Линии

Прямая линия

Положение прямой в пространстве определяется двумя ее точками. Прямая линия на эпюре задается двумя проекциями.

Прямая общего положения

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекции, называется прямой общего положения. На эпюре (рис.1) эта прямая задана проекциями двух ее точек А и В. Соединяя прямыми одноименные проекции этих точек, получим проекции отрезка прямой.

Прямые частного положения

В отличии от прямых общего положения прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются прямыми частного положения. Прямые, параллельные плоскости проекций, называют линиями уровня (рис. 2, а). Пряма АВ, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью. Она проецируется на эту плоскость проекций в натуральную величину. Аппликаты ее точек (высоты) одинаковы, поэтому фронтальная проекция параллельна оси х.

Прямая СD, параллельная фронтальной плоскости, называется фронталью (ординаты ее точек одинаковы), а прямая EF, параллельная профильной плоскости проекции, называется профильной прямой. У профильной прямой проекции совпадают с направлением линии связи, поэтому дана профильная ее проекция.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими (рис. 2, б). Прямая АВ, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в точку и называется горизонтально проецирующей. Прямая CD, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально проецирующей. Прямая EF называется профильно проецирующей.

Определение длины отрезка прямой(рис.3)

Определим катеты прямоугольного треугольника. Горизонтальную проекциюA₁B₁ принимаем за один катет. Отрезки A₂A₁₂ и В₂В₁₂ - это высоты, равные горизонтально - проектирующим прямым, разность которых В₂С₂ равна второму катету. Построим прямоугольный треугольник. Приняв за его основание горизонтальную проекцию А₁В₁, из точки В₁ проводим к ней перпендикуляр; на нем от точки В₁ откладываем отрезок В₂С₂, получим точку В. Точку Всоединяем прямой с точкой A₁ получаем прямоугольный треугольник А₁В₁B, гипотенуза которого А₁В будет равна длине проектируемого отрезка АВ.

Взаимное положение прямых

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Они изображаются на эпюре следующим образом.

Параллельные прямые(рис.4)

Если прямые параллельны, то все их одноименные проекции на комплексном чертеже параллельны.

Пересекающиеся прямые(рис.5)

Если две прямые пересекаются,  то все их одноименные проекции  на  комплексном  чертеже  пересекаются и точки пересечения любых двух проекций будут расположены на одной линии связи.

Скрещивающиеся прямые(рис.6)

Скрещивающиеся прямые. Если две прямые не лежат в одной плоскости не  параллельны одна другой и не пересекаются, они называются скрещивающимися.

На комплексном чертеже скрещивающихся прямых их одноименные проекции могут пересекаться, но точки их пересечения не будут лежать на одной линии связи.

На комплексном чертеже даны проекции двух скрещивающихся прямых АВ и CD.

Рассматривая комплексный чертеж прямых, замечаем, что их одноименные горизонтальные A1В1 и C1D1, а также фронтальные А2В2

и C2D2 не параллельны, а пересекаются, но их точки пересечения не лежат на одной линии связи, а являются проекциями не одной, а четырех точек, из которых две (К и Е) принадлежат только прямой CD, а другие две (М и F) — только АВ.

Кривые линии

Общие сведения о кривых линиях и их проецировании

Кривую линию можно представить себе как траекторию движущейся точки на плоскости или в пространстве. Примером служат известные из курса черчения средней школы спираль Архимеда и цилиндрическая винтовая линия. Кривая линия может быть также получена в результате  взаимного пересечения поверхностей (например, двух цилиндрических) или при пересечении поверхности плоскостью (например, эллипс, получающийся при пересечении боковой поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью, составляющей с осью цилиндра некоторый острый угол). Кривая линия в ряде случаев представляет собой геометрическое место точек, отвечающих определенным для этой кривой условиям (окружность, эллипс, парабола и т.п.).

Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек. Точки кривой определяются их координатами.

Кривые линии могут быть плоские, т. е. такие, которые всеми своими точками лежат в одной плоскости, и пространственные, т.е. такие, точки которых не принадлежат одной плоскости. Примерами плоских кривых линий являются окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда; примерами пространственных кривых – винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса.

Для построения проекций кривой (плоской или пространственной) необходимо построить проекции ряда принадлежащих ей точек.

Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая – также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций.

Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчинена какому-либо геометрическому закону. Если при этом кривая определяется в декартовых координатах алгебраическим уравнением, то она называется алгебраической. Если кривая определяется неалгебраическим уравнением, то она относится к числу трансцендентных. Примером может служить эллипс, его уравнение . Степень уравнения определяет «порядок» кривой: эллипс – кривая второго порядка. Кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

Касательная к кривой проецируется в общем случае в виде касательной к проекции этой кривой. Если, например, к окружности, расположенной в плоскости, составляющей с плоскостью проекций острый угол, проведена касательная, то она спроецируется в касательную к эллипсу, представляющему собой проекцию этой окружности. На изображены пространственная кривая, ее проекция на H и на V, касательная к кривой в ее точке K и проекции этой касательной. Проецирующая плоскость, проходящая через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Чтобы отчетливее представить себе кривую в пространстве, следует при задании плоской или пространственной кривой ее проекциями указать на проекциях некоторые точки, характерные для самой кривой или для ее расположения относительно плоскостей проекций. Например, могут быть отмечены точки кривой, наиболее удаленные относительно плоскостей проекций и наиболее близкие к ним; для этого надо проводить плоскости, касательные кривой и параллельные соответствующим плоскостям проекций: на плоскость α, параллельная плоскости V, позволяет установить, что точка G на кривой в пространстве наиболее удалена от плоскости V.

Искривленность кривой линии, плоской или пространственной, может быть неизменной (на всем протяжении кривой или на отдельных ее участках) или изменяться в разных точках кривой. Например, искривленность окружности или искривленность цилиндрической винтовой линии неизменна на всем протяжении, а искривленность эллипса повторяется в его квадрантах, но в пределах одного квадранта непрерывно изменяется. Применяется термин кривизна линии. Кривизна выражается числом; она характеризует кривую в данной ее точке, точнее, на бесконечно малой дуге – окрестности этой точки.

Длина некоторого участка кривой как плоской, так и пространственной определяется приближенно, путем замены кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и измерения длины звеньев этой ломаной линии (это, конечно, не относится к тем кривым, длина которых может быть определена путем несложных вычислений. Например, окружность). Для уменьшения ошибки следует брать отрезки ломаной, мало отличающиеся по длине от дуг кривой, хордами которых являются эти отрезки. На показано определение длины кривой ABC: горизонтальная проекция – кривая A'B'C' – разбита на малые части и «развернута» в прямую на оси х так, что отрезки A₀l
₀
,
l
₀
B
₀ и т.д. соответственно равны хордам A'l', l'B' и т.д.; в точках A₀, l
₀ и т.д. проведены перпендикуляры к оси х, и на этих перпендикулярах отложены аппликаты точек кривой. Получаем ломаную, длина которой может быть приближенно принята за длину кривой ABC.

Плоские кривые линии(рис.7)

Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими.

Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию п-го порядка не более, чем в п точках.

Рассмотрим пример алгебраической кривой линии:

Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках.

При этом парабола может быть определена как:

-множество точек М(A,B,C,...) плоскости, расстояние которых до определенной точки F этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию  до определенной прямой DD1 - директрисы параболы;

-линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса;

-в прямоугольной системе координат 0ху с началом в вершине параболы и осью 0х направленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид

y2=2px,

где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы.

Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае, как сумма длин отрезков, вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой.

В практике конструирования линий и поверхностей широко  используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек. Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства - пространственная. Точки стыка дуг называются узлами. Обвод заданный координатами своих точек называется дискретным. Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные.

Пространственные кривые линии

Пространственные кривые линии в начертательной геометрии обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или траекторию движения точки.

Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию на чертеже задают последовательным рядом точек.

Классическим примером пространственных кривых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.

Винтовые линии – цилиндрические и конические

1.     Такую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей оси так, что путь проходимый точкой по образующей пропорционален углу поворота цилиндра(рис.8).

Смещение точки вдоль образующей за один оборот называется шагом цилиндрической винтовой линии. Различают правую и левую винтовые линии.

2.      Такую линию описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового конуса, вращающегося  вокруг своей оси так, что путь пройденный точкой по образующей все время равен углу поворота конуса (рис.9).

Проекция на ось конуса смещения точки вдоль образующей за один оборот называется шагом конической винтовой линии. Горизонтальной проекцией конической винтовой линии является спираль Архимеда - одна из замечательных плоских кривых линий.

Поверхности

Общие сведения

Кривые поверхности отличаются большим разнообразием форм – от самых простых до сложнейших, причудливых. Поверхности, полученные на основе геометрического способа образования, отличаются целостностью и структурной четкостью, а также возможностью математического описания и точного отображения на чертеже.

Кривые поверхности открывают широкие возможности для оригинальных и выразительных архитектурных решений. Чтобы выбрать при проектировании ту или иную поверхность, архитектор должен не только представить ее геометрическую форму на чертеже, но и выявить с помощью специальных графических построений и перспективных изображений светотеневые свойства поверхности, а также форму ее граничного и видимого контура для наиболее характерных точек зрения.

