Реферат Бесконечные произведения

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 27.2.2025

СОДЕРЖНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§1.1 Простейшие свойства бесконечных произведений

§1.2 Критерий Коши сходимости бесконечных произведений

§1.3 Бесконечные произведения с действительными сомножителями

§1.4 Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения

§1.5 Дзета – функция Римана и простые числа

ГЛАВА II БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ИЛИ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ.

§2.1 Бесконечные произведения вещественных или комплексных функций

§2.2 Применение к функции

Римана.

§2.3 Разложение функции

в бесконечное произведение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования:

Представленная работа посвящена теме «Бесконечные произведения».
Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.
Тема «Бесконечные произведения» изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики «Бесконечные произведения». Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы «Бесконечные произведения». Однако, требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы. Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы определяют несомненную новизну данного исследования. Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме «Бесконечные произведения» необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных актуальных проблем тематики данного исследования.

Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Бесконечные произведения» в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость. Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа «Бесконечных произведений».
Теоретическое значение изучения данной проблемы заключается в том, что избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин.
Объект исследования: числовые ряды.

Предмет исследования: бесконечные произведения.

Цель курсовой работы: изучение темы «Бесконечные произведения» с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.

Основные задачи исследования:

1.     Выполнить анализ литературы по теме.

2.     Осветить историю развития проблемы «Бесконечные произведения».

3.     Определить и пояснить на примерах понятия, используемые в работе.

4.     Выделить основные свойства бесконечных произведений.

5.     Определить связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов.

6.     Рассмотреть бесконечные произведения вещественных или комплексных функций.

7.     Подобрать и решить задачи по данной теме.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ литературы, синтез, обобщение, решение задач по теме.

Практическая значимость проведенного исследования состоит в том, что в ходе работы была выявлена связь между сходимостью бесконечных произведений, определены и доказаны основные свойства бесконечных произведений, подобран теоретический и практический материал по теме, решены задачи.

На защиту выносится: основные результаты и положения данного исследования, подборка задач по теме исследования,
ГЛАВА
I
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§1.1 Простейшие свойства бесконечных произведений

   Аналитическое выражение, имеющее вид произведения бесконечного множества сомножителей, называется бесконечным произведением. Дадим более детальное и строгое определение этого понятия.

   Определение 1: Пара последовательностей комплексных чисел {a_n
} и {
p_n
}, где

p_n
=
a
₁
a
₂
…
a_n
,
n
= 1, 2, …,   (1.1)

называется бесконечным произведением и обозначается

                                                             (1.2)

   Члены последовательности {
a_n
} называются сомножителями бесконечного произведения (2.2), а члены последовательности {
p_n
} – его частичными произведениями (порядка
n
).

   Если последовательность частичных произведений {p_n} имеет коечный или определенного знака бесконечный предел р:

p =

, (1.3)

то этот предел называют значением бесконечного произведения (1.2) и пишут

p_n = a
₁
a
₂
…
a_n
=

Таким образом, аналогично случаю ряда, здесь одним и тем символом обозначают как само бесконечное произведение, так его значение, если оно существует.

Если хотя бы один из сомножителей бесконечного произведения равен нулю, то и значение этого бесконечного произведения равно нулю:

= 0

   Поэтому естественно предполагать, что все сомножители рассматриваемых бесконечных произведений отличны от нуля. Это всегда и будем делать в дальнейшем, не упоминая об этом специально.

   Особый интерес представляют бесконечные произведения, значениями которых являются числа, отличные от нуля, так как для них можно построить теорию, аналогичную теории сходящихся рядов. Этим оправдывается следующее определение.

   Определение 2: Бесконечное произведение называется сходящимся, если оно имеет конечное значение, отличное от нуля.

   В противном случае бесконечное произведение называется расходящимся. Таким образом, бесконечное произведение называется расходящимся, если предел последовательности его частичных произведений либо равен нулю, либо

∞, либо не существует. В частности, если

= 0,

То произведение

называется расходящимся к нулю.

Если в бесконечном произведении (2.2) отбросить первые n сомножителей, то получившееся бесконечное произведение

(1.4)

Называется n-м остаточным произведением.

Отметим простейшие свойства бесконечных произведений:

1°. Если бесконечное произведение сходится, то и все его остаточные произведения сходятся.

Если какое – либо остаточное произведение сходится, то и само бесконечное произведение сходится.

Таким образом, для бесконечного произведения как отбрасывание конечного множества первых сомножителей, так и присоединение конечного множества отличных от нуля первых сомножителей, не влияют на его сходимость.

2°. Если бесконечное произведение (2.2) сходится, то последовательность его остаточных произведений

q_n
=

(1.5)

имеют пределом единицу:

= 1. (1.6)

Доказательство:

Если

= р, (1.7)

то

_n
=

= =

.

