КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
Пешко Олександр Валерійович
УДК 336.763+519.86
Економіко-математичні моделі
управління інвестиційним портфелем
08.03.02 - Економіко-математичне моделювання
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата економічних наук
КИЇВ - 2006

Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі економічної кібернетики економічного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент,
Черняк Олександр Іванович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри економічної кібернетики.
Офіційні опоненти:
доктор економічних наук, професор Вітлінський Вальдемар Володимирович, Київський національний економічний університет, професор кафедри економіко-математичних методів;
кандидат економічних наук, доцент Данілов Олександр Дмитрович, Український фінансово-економічний інститут (м. Ірпінь), завідувач кафедри фінансів.
Провідна установа
Інститут економічного прогнозування НАН України,
відділ моделювання економічного розвитку, м. Київ.
Захист відбудеться “_25_" лютого 2006 р. о _14__ годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д 26.061.13 в Київському національному
університеті імені Тараса Шевченка
за адресою: 03022, м. Київ-22, вул. Васильківська, 90 а.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського
національного університету імені Тараса Шевченка
за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58, кім.10.
Автореферат розісланий “_24_" січня 2006 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Солодовникова І.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія інвестиційного портфеля була започаткована у 50-х роках нашого століття і розвивалась швидкими темпами. В Україні дослідження за цією темою в радянські часи об'єктивно стримувались відсутністю мобільного, багатоманітного фінансового ринку, вільного обігу цінних паперів. Із здобуттям Україною незалежності, переходом до ринкової економіки та приватизацією державної власності склалися сприятливі передумови для розвитку та становлення вітчизняного фондового ринку.
Обсяг торгівлі цінними паперами в Україні в 2004 році навіть під час міжнародної фінансової кризи склав понад 10 млрд. гривень. Це свідчить про те, що фондовий ринок в нашій країні існує і вже досяг певного розвитку.
Найбільшу частку організаційно оформленого вторинного ринку цінних паперів України в 2004 році складала торгівля акціями підприємств, другу позицію посіли облігації внутрішньої державної позики. Обіг векселів був більш ніж в 10 разів меншим. Муніципальними облігаціями майже не торгували, щоправда, і емітовано їх було небагато. У 2005 році збільшився обсяг та питома частка вексельного обігу. В разі реальної стабілізації валютного курсу ринок почнуть освоювати похідні фінансові інструменти, в першу чергу - ф'ючерсні контракти.
Перерозподіл власності і акумуляція значних коштів у окремих громадян та фінансових організацій, відкриття доступу в Україну іноземному капіталу разом з появою великої кількості фінансових активів та розбудовою інфраструктури фондового ринку створили імпульс до розвитку теорії інвестування в нашій країні. На пострадянському просторі почали з’являтися праці і по портфельній теорії. Це, перш за все, роботи А.А. Пєрвозванського, Т.Н. Пєрвозванської, Ю.П. Лукашина, А.Н. Бурєніна, В.В. Вітлінського, О.О. Карагодової, Н.І. Костіної, А.А. Алєксєєва, Ю.Ф. Касімова.
Зважаючи на високий рівень ризику переважної кількості інвестиційних вкладень в Україні, формування інвестиційного портфеля, управління ним із застосуванням методів ефективної диверсифікації ризиків, набуває особливої актуальності. Послугу по формуванню і управлінню інвестиційним портфелем в Україні надають практично всі компанії - торговці цінними паперами, що мають досвід і позитивну репутацію на ринку, а деякі консалтингові фірми, спираючись на свій аналітичний і технічний потенціал, почали пропонувати консультування щодо інвестиційного портфеля.
Зауважимо, що теорію вибору портфеля цiнних паперiв широко використовують банки під час пiдготовки фiнансових операцiй[1]. За допомогою теорії портфеля на підприємствах створюється “портфель надiйності” матерiальних запасiв, визначається їх оптимальний обсяг та ступiнь ризику[2].
Фондовий ринок України не може зараз запропонувати великої кількості високоякісних інвестиційних активів. Звичайно, це стримує інвестиційну активність. Однак в довгостроковій перспективі остання визначається як наявністю високодоходних паперів, так і вмінням успішно інвестувати. Підвищити якість інвестування дозволить застосування ефективних економіко-математичних методів формування і управління портфелем.
Існуючі методи оцінки майбутньої доходності активів, методи побудови інвестиційного портфеля мають певні недоліки. Тому розвиток економічної думки в галузі портфельного інвестування необхідний і може відбуватися як через внесення окремих позитивних змін у відомі моделі, так і створення принципово нових моделей. Це іще раз доводить актуальність вибраної теми дослідження.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження проводилось в рамках держбюджетної теми №97150 "Розробка нових технологічних засобів підтримки і прийняття рішень" (державний реєстраційний номер 0197U003318), що виконується кафедрою економічної кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розробка ефективного економіко-математичного інструментарію визначення оптимального інвестиційного портфеля. Це означає запропонувати альтернативні, більш ефективні за існуючі, підходи (методи, моделі) до передбачення майбутньої доходності активів, врахування ризику та побудови оптимального інвестиційного портфеля.
Для досягнення поставленої мети в дисертації необхідно було вирішити такі основні завдання:
1. Провести комплексний аналіз існуючих підходів до моделювання інвестиційного портфеля, інструментів управління портфелем і особливостей їх застосування.
