Реферат Понятие о сферической геометрии

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 23.11.2024

Содержание.

Введение                                                                                               2

Глава 1. Общие понятия сферической геометрии                               3

Глава 2. Сферическая геометрия на Eⁿ⁺¹.

          2.1. Элементы сферической геометрии.                                     8

          2.2. Сферическая тригонометрия.                                              11

          2.3 Группа изометрии.                                                                14

Глава 3. Геометрия на сфере с точки зрения дифференциальной       16

геометрии.

Глава 4. Элементы геометрии на небесной сфере                                23

Заключение.                                                                                          27

Список литературы.                                                                              28
Введение.

    Огромное впечатление, произведенное на умы математиков открытием Лобачевского, Бойяи и Гаусса, быть может, было бы несколько менее сильным, если бы люди заметили, что еще задолго до Лобачевского они фактически уже владели содержательной геометрической схемой, отличной от традиционной геометрии Евклида, т. е. уже знали одну из неевклидовых геометрий. Однако твердое убеждение всех ученых в универсальности системы Евклида не позволило им оценить по достоинству тот запас знаний, которым они располагали. Именно поэтому первым примером геометрической системы, отличной от классической геометрии Евклида, считается обычно неевклидова геометрия Лобачевского. Значительно же более простая схема, по существу разработанная с большими деталями за много веков до Лобачевского, связывается обычно с именем гениального немецкого математика Бернхарда Римана, впервые обратившего внимание на родство этой схемы с классической геометрией Евклида и неевклидовой геометрией Лобачевского.

    По аналогии с плоскостью в пространстве Евклида имеется только два типа поверхностей, которые могут без деформации передвигаться сами по себе, так, чтобы каждая точка поверхности совмещалась с любой другой ее точкой и притом, чтобы направление любой касательной к поверхности в первой точке совместилось с направлением любой касательной во второй точке. Такими поверхностями являются плоскости и сферы.

     Геометрия на сфере имеет сходства с геометрией на плоскости. Поэтому теоремы и аксиомы плоскости аналогичны теоремам и аксиомам сферы.

Глава 1. Общие понятия сферической геометрии.
Сферическая геометрия – математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается большая окружность. Через каждые две точки А и В на сфере, кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственную большую окружность. Большая окружность сферы являются ее геодезическими линиями и поэтому в сферической геометрии играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Роль окружностей в сферической геометрии играют так называемые малые окружности, т. е. сечения сферы плоскостями, не проходящими через ее центр.

Ясно, что любую окружность можно в сферической геометрии определить как множество точек, удаленных от фиксированной точки Q на постоянное расстояние ρ; точка Q называется при этом полюсом окружности, а расстояние ρ - ее радиусом. У каждой окружности на сфере имеются два полюса Q₁, Q₂ (рис 2)(являющихся диаметрально противоположными точками сферы, и соответственно этому два радиуса ρ₁,ρ_2.Если эти радиусы различны, то имеем малую окружность, если же они совпадают (и равны πr/2), то - большую окружность.

Большие и малые окружности сферы аналогичны прямым и окружностям на плоскости еще и в том отношении, что существуют движения сферы (повороты, Рис.3),

переводящие их в себя. Из этого ясно, что большие и малые окружности являются "однородными" линиями, т. е. во всех своих точках они устроены совершенно одинаково.

Под расстоянием между двумя точками на сфере понимается длина меньшей из двух дуг большой окружности, соединяющей эти точки, то есть дугу АmВ(рис.1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом АОВ. Это определение следует видоизменить лишь для случая диаметрально противоположных точек A и A₁ сферы; для них существует бесконечно много соединяющих их дуг больших окружностей, и все они имеют одну и ту же длину πr (где r - радиус сферы), которую и принимаем за расстояние между A и A₁.

При пересечении двух больших кругов на сфере образуются четыре сферических двуугольника (рис.4). Сферический двуугольник – это фигура новая, раннее не встречающаяся. Она определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле

, (1.1)

рис 4. где R – радиус сферы, А – угол двуугольника, выраженный в радианах.

