Реферат

Реферат Полиномы Лагерра в квантовой механике

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024


Министерство образования Российской Федерации


Иркутский Государственный Технический Университет

Физико-технический институт


Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий
КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема:

Полиномы.

Полиномы Лагерра в квантовой механике
Выполнил (а) студент (ка)

2 курса, группы НТ-08,

.

Научный руководитель

.,ДФМН, профессор кафедры квантовой физики
Иркутск

2010
 

Содержание

Введение                                                                                                            3

Глава
I
.
Ортогональные полиномы.      
                                                   4

1.1.          Понятие ортогональных полиномов                                             4

1.2.          Классические ортогональные полиномы                                      5

1.3.          Общие свойства ортогональных полиномов                                7

Глава
II
. Полиномы Лагерра                                                                       
8

Глава
III
. Применение полиномов Лагерра в квантовой механике
  10

       3.1. В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном.                                                                                           10

        3.2. Переход в осцилляторе                                                                     12

Заключение                                                                                                     13          

Используемая литература                                                                           14

Приложение                                                                                                    15
Введение

В представленной работе, я рассмотрела виды полиномов, в частности полиномы Лагерра, их основные свойства и применение в квантовой механике через математические выкладки решений уравнений Шредингера для атома водорода и гармонического осциллятора.

По своей сути полином - это алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Axkyl...wm где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицательные числа)- постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а0хn + а1хn-1 + ... + аn-1х + аn.

К классическим ортогональным полиномам относятся полиномы Якоби, Эрмита, Лагерра

Они часто встречаются в теоретической и математической физике. Классические ортогональные полиномы удовлетворяют уравнениям вида



где - полином степени не выше 2,  - полином степени не выше 1, - постоянная.

В ходе работы использовала учебник Никифорова А.Ф.,Специальные функции математической физики; Фока. Начало квантовой механики.
Глава
I
. Ортогональные полиномы


1.1.Понятие ортогональных полиномов

Ортогональные полиномы - системы полиномов , n = 0, 1, ...,  ортогональных с весом на интервале (а, b)



где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в различных задачах математики, физики: в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задач на собственные значения в теории волн, квантовой механике и др.

Задание веса и интервала (а,b) определяет полином рn(х), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов рn(х)справедливо след. явное выражение в виде определителя:



где Аn - нормировочная постоянная, - момент весовой функции. Из соотношений ортогональности (1) можно получить  свойства Ортогональных полиномов.
1.2.Классические ортогональные полиномы.

Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита – полиномы типа yn(z) являются решениями уравнения  . Явные выражения для этих полиномов даются формулой Родрига  , где Bn – нормировочная постоянная, а функция p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Решая эти уравнения, получим в зависимости от степени полинома  следующие возможные виды функции p(z):
где – некоторые постоянные.      

В зависимости от вида функции  получаются следующие системы полиномов:

1.Пусть                                 

Тогда

Соответствующие полиномы yn(z)  при  называются полиномами Якоби и обозначаются



2.Пусть                  Тогда

 Полиномы yn(z) при  называются полиномами
Эрмита  и  обозначаются        


3.Пусть        Тогда

Полиномы yn(z)  при  называются полиномами Лагерра  и обозначаются :
1.3.Общие свойства ортогональных полиномов

Классические ортогональные* полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойств ортогональности полиномов. Таким свойствами обладают любые полиномы на интервале (a,b) с произвольным весом p(x)>0.

1.Разложение произвольных полиномов по ортогональным. (Произвольный полином n-й степени qn(x) можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов  pn(x))

2.Единственность системы полиномов при заданном весе.

3.Рекуррентные соотношения (для произвольных ортогональных полиномов имеет место рекуррентная формула, связывающая три последовательных полинома 

                  

где  - некоторые постоянные
Глава
II
.
Полиномы Лагерра


В математике, многочлены Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лагерра:

http://wapedia.mobi/math/CnhcLHknJyArICgxIC0geClcLHknICsgblwseSA9IDBcLAo=

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как http://wapedia.mobi/math/TF8wLCBMXzEsIFxkb3Rz, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по Формуле Родрига

http://wapedia.mobi/math/

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

http://wapedia.mobi/math/

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:

http://wapedia.mobi/math/=

предопределив первые два полинома как:

http://wapedia.mobi/math/TF8wKHgpID0gMVws

http://wapedia.mobi/math/TF8xKHgpID0gMSAtIHhcLA==

Обобщенные полиномы Лагерра.

http://wapedia.mobi/math/==

где:

·         http://wapedia.mobi/math/fm4=**главное (радиальное) квантовое число;

·         http://wapedia.mobi/math/fmw=***орбитальное (азимутальное) квантовое число.