Так как

= p ≠ 0,

то

= 1. ⁪

3°. (необходимое условие сходимости бесконечного произведения) Если бесконечное произведение (1.2) сходится, то последовательность его сомножителей стремится к единице:

= 1. (1.8)

Доказательство:

В самом деле, a_n =

, n = 2, 3, …, поэтому

= 1. ⁪

Отметим, что выполнение условия (1.8), т.е. стремление последовательности сомножителей бесконечного произведения к единице, недостаточно для его сходимости. [3, с. 59 - 63]

Задачи:

№1. Определить сходимость и значение следующих бесконечных произведений:

1. 1∙1∙ … ∙1 …

Значение бесконечного произведения равно 1

бесконечное произведение сходится, т.к. оно имеет конечное значение, отличное от нуля.

2. (-1) ∙ (-1) ∙ … ∙ (-1) ∙ …

Частичное произведение р_n= (-1)ⁿ,

– не существует

бесконечное произведение расходится.

3.

Частичное произведение p_n=

= 0

бесконечное произведение

расходится к нулю.

4.

Частичное произведение

p_n = (1 - ) ∙ (1 - ) … (1 -

∙

…

∙

значение бесконечного произведения равно

бесконечное произведение

сходится, т.к. оно имеет конечное значение отличное от нуля.

5. Формулу Валлиса

можно рассматривать как разложение числа π в бесконечное произведение:

.

6.

Частичное произведение p_n =

, где С – постоянная Эйлера, а {

} – бесконечно малая последовательность

бесконечное произведение сходится, т.к. оно имеет конечное значение отличное от нуля.

№2.
Доказать равенства:

1.

Частичное произведение:

p_n =

= 2.

2.

Частичное произведение:

p_n =

= = ∙

.
№3. Доказать, что (при |x| < 1)

(1+x)(1+x²)(1+x⁴) ∙ … ∙ (1+

) =

Убедимся в этом, используя последовательное умножение:

(1 – x) ∙ p_n = (1 – x)(1 + x)(1 + x²) ∙ … ∙ (1 +

) =

p_n =

№4.

Доказать, чnо бесконечное произведение:

∙

∙ … ∙

... при любом x ≠ πn сходится и имеет значение

Частичное произведение:

p_n=

∙

∙ … ∙

.

Умножим обе части на

и, последовательно используя формулу для синуса двойного угла

= , получим:

p_n

p_n=

{

}.

Поскольку выражение {

} стремится к 1 при n → ∞ (в силу первого замечательного предела), то

бесконечное произведение

∙

∙ … ∙

... сходится и имеет значение

при любом x ≠ πn.

№5. Доказать, что бесконечное произведение:

∙

∙ … ∙

∙

… сходится и имеет значение

.

Частичное произведение:

P_n = [

∙

…

[

∙

…

∙

бесконечное произведение

∙

∙ … ∙

∙

… сходится, т.к. оно имеет конечное значение отличное от нуля.

№6. Пусть а₁= 1 и а_n= n(a_n_-1+ 1) при n ≥ 2. Докажите, что

Из равенства a_n₊₁= (n + 1)(a_n+ 1) следует, что a_n+ 1 =

. Поэтому P_N =

. Значит, P_N_{+ 1} = P_N

₌P_N+

= P_N +

. Поэтому P_N = (P_N - P_N_{– 1}) + (P_N_{- 2} - P_N_{– 3}) + … + (P₂ - P₁) + P₁=

+ … +

+ 1.

№7. Докажите, что если 0 ≤ b_k < 1, то бесконечное произведение

сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд

.

Последовательность p_n =

невозрастающая, поэтому она сходится либо к положительному числу, либо к нулю. Т.к. 0 ≤ b_k < 1, то 1 – b ≤

. Поэтому

. Это означает, что если ряд b_k расходится, то

= 0.

Предположим теперь, что если ряд

сходится. Тогда существует такое натуральное число N, что

. Если α₁, α₂ ≥ 0, то (1 - α₁)(1 – α₂) ≥ 1 - α₁- α₂. Пользуясь этим неравенством, индукцией по m легко показать, что если α₁, … α_m ≥ 0, то (1 - α₁) … (1 – α_m) ≥ 1 - α₁- … - α_m. Таким образом, если n > N, то

≥ 1 -

- … -

. Эти неравенства показывают, что последовательность

невозрастающая и

> 0. Поэтому предел

существует и не равен нулю.
§1.2 Критерий Коши сходимости бесконечных произведений

Установим необходимые и достаточные условия сходимости бесконечных произведений.

Теорема1.1: (критерий Коши)

Для того чтобы бесконечное произведение (1.2) сходилось, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось такое
n
₀
, что для всех
n
>
n
₀
и всех
m

≥ 0 выполняется неравенство

|

- 1| < ε
.   (35.9)

Доказательство. Необходимость:

   Пусть бесконечное произведение (1.2) сходится, тогда все а_n

≠ 0,                   n = 1, 2, …, и, в силу необходимого условия сходимости (1.8), последовательность {|p_n|} ограничена снизу: существует такое число с > 0, что

|p_n| > c, n = 1, 2, … .   (1.10)

Зададим произвольно ε > 0. Из сходимости последовательности, следует, что найдется такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ и всех m ≥ 0 выполняется неравенство

|p_n₊_m – p_n| < cε,   (1.11)

а тогда

|

- 1| = |p_n₊_m – p_n| <

cε = ε,

т.е. выполнимо условие (1.9).
Достаточность:

Пусть выполнено условие (1.9). Тогда для ε = 1 существует такой номер n₁, что для всех m ≥ 0 выполняется неравенство

|

– 1| < 1,

откуда

|p_n₁₊_m| = |

– 1 + 1| |

– 1| |

≤ 2 |

,

и, следовательно, последовательность {p_n} ограничена, т.е. существует такое с > 0, что

|p_n| ≤ с, n = 1, 2, … . (1.12)

Зададим произвольно ε > 0. В силу условия теоремы, найдется такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ и всех m ≥ 0 будет выполняться неравенство

|

- 1| <

, (1.13)

т.е.

|p_n₊_m – p_m| <

|p_m| ≤ ε.