Образование и задание поверхности

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как непрерывное множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону (рис. 85). Такой способ образования поверхностей называют кинематическим.

Линию l, которая при своем движении образует поверхность, называют образующей. Образующая может перемещаться по какой-либо другой неподвижной линии m, называемой направляющей. Поскольку образующая и направляющая могут иметь самую различную форму, то и поверхностей может быть образовано бесчисленное множество. Вместе с тем форма и закон перемещения образующей единственным образом определяют вид кривой поверхности.

Классификация поверхностей

Из большого числа возможных способов образования поверхностей рассмотри основные способы, выделив главные признаки их классификации.

1.                      По закону движения образующей – поверхности с поступательным движением образующей, с вращательным и винтовым движением образующей.

2.                      По виду образующей различают поверхности с прямолинейной образующей – линейчатые и поверхности с криволинейной образующей – нелинейчатые.

3.                      По закону изменения формы образующей – с образующей постоянного или переменного вида.

4.                      По признаку развертывания поверхности на плоскость – развертываемые и неразвертываемые.

5.                      По способу задания поверхности – аналитическому или графическому.

6.                      По дифференциальным свойствам – гладкие или негладкие поверхности и по признаку кривизны поверхности.

Необходимо отметить, что одни и те же поверхности могут быть классифицированы по различным признакам. Поэтому в качестве основного признака выделим вид образующей и характер ее перемещения, т.е. кинематический признак образования поверхностей.

Закон перемещения удобно задавать неподвижными линиями – направляющими, которые должны пересекать движущаяся образующая. Образующие и направляющие, принадлежащие двум семействам линий, образуют т.н. сетчатый каркас кинематической поверхности. Ниже дана одна из возможных классификационных схем

Классификационная схема

Поверхности линейчатые

Линейчатые поверхности— Л. поверхностями называются поверхности, образуемые движением прямой линии. Напр., поверхность прямого круглого цилиндра есть Л., так как она может быть образована движением прямой, которая, оставаясь параллельной одному и тому же направлению, опирается на окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной к этому направлению; ряд последовательных положений такой прямой и представляет собой поверхность круглого прямого цилиндра. Движущаяся прямая называется образующей, а окружность, на которую она опирается, направляющей. Название образующей присваивается также каждому отдельному положению прямой, движением которой образуется поверхность. Л. поверхности разделяются на два больших класса: развертывающиеся и косые. К первому классу принадлежат такие поверхности, которые могут быть свернуты из плоскости, а, следовательно, могут быть и развернуты на плоскость; таковы поверхности цилиндрические, образующие которых параллельны одному и тому же направлению; поверхности конические, образующие которых проходят через одну общую точку, называемую вершиной; развертывающаяся винтовая поверхность, образующие которой касательны к винтовой линии, и целый ряд других поверхностей, отличающихся тем свойством, что образующие их касательны к некоторой кривой, называемой ребром возврата. Косые поверхности суть такие Л., которые не могут быть развернуты в плоскость; таковы: косая винтовая поверхность, образующие которой перпендикулярны к оси цилиндра и опираются на винтовую линию, начерченную на этом цилиндре; гиперболоид, образующие которого опираются на три данные прямые; гиперболический параболоид, образующие которого опираются на две данные прямые и параллельны данной плоскости, и так далее. Поверхности, образующие которых параллельны одной и той же плоскости, называются коноидами. Работы Плюккера и Болля выяснили весьма важное механическое значение одной из коноидальных поверхностей, названной цилиндроидом и играющей такую же роль в сложении винтовых движений и винтовых усилий, какую играет параллелограмм в сложении сил и скоростей.

Один из простейших примеров см рис.10.

Циклические

Циклическая поверхность образуется окружностью перемен­ного радиуса, центр которой перемещается по какой-либо кривой. Отметим тот случай образования циклической поверхности, когда плоскость образующей окруж­ности остается перпендикулярной к заданной направляющей кривой, по которой движется центр окружности. Для такой поверхности встречается название канало
вая. Каналовую поверхность можно представить также как огибающую семейство сфер переменного диаметра, центры которых находятся на некоторой направляю­щей кривой. Радиус образующей окружности или образующей сферы может быть постоянным. Поверхность, возникающая при движении такой окружности по неко­торой направляющей кривой или при огибании всех последовательных положений образующей сферы при таком же движении ее центра, называется трубчатой. При­мером применения в технике могут служить компенсаторы в трубопроводах.