Обобщённые полиномы Лагерра http://wapedia.mobi/math/TF9uXmEoeCk=являются решениями уравнения:

http://wapedia.mobi/math/

так что http://wapedia.mobi/math/TF9uKHgpID0gTF9uXjAoeCk=.
Глава
III
.   Применение полиномов Лагерра в квантовой


механике.

 Многочлены Лагерра нашли свое применение в квантовой механике:

3.1.В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном (нормирование волновой функции).

Разложение http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_16/Chapter_16.files/image188.gifволновой функции на множители, каждый из которых зависит либо от радиальной, либо от угловых координат, позволяет разбить общее условие нормировки 

http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_16/Chapter_16.files/image207.gif 

на два: по радиальной координате 

http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_16/Chapter_16.files/image209.gif

и по угловым: 

http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_16/Chapter_16.files/image211.gif.  

Для справочных целей выпишем полные выражения для нормированных волновых функций. Суммаhttp://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_16/Chapter_16.files/image194.gif может быть выражена через так называемую гипергеометрическую функцию. Радиальная часть волновой функции с учётом условия нормировки равна

 

http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_16/Chapter_16.files/image213.gif
 

Здесь F — вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функция (функция Куммера):

 

http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_16/Chapter_16.files/image215.gif

 

которая сходится при всех конечных z; параметр α произволен, а β предполагается не равным нулю или целому отрицательному числу. Если α есть целое отрицательное число (или нуль), то F(α, β, z) сводится к полиному степени |α|. Радиальные волновые функции выражаются также через обобщённые полиномы Лагерра http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_16/Chapter_16.files/image217.gif:

 

http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_16/Chapter_16.files/image219.gif

 
3.2.Переход в осцилляторе.

Расчет переходов в осцилляторе под действием внешней силы.

Под влиянием внешней силы http://wapedia.mobi/math/XCEgZih0KQ==квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (http://wapedia.mobi/math/XCEgbg==) на другой (http://wapedia.mobi/math/XCEgbQ==). Вероятность этого перехода http://wapedia.mobi/math/XCEgV197bixtfSh0KQ==для осциллятора без затухания даётся формулой:

http://wapedia.mobi/math/==,

где функция http://wapedia.mobi/math/XCEgXGRlbHRhKHQpопределяется как:

http://wapedia.mobi/math/=,

а http://wapedia.mobi/math/TF9tXnttLW59полиномы Лагерра.
Заключение

В данной работе были рассмотрены полиномы  - алгебраические многчлены Якоби, Эрмита и Лагерра, их форма записи, общие свойства. Более подробно рассматривались полиномы Лагерра, они нашли свое применение в квантовой механике  - являются частью рассчетов вывода уравнения Шредингера и уравнения переходов в осцилляторе под действием внешней силы.
Используемая литература

1.     Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984

2.     Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979

3.     Фок. Начало квантовой механики.
Приложение

*     Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу

**  Главное (радиальное) квантовое число — целое число, обозначающее номер энергетического уровня. Характеризует энергию электронов, занимающих данный энергетический уровень. Является первым в ряду квантовых чисел, который включает в себя главное, орбитальное и магнитное квантовые числа, а также спин. Эти четыре квантовые числа определяют уникальное состояние электрона в атоме (его волновую функцию). Главное квантовое число характеризует энергию электрона. Оно обозначается как n. При увеличении главного квантового числа возрастают радиус орбиты и энергия электрона.

Наибольшее число электронов на энергетическом уровне, с учетом спина электрона определяется по формуле ~N=2n^2

***    Орбитальное квантовое число (азимутальное) - определяет азимутальное распределение плотности вероятности локализации электрона в атоме, то есть форму электронного облака и определяет энергетический подуровень данного энергетического уровня.

Связано с n -главным (радиальным) квантовым числом соотношением:

~ l=_{ 0;1;2;...;n-1 }






* см. приложение

** см. приложение

1. Сочинение на тему Некрасов н. а. Темы и образы некрасовской «музы мести и печали»
2. Реферат на тему My Music Teachers And There Positive Influence
3. Курсовая на тему Технология обработки древесины на деревообрабатывающих станках
4. Реферат Тело и потребление
5. Статья Понятие, принципы и порядок прохождения государственной службы
6. Реферат Модифікація конкурентно-ринкового механізму
7. Диплом Норборненна-25-диен и его свойства
8. Реферат Вратислав II
9. Курсовая Cистема законодавства і систематизація нормативно-правових актів
10. Контрольная работа Сущность брэнда Маркетинговое ценообразование