Реферат Изучение методов интерполяции и аппроксимации

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 28.1.2025

XIV муниципальная научно-практическая конференция «Ломоносовские чтения »
                      Изучение методов

         интерполяции и аппроксимации
                                                                                      Выполнила учащаяся группы ФМ3.2

                                                                                      Сарманова Снежана Геннадьевна

                                                                                     Научный руководитель: Бородкин

                                                                                     Дмитрий Константинович,

                                                                                      преподаватель информатики Лицея №2
                                                     г.Ангарск, 2009



Содержание

1.      Аннотация……………………………...…………………………………………………....3

2.      Цель, задачи……………………………………………………………………...……….....3

3.      Введение………………………………………………………………………..…….……...4

4.      Линейная интерполяция………………………………………………………....……...….5

·        Теория ………………………………………………………………………….........5

·        Блок-схема……………………………………………………………...……………6

·        Текст программы……………………………………………………………..….….7

·        Пример…………………………………………………………………..……….…..7

5.      Квадратичная интерполяция………….………………………………………..…………..8

·        Теория…………………………………………………………………….……….. 10

·        Блок-схема…………………………………………………………….....…………11

·        Текст программы…………………………………………………………….……..12

·        Пример……………………………………………………………………………...13

6.      Инструкция по работе с программами……………............................................................16

7.      Заключение…………………………………………………………………………………17

8.      Список литературы………………………………………………………………………...18




                                                             Аннотация

    В данной работе излагаются основные численные методы решения математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов.

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших.

   Данная работа будет полезна студентам, аспирантам, преподавателям университетов и технических институтов, научным работникам и инженерам-исследователям, а так же всем, кто имеет дело с численными расчетами.
    Цель работы: разработать программы вычисления значений функции f(
x) для значений х, не содержащихся в таблице.
Задачи:

·        Изучить и проанализировать научную, справочную литературу

·        Подобрать наиболее простые и лучшие методы решения уравнений первой и второй степени

·        Составить алгоритм решения уравнений в виде блок-схемы

·        Разработать программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0
Гипотеза: создание программ для нахождения неизвестных значений функции в системе программирования позволит значительно сократить затраты времени по сравнению с ручными расчетами.

Введение

  Если задана функция y (
x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра, или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.

   Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию φ (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х) φ(х). Близость получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров а={а₁, а₂, …, а
_n} и соответствующим их выбором. В этом случае используются такие понятия как, аппроксимация и интерполяция.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (от лат. interpolatio — изменение, переделка) - отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции f( x) в точках x, лежащих между точками x₀   по известным значениям y_i = f( x_i) (где i = 0,1,..., n). Если x лежит вне интервала ( x₀, x_n), аналогичная процедура называется экстраполяцией.

Основная цель интерполяции – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(
x) для значений х, не содержащихся в таблице.
АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo — приближаюсь) - замена одних математических объектов (например, чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (например, кривых линий близкими к ним ломаными).

Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Именно поэтому в данной работе будут рассмотрены два вида интерполяции – линейная и квадратичная.
Линейная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная ( или кусочно-линейная) интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки ( х
_i, у
_i) (
i=0, 1, …,
n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(х) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

   Рис. пример интерполяции

    Уравнения каждого отрезка ломаной в каждом случае разные. Поскольку имеется n интервалов ( х
_i-1, х
_i), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение, проходящей через точки ( х
_i-1, у
_i-1) и (х
_i ,
y_i), в виде

=



Отсюда

                 y= a_ix + b_i ;     x_i-1 ≤ x ≤ x_i ,                                      (1)

,
b_i=
y_i_-1 –
a_ix_i_-1 .
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке.

