Лабораторная работа № 10
Определение момента инерции маховика
Цель работы
Экспериментальное определение момента инерции системы^*, состоящей из массивного маховика, двух шкивов, насаженных на общий вал.

Теоретические основы работы

В механике под твердым телом, или абсолютно твердым телом, понимают неизменную систему материальных точек, т. е. такую абстрактную (идеализированную) систему, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками остаются неизменными, постоянными.

Любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность простых движений: поступательного и вращательного.

При поступательном движении все точки твердого тела совершают одинаковые перемещения, т. е. в этом случае любая прямая, проведенная в твердом теле, остается при движении параллельной самой себе.

Мерой инертности (инерции)^** твердого тела при поступательном движении является масса тела.

При вращательном движении твердого тела как вокруг неподвижной оси, так и вокруг точки, инертные свойства тела определяются моментом инерции.

Следует подчеркнуть, что тело имеет момент инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или покоится по аналогии с тем, что любое тело имеет массу независимо от того, движется оно или находится в покое.

В механике различают осевые и центробежные моменты инерции твердого тела, но в курсе общей физики изучается только момент инерции твердого тела относительно оси, что является целью данной лабораторной работы.

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний до этой оси, т. е.

.                                                       (1)

В системе «СИ» момент инерции имеет размерность (кг×м²).

_______
^*Так как масса (и размеры) массивного маховика значительно больше суммарной массы шкивов и вала, то фразу «момент инерции системы» следует понимать буквально как момент инерции маховика.

^**Свойство тела оказывать сопротивление при попытках вывести его из состояния покоя или изменить его скорость (по модулю или направлению), называется инертностью.

Момент инерции относительно данной оси зависит не только от величины массы тела, но и от распределения масс относительно оси. Изменения расстояний частиц тела относительно оси приводят к различным значениям момента инерции тела относительно этой же оси.

Момент инерции твердого тела, как и масса тела, является величиной аддитивной.

Суммирование в формуле (1) может быть заменено интегрированием:

,                                     (2)

где  - плотность тела в точке, в которой взят элементарный объем dV;

r - расстояние объема dV от оси вращения.

Если твердое тело однородно, т. е. во всех его точках плотность r = const, то выражение (2) принимает вид:

.                                              (3)
Вычисление момента инерции реальных твердых тел (произвольной конфигурации) по формулам (2, 3) представляет собой весьма сложную проблему, и на практике моменты инерции этих тел определяют экспериментальным путем.

Что касается однородных осесимметричных тел (цилиндра, конуса, шара и т. д.), то вычисление интеграла (3) значительно упрощается.


Учитывая, что в предлагаемой лабораторной работе вал, маховик, шкивы представляют собой цилиндры (диски), то приведем пример вычисления момента инерции однородного цилиндра (диска) относительно его оси симметрии (геометрической оси) ОО₁ (рис. 30).

Мысленно разобьем цилиндр (диск) радиуса R и высотой h на концентрические слои толщиной dr, радиус которого равен r.

Масса вещества, заключенного в этом слое, равна

,                              (4)

где  - плотность вещества цилиндра.

Момент инерции этого слоя относительно оси вращения ОО₁ равен

.                                (5)

Согласно (2) или (3) момент инерции всего цилиндра (диска) относительно оси ОО₁ равен

.                    (6)

Учитывая, что масса всего цилиндра (диска)

,

выражение (6) принимает окончательный вид:

                                           (7)

Итак, момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси симметрии равен его массе, умноженной на половину квадрата его радиуса.

Существует ряд методов (метод вращения и метод колебаний) экспериментального определения момента инерции твердого тела произвольной формы или системы, состоящей из нескольких тел, относительно оси вращения.

В данной лабораторной работе предлагается экспериментальное определение момента инерции системы, состоящей из однородных цилиндров (дисков) методом вращения.
Описание экспериментальной установки
На рис. 31 схематически показана лабораторная установка, с помощью которой исследуются закономерности поступательного и вращательного движения тел, необходимые для вычисления момента инерции системы.

Маховик 1 насажен на вал 2, который закреплен в шарикоподшипниках 3, 4, что обеспечивает вращение системы вокруг горизонтальной оси. На этом валу закреплены два шкива большего 5 и меньшего 6 диаметров. Диаметры шкивов измеряются штангенциркулем. На ободе каждого шкива имеется штырь для крепления нити с грузом.

