Реферат Анализ электронных средств обучения
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Глава I
1.1 Анализ электронных средств обучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Существующие электронные средства учебного назначения . . . . . . . . . . . 5
Глава II
2.1 Случайные события, случайные величины…………………………………9
Случайные события, их вероятность
Понятие случайной величины
Дискретные случайные величины
Функция распределения вероятностей случайной величины и ее
свойства
Непрерывные случайные величины
2.2 Математическое ожидание дискретной случайной величины…………...17
Определение математического ожидания
Свойства математического ожидания
Дисперсия
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое
отклонение непрерывной случайной величины
2.3 Описание редактора для создания ЭСО……………………………………24
Источники………………………………………………………………………..26
Введение
В образовательных учреждениях, где разрабатываются и осваиваются инновационные процессы, широко используются новые технические и педагогические возможности и средства, позволяющие реализовать любые новые технологии обучения и новое содержание педагогического процесса. Эти процессы определяют тяготение руководителей и преподавателей к формированию и использованию новых технологий обучения, к педагогическому эксперименту.
Образовательные учреждения, работающие в экспериментальном режиме, в качестве основной целевой функции имеют развитие индивидуальности ученика, его способностей ориентироваться в современном информационном обществе, обеспечение конкурентоспособности на современном рынке труда. К примеру, сегодня уже 60% предложений о работе требуют минимальных компьютерных знаний, и этот процент будет только возрастать. Но подготовка молодежи к будущему заключается не только в плане «готовности работать». Учащиеся должны освоить новые жизненно необходимые навыки в связи с тем, что современные технологии все глубже проникают в их жизнь.
Одним из направлений, реализующим эту цель, является определение и формализация ключевых вопросов в применении информационных технологий в учебно-воспитательном процессе.
Информатизация образовательного процесса представляется как комплекс мероприятий, связанных с насыщением образовательной системы информационными средствами, информационными технологиями и информационной продукцией.
С точки зрения учебного процесса внедрение информационных технологий привело к тому, что информационная среда образовательной системы представляет собой многоуровневую систему представления информации на различных носителях и в различных знаковых системах, среди которых находятся и традиционные и инновационные технологии.
Владение навыками работы с электронными средствами обучения (ЭCО) – настоятельная потребность для современного учителя. Учитель может не только воспользоваться предлагаемыми средствами, но и должен уметь оценить их качество, выбрать наиболее подходящее для достижения поставленных целей с учетом возраста учащихся и т.д. Наилучший вариант получить необходимые для этого навыки – разработать собственное ЭСО.
Цель работы: создание электронного средства обучения.
Для начала необходимо познакомиться на практике с принципами организации программных (электронных) средств обучения, с предъявляемыми к изданиям подобного рода требованиям и возможностями разработчиков.
Глава I
1.1 Анализ электронных средств обучения
Нужно заметить, что до сих пор не существует четкого определения электронного учебника, равно как и нет общепринятого названия для компьютерных обучающих систем. В литературе встречаются самые разнообразные варианты названия и соответствующие им определения.
Т. С. Буторин дает следующее определение: "Электронный учебник представляет собой сложный объект дидактического проектирования с использованием новых информационно-педагогических технологий".
И. А. Калинин определяет электронное средство обучения как программное средство, содержащее некоторый материал по учебной теме или курсу и средства для проверки его усвоения. При этом изначально предполагается, что средство будет использоваться либо как дополнение к существующему учебнику (и проводимому обучению), либо выполняет задачи “репетитора”.
Таким образом, электронный обучающий продукт – это обучающая программная система комплексного назначения, которая обеспечивает непрерывность и полноту дидактического цикла процесса обучения, предоставляет теоретический материал, обеспечивает тренировочную учебную деятельность, осуществляет контроль уровня знаний, а также обеспечивает информационно-поисковую деятельность, математическое и имитационное моделирование с компьютерной визуализацией, сервисные услуги при условии интерактивной обратной связи.