Это означает, что числовая последовательность {p_n} удовлетворяет критерию Коши сходимости числовых последовательностей и, следовательно, сходится.

Покажем, что ее предел р =

не равен нулю. Если бы он был равен нулю, то, перейдя к пределу в неравенстве (1.13) при m→∞ (n фиксировано), мы получили бы неравенство 1 ≤ ε, что противоречит произвольному выбору ε > 0. ⁪ [3, с. 63 - 64]

§1.3 Бесконечные произведения с действительными сомножителями

До сих пор все доказанные для бесконечных произведений теоремы были справедливы независимо от того, являлись ли их сомножители комплексными или только действительными числами. Перейдем теперь к изучению бесконечных произведений, сомножители которых являются только действительными числами. В этом случае из необходимого условия сходимости (1.8) следует, что все его сомножители начиная с некоторого номера положительны. Согласно же свойству 1°, отбрасывание конечного множества сомножителей не влияет на сходимость бесконечного произведения, поэтому дополнительное предположение о том, что все сомножители бесконечного произведения положительны, не будет ограничивать общности изучения сходимости бесконечных произведений с действительными сомножителями.

Взаимно обратную связь между бесконечными произведениями с положительными сомножителями и рядами устанавливает следующее утверждение.

Теорема 1.2:

Длятого чтобы бесконечное произведение

, а_n

> 0,
n
= 1, 2, …, (1.14)

сходилось необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

(1.15)

Если при сходимости ряда (1.15) s
является его суммой, а р – значением бесконечного произведения (1.14), то

p
=

. (1.16)

Доказательство:

В самом деле, если s_n – частичная сумма порядка n для ряда (1.15), а p_n – частичное произведение того же порядка для бесконечного произведения (1.14), то

= ln = ln

, n = 1, 2, …,

а следовательно, р_n = e^s_n. Перейдя здесь к пределу при n → ∞, получим формулу (1.16).⁪

При исследовании бесконечного произведения (1.2) часто бывает удобным его сомножители a_n представлять в виде

a_n
= 1 + u_n, n = 1, 2, … .

В случае сходящегося бесконечного произведения (1.2), в силу его свойства 3°, последовательность {u_n} является бесконечно малой.

Теорема 1.3:

Если все
u_n

,
n
=1, 2, …, знакопостоянны(т.е. все
u_n

≥ 0 или все
u_n

≤ 0), то, для того чтобы сходилось бесконечное произведение

(1.17)

необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

(1.18)

Доказательство:

Согласно необходимому условию сходимости бесконечного произведения (свойство 3°) и необходимому условию сходимости ряда , из сходимости бесконечного произведения (1.17), так же как и из сходимости ряда (1.18), следует, что

= 0.

(1.19)

Поэтому будем предполагать это условие выполненным.

Сходимость бесконечного произведения (1.17), согласно теореме 1.1, равносильна сходимости ряда

).

(1.20)

В силу же (1.19), имеет место эквивалентность

) ~

, n → ∞,

и так как все u_n одного знака, то, согласно признаку сравнения рядов, ряд (1.20) сходится и расходится одновременно с рядом (1.18). ⁪

Отметим, что бесконечное произведение

расходится. Из этого утверждения, в силу теоремы 1.3, следует, что ряд

расходится, - еще одно доказательство расходимости гармонического ряда.

В случае знакопеременных u_n имеет место следующее достаточное условие сходимости ряда (1.17).
Теорема 1.4:

Если сходятся ряды

(1.21)

то бесконечное произведение

сходится.

Доказательство:

Прежде всего из сходимости рядов (1.21) следует выполнение условия (1.19). А тогда, согласно формуле Тейлора,

) =

+ o(

, n →∞,

и, следовательно,

_.

Из этого равенства, согласно признаку сравнения рядов, следует, что ряд

(1.22)

сходится, так как, по условию, сходится ряд

По условию, сходится и ряд

, поэтому из сходимости ряжа (1.22) следует и сходимость ряда

, что, в силу теоремы 1.2, означает сходимость бесконечного произведения (1.17). ⁪ [3, 64 - 68]
Задачи

№1. Доказать что бесконечное произведение

сходится при х > 1 и расходится при х ≤ 1.

Согласно теореме 1.3, это следует из того, что ряд

сходится при х > 1 и расходится при х < 1.

№2. Имеет место равенство Эйлера:

, 0 < q < 1.

Произведения

сходятся, так как сходятся соответственно ряды

(согласно теореме 1.3)

В силу аналогичных соображений сходится и бесконечное произведение

, а следовательно, в силу критерия Коши сходимости бесконечных произведений, выполняется условие

= .