Роль треугольников и многоугольников в сферической геометрии играют сферические треугольники и многоугольники, образованные дугами больших окружностей (Рис. 5).
Рис 5

Три больших окружности, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников(рис.6); зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называются эйлеровыми треугольниками).

Стороны a
,
b
,
c сферического треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС (рис.7), углы А, В, С треугольника – двугранными углами того же трехгранного угла. Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется еще четвертый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).

Равными   треугольниками   считаются   те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники АС’С и ВСС’ на рис.8.

Во всяком   сферическом   треугольнике каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2π. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3π и больше π. Разность

                                                   ,                                        (1.2)

где S – сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется    по формуле

                                                   ,                                         (1.3)

где R – радиус сферы.

Заметим также следующее, что расстояние OM от начала координат O до произвольной точки M с координатами x, y, z определяется соотношением

OM² = x² + y² + z².     (1.5)

В самом деле, обозначив через N основание перпендикуляра, опущенного из точки M на горизонтальную плоскость, получим, в силу теоремы Пифагора, OM² = OP² + z², а OP² = x² + y², откуда и следует, что OM² = x² + y² + z². Если радиус нашей сферы равен r, то, в силу соотношения (1.5), координаты всех точек сферы удовлетворяют условию

x² + y² + z² = r².     (1.6)

Расстояние M₁M₂ между двумя произвольными точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) пространства определяется по общей формуле

(1.7)

(частным случаем которой является формула (1.5)), а угол φ между двумя отрезками OM₁ и OM₂, исходящими из точки O, - по формуле

(1.8)

Расстояние же ω между этими точками, измеренное по большой окружности сферы, в соответствии с соглашениями, принятыми в сферической геометрии, равно углу φ между отрезками OM₁ и OM₂, умноженному на радиус r сферы; поэтому, согласно соотношениям (1.6) и (1.8), это расстояние вычисляется по формуле

     (1.9)



Глава 2. Сферическая геометрия на
Eⁿ
⁺¹
.

2.1 Элементы Сферической геометрии.

         Eⁿ⁺¹- n-мерное евклидово пространство, с ортонормированным репером {0, e₁, e₂, .., e_n₊₁}. Гиперсферой пространства Eⁿ⁺¹ называется геометрическое место точек этого пространства, отстоящие от данной точки, называемой центром, на одно и то же расстояние, называемым радиусом.

         Очевидно, что гиперсфера с центром в точке М₀(x₀¹, x₀², .., x₀ⁿ⁺¹) радиуса R, удовлетворяет уравнению:

(x¹- x₀¹,x²- x₀², .., xⁿ⁺¹- x₀ⁿ⁺¹)=R²                 (2.1.1)

В частности, когда М₀=0:

(x¹)²+(x²)²+ ..+(xⁿ⁺¹)²=R²                            (2.1.2)

         Сфера, задаваемая (2.1.2), представляет собой поверхность уровня гладкой функции F(x¹, x², .., xⁿ⁺¹)= (x¹)²+(x²)²+ ..+(xⁿ⁺¹)²-R². Откуда следует, что Sⁿ является гладкой гиперповерхностью в Eⁿ⁺¹.

         Среди всех кривых на гиперсфере особую роль играют гиодезические кривые.Теперь докажем следующий факт:

Большие окружности сферы являются ее гиодезическими линиями. Для этого определим неравенство треугольника         (2.1.3)    на сфере

x=Rcost

y=Rsint

И как известно, кривая =AB: (2.1.3)

И выражая из (2.1.3) t через cos, получим:

Взяв cos от левой и правой части последнего соотношения, получим:

Здесь - скалярное произведение векторов a, b.

