Реферат Олигополия и модель Курно

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Курсовая работа Дипломная работа Контрольная работа Реферат Отчет по практике Эссе Доклад Решение задач Научно-исследовательская работа Монография Аспирантский реферат Магистерская работа Научная статья Публикация статьи в ВАК Публикация статьи в Scopus Дипломная работа MBA Бизнес-план Тест/экзамен online Чертеж Рецензия

Принимаю Политику конфиденциальности

Продолжить

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024

1. Олигополия и Модель Курно

Олигополией называют ситуацию, когда на рынке несколько производителей, и каждый из них может влиять на цену. Если производителей двое, то такую олигополию называют дуополией.

В отличие от моделей монополии, где рассматривается при­нятие решений единственной фирмой — монополией, в моделях олигополии рассматривается принятие решений сразу несколь­кими экономическими агентами — олигополистами, причем ре­зультат функционирования каждого из них зависит не только от предпринимаемых им самим действий, но и от действий его кон­курентов. Таким образом мы сталкиваемся здесь с феноменом так называемого стратегического поведения — предмета теории игр. В связи с этим практически все модели олигополии пред­ставляют собой игры различного рода, и моделирование олигополистических рынков в существенной степени использует аппарат теории игр.

Мы будем предполагать здесь, если не оговорено иное, что общая структура олигополистической отрасли (технология, ко­личество производителей, тип конкуренции и т.д.) заданы экзогенно. Логически возможны разные гипотезы о поведении участ­ников олигополии. Участники могут демонстрировать либо не­кооперативное, либо кооперативное поведение (сговор, картель). Поэтому типы некооперативного поведения можно классифици­ровать по следующим признакам:

1.     Одновременное принятие решений.

2.     Последовательное принятие решений. Традиционно рас­сматриваемый — один из участников лидер, остальные под­страиваются к его решению. Возможны и более сложные цепоч­ки ходов.
Нас прежде всего интересует некооперативное поведение олигополистов

В дальнейшем будем считать, что некоторую однородную продукцию производят n
фирм, технологии которых представле­ны возрастающими функциями издержек , а спрос на продукцию задается убывающей обратной функцией спроса . Областью определения для выпусков y_j
везде будем считать . Кроме того в дальнейшем мы не будем учитывать требо­вание неотрицательности прибыли отдельного олигополиста. Под равновесием совершенной конкуренции будем понимать такое равновесие, которое установилось бы, если бы производители иг­норировали влияние своего объема выпуска на цену.
В модели Курно производители принимают решение относи­тельно объемов производства и принимают эти решения одно­временно, исходя из своих предположений о решениях, приня­тых другими (их конкурентами).

Курно сделал два главных вывода:

1.       Для любой отрасли существует определенное и стабильное равновесие между объемом продаж и ценой товара.

2.        Цена равновесия зависит от числа продавцов.

При единственном продавце возникает монопольная цена. По мере увеличения количества продавцов цена равновесия падает, пока она не приблизится к предельным издержкам. Таким образом, модель Курно показывает, что конкурентное равновесие достигается тем больше, чем больше возрастает число продавцов.
Другими словами в модели рассматриваются взаимозависимости цены товара и спроса на него при различных рыночных ситуациях, т. е. при различной расстановке сил покупателей и продавцов.

Пусть  — ожидаемый (производителем j
) объем производ­ства производителя — составленный из этих ожиданий век­тор . Тогда при выпуске  его (ожидаемая) прибыль составит величину . Вы­пуск, максимизирующий прибыль при ограничении , зави­сит, таким образом, от ожидаемого объема производства других производителей. Если ожидаемые объемы производства совпада­ют с фактическими, то такое состояние можно назвать равнове­сием олигополии. Описанное понятие равновесия было введено в прошлом веке французом Антуаном Огюстеном Курно. Это равновесие часто называют равновесием Курно. Следует отме­тить, однако, что было бы точнее говорить о равновесии Нэша в модели Курно.

Равновесие Курно — это совокупность выпусков  и ожиданий , таких что выпуск любого производителя, , максимизирует его прибыль на  при ожиданиях , и ожидания всех производителей оправдываются, т.е. .