№3. Исследовать на сходимость произведения:

.

Данные бесконечные произведения сходятся или расходятся вместе с рядами

.

Поскольку ряд

сходится (

), а ряд

расходится (

), то бесконечное произведение

сходится, а

расходится.

№4. Доказать расходимость следующих бесконечных произведений:

= (1 + 1) (1 +

(1 +

) … (1 +

) … .

= (1 –

) (1 –

) … (1 –

) … .

Расходимость этих произведений вытекает из расходимости гармонического ряда и теоремы 1.3. для этого рассмотрим гармонический ряд: 1 +

+ … +

+ … и докажем, что он расходится. Действительно, для любого n = 1, 2, … имеем u_n + u_n₊₁ + … + u₂_n_-1 =

+ … +

, т.е. для любого n при ε =

и p = n – 1 неравенство | u_n + u_n₊₁ + … + u_n₊_p| < ε не выполняется.

Таким образом из критерия Коши: для того чтобы ряд

сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер n_ε, что при любом n > n_ε и любом целом p ≥ 0 выполнялось неравенство | u_n + u_n₊₁ + … + u_n₊_p| < ε, следует что гармонический ряд расходится.

Легко также понять, что первое произведение

= +∞ расходится к +∞, а второе произведение

= 0 расходится к нулю.

№5. Доказать что следующие бесконечные произведения сходятся:

) = (1 + 1) (1 + ) (1 + ) … (1 + ) … .

)] =(1- ) (1- ) … (1 - ) … .

Из теоремы 1.3 и из сходимости ряда

при α > 1 вытекает сходимость данных бесконечных произведений при α > 1.

№6. Пусть a_2n-1 =

, a_2n = -

. Доказать, что бесконечное произведение

сходится, а ряды

расходятся.

Если a₂_n_-1= O(

), a₂_n = O(

= O(

) при n → ∞, то a_n = O(

= O(

) при n → ∞ и ряды

расходятся по признаку сравнения с гармоническим рядом. Необходимое условие сходимости бесконечного произведения

выполнено. Оно сходится тогда и только тогда, когда сходится

. Поскольку

и ряд

сходится, то вместе с ним сходится и данное бесконечное произведение.
§1.4 Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения

Вернемся снова к изучению бесконечных произведений с, вообще говоря, комплексными сомножителями. Подобно рядам для бесконечных произведений вводится понятие абсолютной сходимости.

Определение 3: Бесконечное произведение

(1.23)

Называется абсолютно сходящимся, если сходится произведение

(1.14)

Теорема 1.5:

Для того чтобы бесконечное произведение (1.23) абсолютно сходилось, необходимо и достаточно. Чтобы сходился знакопостоянный ряд

(1.25)

А так же необходимо и достаточно чтобы абсолютно сходился каждый из рядов

(1.26)

и

(1.27)

Доказательство:

Равносильность сходимости бесконечного произведения (1.23) и ряда (1.25) сразу следует из определения абсолютной сходимости бесконечного произведения и из теоремы 1.3.

Из сходимости каждого из рядов (1.25), (1.26) и (1.28) следует, что

= 0,

а при выполнении этого условия имеет место эквивалентность

, n → ∞.

Поэтому все ряды

одновременно сходятся или расходятся. Это и означает, что сходимость ряда (1.25) равносильна абсолютной сходимости каждого из рядов (1.26) и (1.27). ⁪
Замечание:

Если сходится бесконечное произведение (1.23), то сходится и бесконечное произведение

(1.28)

причем

   Это следует из того, что если p_n, n = 1, 2, …, является частичным произведением порядка n бесконечного произведения (1.23), то обратная величина   является частичным произведением того же порядка бесконечного произведения (1.28).

   Бесконечные произведения (1.23) и (1.28) одновременно сходятся абсолютно или нет, так как абсолютная сходимость и того и другого произведения равносильна абсолютной сходимости ряда (1.26).

Теорема 1.6:

Из абсолютной сходимости бесконечного произведения следует его сходимость.

Доказательство:

   Если бесконечное произведение (1.23) абсолютно сходится, то согласно теореме 1.5, сходится, и даже абсолютно, ряд (1.26), что согласно теореме 1.2, равносильно сходимости бесконечного произведения (1.23). ⁪
Теорема 1.7:

Значение абсолютно сходящегося произведения не зависит от порядка сомножителей.

   Это сразу следует из формулы (1.16), ибо если бесконечное произведение (1.23) абсолютно сходится, то абсолютно сходится и ряд (1.15) (он совпадает с рядом (1.26)), а следовательно, его сумма s не зависит от порядка слагаемых. ⁪

   Если бесконечное произведение сходится, но не абсолютно, то его значение зависит от порядка сомножителей. В этом легко убедится, сведя тем же методом, что и при доказательстве теоремы 1.7, рассмотрение бесконечных произведений к соответствующим рядам. [3, с. 68 - 70]
Задачи:

№1. Выяснить при каких х сходится, абсолютно сходится и расходится бесконечное произведение

При х > 1 это произведение абсолютно сходится, так как сходится ряд

. При

< x ≤ 1 оно сходится, но не абсолютно, так как сходятся ряды

(по теореме 1.4). При 0 < x ≤

оно расходится к нулю, поскольку ряд

сходится, а ряд

расходится.