В основе учебных пособий часто лежит методика программированного обучения, что налагает определённые требования на структуру и методику обучения с использованием этих средств. С технической точки зрения, такие учебные средства часто имеют характер презентаций и строятся как наборы слайдов.
Такой подход не отвечает традиционному понятию учебника — основного средства обучения. В нём из поля зрения пользователя практически полностью выпадают возможности, касающиеся поиска и анализа информации, не формируются навыки самостоятельной исследовательской работы, затруднена возможность варьирования содержания обучения. Построенные таким образом средства тяжело вносить в учебный процесс.
Несмотря на неоспоримые достоинства, применение электронных обучающих средств не лишено определенных недостатков. В их числе недостатки, вызванные специфическими особенностями работы с информацией на электронных носителях (чтение с экрана менее удобно, чем с листа бумаги, вызывает повышенную утомляемость органов зрения, требует наличия соответствующих технических средств и т.д.). Гораздо более существенны недостатки, вызванные погрешностями в написании электронных учебников. Это выражается в отсутствии:
- учета психолого-педагогических требований;
- адресности (учета индивидуальных особенностей обучающегося, состояния его здоровья (например, инвалидности), профессиональной направленности в обучении и т.д.);
- унификации в использовании терминологии и обозначений;
- междисциплинарных связей и недостаточной преемственности материала;
- единого подхода к подбору иллюстративного материала.
Такая ситуация возникла вследствие того, что процесс интенсивного создания электронных учебников начался сравнительно недавно, и во многом он протекает стихийно, поэтому в коллектив разработчиков программных продуктов учебного назначения не всегда входят специалисты в области педагогики и психологии, эргономики, медицины и т.д.
Для устранения этих недостатков предлагается другой подход к построению электронных учебников, основанный на понимании электронного учебника как открытой информационной системы. При этом подходе основу учебника составляет собственно информационное наполнение.
На этапах разработки и внедрения обучающей программы возникает вопрос о целесообразности применения этого средства обучения, а, следовательно, необходимость выявления преимуществ компьютерных обучающих технологий перед традиционными средствами обучения, которые успели зарекомендовать себя с лучшей стороны за долгие годы использования.
Традиционные способы обучения, такие как чтение научной литературы, прослушивание лекций, посещение семинаров, просмотр учебных видеофильмов, издавна зарекомендовали себя как эффективные средства получения знаний, на которых выросло не одно поколение школьников и студентов. Каждое из перечисленных средств имеет ряд недостатков:
- информация представляется, как правило, только в одной форме, а отсюда – недостаточная иллюстративность классических учебников или, в случае видео- и аудиокассет, необходимость использования дополнительных носителей информации в виде пояснительных брошюр;
- поиск информации в любом из перечисленных видов обучения – длительный и трудоемкий процесс;
- отсутствие эффективных способов проверки знаний обучающегося приводит к тому, что контроль над процессом усвоения материала может осуществляться только преподавателем.
Объединить все лучшее, что существует в традиционных способах обучения и устранить отмеченные недостатки можно, используя возможности электронной формы представления информации.
Таким образом, обучающие программы обладают следующими основными преимуществами:
- интерактивность, бесценная для образовательного процесса, позволяющая без усилий выполнять рутинные операции (поиск, вычисления) и индивидуализировать получение и усвоение информации;
- долговременная актуальность. Электронные издания практически вечны: основные затраты приходятся на разработку первой версии, а текущие изменения, дополнения требуют сравнительно малых затрат.