Таким образом или

Взяв cos и приведя, получим:

Возведем в квадрат и приведем подобные, после этого получим определитель Грамма

То есть неравенство треугольника выполняется

Теперь перейдем к геодезической линии: Из того что произвольную кривую можно отождествить с некоторой ломаной, например, M₀M₁….M_n получаем: M₀M₁+M₁M₂M₀M₂

                  M₀M₂+M₂M₃ M₀M₃

                  …….

                  M₀M_n_-1+M_n-1M_n M₀M_n

Таким образом показали, что большие окружности на сфере являются геодезическими линиями.
         Большими m-сферами гиперсферы Sⁿ называются ее сечения (m+1)-плоскостями, проходящими через ее центр.

         Из того, что большие окружности сфер являются геодезическими линиями этих сфер, следует, что прямые линии пространства Sⁿ являются геодезическими линиями этого пространства, откуда вытекает, что m
-плоскости пространства Sⁿ являются вполне геодезическими
m
-поверхностями этого пространства (т.е. такими m-поверхностями, всякая геодезическая линия которых является геодезической линией пространства).

2.2
Сферическая тригонометрия.

Сферическим треугольником гиперсферы Sⁿ называется фигура, состоящая из трех точек этой гиперсферы и трех отрезков, попарно соеденяющей эти точки. Здесь под отрезками понимаем меньшую из двух дуг большой окружности, проходящей через эти точки.

Через точки сферического треугольника и центр Sⁿ можно провести единственную 3-плоскость, пересекающую Sⁿ по большой S². Поскольку S²< Sⁿ представляет собой геодезическую поверхность, то получаем, что данный сферический треугольник целиком расположен на ней. Поэтому, при рассмотрении сферического треугольника на Sⁿ можно всегда считать его расположенным на S².

Пусть ABC – cферический треугольник на S², - радиус векторы вершин. Обозначим дуги , соответственно через с, b, а.

Углом между дугами понимают угол между их касательными векторами. Обозначим - угол между дугами и , - угол между и , - между

Теорема косинусов:

(2.2.1)

Доказательство:

Угол очевидно равен углу между плоскостями (ОАB) и (OAC), который в свою очередь равен углу между их векторами нормали [,] и [,]. Следовательно

==
По определению , , ,

,

То есть

Пусть ABC – сферический треугольник на S². Для большой окружности проходящей через точки B и C, обозначим через точку A’ один из полюсов этой окружности, который расположен ближе к точке A. Также вводим точки B’и C’.

Сферический треугольник A’B’C’ называется полярным к сферическому треугольнику ABC. Обозначим A’B’C’=(ABC)’, , , - радиус векторы точек A’, B’, C’ соответственно, которые характеризуются следующими условиями:

(, )=( , )=0 и (, )>0

()=()=0 и ()>0              (2.2
.
2
)

()=()=0 и ()>0
Ясно, что полярный к полярному треугольнику совпадает с исходным треугольником.

Докажем следующую теорему:

Стороны
a
’,
b
’,
c
’ полярного треугольника
A
’
B
’
C
’ связаны с углами , , треугольника
ABC
следующим образом:

; ;                    (2.2.3)

Пусть векторы , , образуют правый базис. Тогда

, ,

То есть

Аналогично ;

Теперь сформулируем и докажем двойственную теорему косинусов:
                                                      (2.2.4)

Запишем для полярного треугольника A’B’C’ теорему косинусов

С учетом формул (2.2.3), получим (2.2.4).

Теорема синусов

                                                                             (2.2.5)

2.3 Группа изометрии.

         Sⁿ– гиперсфера в Eⁿ⁺¹, заданные уравнением:

Расстояние между точками X и Y гиперсферы Sⁿ представляет собой длину из меньших дуг большой окружности, соединяющей эти точки.