№2. Показать, что бесконечное произведение:

абсолютно сходится при всех значениях z.

Действительно,

может быть написано в виде 1 -

, где |λ_n| < k и k не зависит от n, ряд же

является абсолютно сходящимся, как видно из сравнения с рядом

Бесконечное произведение будет абсолютно сходящимся.

№3. Определить сходится ли абсолютно бесконечное произведение:

1. (1 -

(1 -

) (1 -

) … .

Чтобы узнать будет ли оно абсолютно сходящимся, рассмотрим ряд

или

. Этот ряд абсолютно сходится, а из этого следует, что произведение (1 -

(1 -

) (1 -

) … будет абсолютно сходящимся при всех значениях z.

2. (1 -

) (1 +

) (1 -

) (1 +

) …

Абсолютная сходимость этого произведения зависит от абсолютной сходимости ряда : -

- … . Но этот ряд условно сходящийся, так как ряд модулей

+ … расходится.

Бесконечное произведение (1 -

) (1 +

) (1 -

) (1 +

) … не будет абсолютно сходящимся.

№4. Выяснить при каких х сходится, абсолютно сходится и неабсолютно сходится бесконечное произведение:

Бесконечное произведение

при х >

сходится: именно, при х > 1 произведение абсолютно сходится, поскольку сходится ряд

, а при

< х ≤ 1 произведение неабсолютно сходится, так как сходятся ряды

. При 0 < х ≤

= 0, т.к. первый из этих рядов сходится, а второй уже нет.

№5. Исследовать на абсолютную сходимость бесконечное произведение:

Данное бесконечное произведение сходится или расходится абсолютно вместе с рядом

, n ≥ 2. Этот ряд по степеням сходится лишь при |z| >1. Следовательно, областью абсолютной сходимости бесконечного произведения является множество D = {z

№6. Докажите, что

z (1 -

) (1 -

) (1 +

) (1 -

) (1 +

) … =

.

Действительно,

= [

×z =

× z

т.к. произведение, множители которого будут (1

)

абсолютно сходится и, таким образом, порядок его членов можно менять. Но т.к. lg2 = 1 -

- …, это показывает, что данное произведение равно

.

§1.5 Дзета – функция Римана и простые числа

Функция

(х) =

,

(1.29)

определенная этой формулой для х > 1, как известно, называется дзета – функцией Римана. Она играет большую роль во многих вопросах математического анализа.

Докажем, что для нее имеется следующее разложение в бесконечное произведение:

(1.30)

где произведение берется по всем простым числам p_k, k = 1, 2, …, взятым в порядке возрастания (впрочем, как это будет показано ниже, это бесконечное произведение сходится абсолютно и поэтому не зависит от порядка сомножителей). Отметим, что во всех проводимых ниже рассуждениях не будет предполагаться, что простых чисел бесконечно много (т.е. все сказанное верно и в случае, если произведение (1.30) было бы конечно, а не бесконечно).

Так как

и ряд

при х > 1 сходится, то, согласно теореме 1.5, абсолютно сходится бесконечное произведение

, а следовательно, и произведение (1.29).

По формуле для суммы геометрической прогрессии имеем

=

, k = 1, 2, …,

(1.31)

где ряды в правых частях равенств, очевидно, абсолютно сходятся. Зафиксируем некоторое натуральное число N перемножим равенства (1.31), отвечающие всем простым числам p₁, p₂, …, не превышающим N: тогда

Р_N(x)

(1.32)

где знак «звездочка» у суммы означает, что суммирование распространяется только на те натуральные числа n ≥ N + 1, в разложении которых на простые множители участвуют только простые числа p_k ≤ N и которые получаются при умножении отобранных рядов (1.31). Этими двумя свойствами заведомо обладают все натуральные числа 1, 2, …, N.

Так как

0 < Р_N(x) -

(1.33)

и ряд (1.29) сходится, следовательно,

то

,

т.е. представление (1.30) доказано.

Заметим, что при х = 1 равенство (1.32) остается верным, поэтому

Р_N(1) =

,

а так как гармонический ряд

расходится, то

= +∞ и, следовательно,

= +∞.

(1.34)

Из этого равенства следует, что простых чисел бесконечно много, так как если бы их было конечное множество, то произведение

было бы конечным. Это доказательство бесконечности простых чисел было дано еще Эйлером.

Из равенства (1.34) следует больше, чем просто констатация того, что множество простых чисел бесконечно. Этот факт можно установить и более простым способом. В самом деле, допустим, что простых чисел конечное множество р₁, р₂, …, р_n. Тогда число n = р₁р₂…р_n + 1 больше каждого из чисел р₁, р₂, …, р_n и, следовательно, не равно никакому из них, а вместе с тем оно простое: если бы оно было не простым, то оно делилось бы на одно из чисел р₁, р₂, …, р_n, так как, по предположению, других простых чисел нет. Но это не так: число n не делится ни на одно из чисел р₁, р₂, …, р_n, ибо при делении его на любое из них остаток от деления равен 1.