Использование средств информационных технологий в системе подготовки учащихся приводит к обогащению педагогической и организационной деятельности образовательных учреждений следующими значимыми возможностями:
- совершенствования методов и технологий отбора и формирования содержания образования;
- введения и развития новых специализированных учебных дисциплин и направлений обучения, связанных с информатикой и информационными технологиями;
- внесения изменений в обучение большинству традиционных дисциплин, напрямую не связанных с информатикой;
- повышения эффективности обучения за счет повышения уровня его индивидуализации и дифференциации, использования дополнительных мотивационных рычагов;
- организации новых форм взаимодействия в процессе обучения и изменения содержания и характера деятельности обучающего и обучаемого;
- совершенствования механизмов управления системой образования.
Изучив различные средства обучения, можно сказать, что электронные средства обучения значительно превосходят традиционные средства по возможностям поиска и навигации, а также по наглядности, в то время как контроль знаний и обратная связь с преподавателем оставляют желать лучшего, представляя обширную область для дальнейших исследований и разработок.
1.2 Существующие электронные средства учебного назначения
Основными видами компьютерных средств учебного назначения, которые могут рассматриваться как компоненты ЭСО или ОЭИ, являются:
- сервисные программные средства общего назначения,
- программные средства для контроля и измерения уровня знаний, умений и навыков обучающихся,
- электронные тренажеры,
- программные средства для математического и имитационного моделирования,
- программные средства лабораторий удаленного доступа и виртуальных лабораторий,
- информационно-поисковые справочные системы,
- автоматизированные обучающие системы (АОС),
- электронные учебники (ЭУ),
- экспертные обучающие системы (ЭОС),
- интеллектуальные обучающие системы (ИОС),
- средства автоматизации профессиональной деятельности (промышленные системы или их учебные аналоги).
Сервисные программные средства общего назначения применяются для автоматизации рутинных вычислений, оформления учебной документации, обработки данных экспериментальных исследований. Они могут быть использованы при проведении лабораторных, практических занятий, при организации самостоятельной и проектной работы школьников.
Программные средства для контроля и измерения уровня знаний обучающихся нашли наиболее широкое применение ввиду относительной легкости их создания. Существует целый ряд инструментальных систем-оболочек, с помощью которых преподаватель, даже не знакомый с основами программирования, в состоянии скомпоновать перечни вопросов и возможных ответов по той или иной учебной теме. Как правило, задачей обучаемого является выбор одного правильного ответа из ряда предлагаемых ответов. Такие программы позволяют разгрузить учителя от рутинной работы по выдаче индивидуальных контрольных заданий и проверке правильности их выполнения, что особенно актуально в условиях массового образования. Появляется возможность многократного и более частого контроля знаний, в том числе и самоконтроля, что стимулирует повторение и, соответственно, закрепление учебного материала.
Электронные тренажеры предназначены для отработки практических умений и навыков. Такие средства особенно эффективны для обучения действиям в условиях сложных и даже чрезвычайных ситуаций при отработке противоаварийных действий. Использование реальных установок для тренировок нежелательно по целому ряду причин (перерывы в электроснабжении, возможность создания аварийных ситуаций, повышенная опасность и т.п.). Кроме этого, электронные тренажеры используются для отработки умений и навыков решения задач. В этом случае они обеспечивают получение краткой информации по теории, тренировку на различных уровнях самостоятельности, контроль и самоконтроль.
Программные средства для математического и имитационного моделирования позволяют расширить границы экспериментальных и теоретических исследований, дополнить физический эксперимент вычислительным экспериментом. В одних случаях моделируются объекты исследования, в других - измерительные установки. Такие средства позволяют сократить затраты на приобретение дорогостоящего лабораторного оборудования, снижается уровень безопасности работ в учебных лабораториях. К моделирующим программным средствам можно также отнести предметно-ориентированные программные среды, обеспечивающие возможность оперирования моделями-объектами определенного класса.