Подпись: X

Обозначим через -неориентированный угол между векторами и . Тогда =R           (2.3.1)

Отсюда

Обозначим через d(x,y) – расстояние между точками X и Y в евклидовом смысле. Тогда из треугольника OXY . Отсюда

                (2.3.2)

         Теперь приступим к нахождению группы изометрии гиперсферы Sⁿ. Под изометрией сферы Sⁿ понимается преобразование сферы, сохраняя расстояние между любыми двумя точками. В связи с чем, докажем следующую теорему:

Подпись: g(A)=A’
g(B)=B’
g(C)=C’

Группа изометрии
Is
(
S
²
) сферы
S
²
изоморфна группе вращений евклидового пространства
E
³
.

() На S² зададим:



Имеем 2 репера R{O, A, B, C} – старый репер

                           R’{O,A’,B’,C’} – новый репер

В силу основной теоремы о движении в пространстве существует единственное движение f пространства такое, что f:RR’, при котором

М(x,y,z)_RM’(x,y,z)_R_’.

Покажем, что g(M)=f(M)

Пусть g(M)=M’ и f(M)=M”. Имеем   также

                                                        также

                                                        также

Имеем и следующее равенство OM’=OM”.

Пусть M’=(x’,y’,z’) и M”=(x”,y”,z”). Тогда

Последовательно 1-2, 2-3,3-4, получим:

Другими словами, показали, что g(M)=f(M). А это означает, что группа изометрии Is(S²) сферы S² индуцирует группу вращений евклидового пространства E³ .

() Пусть f – вращение пространства с инвариантной точкой О, то есть f:E³E³.

Покажем, что сужение f: S² S².

Точка МS² и f(M)=M’. Тогда [OM][OM’], где OM=OM’=R, то есть М’ S².

Пусть A, BS². Тогда f(A)=A’

                                    f(B)=B’

Длины дуг равны, так как равны вектора и в евклидовом смысле.

Таким образом, группа вращений евклидового пространства E³ индуцирует   группу изометрии Is(S²) сферы S².

Глава 3. Сферическая геометрия с точки зрения дифференциальной геометрии.

          Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются (рис.9) некоторый большой круг QQ’ (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра РР’ сферы, перпендикулярного     к     плоскости     экватора,     с

                   Рис 9.             поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов РАР’ , выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые ее круги, параллельные экватору, - параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол θ=РОМ – полярное расстояние, в качестве второй – угол ϕ=AON между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М, - долгота, отсчитывается против часовой стрелки. Таким образом связь с прямоугольными декартовыми координатами устанавливается следующими формулами:

                    (3.1)

То, следовательно, радиус вектор точки на сфере представляется в виде

    (3.2)

Теперь вычислим 1 и 2 квадратичную формы, полную и средние кривизны:

1)Найдем


Как известно 1 квадратичная форма вычисляется по формуле:

Таким образом, подставив в формулу получим:

          (3.3)

2)Имеем



Найдем







Так же известна формула вычисления 2 квадратичной формы:

То есть, получаем следующее:

                   (3.4)

3)Полная кривизна равна:

                (3.5)

4)Средняя кривизна:

               (3.6)

Из этих вычислений, можно сделать некоторые выводы:

·        cos угла между координатными линиями сферы

     (-линии: и -линии:), который, вычисляется:

Откуда следует, что =90⁰, то есть координатные линии сферы       образуют ортогональную сеть.

·        Заметим, что 2 квадратичная форма пропорциональна 1 квадратичной форме.

·        И как видно из (3.5) сфера имеет постоянную кривизну

Теперь покажем и с точки зрения дифференциальной геометрии, что большие окружности являются геодезическими линиями сферы. По определению, кривая на поверхности называется геодезической, если ее геодезическая кривизна тождественно равна 0. Покажем это:

             (3.7)

Откуда и следует, что большие окружности радиуса r являются геодезическими линиями сферы радиуса R(R=r).

         Подставляя (3.1) в выражение для квадрата дифференциала длины дуги в трехмерном пространстве

Мы получим (3.2)



Будем говорить, что полученная риманова метрика на S² является индуцированной на сфере объемлющей евклидовой метрикой трехмерного пространства.