Направляющей кривой линией для трубчатой поверхности может быть цилин­дрическая винтовая линия; в этом случае мы имеем трубчатую винтовую поверх­ность. Трубчатой винтовой поверхностью является поверхность цилин­дрической пружины с круглым сечением витков.

Циклические поверхности разного вида имеют, например, применение в газо­проводах, в гидротурбинах, в центробежных насосах. Каналовая поверхность в слу­чае, если направляющей линией взять прямую, а не кривую, превращается в по­верхность вращения, в частности в коническую, а трубчатая поверхность при прямой направляющей превращается в поверхность цилиндра вращения.

Простейший пример см. рис.11.

Поверхности вращения

В числе кривых поверхностей — линейчатых и нелинейчатых — имеются широ­ко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую от вращения какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой — оси поверхности.

Винтовые поверхности

Винтовая поверхность образуется винтовым перемещением линии (образующей). Поверхность можно задать начальным положением образующей и направляющей – цилиндрической винтовой линией, которая называется гелисой.

Пример см. рис. 12.
 В технике часто встречаются винтовые поверхности, образованные при винтовом движении прямой. Такие поверхности называются геликоидами. В зависимости от величины угла наклона образующей к оси геликоиды бывают прямыми, если угол равен 90°, и наклонными (косыми), если угол – произвольный, отличный от 0 и 90°.

Следует отметить одно важное свойство винтовых поверхностей, состоящее в том, что они могут сдвигаться, т.е. совершая винтовое перемещение поверхность скользит вдоль самой себя. Это свойство обеспечивает винтовым поверхностям широкое применение: винты, шнеки, сверла, пружины, поверхности лопаток турбин и вентиляторов, рабочие органы судовых движителей, конструкции винтовых линий и др. Винтовые поверхности, и в частности прямой и наклонный геликоиды, широко применяются в технике. Этими поверхностями ограничены червяки (в червячных передачах) винты, болты и т.п.

Пример см. рис. 12.

Многогранные поверхности

Многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями пересекающихся плоскостей. Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения – ребрами. Точки пересечения ребер называются вершинами. Совокупность ребер и вершин многогранной поверхности называется сеткой.

Многогранная поверхность называется выпуклой, если она расположена по одну сторону от плоскости любой ее грани. Сечение выпуклого многогранника плоскостью – всегда выпуклый многоугольник.

Наиболее распространенные многогранники – призмы и пирамиды. Призму, ребра которой перпендикулярны основанию называют прямой. Если в основании прямой призмы – прямоугольник, призму называют параллелепипедом. Кроме хорошо известных пирамид и призм представляют интерес также призматоиды, правильные и полуправильные многогранники.

Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания – многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются вершинами основания призматоида.

Правильные многогранники

Среди большого числа разновидностей многогранников особую группу составляют правильные выпуклые многогранники.

Правильными многогранниками или «телами Платона» называются многогранники, у которых все грани – правильные и равные многоугольники, а углы при вершинах равны. Правильные многогранники и некоторые их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном.

Существует пять правильных многогранников:

1.    Четырехгранник (тетраэдр) ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками. Тетраэдр – это правильная трехгранная пирамида.

2.    Шестигранник (гексаэдр), или куб. Его поверхность состоит из шести равных квадратов

3.    Восьмигранник (октаэдр). Его поверхность состоит из восьми равносторонних и равных треугольников.

4.    Двенадцатигранник (додекаэдр) ограничен двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками.

5.    Двадцатигранник (икосаэдр). Его поверхность состоит из двадцати равносторонних и равных треугольников, соединенных по пяти около каждой вершины.

Свойства многогранников изучал Эйлер, ему принадлежит теорема, устанавливающая зависимость между числом граней, вершин и ребер выпуклых многогранников всех видов.

Кроме правильных выпуклых многогранников существует довольно большое число полуправильных многогранников.

Для построения проекций многогранников достаточно построить проекции его сетки – вершин и ребер.

Список литературы

1.     Короев Ю. И. Начертательная геометрия. – М.: Архитектура-С, 2006. – 416 с.

2.     Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Высшая школа, 2000. – 272 с.

3.     Чекмарев А. А. Инженерная графика. – М.: Высшая школа, 1988. – 325 с.

4.     http://kig.pstu.ac.ru/Graphbook/book/lekcii/L-008.htm

5.     http://www.viktoriastar.ru/proektirovanie-mnogougolnikov.html

Линии
Кривые линии
Поверхности
Поверхности вращения
Многогранники
Рис.1        Рис.2         Рис.3          Рис.4         Рис.5         Рис.6          Рис.7          Рис.8          Рис.9          Рис.10   

      

Рис.11       Рис.12
Рис.13      Рис.14