Реферат Олигополия и модель Курно
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Содержание
Содержание. 1
1. Олигополия и Модель Курно. 2
1.1. Свойства в случае постоянных и одинаковых предельных издержек. 5
Симметричность равновесия и положительность выпусков. 6
Существование и единственность равновесия. 6
Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции. 7
Рост выпуска с ростом числа участников. 9
1.2. Свойства в случае функций издержек общего вида. 9
Существование равновесия. 10
Сравнение c равновесием при совершенной конкуренции. 11
Симметричность равновесия, положительность выпусков и единственность. 13
Поведение равновесия при росте количества фирм. 14
Список использованной литературы.. 20
1. Олигополия и Модель Курно
Олигополией называют ситуацию, когда на рынке несколько производителей, и каждый из них может влиять на цену. Если производителей двое, то такую олигополию называют дуополией.
В отличие от моделей монополии, где рассматривается принятие решений единственной фирмой — монополией, в моделях олигополии рассматривается принятие решений сразу несколькими экономическими агентами — олигополистами, причем результат функционирования каждого из них зависит не только от предпринимаемых им самим действий, но и от действий его конкурентов. Таким образом мы сталкиваемся здесь с феноменом так называемого стратегического поведения — предмета теории игр. В связи с этим практически все модели олигополии представляют собой игры различного рода, и моделирование олигополистических рынков в существенной степени использует аппарат теории игр.
Мы будем предполагать здесь, если не оговорено иное, что общая структура олигополистической отрасли (технология, количество производителей, тип конкуренции и т.д.) заданы экзогенно. Логически возможны разные гипотезы о поведении участников олигополии. Участники могут демонстрировать либо некооперативное, либо кооперативное поведение (сговор, картель). Поэтому типы некооперативного поведения можно классифицировать по следующим признакам:
1. Одновременное принятие решений.
2. Последовательное принятие решений. Традиционно рассматриваемый — один из участников лидер, остальные подстраиваются к его решению. Возможны и более сложные цепочки ходов.
Нас прежде всего интересует некооперативное поведение олигополистов
В дальнейшем будем считать, что некоторую однородную продукцию производят n
фирм, технологии которых представлены возрастающими функциями издержек , а спрос на продукцию задается убывающей обратной функцией спроса . Областью определения для выпусков yj
везде будем считать . Кроме того в дальнейшем мы не будем учитывать требование неотрицательности прибыли отдельного олигополиста. Под равновесием совершенной конкуренции будем понимать такое равновесие, которое установилось бы, если бы производители игнорировали влияние своего объема выпуска на цену.
В модели Курно производители принимают решение относительно объемов производства и принимают эти решения одновременно, исходя из своих предположений о решениях, принятых другими (их конкурентами).
Курно сделал два главных вывода:
1. Для любой отрасли существует определенное и стабильное равновесие между объемом продаж и ценой товара.
2. Цена равновесия зависит от числа продавцов.
При единственном продавце возникает монопольная цена. По мере увеличения количества продавцов цена равновесия падает, пока она не приблизится к предельным издержкам. Таким образом, модель Курно показывает, что конкурентное равновесие достигается тем больше, чем больше возрастает число продавцов.
Другими словами в модели рассматриваются взаимозависимости цены товара и спроса на него при различных рыночных ситуациях, т. е. при различной расстановке сил покупателей и продавцов.
Пусть — ожидаемый (производителем j
) объем производства производителя — составленный из этих ожиданий вектор . Тогда при выпуске его (ожидаемая) прибыль составит величину . Выпуск, максимизирующий прибыль при ограничении , зависит, таким образом, от ожидаемого объема производства других производителей. Если ожидаемые объемы производства совпадают с фактическими, то такое состояние можно назвать равновесием олигополии. Описанное понятие равновесия было введено в прошлом веке французом Антуаном Огюстеном Курно. Это равновесие часто называют равновесием Курно. Следует отметить, однако, что было бы точнее говорить о равновесии Нэша в модели Курно.
Равновесие Курно — это совокупность выпусков и ожиданий , таких что выпуск любого производителя, , максимизирует его прибыль на при ожиданиях , и ожидания всех производителей оправдываются, т.е. .
Другими словами, является решением задачи:
Зависимость оптимального объема производства от называют функцией отклика, если решение задачи единственно (отображением отклика в общем случае). Будем обозначать ее через , где — (ожидаемый) суммарный объем производства блага всеми другими производителями. Если оптимальный отклик однозначен, то равновесие Курно является решением следующей системы уравнений:
Пусть — равновесие Курно. Тогда выполняются следующие соотношения (условия первого порядка):
,
где причем , если
Данные соотношения — необходимые условия первого порядка, представляют дифференциальную характеристику равновесия Курно.