Итак, рассмотрим сферу S², снабженную индуцированной римановой метрикой. На S² можно ввести и другие криволинейные координаты, иногда используемые при конкретных вычислениях. Для примера, рассмотрим стереографическую проекцию сферы S² на плоскость R². Для этого поместим центр сферы радиуса R в начало координат О и рассмотрим координатную плоскость R²(x,y), проходящую через точку О; отметим также на S²северный полюс N и южный полюс S. Пусть P – произвольная точка сферы, отличная от N; соединим N с P и продолжим отрезок NP до пересечения с плоскостью R²в точке Q. Сопоставим точке P точку Q.

Получаем некоторое отображение :S²R², которое и называется стереографической проекцией сферы на плоскость. Как видно из построения, отображение определено во всех точках сфера, за исключением северного полюса N. Можно условно считать, что северный полюс изображает бесконечно удаленные точки двумерной плоскости (рис. 1). Запишем отображение аналитически. Для этого следует ввести координаты как на сфере, так и на плоскости. Рассмотрим, например, сферические координаты в R³. Эти координаты индуцируют координаты на сфере и на плоскости.

Ясно, что точка N имеет координаты (0,0,R); пусть точка P(x,yz,); точка Q(u,v,0). Видно, что NP и NQ коллинеарные. Получаем систему:

Из первого уравнения выразим x и y:

Подставим их во второе уравнение:

;

При z=R: x=0

y=0

При :

Таким образом, формулы стереографической проекции принимает вид:


(3.8)

Евклидова метрика пространства E³ индуцирует на сфере S²риманову метрику. Зададим ее:

Имеем

Вычисляем:

И, следовательно:

           (3.9)

Следует отметить, что полученный вид метрики на сфере отличается от евклидовой метрики на плоскости, записанной в полярных координатах, то есть от , только переменным множителем . Такие метрики называются конформными.

Таким образом, на евклидовой плоскости, можно рассмотреть две римановы метрики: (евклидова) и (метрика сферы). Существует ли такая регулярная замена координат на плоскости R², при которой евклидова метрика перейдет в метрику сферы? Далее приведем обоснование того факта, что эти две метрики неэквивалентны. Для этого подсчитаем длину окружности в двух метриках. Найдем интересующую нас величину, как функцию от радиуса окружности. Длина в евклидовой метрике известна

, где -радиус           (3.10)

Сначала найдем соотношение между евклидовой величиной радиуса и его величиной в сферической метрике

                (3.11)

Найдем длину окружности в сферической метрике

          (3.12)

Сопоставляя две формулы: «евклидова длина окружности радиуса равна » и «сферическая длина окружности радиуса равна », видим, что функции длины существенно различны; в частности, одна линейная, а другая периодическая. Откуда вытекает, что эти метрики неэквивалентны.

Глава 4. Элементы геометрии на небесной сфере.

       Одной из важнейших астрономических задач, без которой невозможно решение всех остальных задач астрономии, является определение положения небесного светила на небесной сфере.

       Многие важные открытия как в прошлом, так и сегодня были бы невозможными без упорного, тяжелого и часто незаметного труда ученых, посвятивших свою жизнь определению небесных координат светил.
      В самом деле, например, квазары [5] были обнаружены сначала как источники радиоизлучения. Природа квазаров как удивительных внегалактических объектов была раскрыта лишь в итоге больших усилий по их отождествлению с оптическими объектами. Для этого потребовалось как можно точнее определить их координаты….

      Без результатов 20-летнего труда Тихо Браге, этого искусного измерителя координат планет, Иоганн Кеплер не смог бы открыть законы движения планет вокруг Солнца. Точные определения положения светил на небесной сфере позволили установить, в частности, место малых планет и комет в Солнечной системе, открыть Нептун и Плутон, проверить одно из важнейших следствий общей теории относительности об искривлении траектории луча света, движущегося вблизи гравитирующей массы, и многое другое.
       Методы определения координат небесных светил (их видимых положений на небе) разрабатывались на протяжении свыше двух тысячелетий. Сегодня они составляют один из важнейших разделов астрономии, который называется астрометрией.