Информационно-поисковые справочные программные системы предназначены для ввода, хранения и предъявления педагогам и обучаемым разнообразной информации. К числу подобных систем могут быть отнесены различные гипертекстовые и гипермедиа программы, обеспечивающие иерархическую организацию материала и быстрый поиск информации по тем или иным признакам. Большое распространение получили также всевозможные базы данных. Системы управления базами данных обеспечивают возможность поиска и сортировки информации. Базы данных могут использоваться в учебном процессе для организации предъявления содержания учебного материала и его анализа. Учебные базы данных рекомендуются для самостоятельной работы учащихся с целью поиска и анализа необходимой информации.
Автоматизированные обучающие системы (АОС), как правило, представляют собой обучающие программы сравнительно небольшого объема, обеспечивающие знакомство учащихся с теоретическим материалом, тренировку и контроль уровня знаний.
Электронные учебники (ЭУ) являются основными электронными средствами обучения. Такие учебники создаются на высоком научном и методическом уровне и должны полностью соответствовать составляющей дисциплины образовательного стандарта специальностей и направлений, определяемой дидактическими единицами стандарта и программой. Кроме этого, ЭУ должны обеспечивать непрерывность и полноту дидактического цикла процесса обучения при условии осуществления интерактивной обратной связи. Одним из основных свойств ЭУ, является то, что его редукция к "бумажному" варианту (распечатка содержания ЭУ) всегда приводит к потере специфических дидактических свойств, присущих ЭУ.
Экспертные обучающие системы (ЭОС) реализуются на базе идей и технологий искусственного интеллекта. Такие системы моделируют деятельность экспертов при решении достаточно сложных задач. ЭОС способны приобретать новые знания, обеспечивать ответ на запрос обучаемого и решение задач из определенной предметной области. При этом ЭОС обеспечивает пояснение стратегии и тактики решения задач в ходе диалоговой поддержки процесса решения. К сожалению, при работе с ЭОС не реализуются такие звенья дидактического цикла процесса обучения, как организация применения учащимися полученных первичных знаний и получение обратной связи (контроль действий учащихся). При работе с ЭОС обучаемым не приходится самим искать решение, соответственно, не реализуется и такое звено дидактического цикла, как получение обратной связи.
Интеллектуальные обучающие системы (ИОС) относятся к системам наиболее высокого уровня и также реализуются на базе идей искусственного интеллекта. ИОС могут осуществлять управление на всех этапах решения учебной задачи, начиная от ее постановки и поиска принципа решения и кончая оценкой оптимальности решения, с учетом особенностей деятельности обучаемых. Такие системы обеспечивают диалоговое взаимодействие, как правило, на языке, близком к естественному. При этом в ходе диалога могут обсуждаться не только правильность тех или иных действий, но и стратегия поиска решения, планирования действий, приемы контроля и т.д. В ИОС на основе модели обучаемого (уточняемой в ходе учебного процесса) осуществляется рефлексивное управление обучением. Многие ИОС могут совершенствовать стратегию обучения по мере накопления данных. Отличительным признаком ИОС является то, что они не содержат основных и вспомогательных обучающих воздействий в готовом виде, а генерируют их.
Включение в состав ЭСО сервисных средств, а также необходимость изучения в рамках настоящего Интернет-издания различных инструментальных сред, редакторов, конструкторов и других аналогичных средств образовательного назначения наравне с ЭСО делает целесообразным одновременное рассмотрение электронных средств обучения, образовательных электронных изданий и образовательных электронных ресурсов.
Глава II
2.1
Случайные события, случайные величины
Случайные события, их вероятность
Теория вероятности - это раздел математики изучающий закономерности массовых случайных событий.
Случайным называется событие, наступление которого нельзя гарантировать. Случайность того или иного события определяется множеством причин, которые существуют объективно, но учесть их все, а также степень их влияния на изучаемое событие, невозможно. К таким случайным событиям относятся: выпадение того или иного числа при бросании игральной кости, выигрыш в лотереи, количество больных записавшихся на приём к врачу и т.п.