На один из шкивов наматывается невесомая и нерастяжимая нить, к свободному концу которой прикрепляется груз 7 массой m. Положение груза относительно пола, т. е. высота h, измеряется длинной линейкой с миллиметровыми делениями.

Измерение времени движения груза 7 до пола осуществляется секундомером.

Для вывода расчетной формулы момента инерции системы могут быть использованы динамический или энергетический подходы. В данном случае предлагается вывод, основанный на законе сохранения и превращения механической энергии.

Пусть груз массой m (рис. 31) находится в покое на высоте h над горизонтальной поверхностью (на высоте h от пола).


Из кинематики равноускоренного движения материальной точки имеем:

   и   .

Исключая из последних выражений ускорение a, выразим скорость груза v непосредственно перед ударом его о пол:

,                                                         (8)

где t - время движения груза с высоты h.

В отсутствие проскальзывания нити можно использовать известную связь между модулями линейной и угловой скоростей:

,                                                        (9)

где r - радиус шкива, на который намотана нить с грузом;

u - линейная скорость точек на ободе этого шкива.

Из (8) и (9) получаем выражение для угловой скорости^* (шкива, маховика, всей системы) в момент времени t касания груза массой m о пол:

.                                                        (10)

При расчете момента инерции системы необходимо учитывать влияние силы трения в подшипниках крепления вала.

В начальный момент система находится в покое, и груз массой m расположен на высоте h от пола. Следовательно, перед началом движения система обладает энергией, равной потенциальной энергии груза, т. е.

.                                                 (11)

Если систему предоставить самой себе, то груз массой m будет равноускоренно опускаться, а маховик со шкивами приходить во вращательное движение.

В момент касания грузом пола потенциальная энергия груза переходит в суммарную кинетическую энергию системы и в работу против силы трения в подшипниках:

,                               (12)

где  - кинетическая энергия груза к моменту достижения пола;

 - кинетическая энергия вращательного движения маховика со шкивами к моменту достижения пола грузом;

 - работа силы трения за n₁ оборотов (число оборотов маховика от начала движения груза с высоты h до пола).

Уравнение (12) можно представить в виде:

.                             (13)

_____________

*Напомним, что любая точка твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеет одну и ту же угловую скорость.

**При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w i - ая частица тела, отстоящая от оси вращения на расстояние r_i, обладает линейной скоростью
u_i = wr_i (см. формулу (9)). Значит, кинетическая энергия этой частицы равна:             

Е_кi =mi×u_i²/2 = w²×m_i×r_i².

Суммируя последнее выражение, получим кинетическую энергию всего тела:

Е_к = åЕ_кi = w²×åm_i×r_i²/2.

С учетом (1) получим формулу кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:                      Е_квр. = Iw²/2.
После падения груза на пол и соскальзывания нити со шкива маховик продолжает вращаться до полной остановки. Это означает, что кинетическая энергия вращающегося маховика полностью перешла в работу силы трения, т.е.

,                  .                     (14)

где  - работа силы трения за n₂ оборотов, т. е. до полной остановки маховика.

Работа силы трения (13) и (14), как неконсервативной (или диссипативной) силы, как правило, отрицательна и в условиях данного эксперимента пропорциональна числу оборотов, совершенных маховиком на первом и втором этапах:

,                  ,                         (15)

где k - положительный коэффициент, имеющий одно и то же значение в обоих случаях, и который можно представить с учетом (14) в следующем виде:

,              .                            (16)

Тогда  (15) с учетом (16) определяется следующим выражением:

.                                          (17)

Уравнение (13) с учетом (17) принимает вид:

.

Преобразуя последнее равенство, получим с учетом (9) и (10) формулу расчета момента инерции системы:

,

которую можно упростить, учитывая, что >>2h и радиус шкива .

Итак, расчетная формула момента инерции системы принимает окончательный вид:

,                                              (18)

где d - диаметр шкива.
Порядок выполнения работы
1. Штангенциркулем измерьте не менее 5 раз диаметр (d) большего шкива 5 (рис.31) и результаты измерений занесите в табл.1. В этой же таблице запишите приборную ошибку измерения диаметра, т. е. Dd_пр.

Таблица 1

h =          ;   Dh = 2мм;   n1 =
N	d, мм
1
2
3
4
5
Среднее <d>
S (<d>)
Ddсл.
Ddпр.
Dd
Ed, %

2.Наденьте петлю, имеющуюся на нити с грузом, на штырь большего
шкива 5.