      Измерение видимого положения светил на небе производится в определенной системе координат. В астрономии речь идет об измерении угловых расстояний светил от некоторых условных, но общепринятых точек и плоскостей. Можно сказать, что о многообразии систем координат "позаботилась" сама природа.

     Так, в своей повседневной практике мы совершенно естественно выделяем направление действия силы притяжения Земли - направление "верх - низ", контролируемое отвесной линией, и перпендикулярную к этому направлению плоскость горизонта.

     Далее, Земля вращается вокруг своей оси. Хотя этого мы непосредственно не ощущаем, однако отображением данного движения является вращение небесного свода, ритмичный восход и заход светил. Главным направлением здесь является "ось мира", вокруг которой и вращается небесная сфера. И, наконец, на протяжении года Земля делает полный оборот вокруг Солнца. Это движение обусловливает смену времен года. Оно обнаруживается в видимом годичном перемещении Солнца среди звезд.

    Отмеченные явления и позволяют ввести три различные системы координат - горизонтальную, экваториальную и эклиптическую. Выбор той или другой из них зависит обычно от характера задачи, стоящей перед исследователем.

     Для того чтобы разговор о координатах небесных светил был более конкретным, здесь прежде всего уместно вспомнить основные точки и линии небесной сферы.

       Небесной сферой мы называем вспомогательную воображаемую сферу произвольного радиуса, центр которой может быть расположен в любой точке пространства. На поверхность этой сферы наносятся положения светил так, как они видны на небе в определенный момент времени из данной точки пространства (с поверхности Земли или из кабины космического корабля).

     Определение положения светила на небесной сфере сводится к измерению длин дуг. Поэтому для измерения дуг и соответствующих им центральных углов используются три единицы:

1) радиан - центральный угол, соответствующий дуге длиной в один радиус; в радиане содержится 57^o17'45";

2) градус (^o) - центральный угол, соответствующий дуге в 1/360 часть окружности; градус делится на 60 минут ('), минута - на 60 секунд (");

3) час (^h) - центральный угол, соответствующий дуге в 1/24 часть окружности; час делится на 60 минут (^m) , минута - на 60 секунд (^s); один час равен 15^o, минута в часовой мере равна 15 дуговым минутам (1^m = 15'), а 1^s= 15".

      Далее необходимо также вспомнить, что всякое сечение сферы плоскостью есть круг. При этом круг, секущая плоскость которого проходит через центр сферы, называется большим кругом, в противном случае - малым кругом.

        Итак, точки пересечения небесной сферы с отвесной линией, проходящей через ее центр, называются: верхняя - зенит и нижняя - надир. Большой круг небесной сферы, плоскость которого перпендикулярна к отвесной линии, называется математическим горизонтом (или просто горизонтом). Любая плоскость, проходящая через зенит и центр сферы, образует при пересечении с ней большой круг, именуемый вертикалом.

        Суточное вращение Земли вокруг своей оси естественным образом выделяет направление оси мира, вокруг которой вращается небесная сфера. Точки пересечения оси мира с небесной сферой называются полюсами мира. Тот полюс, относительно которого вращение небесной сферы происходит против часовой стрелки (для наблюдателя, находящегося в центре небесной сферы), называется северным полюсом мира, противоположный - южным полюсом мира.

      Направление на полюс мира из места наблюдения и из центр Земли параллельны вследствие того, что размеры Земли ничтожны по сравнению с расстояниями до звезд. Поэтому в любом пункте Земли высота полюса над горизонтом h^p равна широте места φ.

      Большой круг небесной сферы, плоскость которого перпендикулярна к оси мира, называется небесным экватором. Небесный экватор делит поверхность небесной сферы на два полушария: северное (с северным полюсом мира) и южное (с южным полюсом мира). Он пересекается с горизонтом в двух точках: в точке востока и в точке запада. Вертикал, проходящий через эти точки, называется первым вертикалом.