Рассмотрим с помощью графика равновесие Курно для случая двух фирм (дуополии) (Рис. 1). На рисунке изображены кривые постоянной прибыли ( и ) и кривые отклика (и ), которые можно определить как множество точек, где касательные к кривым равной прибыли параллельны соответствующим осям координат. Точка пересечения кривых отклика является равновесием Нэша-Курно
Рисунок 1
1.1. Свойства в случае постоянных и одинаковых предельных издержек.
Проведем анализ модели Курно в упрощенном варианте, предположив, что предельные издержки постоянны и совпадают у всех производителей, т.е. . Кроме того будем предполагать выполнение условий:
1. (С1)
2. существует ,такой что (С2)
3. функция дифференцируема и . (С3)
Симметричность равновесия и положительность выпусков
Докажем, что объемы производства у всех олигополистов совпадают. Пусть это не так, и существуют два производителя, j и k
, такие что . Запишем условия первого порядка, учитывая, что выпуск положителен, а может быть равен нулю:
Вычитая из второго неравенства первое, получим
Поскольку , то . Получили противоречие. Таким образом, объем производства у каждой фирмы в равновесии Курно одинаков: , а условия первого порядка совпадают и приобретают вид
причем неравенство заменяется на равенство, если суммарный выпуск положителен.
Если , то в равновесии Курно суммарный выпуск не может быть нулевым, поскольку, подставляя в условия первого порядка, получаем
Существование и единственность равновесия
Таким образом, при , выпуск общий положителен и условия первого порядка имеют вид
Замечу, что существование корня этого уравнения можно гарантировать, если выполнены условия С1-С3 и, кроме того, функция непрерывно дифференцируема, поскольку в этих условиях непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах интервала .
Если дополнительно потребовать, чтобы функция была вогнута по у при любом у'>0, то можно утверждать, что — равновесие Курно (выполнено условие второго порядка).
Замечу при этом, что поскольку при сделанном предположении функция вогнута, то равновесие Курно единственно, поскольку условие первого порядка выполнено в одной точке.
Действительно, функцию можно представить в виде
Первое слагаемое здесь не возрастает, а второе убывает при , поэтому функция убывает и может быть равной нулю не более чем в одной точке.
В точке Y
=0 (в которой условие первого порядка может не выполняться как равенство) равновесия быть не может, поскольку, как мы предположили,
Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции
Следует отметить три характеристики равновесия Курно:
1. Объем выпуска в равновесии Курно выше, чем объем выпуска при монополии (или картеле, когда производители выбирают выпуск, максимизирующий суммарную прибыль).
2. Объем выпуска в равновесии по Курно ниже, чем объем выпуска в условиях совершенной конкуренции (ситуации, когда производители рассматривают цены как данные).
3. При росте числа участников объем выпуска в равновесии Курно приближается к равновесию при совершенной конкуренции.
Теорема 1.
Пусть — равновесие Курно, и — равновесие при совершенной конкуренции, у — равновесие при монополии. Предположим, что выполнены условия C1 — C3. Тогда
Доказательство.
Как было показано выше, равновесие Курно удовлетворяет условию
Как было доказано выполнение С1-С3 гарантирует, что , поэтому удовлетворяет условию первого порядка
С другой стороны, при совершенной конкуренции, как известно, цена равна предельным издержкам:
Вычитая из третьего соотношения первое, получим:
Поскольку правая часть соотношения отрицательна, а функция убывает, то
Предположим, что . Тогда увеличение выпуска одного из производителей (например, первого) на величину приводит к росту суммарной прибыли (до монопольно высокой). Поскольку при этом прибыль остальных производителей может только уменьшиться, прибыль первого возрастает, что противоречит предположению о том, что Y
* — совокупный выпуск в равновесии Курно.
Рост выпуска с ростом числа участников
Теорема 2
Предположим, что выполнены условия С1-С3 и, кроме того, функция непрерывно дифференцируема. Пусть — суммарный выпуск в равновесие Курно с п участниками. Тогда
Доказательство.
Для любого выполняются соотношения (условия первого порядка):
Предыдущая теорема гарантирует ограниченность последовательности . Так как функция непрерывно дифференцируема, то из этого следует ограниченность . Отсюда:
Следовательно,
1.2. Свойства в случае функций издержек общего вида
Вышеприведенные результаты получены при достаточно сильном предположении о функции издержек. Ниже будут приведены естественные обобщения полученных результатов при отказе от итого предположения.
Существование равновесия
Прежде обсудим условия на функции издержек и функции спроса, при которых равновесие Курно существует.