И хотя в каждом конкретном случае трудно предсказать исход испытания, при достаточно большом числе наблюдений можно установить наличие некоторой закономерности. Подбрасывая монетку можно установить, что число выпадения орла и решки примерно одинаково, а при бросании игральной кости, различные грани, также появляются, примерно одинаково. Это говорит о том, что случайным явлениям присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. Правильность этого подтверждает закон больших чисел, который лежит в основе теории вероятностей.
Испытанием называется совокупность условий, при котором может произойти данное случайное событие.
Событие-это факт, который при осуществлении определённых условий может произойти или нет. События обозначают большими буквами латинского алфавита А, В, С...
Например, событие А - рождение мальчика, событие В-выигрыш в лотерее, событие С - выпадение цифра 4 при бросании игральной кости.
События бывают достоверные, невозможные и случайные.
Достоверные события - это события, которые в результате испытания непременно должны произойти.
Например
, если на игральной кости на всех 6 гранях нанести цифру 1, при бросании кости, есть событие достоверное.
Невозможные события - это события, которые в результате испытаний не могут произойти.
Например, в ранее рассмотренном примере - это выпадение любой цифры, кроме 1, кубик станет на ребро.
Случайные события - события, которые при испытаниях могут произойти или не могут произойти. Те или иные события реализуются с различной возможностью.
Например
, завтра днём ожидается дождь. В этом примере наступление дня является испытанием, а выпадение дождя — случайное событие.
Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.
Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.
Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.
Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “
Применяют следующие обозначения:
А - событие;
W - пространство элементарных событий;
w - элементы пространства W;
U - пространство элементарных событий как достоверное событие;
V - невозможное событие.
Взаимосвязи случайных событий.
Рассмотрим вначале простые события (может произойти или не произойти). Вероятность события X будем обозначать P(X) и иметь ввиду, что вероятность того, что событие не произойдет, составляет P( X ) = 1 - P(X)
Самое важное при рассмотрении нескольких случайных событий (тем более в сложных системах с развитыми связями между элементами и подсистемами) — это понимание способа определения вероятности одновременного наступления нескольких событий или, короче, — совмещения событий.
Рассмотрим простейший пример двух событий X и Y, вероятности которых составляют P(X) и P(Y). Здесь важен лишь один вопрос — это события независимые или, наоборот взаимозависимые и тогда какова мера связи между ними? Попробуем разобраться в этом вопросе на основании здравого смысла.
Оценим вначале вероятность одновременного наступления двух независимых событий. Элементарные рассуждения приведут нас к выводу: если события независимы, то при 80%-й вероятности X и 20%-й вероятности Y одновременное их наступление имеет вероятность всего лишь 0.8 • 0.2 = 0.16 или 16% .
Итак — вероятность наступления двух независимых событий определяется произведением их вероятностей: P(XY) = P(X)*P(Y)
Перейдем теперь к событиям зависимым. Будем называть вероятность события X при условии, что событие Y уже произошло условной вероятностью P(X/Y) , считая при этом P(X) безусловной или полной вероятностью. Столь же простые рассуждения приводят к так называемой формуле Байеса:
P(X/Y)* P(Y) = P(Y/X)*P(X), где слева и справа записано одно и то же — вероятности одновременного наступления двух "зависимых" или коррелированных событий.
Дополним эту формулу общим выражением безусловной вероятности события X :
P(X) = P(X/Y)*P(Y) + P(X/ Y )*P( Y ) , означающей, что данное событие X может произойти либо после того как событие Y произошло, либо после того, как оно не произошло ( Y ) — третьего не дано!
Формула Байеса играет решающую роль в теории принятия решений в условиях неопределенности последствий этих решений или в условиях противодействия со стороны природы, или других больших систем (конкуренции). В этих условиях ключевой является стратегия управления, основанная на прогнозе апостериорной (послеопытной) вероятности события.