Данный алгоритм представлен на рисунке

                                                                                              Нет

                                                            Да





             Нет

b= y [i-1] – a*x[i-1]



Текст программы:
Program interpol;

Const N=3;

Var x: array [1..N] of real;

    y: array [1..N] of real;

a, b, xр, yр : real;

i: integer;

begin

     for i:=1 to N do

begin {ввод данных через массивы}

     writeln (‘x[‘,i,’]=’);

readln (x[i]);

writeln (‘y[‘,i,’]=’);

readln (y[i]);

     end;

     write (‘vvedite x=’); {ввод промежуточного значения}

     readln (xр);

     for i:=2 to N do

     if (x[i-1]<=xp) and (xp<=x[i-1]) then

     begin

         a:= (y[i] – y[i-1]) / (x[i] – x[i-1]);

         b:= y [i-1] – a*x[i-1];

         yр:= a*xр + b

     else writeln (‘ekstrepolyazia’);

          readln;

end;

     writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}

     readln;

end.

Пример. Найти значение функции y=f(x), изображенной на рисунке, при х=1


Воспользуемся формулой линейной интерполяции(1). Значение х=1 находится между точками х_i =2 и х_i-1 = 0. Отсюда имеем
=

   b_i= y_i_-1 – a_i٠x_i_-1 = 4 – 0.5٠0=4
у= а٠х_р +b = -0.5 ٠1 + 4 = 3.5
Результаты выполнения программы

На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных

Рис.1
На рисунке 2 представлен вид окна программы после вывода результатов

Рис.2

Исполнимый модуль программы находится в файле с именем interpol1.
exe

Пример 2.

Если в два часа ночи температура воздуха была +10, а в шесть утра - +25,
то используя линейную интерполяцию можно предположить
что в три часа ночи температура воздуха была равна
(25 - 10) / (6 - 2) * (3 - 2) + 10 = 13.75

Квадратичная интерполяция

В качестве интерполяционной функции на отрезке [х
_i-1,
x_i₊₁] принимается квадратный трехчлен. Такую интерполяцию называют также параболической.

Уравнение квадратного трехчлена
                                             y = a_ix² + b_ix + c_i ,         x_i-1 x_i x_i+1             (2)

содержит три неизвестных коэффициента a_i ,
b_i ,
c_i , для определения которых необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы (2) через три точки ( x_i_-1,
y_i_-1),

(x_i,
y_i), (x_i₊₁,
y_i₊₁). Эти условия можно записать в виде



        y_i-1 = a_ix²_i-1 + b_ix_i-1 + c_i

        y_i = a_ix²_i + b_ix_i + c_i         (3)


y_i₊₁ =
a_ix²
_i+1 +
b_ix_i₊₁ +
c_i

Данная система уравнений решается методом Крамера.

Определители:


Решение:

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}$


Алгоритм нахождения приближенного значения функции с помощью квадратичной интерполяции можно записать в виде структурограммы, как и для случая линейной интерполяции. Вместо формулы (1) нужно использовать (2) с учетом решения системы линейных уравнений (3). Интерполяция для любой точки x є [x_o,
x_n] приводится по трем ближайшим к ней узлам.

Данный алгоритм представлен на рисунке





                             Да

Program interpol2;

Const N=3;

Var x: array [1..N] of real;

    y: array [1..N] of real;

a, b, c, xр, yр, deltaA, deltaB, deltaC, delta : real;

i: integer;

begin

     for i:=1 to N do

begin {ввод данных через массивы}

     writeln (‘x[‘,I,’]=’);

readln (x[i]);

writeln (‘y[‘,I,’]=’);

readln (y[i]);

     end;

     write (‘vvedite x’); {ввод

промежуточного

значения
}

     readln (xр);

     for i:=2 to N do

     if (x[i-1]<=xр) and (xр<=x[i-1]) then

     begin {вычисления}

delta:= x[i-1]*x[i-1]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*x[i+1]+ x[i-1]*x[i+1]*x[i+1] – x[i-1]*x[i]*x[i] – x[i+1]*x[i+1]*x[i]+ x[i+1]*x[i]*x[i];

deltaA:= x[i+1]*y[i]– x[i-1]*y[i] +y[i-1]*x[i]-x[i+1]*y[i-1] – y[i+1]*x[i]+x[i-1]*y[i+1];