Запишем равенство (1.34) в виде

Из него, согласно теореме 1.3, следует, что ряд

(1.35)

расходится. Это утверждение сильнее утверждения о том, что гармонический ряд расходится, так как здесь идет речь лишь о некоторых его членах. Расходимость ряда (1.35) содержит информацию о росте простых чисел р_k при k →∞. [3. с. 71 - 73]

ГЛАВА
II

БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ИЛИ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ

§2.1 Понятие о равномерной сходимости бесконечных произведений

Пусть u_0,u₁, …, u_n,… - последовательность функций, определенных на множестве E с вещественными или комплексными значениями. Бесконечное произведение называется просто сходящимся, если для любого x из E сходится бесконечное произведение вещественных или комплексных чисел. Это означает, что последовательность функций просто сходится к нигде не равной нулю предельной функции.

Произведение называется абсолютно простым сходящимся, если для любого x из E числовое произведение абсолютно сходится.

Выражение «равномерная сходимость» для произведения функций не ясно. Фраза о том, что произведение комплексных функций на Е сходится равномерно к функции означать, что и ∏_n нигде на E в нуль не обращаются и что функции равномерно сходятся к функции Та же самая фраза может также означать, что и ∏_nнигде на Е в нуль не обращаются и что отношение равномерно сходится к 1. Как легко видеть, эти два понятия не обязательно совпадают. Однако они совпадают, если предел имеет на Е равномерные оценки снизу и сверху такого вида: 0 < a ≤≤ b < +∞. В самом деле, в этом случае из неравенства || ≤ ε следует неравенство ≤ , а из неравенства || ≤ ε следует неравенство || ≤ bε. Только в этом случае мы можем позволить себе говорить о равномерной сходимости бесконечного произведения функций. Однако всегда можно говорить о локальной равномерной сходимости бесконечного произведения функций, непрерывных на некотором топологическом пространстве Е (и тогда предел будет также непрерывным). В самом деле, если функции ∏_n сходятся локально равномерно к функции , то согласно следующей теореме: Пусть E и F – два метрических пространства и f₀,f₁,f₂,…,f_n,… - последовательности отображений Е в F, локально равномерно сходящаяся к f. Если все функции f_n непрерывны в точке a из E, то и предельная функция непрерывна в точке a. Если функции f_nнепрерывны всюду то и а непрерывна всюду. Если сходимость равномерна на Е и всеf_n равномерно непрерывны на E,то f также равномерно непрерывна на E. Функция ∏ будет непрерывной. Так как она везде отлична от 0, то для каждой точки а существует окрестность V’_a, в которой |∏| ограничена сверху и снизу некоторыми положительными фиксированными числами. Но тогда во всякой окрестности V_a V’_a, в которой функции ∏_n сходится равномерно к функции ∏, отношение равномерно сходится к 1. Обратно, предположим, что локально равномерно сходится к 1. Тогда для каждого а из Е существует окрестность V’_a и число n, такие, что || для хV’_a. Отсюда следует || , а, значит, |∏_n(x)| ≤ |∏(x)| ≤ 2|∏_n(x)|. Поскольку функции ∏_n непрерывны и ∏_n(а) ≠ 0, то существует окрестность V’’_a V’_a точки а, в которой функции |∏_n| ограничены сверху снизу положительными постоянными. При этом функция |∏(x)| также будет ограниченной. Если теперь V_a V’’_aявляется окрестностью, на которой сходится равномерно к 1, то ∏_nбудут на ней равномерно сходится к ∏. [5, с. 167 – 168]
§2.2 Применение к функции

Римана

Функция Римана

определяется формулой

(s) =

. (2.1)

Пусть s =

+ i

- вещественное число > 0. Тогда данный ряд, рассматриваемый как ряд функций, определенный в области

≥ 1 +

комплексной плоскости, является нормально сходящимся. В самом деле,

|| = ≤ . (2.2)

Так как для любого n функция s → непрерывна в полуплоскости

≥ 1 +

, то видно, что сумма, т.е. функция

, также непрерывна в этой полуплоскости, а поскольку это верно для любого

> 0, функция

непрерывна во всей полуплоскости

> 1.

Рассмотрим теперь бесконечное произведение, в котором р пробегает множество всех простых чисел

G(s) =

. (2.3)

Любой член произведения всегда ≠0. Впрочем, знаменатель 1 - ≠ 0 для

> 0. Кроме того, в этом случае при

> 0 модулем числа является число < 1 и, следовательно, применима следующая теорема:

Для того чтобы бесконечное произведение

υ_n), υ_n ≠ -1), было абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы был сходящимся ряд

υ_n|.

Бесконечное произведение абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

. Последнее же, конечно, будет иметь место для

> 1, поскольку сумма этого ряда мажорируется суммой сходящегося ряда

.

Теорема 2.1: При

> 1 имеет место равенство G(s) =

(s).

Доказательство: При доказательстве этой теоремы естественно считать s раз и навсегда фиксированным. Поскольку ряд

и произведение G сходится, то для любого ε > 0 можно найти целое число m, обладающее следующими свойствами:

а) остаток

мажорируется числом

;

b) если через G_m(s) обозначить частные произведения, образованные из m первых множителей бесконечного произведения, то |G_m(s) – G(s)| ≤

.