3. Предварительно (если потребуется) намотайте нить на шкив так, чтобы груз касался пола и нить была натянута. В этом положении начертите мелом на маховике 1 (рис.31) горизонтальную черту, что позволит отсчитывать число оборотов маховика.

4. Намотайте нить с грузом на шкив 5, одновременно отсчитывая по меловой черте число полных оборотов n₁ маховика. При этом груз поднимется на некоторую высоту h.

5. Измерьте высоту подъема груза длинной линейкой, поставленной строго вертикально.

При проведении последующих измерений следите, чтобы число полных оборотов n₁ сохранялось неизменным и высоты отличались друг от друга не больше, чем на 2 мм (Dh ≤ 2мм).

Значения величин h и n₁ занесите в табл.1.

6. Измерьте не менее 5 раз время падения груза с высоты h (включите секундомер в момент начала движения груза и выключите в момент касания грузом пола). Результаты измерения времени движения груза занесите в табл.2. Также необходимо записать приборную ошибку измерения времени (Dt_пр) и субъективную ошибку (Dt_суб.).

7. Подсчитайте по меловой черте число оборотов n₂ маховика от момента касания грузом пола до полной остановки маховика. Следите за тем, чтобы нить обязательно соскочила со шкива. Число оборотов n₂, округлив до ¼ оборота, занесите в табл.2.
Таблица 2

Dtпр. =       ;     Dtсуб. =
N	t, с	n2
1
2
3
4
5
Среднее	<t> =	<n2> =
S (<t>)
	Dtсл. =	Dnсл. =
	Еt, %	En, %

8. Рассчитайте абсолютные и относительные ошибки прямых измерений диаметра шкива, времени падения груза и числа полных оборотов маховика до остановки по соответствующим формулам:

,        ,              %.

,           ,                %.

,        .

9.Повторите п.п. 1÷8 для меньшего шкива 6 (рис.31).

10.По средним значениям величин, входящих в расчетную формулу (18), рассчитайте среднее значение момента инерции маховика <I> как при использовании большего шкива 5, так и меньшего шкива 6.

11.Рассчитайте относительную погрешность DI/I по формуле:

,

где     m = 610 г - масса груза;

Dm = 0,5 г - абсолютная погрешность измерения массы груза.

В расчетной формуле относительной погрешности DI/I не учитывается относительная погрешность величины ускорения свободного падения (Dg/g). Попробуйте убедиться, что указанная погрешность пренебрежимо мала.

12.Рассчитайте абсолютную погрешность DI.

13.Запишите конечный результат в стандартном виде

I = <I> ± DI.
Контрольные вопросы
1.   Сформулируйте цель данной лабораторной работы.

2.    Какое тело называется абсолютно твердым ?

3.    Какое движение называется поступательным ?

4.    Назовите меру инертности тела при поступательном движении.

5.    Назовите меру инертности тела при его вращательном движении относительно неподвижной оси.

6.    Напишите формулу момента инерции системы материальных точек
относительно оси.

7.    По какой формуле удобно вычислять момент инерции однородного тела
(цилиндра, шара и т.д.) относительно оси симметрии этого тела ?

8.    Оцените момент инерции относительно оси системы из трех тел, если по
отдельности моменты инерции тел относительно этой оси равны I₁, I₂, I₃.

9.    Укажите единицу измерения момента инерции в СИ.

10.     Дайте определение момента силы относительно точки (центра).

11.     Какую величину называют плечом силы ?

12.     Дайте определение момента силы относительно оси.

13.     Какую величину называют моментом импульса ?

14.     Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

15.     Укажите различия между консервативными и диссипативными силами.

16.     Назовите причину изменения полной механической энергии.

17.     Выполняется ли закон сохранения механической энергии при движении
маховика ?

18.     Напишите формулу изменения полной механической энергии для данной
экспериментальной установки.

19.     Дайте определение работы постоянной силы.

20.     В каком случае работа силы отрицательна ?

21.     Как оценивается работа силы трения для данной экспериментальной
установки, если маховик совершит n оборотов ?

22.     Напишите формулу кинетической энергии вращающегося тела.

23.     В какие виды энергии переходит потенциальная энергия поднятого груза ?

24.     Выведите расчетную формулу.

25.     Перечислите величины, измеряемые в данной работе с помощью прямых
измерений.

26.     Перечислите виды погрешностей измерений.

27.     Назовите виды измерений физических величин.

28.     Как вычисляются абсолютные и относительные ошибки при прямых
измерениях ?

29.     Что такое доверительный интервал ?

30.    Напишите формулу для вычисления относительной погрешности момента инерции маховика .