28 приведены зависимости U , Р ,Р^ат) от тока /.
Н Н п*
Если приемник с сопротивлением нагрузки г подключен к источнику с внутренним сопротивлением rRj (см. рис. 1.8), то его мощность будет максимальна при