Прежде всего, еще раз отметим взаимную связь событий X и Y — если одно не зависит от другого, то данная формула обращается в тождество. Если же взаимосвязь событий имеет место, то формула Байеса позволяет вести управление путем оценки вероятности достижения некоторой цели на основе наблюдений над процессом функционирования системы — путем перерасчета вариантов стратегий с учетом изменившихся представлений, т. е. новых значений вероятностей.
Понятие случайной величины
Наряду со случайными событиями, как фактами в схеме испытаний, характеризующими её качественно, результаты опытов можно описать количественно. Это и ведёт к понятию случайной величины в теории вероятностей. Фактически, всегда результаты опытов со схемой можно представить количественно с помощью одной или нескольких числовых величин. Так, в конечных схемах описаний вместо самих элементарных исходов можно рассматривать их номиналы (идентификаторы). Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.
Таким образом, случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины представляет собой случайное событие.
Рассмотрим два типа случайных величин – дискретные и непрерывные.
Дискретные случайные величины
Случайные величины будем обозначать малыми буквами греческого алфавита:
| |
Такая случайная величина
, x
2
, ..., x
n
, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина
Например : Пусть случайная величина
Таким образом,
Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину
Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn
(m) представляет собой m-й член разложения бинома
Пусть случайная величина
| |
| |
где
Как мы знаем, при больших значениях числа n независимых испытаний вероятность Pn
(m) наступления m раз события A удобнее находить не по формуле Бернулли, а по формуле Лапласа. Однако последняя дает большие погрешности при малой вероятности р появления события А в одном испытании. В этом случае для подсчета вероятности Pn
(m) удобно пользоваться формулой Пуассона, в которой следует положить
Формулу Пуассона можно получить как предельный случай формулы Бернулли при неограниченном увеличении числа испытаний n и при стремлении к нулю вероятности
Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить
Если возможные значения случайной величины
, x
2
, ..., x
n, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой
| Значения | x 1 | x 2 | ... | x n |
| Вероятности p(xi ) | p 1 | p 2 | ... | p n |
| | | | | |
Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины
По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины
Например: Пусть событие А — появление одного очка при бросании игральной кости; Р(A)=1/6. Рассмотрим случайную величину
| Значения | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Вероятности p(xi ) | 0,162 | 0,323 | 0,291 | 0,155 | 0,054 | 0,013 | 0,002 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Вероятности p(xi
) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рисунке.
Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства
Рассмотрим функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значение F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина
| |
| |
Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.
Зная функцию распределения F(x), легко найти вероятность того, что случайная величина
Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайная величина примет значение, меньшее
Отсюда
Но по определению функции распределения F(x), имеем
| |
| |
Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал
Рассмотрим основные свойства функции распределения.
1°. Функция распределения является неубывающей.
В самом деле, пусть
то
2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам
3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина
возможных значений x
i
, равна скачку функции распределения в точке xi.
Действительно, пусть xi - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и
| |
В пределе при
Непрерывные случайные величины
Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае, дискретной случайной величиной:
Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем х.
Случайная величина
| |
Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она на любом сегменте или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода.
Функция
| |
Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств
2.2 Математическое ожидание дискретной случайной величины
Определение математического ожидания
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то
если полученный ряд сходится абсолютно.
Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.
Замечание 2.
Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего.
Замечание 3.
Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Например: Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3.
Тогда
Например: Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:
| Х | 1 | 2 | … | п | … |
| р | 0,5 | (0,5)2 | … | (0,5)п | … |
Тогда
при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
откуда
Свойства математического ожидания
1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
М(С) = С
Доказательство:
Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью
р = 1, то М(С) = С·1 = С
2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:
М(СХ) = С М(Х)
Доказательство:
Если случайная величина Х задана рядом распределения
| xi | x1 | x2 | … | xn |
| pi | p1 | p2 | … | pn |
то ряд распределения для СХ имеет вид:
| Сxi | Сx1 | Сx2 | … | Сxn |
| pi | p1 | p2 | … | pn |
Тогда М(СХ) = Сх1р1 + Сх2р2 + … + Схпрп = С( х1р1 + х2р2 + … + хпрп) = СМ(Х)
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.
Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероятности равны произведениям вероятностей сомножителей.
3)Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y)
Доказательство:
Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:
| xi | x1 | x2 |
| pi | p1 | p2 |
| уi | у1 | у2 |
| gi | g1 | g2 |
Тогда ряд распределения для XY выглядит так:
| ХY | x1y1 | x2y1 | x1y2 | x2y2 |
| p | p1g1 | p2 g1 | p1g2 | p2g2 |
Следовательно,
M(XY) = x1y1·p1g1 + x2y1·p2g1 + x1y2·p1g2 + x2y2·p2g2 = y1g1(x1p1 + x2p2) + +y2g2(x1p1 + x2p2)
= (y1g1 + y2g2) (x1p1 + x2p2) = M(X)·M(Y)
Замечание 1.
Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.
Замечание 2.
Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.
Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).
4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M (X + Y) = M (X) + M (Y)
Доказательство:
Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведенными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х1 + у1, х1 + у2, х2 + у1, х2 + у2.
Обозначим их вероятности соответственно как р11, р12, р21 и р22.
Найдем
М( Х +Y ) = (x1 + y1)p11 + (x1 + y2)p12 + (x2 + y1)p21 + (x2 + y2)p22 =
= x1(p11 + p12) + x2(p21 + p22) + y1(p11 + p21) + y2(p12 + p22)
Докажем, что р11 + р22 = р1. Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х1 + у1 или х1 + у2 и вероятность которого равна р11 + р22, совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х1 (его вероятность – р1). Аналогично доказывается, что
p21 + p22 = р2 , p11 + p21 = g1 , p12 + p22 = g2
Значит, M(X + Y) = x1p1 + x2p2 + y1g1 + y2g2 = M (X) + M (Y)
Замечание. Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.
Например: Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.
Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:
М(Х1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4:
М(Х)=5
Дисперсия
Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида
| Х | 49 | 50 | 51 | Y | 0 | 100 |
| р | 0,1 | 0,8 | 0,1 | p | 0,5 | 0,5 |
Найдем М(Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М(Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50
Как видно, математические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (причем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отстоят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:
D(X) = M (X – M(X))²
Например: Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в предыдущем примере. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможного значения от математического ожидания:
(1 – 2,4)2 = 1,96 ; (2 – 2,4)2 = 0,16 ; (3 – 2,4)2 = 0,36
Следовательно,
Замечание 1.
В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.
Замечание 2.
Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.
Замечание 3.
Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:
D(X) = M(X ²) – M ²(X)
Доказательство:
Используя то, что М(Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу к виду:
D( = M(X – M(X))² = M(X² - 2X·M(X) + M²(X)) = M(X²) – 2M(X)·M(X) +
M²(X) = M(X²) – 2M²(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X), что и требовалось доказать.
Например: Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y, рассмотренных в начале этого раздела.
М(Х) = (492·0,1 + 502·0,8 + 512·0,1) – 502 = 2500,2 – 2500 = 0,2.
М(Y) = (02·0,5 + 100²·0,5) – 50² = 5000 – 2500 = 2500.
Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно.
Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (C) = 0
Доказательство:
D(C) = M((C – M(C))²) = M((C – C)²) = M(0) = 0
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX) = C ² D(X)
Доказательство:
(CX) = M((CX – M(CX))²) = M((CX – CM(X))²) = M(C²(X – M(X))²) = C²D(X)
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X + Y) = D(X) + D(Y)
Доказательство:
D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) +
+ M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) = (M(X²) – M²(X)) + (M(Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y)
Следствие 1.
Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Следствие 2.
Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.