Теорема 3
Предположим, что в модели Курно выполнены следующие условия:
1) функции издержек дифференцируемы при всех возможных объемах выпуска (неотрицательных у),
2) обратная функция спроса р(у) непрерывна и убывает при всех неотрицательных у,
3) функция вогнута по у при любом ,
4) функции издержек выпуклы (функции предельных издержек не убывают),
5) существуют j
=1,…,
n
такие, что при
Тогда равновесие Курно существует, причем (Условия данной теоремы гарантируют нам существование равновесия Нэша-Курно в чистых стратегиях.)
Доказательство.
Предположим, что при любых (разумных) ожиданиях относительно выпуска конкурентов ни одному из производителей не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем . Тем самым, выбор каждого участника может быть ограничен компактным множеством. При доказательстве удобно учитывать, что для каждой фирмы j
суммарный выпуск других фирм есть константа, поэтому задача максимизации прибыли по сводится к максимизации прибыли по Y при ограничении .
Сам факт существования равновесия, хоть и повышает доверие к модели Курно, но мало полезен для анализа олигополистического рынка. Без информации, характеризующей равновесие, модель Курно, как и любая модель, оказывалась бы мало пригодной. Следующие далее утверждения позволяют сравнить равновесие Курно с монопольным равновесием и равновесием в ситуации совершенной конкуренции.
Сравнение c равновесием при совершенной конкуренции
Нижеследующие результаты дают сравнительную характеристику объемов производства в отрасли при разных типах ее организации.
Теорема 4
(
i
) Предположим, что равновесие Курно, , и равновесие при совершенной конкуренции, , существуют, и обратная функция спроса р(у) убывает.
Тогда суммарный выпуск в равновесии Курно, не превышает суммарный выпуск в условиях совершенной конкуренции,
(
ii
) Если, кроме того, выполнены следующие условия:
- ,
- обратная функция спроса, p
(
y
), и функции издержек, дифференцируемы при всех неотрицательных y, причем
- функции издержек, , выпуклы, то меньше .
Доказательство.
(
i
) Поскольку выпуск максимизирует прибыль j-ого производителя в предположении что суммарный объем производства остальных равен , то должно выполняться неравенство:
С другой стороны, дает j-му производителю максимум прибыли в предположении, что цена неизменна и равна , поэтому:
Если сложить эти два неравенства, то получается
(*)
Предположим, что существует такая фирма j, которая в равновесии Курно производила бы больше, чем в конкурентном равновесии: .
При убывающей функции спроса из этого неравенства следует что
Поскольку , то из этого следует, что
Сложив это неравенство с неравенством (*), получим:
или
Поскольку мы предположили, что , то .
В силу убывания функции спроса это означает, что
С другой стороны, пусть наше предположение неверно, и для всех фирм выполнено Суммируя по j
, получаем, что .
(
ii
) Докажем, использовав дополнительные условия, что неравенство здесь строгое. Предположим, что это не так, и суммарные выпуски совпадают, т.е. .
Может быть только два случая: либо для всех j
=1,…,n
, либо для некоторого j. И в том и в другом случае существует производитель j, для которого и
Для этого производителя дифференциальная характеристика равновесия Курно имеет вид:
Из выпуклости функции издержек следует, что
Таким образом
С учетом того, что , имеем , откуда
,
что противоречит убыванию функции спроса. Таким образом .
Симметричность равновесия, положительность выпусков и единственность
В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т.е. , можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие будет симметричным), и положительны. Кроме того, в предположении одинаковости издержек несложно доказать единственность равновесия.
Теорема 5
Предположим, что равновесие Курно существует и выполнены следующие условия:
1) издержки у всех производителей одинаковы, , причем с(у) — выпуклая функция;
2) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, с(у), дифференцируемы;
3)
4) р(у) убывает.
Тогда верно следующее:
(
i
) Равновесие симметрично:
и каждая фирма выпускает в равновесии положительное количество продукции, т.е.
.
(
ii
) Если, кроме того, функция р(у)у вогнута, то равновесие единственно.
Доказательство.
(
i
) Покажем, что если функции издержек одинаковы, то каждый производитель в равновесии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, предположим, что существуют производители j
и k
, такие что . Тогда из условий первого порядка следует, что
Но левая часть данного соотношения положительна, а правая — неположительная. Таким образом, выпуски всех производителей совпадают:
Суммарный выпуск отрасли, не может быть равным нулю. В противном случае из условия первого порядка любого из участников следует, что , а это противоречит условию теоремы. Таким образом, .
(
ii
) Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде
или
Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает. Аналогичным образом, из выпуклости функции с(у) следует неубывание предельных издержек. Учитывая убывание обратной функции спроса р(у), получаем, что выражение в левой части дифференциальной характеристики убывает. Отсюда следует единственность объема , удовлетворяющего данному уравнению.