Другими словами,  является решением задачи:



Зависимость оптимального объема производства  от  называют функцией отклика, если решение задачи единственно (отображением отклика в общем случае). Будем обозначать ее через , где — (ожидаемый) суммарный объем производства блага всеми другими производителями. Если опти­мальный отклик однозначен, то равновесие Курно  яв­ляется решением следующей системы уравнений:



Пусть — равновесие Курно. Тогда выполняются следующие соотношения (условия первого порядка):

,

где причем , если

Данные соотношения — необходимые условия первого по­рядка, представляют дифференциальную характеристику равно­весия Курно.

Рассмотрим с помощью графика равновесие Курно для случая двух фирм (дуополии) (Рис. 1). На рисунке изображены кривые постоянной прибыли ( и ) и кривые отклика (и ), которые можно опреде­лить как множество точек, где касательные к кривым равной прибыли параллельны соответствующим осям координат. Точка пересечения кривых отклика является равновесием Нэша-Курно



Рисунок 1

1.1. Свойства в случае постоянных и одинаковых предельных издержек.

Проведем анализ модели Курно в упрощенном варианте, предположив, что предельные издержки постоянны и совпадают у всех производителей, т.е. . Кроме того будем предпола­гать выполнение условий:

 (С₁)

существует ,такой что  (С₂)

 дифференцируема и . (С₃)

Симметричность равновесия и положительность выпусков

такие что . Запишем условия первого порядка, учиты­вая, что выпуск  положителен, а  может быть равен нулю:

Поскольку , то . Получили противоречие. Та­ким образом, объем производства у каждой фирмы в равновесии Курно одинаков:

, а условия первого порядка совпадают и приобретают вид

причем неравенство заменяется на равенство, если суммарный выпуск  положителен.

Если , то в равновесии Курно суммарный выпуск не может быть нулевым, поскольку, подставляя  в условия первого порядка, получаем

Существование и единственность равновесия

Таким образом, при , выпуск общий положителен и условия первого порядка имеют вид

Замечу, что существование корня этого уравнения можно гарантировать, если выполнены условия С₁-С₃ и, кроме того, функция  непрерывно дифференцируема, поскольку в этих условиях непрерывная функция  принимает зна­чения разных знаков на концах интервала .

Если дополнительно потребовать, чтобы функция была вогнута по у при любом у'>0, то можно утверждать, что  — равновесие Курно (выполнено условие второго по­рядка).

Замечу при этом, что поскольку при сделанном предполо­жении функция  вогнута, то равновесие Курно единственно, поскольку условие первого порядка выполнено в одной точке.

Действительно, функцию можно представить в виде

Первое слагаемое здесь не возрастает, а второе убывает при , поэтому функция  убывает и может быть равной нулю не более чем в одной точке.

(в которой условие первого порядка может не выполняться как равенство) равновесия быть не может, посколь­ку, как мы предположили,

Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции

1. Объем выпуска  в равновесии Курно выше, чем объем выпуска при монополии (или картеле, когда производители выбирают выпуск, максимизирующий суммарную прибыль).

2. Объем выпуска  в равновесии по Курно ниже, чем объем выпуска  в условиях совершенной конкуренции (ситуации, ко­гда производители рассматривают цены как данные).

Пусть  — равновесие Курно, и — равновесие при совершенной конкуренции, у — равновесие при монополии. Предположим, что выполнены условия

Как было доказано выполнение С₁-С₃ гарантирует, что , поэтому удовлетворяет условию перво­го порядка

Поскольку правая часть соотношения отрицательна, а функция  убывает, то

Предположим, что . Тогда увеличение выпуска одного из производителей (например, первого) на величину при­водит к росту суммарной прибыли (до монопольно высокой). По­скольку при этом прибыль остальных производителей может только уменьшиться, прибыль первого возрастает, что противо­речит предположению о том, что

Рост выпуска с ростом числа участников

Предположим, что выполнены условия С₁-С₃ и, кроме того, функция  непрерывно дифференцируема. Пусть — суммарный выпуск в равновесие Курно с п участниками. Тогда

Для любого  выполняются соотношения (условия первого порядка):

Предыдущая теорема гарантирует ограниченность последова­тельности . Так как функция  непрерывно диф­ференцируема, то из этого следует ограниченность . От­сюда:

1.2. Свойства в случае функций издержек общего вида

Существование равновесия

1) функции издержек  дифференцируемы при всех возможных объемах выпуска (неотрицательных у),

3) функция  вогнута по у при любом ,

4) функции издержек выпуклы (функции предельных издержек не убывают),

5) существуют  

такие, что  при

Тогда равновесие Курно  существует, причем (Условия данной теоремы гарантируют нам существование равнове­сия Нэша-Курно в чистых стратегиях.)