4)
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X – Y) = D(X) + D(Y)
Доказательство:
D(X – Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)²D(Y) = D(X) + D(X)
Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Например: В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно
Математическое ожидание, дисперсия, среднее
квадратическое отклонение непрерывной случайной величины
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется
Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной, а формула для ее вычисления имеет вид:
Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле:
2.3 Описание редактора для создания ЭСО
Для разработки ЭСО используется различное программное обеспечение:
- прикладные программы (Word, Excel, Power Point и др.),
- язык разметки гипертекста (HTML),
- языки программирования.
При использовании языков программирования для разработки ЭСО большая часть времени расходовалась на техническую реализацию электронного издания, его качество значительно зависела от умения разработчиков программировать.
С помощью PowerPoint и текстового редактора возможно создание простейших мультимедиа-ресурсов, в которых не заложены такие разделы ЭСО, как тренажер, тестирующая система.
Язык разметки гипертекста (HTML) — стандартный язык, используемый в Интернет для создания, форматирования и демонстрации информационных гипермедиа-страниц. Верстка гипертекстовых HTML-страниц является трудоемким этапом в процессе компьютерной реализации текста.
Для создания своего электронного средства учебного назначения я выбрала такой редактор как Microsoft FrontPage. Входящий в пакет Microsoft Office, является классическим WYSIWYG-редактором, в котором, однако, присутствует возможность ручной правки кода.
В программе имеется три режима работы с документом: Normal, HTML и Preview. В режиме Normal веб-страница представляет собой обычный текстовый файл с возможностью редактирования всех элементов - от текста до картинок.
HTML-режим позволяет просматривать код страницы и, соответственно, редактировать его. В этом режиме FrontPage осуществляет подсветку синтаксиса, однако довольно посредственную - дескрипторы выделены синим цветом, все остальное - черного цвета.
Наконец, в режиме Preview можно посмотреть, как будет выглядеть ваша страница в окне браузера.
FrontPage, благодаря тесной интеграции с другими продуктами корпорации Microsoft, позволяет вставить в веб-документ различные типы объектов: от картинок и диаграмм до листов Microsof Excel. Разумеется, FrontPage имеет конструктор таблиц, существенно облегчающий их создание.
Одним из основных преимуществ программы является большое количество имеющихся шаблонов, позволяющих пользователю не ломать голову над дизайном своего проекта.
Выбрав необходимый шаблон, можно приступать непосредственно к наполнению страницы контентом. Вот тут то и ощущается вся прелесть FrontPage: процесс создания HTML-страницы ничем не отличается от создания обычного текстового документа в Microsoft Word. Пользователю доступны те же средства для редактирования текста, смены его форматирования, создания и редактирования таблиц, вставки различных объектов и изображений. Программа позволяет с легкостью создавать маркированные, нумерованные и многоуровневые списки - и все это без знания языка HTML!
FrontPage делит рабочую область на несколько некоторое количество блоков, содержащих определенные элементы страницы - рисунки, текст, заголовки и проч. Для каждого блока можно назначить свои параметры форматирования и расположения его относительно страницы.
Есть и обратная сторона медали - сложность и громоздкость полученного кода, что естественно, сказывается на конечном размере документа. Также в дальнейшем будет весьма сложно вносить изменения в подобный документ. Но это скорее недостаток не конкретного продукта, а практически всех WYSIWYG-редакторов.
Плюсы: привычный интерфейс для продуктов MS Office, неплохой набор шаблонов, интеграция с другими программами из пакета MS Office.
Минусы: небольшой набор инструментов разработки, невозможность отдельного приобретения программы. Microsoft FrontPage неплохо подойдет в качестве HTML-редактора на первое время, однако с ростом потребностей пользователя его возможностей может не хватить.
ИСТОЧНИКИ
[1] Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов/ В. Е. Гмурман. — М.: Высш. шк., 2003.
[2] Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — М.: Высш. шк., 2003.
[3] http://www.ido.rudn.ru/nfpk/tech/t1.html
[4] http://www.cyberguru.ru/operating-systems/software/html-redactor-select-page5.html