         deltaB:=x[i-1]*x[i-1]*y[i] – x[i+1]*x[i+1]*y[i]-

y[i-1]*x[i]*x[i] + y[i+1]*x[i]*x[i] – x[i-1]*x[i-1]*y[i+1] + x[i+1]*x[i+1]*y[i-1];

deltaC:= y[i+1]*x[i-1]*x[i-1]*x[i] – y[i]*x[i-1]*x[i-1]*x[i+1] + y[i]*x[i-1]*x[i+1]*x[i+1]- y[i+1]*x[i-1]*x[i]*x[i] –y[i-1]*x[i+1]*x[i+1]*x[i] + y[i-1]*x[i+1]*x[i]*x[i];

a:= delta/deltaA;

b:=delta/deltaB;

c:= delta/ deltaC;

yр:= a*xр*xр + b*xр +c;

     end;

     writeln (‘y=’, yр); {вывод искомого значения}

     readln;

end.

Пример. Найти приближенное значение функции y =
f (
x) при x = 2.5, если известна следующая таблица её значений:

x

     2

       3

       4

y

     2

       4

       7


Найдем приближенное значение функции с помощью формулы квадратичной интерполяции (2) . Составим систему уравнений (3). С учетом ближайших к точке x = 2.5 узлов x_i_-1 = 2 ,       x_i = 3,
x_i₊₁ = 4. Соответственно y_i_-1 = 2 , y_i = 4 y_i₊₁ = 7. Система (3) запишется в виде

                                      2²a_i + 2b_i + c_i = 2;

                                      3²a_i + 3b_i + c_i = 4

                                   4²a_i + 4b_i + c_i = 7.

         4     2   1

9     3   1     = 4٠3-4٠4 +2٠16 -2٠ 9 – 16٠3+ 4٠9= -2

16   4   1

           2 2 1

   4 3 1     = 2٠3 -2٠4 +2٠3 – 4٠2 - 7٠3 +2٠7 = -1

           7 4 1

            4   2 1

   9 4 1     = 4٠4- 16٠4 -2٠9 + 7٠9 - 4٠7+16٠2= 1

           16 7 1
            4   2 2

   9   3 4     =7٠4٠3 – 4٠4٠4 + 4٠2٠16 – 7٠2٠9 – 2٠16٠3 + 2٠4٠9= -2

           16 4 7

;


Решая эту систему, находим
a_i =0.5 , b_i = -0.5, c_i = 1. Искомое значение функции

y(2.5)²٠0.5 + 2.5٠(-0.5) + 12.875.

На рисунке 1 показан вид окна программы при вводе исходных данных

Рис.1
На рисунке 2 представлен вид окна программы после вывода результатов

Рис.2
Исполнимый модуль программы находится в файле с именем interpol2.exe









           Инструкция по работе с программами

Исполнимые модули программ находятся в файле с именами interpol.exe и interpol2.exe, запускаются на выполнение в операционной системе ее средствами.

После запуска программы пользователь должен ввести исходные данные, как это показано на рисунке 1 (см. стр.8, 14) После ввода исходных данных программа производит вычисления и выводит результат на экран в том же окне, что и исходные данные, как это показано на рисунке 2(см. стр.9,15). Чтобы завершить работу программы, пользователь должен нажать любую клавишу.

Составленные программы решают задачу интерполирования таблично заданной функции с произвольным расположением узлов. Как показывает анализ результатов, вычисления, производимые программами, верны.

Заключение

В данной работе была изучена и проанализирована справочная литература, вследствие чего были выявлены два наиболее простых и удобных вида интерполяции – линейная и квадратичная; созданы программы в системе программирования Borland Turbo Pascal 7.0 для вычисления значений функции f(x) и разработан быстрый (экономичный) алгоритм решения этой функции, предоставленный в виде блок-схем.

          Список использованных источников

1.      Калиткин Н.Н.. Численные методы. – М.: Наука, 1982.

2.      Марчук Г.И. Методы вычислительной математики – М.: Наука, 1977.

3.      Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров.. М.: Бином, 1994

4.      Самарский А.А. Численные методы. – М.: Наука, 1989.

Список использованных источников

Bukvasha