Предположим, что при любых (разумных) ожиданиях относи­тельно выпуска конкурентов ни одному из производителей не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем . Тем самым, выбор каждого участника может быть ограничен компактным множеством. При доказа­тельстве удобно учитывать, что для каждой фирмы

суммарный выпуск других фирм есть константа, поэтому задача максимизации прибыли по  сводится к максимизации прибыли по

при ограничении .

Сравнение c равновесием при совершенной конкуренции

Предположим, что равновесие Курно, , и равновесие при совершенной конкуренции, , существуют, и обратная функция спроса р(у) убывает.

Тогда суммарный выпуск в равновесии Курно,  не превышает суммарный выпуск в условиях совершенной конкуренции,

,

, и функции издержек,  дифференцируемы при всех неотрицательных

, причем

- функции издержек, , выпуклы, то меньше .

Поскольку выпуск максимизирует прибыль

-ого производителя в предположении что суммарный объем производства остальных равен , то должно выполняться неравенство:

С другой стороны, дает

-му производителю максимум прибыли в предположении, что цена неизменна и равна , поэтому:

, которая в рав­новесии Курно производила бы больше, чем в конкурентном равновесии: .

Поскольку , то из этого следует, что

Поскольку мы предположили, что , то .

В силу убывания функции спроса это означает, что

С другой стороны, пусть наше предположение неверно, и для всех фирм выполнено  Суммируя по

получаем, что .

Докажем, использовав дополнительные условия, что не­равенство здесь строгое. Предположим, что это не так, и суммар­ные выпуски совпадают, т.е. .

Может быть только два случая: либо  для всех

либо для некоторого

, для которого и

С учетом того, что , имеем , откуда

,

что противоречит убыванию функции спроса. Таким образом .

Симметричность равновесия, положительность выпусков и единственность

В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т.е. , можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие будет сим­метричным), и положительны. Кроме того, в предположении одинаковости издержек несложно доказать единственность рав­новесия.
Теорема 5

Предположим, что равновесие Курно  существует и выполнены следующие условия:

1) издержки у всех производителей одинаковы, , причем с(у) — выпуклая функция;

2) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, с(у), дифференцируемы;

3)

4) р(у) убывает.

Тогда верно следующее:

(
i
) Равновесие симметрично:



и каждая фирма выпускает в равновесии положительное количество продукции, т.е.

.

(
ii
) Если, кроме того, функция р(у)у вогнута, то равновесие единственно.
Доказательство.

(
i
) Покажем, что если функции издержек одинаковы, то ка­ждый производитель в равновесии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, предположим, что суще­ствуют производители j
и k
, такие что . Тогда из условий первого порядка следует, что




Но левая часть данного соотношения положительна, а правая — неположительная. Таким образом, выпуски всех производите­лей совпадают:



Суммарный выпуск отрасли, не может быть равным ну­лю. В противном случае из условия первого порядка любого из участников следует, что , а это противоречит условию теоремы. Таким образом, .

(
ii
) Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде



или



Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная  не возрастает. Аналогичным образом, из выпуклости функции с(у) следует неубывание предельных издержек. Учиты­вая убывание обратной функции спроса р(у), получаем, что вы­ражение в левой части дифференциальной характеристики убы­вает. Отсюда следует единственность объема , удовлетворяю­щего данному уравнению.

Поведение равновесия при росте количества фирм

Можно встретить неформальное утверждение о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так что доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие можно рассматривать как не обладающего рыночной властью (принимающего цены как данные), и ситуа­ция в отрасли может быть довольно точно описана моделью со­вершенной конкуренции. Смысл утверждения состоит в том, что с ростом количества участников олигополии отрасль в некотором смысле все более приближается к конкурентной.

Докажем вариант этого утверждения и частном случае, когда в модели Курно издержки у всех производителей одинаковы, т.е. .

