Реферат Графическое моделирование
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
МИНИСТЕРСТВО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ И ТОРГОВЛИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КЕМЕРОВСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
Кафедра вычислительной техники и информационных
технологий
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
«Графическое моделирование»
Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
«Экономические задачи на оптимум»
| Выполнил: студент гр. ПИЭ-064 Лях Андрей Аркадьевич Руководитель: Долгина Т. В. | Работа защищена _________________ дата Оценка ___________________ Члены комиссии: |
Кемерово 2010
Оглавление
Введение. 3
Теоретический раздел. 3
Графический метод решения задач линейного программирования. 3
Этапы решения графического метода задач линейного программирования. 3
Рассмотрение средств, имеющихся в «Excel», для решения задач линейного программирования геометрическим способом. 3
Практический раздел. 3
Решение задачи линейного программирования графическим методом. 3
Экономическая интерпретация. 3
Заключение. 3
Список литературы.. 3
Введение
Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.
Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. В данной курсовой работе будет рассмотрен геометрический метод решения задач линейного программирования. Геометрический метод применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств.
Таким образом, целью данной курсовой работы является: освоить навыки использования геометрического метода для решения задач линейного программирования, а так же решение задачи этим методом в программе «Excel». Для этого были поставлены следующие задачи:
1. Изучить теоретические сведения, необходимые для решения задач линейного программирования геометрическим методом.
2. Разобрать алгоритм решения ЗЛП геометрическим методом.
3. Рассмотреть средства решения ЗЛП геометрическим методом в программе «Excel».
4. Решить задачу, используя рассмотренный метод решения задач линейного программирования.
Теоретический раздел
Графический метод решения задач линейного программирования.
Наиболее простым и наглядным методом линейного программирования (ЛП) является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными.
Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:
Положим n=2, т.е. рассмотрим эту задачу на плоскости. Пусть система неравенств совместна (имеет хотя бы одно решение).
Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой ai1 x1 + ai2 x2 = b
i , i=1,2,…m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости, соответственно, с граничными прямыми x1=0,x2 =0. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью.
Таким образом, геометрически задача линейного программирования (ЗЛП) представляет собой отыскание такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют линейной функции цели максимальное (минимальное) значение, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.
Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости. Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х1+3х2
£ 12. Во-первых, построим прямую 2х1+3х2=12. Эта прямая проходит через точки (6, 0) и (0, 4). Для того чтобы определить, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству необходимо выбрать любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Удобной для использования при подстановке в неравенство является начало координат. Подставим х1=х2=0 в неравенство 2х1+3х2
£12. Получим 2´0+3´0£12. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству 2х1+3х2£12 соответствует нижняя полуплоскость, содержащая точку (0.0). Это отражено на графике, изображенном на рис.1.
Рисунок 1 - Неравенству 2х1+3х2£12 соответствует нижняя полуплоскость.
Аналогично можно изобразить графически каждое ограничение задачи линейного программирования.
Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений или областью определения. Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (xj ³0, j=1,…,n). Координаты любой точки, принадлежащей области определения являются допустимым решением задачи.
Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении задач ЛП используют вектор–градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.
Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая
Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в другую сторону – убывает.
С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на котором достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе) остальных в направлении наискорейшего роста.
Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.
Строится многоугольная область допустимых решений ЗЛП – ОДР,
Строится вектор-градиент ЦФ в какой-нибудь точке Х0 принадлежащей ОДР
3. Линия уровня C1x1+C2x2 = а (а–постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору –градиенту
4. Для нахождения ее координат достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение f(x1,x2), найденное в получаемой точке, является максимальным.
При минимизации f(x1,x2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Если прямая при своем движении не покидает ОДР, то соответствующий максимум или минимум f(x1,x2) не существует.
Если линия уровня параллельна какому-либо функциональному ограничению задачи, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.
Этапы решения графического метода задач линейного программирования
Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.
Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.
Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.
Этап 1.