Поведение равновесия при росте количества фирм
Можно встретить неформальное утверждение о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так что доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие можно рассматривать как не обладающего рыночной властью (принимающего цены как данные), и ситуация в отрасли может быть довольно точно описана моделью совершенной конкуренции. Смысл утверждения состоит в том, что с ростом количества участников олигополии отрасль в некотором смысле все более приближается к конкурентной.
Докажем вариант этого утверждения и частном случае, когда в модели Курно издержки у всех производителей одинаковы, т.е. .
Теорема 6
Предположим, что равновесие Курно, и равновесие при совершенной конкуренции, , существуют при любом , и выполнены следующие условия:
1) , причем с(у) — выпуклая функция;
2) обратная функция спроса р(у) строго убывает, а функция р{у)у вогнута (Эта величина равна суммарной выручке предприятий отрасли от продажи продукции в объеме у);
3) обратная функция спроса, р(у), и функция издержек, с(у), непрерывно дифференцируемы при всех неотрицательных у,
4) и существует величина такая, что .
Тогда
(
i
) суммарный выпуск в равновесии Курно с п участниками, , растет с ростом п и меньше величины ;
(
ii
) выпуск отдельного участника, , падает с ростом п, причем
(
iii
) прибыль отдельного участника, дает с ростом п;
(
iv
) , где — суммарный выпуск тех же предприятий в условиях совершенной конкуренции.
Доказательство.
Как доказано выше, при сделанных предположениях каждый из участников в равновесии Курно будет выпускать положительное и одинаковое количество продукции:
и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае переписать в виде:
Решение этого уравнение будет единственным (как доказано в теореме выше) равновесием Курно.
(
i
) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий Курно в ситуации с п+1 и п олигополистами:
и
Используя эти соотношения, мы можем показать, что суммарное выпуск в олигополистической отрасли возрастает с ростом числа олигополистов.
Предположим, обратное: существует такое n
, что . При этом из убывания обратной функции спроса следует, что
и
Из вогнутости функции p
{у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е.
Сложив три последние неравенства, получим
ИЛИ
Выражения в квадратных скобках представляют собой левые части условий первого порядка для и соответственно, поэтому
Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому данное неравенство может быть выполнено только если
но это противоречит исходному предположению о том, что . Таким образом, мы доказали, что последовательность объемов производства возрастает по n
(Величина представляет собой монопольный выпуск, т.е. . Из доказанного следует, что при всех .).
Чтобы доказать, что достаточно доказать, что , поскольку, согласно одной из доказанных выше теорем .
Воспользовавшись дифференциальной характеристикой конкурентного равновесия, возрастанием предельных издержек и определением величины Y , запишем
Поскольку, по предположению, обратно л функция спроса убывает, это означает, что .
(
ii
) Мы хотим доказать, что является убывающей последовательностью. Поскольку р(у)у — вогнутая функция, то она лежит под своей касательной. Поэтому
или
Поскольку суммарный выпуск положителен, то это неравенство можно переписать в виде
(*)
Пусть доказываемое неверно и для какого-то n
выполнено
т.е.
Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что , что
поскольку .
Так как то из убывания обратной функции спроса при следует, что
Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная не возрастает, т.е. при , выполнено
Складывая три последние неравенства, получим, что
Приводя подобные и разделив на п+1, получим
Учитывая дифференциальные характеристики равновесия Курно, это означает, что
Из выпуклости функции издержек получаем требуемое
Далее, убывание выпуска отдельного участника до нуля, т.е.
следует из того, что суммарный выпуск ограничен сверху величиной .
(
iii
) Так как спрос убывает, то при
Это неравенство можно переписать в виде
С другой стороны, функция издержек, как выпуклая функция, должна лежать выше своей касательной, поэтому
Комбинируя два неравенства, получим, что
где мы обозначили через прибыль отдельного участника в отрасли с n
фирмами в точке равновесия Курно
Из условий первого порядка
Поскольку , то
(
iv
) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно:
Здесь лежит в интервале [0, Y
°]. Так как производная обратной функции спроса непрерывна, то первый сомножитель во втором слагаемом — величина ограниченная, на этом интервале она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем первый сомножитель заменить его максимальным значением. Второй сомножитель представляет собой величину, которая убывает до нуля при . Поэтому
Так как стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции издержек
Таким образом, . Вспоминая, что , получим из непрерывности и убывания обратной функции спроса, что .
Поскольку конкурентный объем производства, , лежит между и , то он стремится к тому же пределу:
Уменьшение монопольной власти при росте числа конкурентов — что довольно реалистическая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда производителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по которой может продаваться продукция, и поэтому сама модель Курно как модель, описывающая феномен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной.
Список использованной литературы
1. В. Бусыгин, Е. Желободько, С. Коковин, А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков - I. 264 с.