      Малый круг небесной сферы, плоскость которого параллельна плоскости небесного экватора, называется небесной или суточной параллелью светила. По суточным параллелям совершаются видимые суточные движения светил.

       Большой круг небесной сферы, плоскость которого проходит через полюсы мира и через зенит наблюдателя, называется небесным меридианом. Небесный меридиан делит поверхность небесной сферы на два полушария: восточное, с точкой востока, и западное, с точкой запада. Плоскость небесного меридиана пересекается с плоскостью математического горизонта по прямой линии, которая называется полуденной линией. Она пересекается с горизонтом в двух точках: в точке севера и в точке юга. Точкой севера называется та, которая ближе к северному полюсу мира, точка юга ближе к южному полюсу мира.

      Большой круг небесной сферы, проходящий через полюсы мира и через светило М, называется часовым кругом или кругом склонения светила.
     Покончив со строгими формулировками, заметим, что запомнить все сказанное здесь не так уж трудно. Местонахождение точки зенита определяется сразу: эта точка находится у каждого из нас над головой. Точка северного полюса на начало 1986 года находилась на расстоянии 47,6' от звезды α Малой Медведицы и в настоящее время приближается к ней со скоростью 17" в год. Констатировав это, нетрудно уже мысленно провести основные плоскости и круги на небесной сфере.

      К сказанному выше нам осталось напомнить, что видимое годичное движение Солнца происходит по большому кругу небесной сферы, который называется эклиптикой. Плоскость эклиптики наклонена к плоскости небесного экватора под углом s, который для середины 1986 года равен 23^o26'27,8". Точки пересечения эклиптики с небесным экватором называются точками весеннего и осеннего равноденствий. Через точку весеннего равноденствия Солнце переходит из южного полушария небесной сферы в северное около 21 марта. Точки эклиптики, отстоящие на 90^o от равноденственных, называются точками солнцестояний.

       Перпендикуляр к плоскости эклиптики, проходящий через центр небесной сферы, называется осью эклиптики, а точки его пересечения с небесной сферой - полюсами эклиптики.

Заключение.



     В данной курсовой работе мы познакомились со сферической геометрией, которая изучает геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

         В 1854 г. Риман в своей диссертации «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» дал глубокое и богатое по содержанию обобщение идей Гаусса и Лобачевского. Эта работа была опубликована лишь в 1868 г. после смерти Римана. В этой работе он впервые дал построение n-мерного аналитического пространства, связал вопрос о движении с вопросом о постоянстве кривизны пространства, дал образец взаимного проникновения и органического слияния геометрии и анализа. Как один из частных результатов, Риманом была получена так называемая эллиптическая геометрия, отличная от геометрий Евклида и Лобачевского, в которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни одной параллельной к этой прямой и все прямые замкнуты. Развитие идей Лобачевского Риманом приблизило создание тензорного исчисления и явилось этапом, подготовившим впоследствии почву для создания теории относительности.

Геометрия сферы является эллиптической геометрией с отождествленными точками.

     Эллиптическим пространством называется неевклидово пространство Римана.
Список литературы.
1.     Энциклопедия элементарной математики, книга IV, V. Геометрия. – М.: Наука, 1966. – 624 с.

2.     Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. – М.: Наука. Главная редакция физико – математической литературы, 1969. – 548 с.

3.     Трайнин Я.Л. Основания геометрии. Пособие для пед. институтов. – М. 1961. – 334 с.

4.     Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1984.- 288 с.

5.     Альбицкий В.А. Курс астрофизики и звездной астрономии. Том 1. – М.: Государственное издательство технико – теоретической литературы, 1951. – 591 с.

6.     Атаносян Л.С. Геометрия. Часть 2. – М.: Просвещение, 1974.

Bukvasha