Сначала на координатной плоскости x1
Ox2 строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям:
Не приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые тут могут получится.
Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 2а).
Неосновной случай - получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 2б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение х1 + х 2 ≤ 3. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником.
|
|
Рисунок 2 - Выпуклые многоугольники
Наконец, возможен случай, когда неравенства противоречат друг другу, и допустимая область вообще пуста.
Рассмотрим теорию на конкретном примере:
Найти допустимую область задачи линейного программирования, определяемую ограничениями
Рисунок 3 - Графики
Решение:
Рассмотрим прямую –x1+x2 = 1. При x1 = 0, x2 = 0, а при x2= 0, x1= -1. Таким образом, эта прямая проходит через точки (0,1) и (-1,0). Беря x1 = x2 = 0, получим, что -0+0<1 и поэтому интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 3.а.
Рассмотрим прямую
Наконец, рассмотри
Сводя все вместе и добавляя условия х1 ≥ 0,х2 ≥ 0 получим рисунок 4, где выделена область, в которой выполняются одновременно все ограничения (1.32). Обратим внимание на то, что получившаяся область имеет вид выпуклого многоугольника.
Рисунок 4 - График иллюстрирующий решение задачи
Этап 2.
Вернёмся теперь к исходной задаче линейного программирования. В ней, кроме системы неравенств, есть еще целевая функция с1х1+с2х2 =>max.
Рисунок 5
Рассмотрим прямую с1х1+с2х2 = L. Будем увеличивать L. Легко догадаться, что прямая будет двигаться параллельно самой себе в том направлении, которое дается вектором (с1,с2), так как это вектор нормали к нашей прямой и одновременно вектор градиента функции
f(х1,х2) = с1х1+с2х2 .
А теперь сведем всё вместе. Итак, надо решить задачу
Ограничения задачи вырезают на плоскости некоторый многоугольник. Пусть при некотором L прямая с1х1+с2х2 = L пересекает допустимую область. Это пересечение дает какие-то значения переменных (х1,х2), которые являются планами.
Этап 3
Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться. В конце концов эта прямая выйдет на границу допустимой области как правило, это будет одна из вершин многоугольника. Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение прямой с1х1+с2х2 = L с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой с1х1+с2х2 = L, при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.
Рассмотрение средств, имеющихся в «Excel», для решения задач линейного программирования геометрическим способом
Мастер диаграмм
Excel поддерживает различные типы диаграмм, что позволяет представлять данные наиболее понятным для той или иной аудитории способом. При создании новой или изменении существующей диаграммы можно выбрать один из разнообразных типов (например, гистограмму или круговую диаграмму) и подтипов (например, гистограмму с накоплением или объемную круговую диаграмму). Совместив в одной диаграмме разные типы, можно создать смешанную диаграмму.
Для создания диаграммы необходимо воспользоваться инструментами панели "Диаграммы" ленты "Вставка".
Если не устраивает ни один из предложенных вариантов диаграмм, то необходимо воспользоваться кнопкой вызова окна панели "Диаграммы".
После этого надо указать диапазон данных для построения диаграммы. Если данные берутся из всей таблицы, то достаточно указать любую ячейку таблицы. Если надо выбрать лишь определенные данные из таблицы, то надо выделить этот диапазон. Во время выделения можно пользоваться кнопками Shift, Ctrl.
Для взаимной замены данных на осях надо воспользоваться кнопкой "Строка/Столбец".
После вставки диаграммы в окне Excel 2007 появляется контекстный инструмент "Работа с диаграммами", содержащий три ленты "Конструктор", "Макет", "Формат".
Практический раздел
Решение задачи линейного программирования графическим методом
Условие задачи:
Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице 1.