Для каждого простого числа р имеет место разложение в абсолютно сходящийся геометрический ряд:

= 1 + + + + … =

. (2.4)

В силу правила относительно произведения нескольких абсолютно сходящихся рядов, можно записать:

G_m(s) =

. (2.5)

где p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, …, p_m суть m первых простых чисел и k₁, k₂, …, k_m – целые числа ≥ 0. Отсюда следует, что

G_m(s) =

, (2.6)

где

пробегает последовательность всех целых чисел, которые в разложении на простейшие множители содержат только простые числа p₁, p₂, …, p_m. Рассмотрим теперь разность G_m(s) –

(s); она состоит из части членов ряда

, соответствующих индексам n > m, и потому

|G_m(s) –

(s)| ≤

≤

, (2.7)

откуда вытекает неравенство

|G(s) –

(s)| ≤ |G(s) – G_m(s)| + |G_m(s) –

(s)| ≤

. (2.8)

Поскольку

произвольно, то получаем, что G(s) =

(s).

Следствие: При

> 1 функция

в нуль никогда не обращается.

Это очевидно, так как она равна значению сходящегося бесконечного произведения. Предыдущие результаты, очевидно, не верны для

= 1. В частности, расходится ряд

. Докажем точно так же следующее утверждение:

Теорема 2.2: Бесконечное произведение

расходится.

Заметим для этого, что для произвольного числа А > 0 можно найти такое целое m, что

1 +

+ … +

≥ А. (2.9)

Рассмотрим теперь частные произведения G_m. Примененные выше разложения в геометрический ряд имеют смысл и, следовательно, G_m является суммой ∑

^-1, в которой

пробегает все целые числа, разложение которых на сомножители состоит только из простых чисел р₁, р₂, …, р_m. Отсюда, в частности, вытекает, что имеет место неравенство

G_m(1) = ∑

≥ 1 +

+ … +

≥ A.   (2.10)

   Поскольку А произвольно, из этого неравенства следует, что рассматриваемое бесконечное произведение (сомножители которого > 1) расходится: G(1) = +∞.

Следствие: Множество простых чисел бесконечно; кроме того ряд , составленный из простых чисел, расходится.

   В самом деле, расходимость этого ряда эквивалентна расходимости бесконечного произведения

= .

Замечание: Рассмотрим знакопеременный ряд

_а(s) = - + … + (-1)ⁿ^-1+ … . (2.11)

Как мы только что видели, этот ряд сходится для

> 0. Покажем, что он даже равномерно сходится на каждом компакте открытой полуплоскости

> 0 комплексной плоскости. Пусть К – такой компакт. Заметим прежде всего, что на К функция |s| в силу ее непрерывности ограничена сверху некоторым числом S. Точно так же непрерывная всюду положительная функция

на К ограничена снизу некоторым числом

> 0.

Применим теперь теорему Абеля:

Пусть Е, F, G – три пространства Банаха. Пусть

– некоторая последовательность векторов из Е с ограниченной вариацией, стремящихся к

при n → ∞, и

- последовательность векторов из F с ограниченными частными суммами, т.е. такая, что нормы величин

+ … +

, n ≥ m,

ограничены. Тогда, если В является билинейным непрерывным отображением пространства Е×F в пространство G, то ряд с общим членом

= B(

) сходится.

Кроме того, если положитьU_m = ||

|| + ||

|| + … u V_m = = sup_n_≥_m||

||, то сумма

и остаток

+ … могут быть оценены следующим образом:

||

|| ≤ ||B||U₀V₀и ||

|| ≤ ||B||U_m₊₁V_m₊₁.

Имеем:

= u_n

, где

= (-1)ⁿ^-1, u_n = .

Величины |

| мажорируется числом 1. Покажем, что последовательность чисел u_n имеет ограниченную вариацию. Имеем:

- = s

, (2.12)

откуда

| - | ≤ |s|

(2.13)

и

| - | + | - | + … ≤ |s|

. (2.14)

Следовательно, ряд сходится, а формула ||

|| ≤ ||B||U₀V₀ и ||

||B||U_m₊₁V_m₊₁ дает для остатка следующую оценку:

|

| ≤

. (2.15)

Так как при этом |R_m| ≤

, где правая часть не зависит от s и стремится к 0 при m, стремящемся к +

, то сходимость ряда равномерна на К.

Если считать, что

> 1, то можно указать простую связь между функциями

_а. В самом деле, из формулы

_а(s) =

(s) - 2

получаем:

_а(s) =

(s)(1 -

, или

(s) =

. (2.16)

Свойство равномерной сходимости, доказанное для

_а, показывает, что эта функция непрерывна на каждом компакте К открытой полуплоскости

> 0. Следовательно, она непрерывна всюду в этой полуплоскости. В частности, при s, стремящемся к 1,

_а(s) стремится к

_а(1) = ln 2. Тогда из формулы (2.16) следует, что при s, стремящемся к 1,

(s) эквивалентна

.