Теорема 6

Предположим, что равновесие Курно,  и равновесие при совершенной конкуренции, , существуют при любом , и выполнены следующие условия:

1) , причем с(у) — выпуклая функция;

2) обратная функция спроса р(у) строго убывает, а функция р{у)у вогнута (Эта величина равна суммарной выручке предприятий отрасли от продажи продукции в объеме у);

3) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, с(у), непрерывно дифференцируемы при всех неотрицательных у,

4) и существует величина такая, что .

Тогда

(
i
) суммарный выпуск в равновесии Курно с п участниками, , растет с ростом п и меньше величины  ;

(
ii
) выпуск отдельного участника, , падает с ростом п, причем  

(
iii
) прибыль отдельного участника,  дает с ростом п;

(
iv
) , где — суммарный выпуск тех же предприятий в условиях совершенной конкуренции.
Доказательство.

Как доказано выше, при сделанных предположениях каж­дый из участников в равновесии Курно будет выпускать положи­тельное и одинаковое количество продукции:



и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде:



Решение этого уравнение будет единственным (как доказано в теореме выше) равновесием Курно.

(
i
) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий Курно в ситуации с п+1 и п олигополистами:




 и



Используя эти соотношения, мы можем показать, что сум­марное выпуск в олигополистической отрасли возрастает с рос­том числа олигополистов.

Предположим, обратное: существует такое n
, что . При этом из убывания обратной функции спроса следует, что

 и

Из вогнутости функции p
{у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е.



Сложив три последние неравенства, получим



ИЛИ



Выражения в квадратных скобках представляют собой левые части условий первого порядка для  и соответственно, по­этому



Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому данное неравенство может быть вы­полнено только если



но это противоречит исходному предположению о том, что . Таким образом, мы доказали, что последовательность объе­мов производства  возрастает по n
(Величина  представляет собой монопольный выпуск, т.е. . Из доказанного следует, что при всех .).

Чтобы доказать, что  достаточно доказать, что , поскольку, согласно одной из доказанных выше теорем .

Воспользовавшись дифференциальной характеристикой кон­курентного равновесия, возрастанием предельных издержек и определением величины Y , запишем



Поскольку, по предположению, обратно л функция спроса убывает, это означает, что .

(
ii
) Мы хотим доказать, что является убывающей после­довательностью. Поскольку р(у)у — вогнутая функция, то она лежит под сво­ей касательной. Поэтому



или



Поскольку суммарный выпуск положителен, то это неравен­ство можно переписать в виде

 (*)

Пусть доказываемое неверно и для какого-то n
выполнено



т.е.



Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что , что




поскольку .

Так как то из убывания обратной функции спроса при следует, что



Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е. при , выполнено




Складывая три последние неравенства, получим, что



Приводя подобные и разделив на п+1, получим




Учитывая дифференциальные характеристики равновесия Курно, это означает, что



Из выпуклости функции издержек получаем требуемое



Далее, убывание выпуска отдельного участника до нуля, т.е.



следует из того, что суммарный выпуск ограничен сверху ве­личиной .

(
iii
) Так как спрос убывает, то при



Это неравенство можно переписать в виде



С другой стороны, функция издержек, как выпуклая функ­ция, должна лежать выше своей касательной, поэтому



Комбинируя два неравенства, получим, что



где мы обозначили через прибыль отдельного участника в от­расли с n
фирмами в точке равновесия Курно



Из условий первого порядка



         Поскольку , то

(
iv
) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно:




Здесь лежит в интервале [0, Y
°]. Так как производная об­ратной функции спроса непрерывна, то первый сомножитель во втором слагаемом — величина ограниченная, на этом интервале она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем первый сомножитель заменить его максимальным значе­нием. Второй сомножитель представляет собой величину, кото­рая убывает до нуля при . Поэтому

 

Так как  стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции издержек



Таким образом, . Вспоминая, что , получим из непрерывности и убывания обратной функции спроса, что .

Поскольку конкурентный объем производства, , лежит между  и , то он стремится к тому же пределу:

Уменьшение монопольной власти при росте числа конкурен­тов — что довольно реалистическая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда произво­дителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по которой может продаваться продукция, и поэтому сама модель Курно как модель, описывающая феномен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной.

Список использованной литературы

1.     В. Бусыгин, Е. Желободько, С. Коковин, А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков - I. 264 с.