Таблица 1
| Вид сырья | Нормы расхода сырья на одно изделие, кг | Общее количество сырья, кг | |
| А | В | ||
| I | 12 | 4 | 300 |
| II | 4 | 4 | 120 |
| III | 3 | 12 | 252 |
| Прибыль от реализации одного изделия, ден. ед. | 30 | 40 | ? |
Решение:
Обозначим через х1 и х2 количество единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (12 х1 +4 х2) единиц ресурса I, (4х1 +4х2) единиц ресурса II, (3х1 +12х2) единиц ресурса III. Так как, потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
3х1 +12х2 ≤ 252. х1 +4х2 ≤ 84.
По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ≥0. (1,1)
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2.
Суммарная прибыль А составит 30х1 от реализации продукции А и 40х 2 от реализации продукции В, то есть : F = 30х1 +40х 2. (1,2)
Изобразим многоугольник решений данной задачи.
В ограничениях задачи поменяем знаки неравенства на знаки равенства.
Проведем оси: на горизонтальной будут указываться значения переменной х1, а на вертикальной — х2 .Далее рассмотрим условие неотрицательности переменных: x1 ≥ 0 и х2 ≥ 0. Эти два ограничения показывают, что пространство допустимых решений будет лежать в первом квадранте (т.е выше оси x1 и правее оси х2).
Чтобы учесть оставшиеся ограничения, проще всего заменить неравенства на равенства, в результате чего получится система уравнений прямых:
х1 + х2 = 30;
х1 +4х2 = 84.
а затем на плоскости провести эти прямые.
Например, неравенство 3х1 + х2 ≤ 75 заменяется уравнением прямой 3х1 + х2 = 75. Чтобы провести эту линию, надо найти две различные точки, лежащие на этой прямой Можно положить х1 = 0, тогда х2 = 75/1 = 75.. Аналогично для х2 = 0 находим x1 = 75/3 = 25. Итак, наша прямая проходит через две точки (0, 75) и (25;0). Аналогично найдём остальные точки и запишем их в таблицу 2.
Таблица 2
| 3х1 +х2 ≤ 75; | х1 +х2 ≤ 30; | х1 +4х2 ≤ 84. | |||
| х1 | х2 | х1 | х2 | х1 | х2 |
| 0 | 75 | 0 | 30 | 0 | 21 |
| 25 | 0 | 30 | 0 | 84 | 0 |
Согласно данной таблицы, построим график в программе Excel.
Рисунок 6 График решения задачи
Заштрихованная область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции F. Т.к. целевая функция F стремиться к максимуму, то идя по направлению градиента, получим точку B с оптимальным решением. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:
х1 + 4х2 ≤ 84, х2 = 16,09. , т. е. B(16,09; 19,64)
максимальное значение линейной функции равно :
Fmax = 30*16,09 + 40*19,64 = 1232,80.
Экономическая интерпретация
Максимальная прибыль предприятия при условии, что изделия В надо выпустить не менее изделия А, может быть достигнута при производстве 16,09 единиц продукции А и 19,64 продукции В. При таком уровне производства прибыль предприятия будет равняться 1232,80 денежным единицам.
Заключение
В заключение к данной курсовой работе хотелось бы сказать, что использование методов линейного программирования позволяет решать различные задачи оптимизации от минимизации издержек и максимизации прибыли до транспортных задач и задачах о размещении производства.
В данной курсовой работе был рассмотрен графический метод решения задач линейного программирования и его теоретические основы. Данный метод применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств.
Так же было рассмотрено решение задачи графическим методом в среде MS Excel 2007. Для этого был использован довольно мощный инструмент – мастер диаграмм.
Была поставлена задача максимизации прибыли при некоторых условиях производства. В итоге предприятию для того чтобы получить максимальную прибыль в 1232,80 денежных единицы необходимо произвести 16,09 единиц продукции А и 19,64 продукции В.
Список литературы
1. Коротков М., Гаврилов М. «Основы линейного программирования». СПб.: «BHV-Петербург», 2003 г.
2. Теха Х. «Введение в исследование операций», Издательский дом «Вильямс», 2001 г.
3. А.Н. Карасев, Н.Ш. Кремер, Т.Н. Савельева «Математические методы в экономике», М. 2000 г.