В результате формула (2.16) позволяет продолжить функцию

во всей комплексной плоскости и показать, что это голоморфная комплексной переменной s, т.е. непрерывная функция с непрерывной первой производной по отношению к этой комплексной переменной в дополнении к точке s = 1 комплексной плоскости. Эта точка s = 1 является полюсом,

(1) = ∞. Продолженная функция обращается в нуль в точках s = -2, -4, -6, … . Исследование этой функции дает сведения о распределении простых чисел. Риман высказал гипотезу, о том, что продолженная функция

имеет все нули, кроме предыдущих, на вертикальной полупрямой

. Доказательство этого утверждения дало бы исключительно важные сведения о распределении последовательности простых чисел. Во всяком случае, уже известные в настоящее время свойства функции

позволяют показать, что n-е простое число эквивалентно при n, стремящемся к бесконечности, числу n ln n, или что число простых чисел, заключенных между 1 и N, эквивалентно при N, стремящемся к +∞, числу

.

Теория простых чисел является одной из самых интересных, но и самых трудных математических теорий. [5, с. 168 – 173]

§2.3 Разложение функции

в бесконечное произведение

Разобьем вывод формулы

на отдельные этапы.

1) Пусть m – любое положительное нечетное число: m = 2n + 1. Прежде всего докажем, что для любого отличного от kπ (k = 0,

1, …) значения

( в дальнейшем нас будут интересовать значения

лишь из интервалов 0 < |

| < π) справедлива формула

n =

.

(2.17)

Для вывода формулы (2.17) будем исходить из формулы Муавра:

Расписывая правую часть этой формулы с помощью бинома Ньютона и сравнивая мнимые части, получим

Учитывая, что m = 2n + 1, будем иметь
(2.18)

В правой части (2.18) все показатели при косинусах и синусах четные, так что если заменить

на 1 -

то в правой части (2.18) получится многочлен степени n относительно

. Положив z =

, обозначим этот многочлен символом F(z), а его корни символами α₁, α₂, …, α_n. Так как при

z =

→ 0 и левая часть (2.18) стремится к единице, то многочлен F(z) можно представить в виде:

Остается определить корни α₁, α₂, α_n. Замечая, что эти корни соответствуют нулям функции

получим

α₁ =

, α₂ = , …, α_n =

.

Таким образом, формула (2.17) установлена.

2) Положив в формуле (2.17)

и считая, что 0 < |x| < πm, придадим этой формуле вид

(2.19)

Фиксируем любое (отличное от нуля) значение и возьмем два произвольных натуральных числа p и n, удовлетворяющих неравенствам 2

< p < n =

. Тогда формулу (2.19) можно записать в виде

(2.20)

где

(2.21)

Прежде всего оценим

. Поскольку 2

< p < n =

, то аргументы всех синусов , стоящих в формуле (2.21), принадлежат интервалу ( -

. Кроме того, ясно, что для всех k, участвующих в этой формуле, |x| <

и, следовательно,

(так как

, т.е.

, и поэтому

).

Для любого β из интервала 0 < β <

справедливы неравенства 1 > 1 – β >

, поэтому для всех номеров k, превосходящих p,

1 > 1 -

(2.22)

Почленно перемножая неравенства (2.22), записанные для k = p + 1, p + 2, …, n, получим следующую оценку для

:

1 >

.

(2.23)

Так как аргумент

лежит в первой четверти и для любого β из первой четверти 1 ≥

≥

, то
Таким образом,

.

Последнее неравенство позволяет следующим образом усилить оценку (2.23):

1 >

.

(2.24)

3) Теперь в формуле (2.20) устремим число m к бесконечности, оставляя фиксированным значение х и номер р. Поскольку

= x,

= (kπ)², то существует предел левой части (2.20), равный

, и предел конечного произведения

, равный

.

Далее будем считать, что последний предел отличен от нуля, так как , когда он равен нулю,

= 0 и разложение

установлено. Но тогда существует предел

. Обозначим этот предел через

. Из неравенств (2.24), справедливых для любого номера m, вытекает, что

1 ≥

(x) ≥

.

(2.25)

Формула (2.20) в пределе при m →∞ дает

(x).

(2.26)

4) Остается, сохраняя фиксированным х, устремить в формуле (2.26) номер p к бесконечности. Поскольку левая часть (2.26) не зависит от р, а предел

в силу неравенств (2.25) существует и равен единице, то существует и предел

Таким образом разложение

для

установлено. [2, с. 51 – 54]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе было произведено исследование одного из типов числовых рядов – бесконечных произведений. В ходе работы был выполнен анализ литературы по данной теме, на основании которого были выделены основные понятия и свойства бесконечных произведений, выявлена связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов, рассмотрены разложения различных функций в бесконечное произведение, решены различные задачи по данной теме. Рассмотрены такие понятия, как абсолютная сходимость бесконечного произведения, равномерная сходимость,

. В итоге, можно заметить, что рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.
ИСПЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.     Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М., 1997. – 624 с.

2.     Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса. – М., 1987. – 358 с.

3.     Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. – М., 1988. – 576 с.

4.     Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. – М., 1970. – 800 с.

5.     Шварц Л. Анализ, том 1. – М., 1972. – 824 с.

Bukvasha