2. Визначити теоретичну і практичну цінність та недоліки економіко-математичних моделей оптимізації інвестиційного портфеля.
3. Дослідити ефективність некаузальних методів економічного прогнозування у передбаченні майбутньої доходності фінансових активів.
4. Дослідити ефективність застосування традиційних і альтернативних оцінок доходності і ризику в моделюванні інвестиційного портфеля.
5. Запропонувати нові методи побудови оцінок доходності і ризику активів.
6. Розробити, перевірити практично та запропонувати економіко-математичні моделі управління інвестиційним портфелем.
7. Запропонувати способи наближення моделі портфеля до реальних умов інвестування.
Наукова новизна одержаних результатів. В процесі дослідження були вперше одержані наступні результати:
1. Середній квадрат приростів доходності є більш вдалою оцінкою ризику активів і портфеля, ніж варіація доходності.
2. Метод авторегресійного (інтегрованого) рухомого середнього ARMA-ARIMA (Бокса-Дженкінса) дозволяє найкращим чином передбачати майбутню доходність фінансових активів (зокрема акцій) порівняно з іншими розглянутими методами прогнозування, та прогноз, отриманий за цим методом, є кращою оцінкою очікуваної доходності ніж середнє вибіркове для моделі інвестиційного портфеля.
3. ARMA-ARIMA прогноз та середній квадрат приростів доходності особливо вдало сполучаються в одній моделі.
Також, вперше були розроблені і запропоновані:
Класифікація моделей оптимізації інвестиційного портфеля.
Способи врахування вподобань інвестора щодо певних активів в моделюванні оптимального портфеля.
Методика застосування пуасонівського згладжування до історичних даних в оцінюванні очікуваної доходності та ризику активів і портфеля. Побудована відповідна модель, надані рекомендації щодо методів її розв’язку та використання в управлінні портфелем, здійснена реалізація на реальних даних.
Нові критерії ризику активів та портфеля, моделі з їх використанням.
Моделі оптимізації обсягів пакетів цінних паперів.
Практичне значення одержаних результатів полягає у наступному:
1. Метод Бокса-Дженкінса пропонується до оцінювання очікуваної доходності акцій. Отримані ARMA-ARIMA прогнози, які підтверджуються якісно висновками технічного аналізу, можуть розглядатись як підґрунтя до прийняття рішення про придбання (продаж) активу.
2. Економіко-математична модель з використанням середнього квадрату приростів, ARMA-ARIMA прогнозу та запропонованою системою обмежень є практичним засобом побудови та управління інвестиційнім портфелем. Вона може систематично використовуватись інвесторами та портфельними керуючими з метою оптимізації інвестиційної діяльності.
3. Пуасонівське згладжування є придатним і при коректному застосуванні вдалим способом врахування історичних даних у формуванні оцінок очікуваної доходності та ризику активів. Модель інвестиційного портфеля з відповідними оцінками може успішно застосовуватись в інвестиційній діяльності.
4. Моделі з використанням нових оцінок ризику можуть розглядатися як альтернативні методи управління портфелем. Результати, отримані за моделлю з індикатором імовірного відхилення майбутньої доходності від її середнього значення, свідчать на користь її практичного застосування.
5. Моделі цілочисельної оптимізації інвестиційного портфеля автором дисертації запропоновані, але не досліджувались. Вони можуть стати об’єктами вивчення та подальшого вдосконалення до стану успішного практичного застосування в управлінні інвестиційним портфелем.
Економіко-математична модель вибору інвестиційного портфеля з використанням середнього квадрату приростів (як оцінки ризику), ARMA-ARIMA прогнозу (як оцінки очікуваної доходності) була впроваджена в професійну діяльність торговця цінними паперами ЗАТ “Фінанс-Оптимум" (Довідка № 114-03/Т від 27.09.2005 р).
Особистий внесок здобувача. Ідея застосування пуасонівського згладжування для отримання оцінки очікуваної доходності належить Черняку Олександру Івановичу, науковому керівнику та співавтору статті “Визначення оптимального портфеля цінних паперів і методи врахування ретроспективних даних". Черняку О.І. також належить ідея застосування до прогнозування доходності активів методів Холта-Вінтерса та Бокса-Дженкінса, що знайшло відображення в статті "The methods of forecasting and optimization in investment portfolio management", співавтором якої він також є.
Авторові дисертації належать наступні розробки:
класифікація моделей оптимізації інвестиційного портфеля;
методологія визначення найбільш ефективних показників доходності і ризику;
способи врахування вподобань інвестора щодо певних активів в моделюванні оптимального портфеля;
модель інвестиційного портфеля з пуасонівським згладжуванням та врахуванням вподобань;
нові критерії ризику активів та портфеля, моделі з їх використанням;
моделі оптимізації обсягів пакетів цінних паперів.
Авторові дисертації також належать всі висновки та пропозиції, що виносяться на захист.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включені до дисертації, доповідались та обговорювались на Всеукраїнській конференції “Науково-практичні проблеми інвестиційної та інноваційної політики держави" (Київ, 5-6 червня 2003 року), Міжнародній конференції “The Information Technology Contribution to the Building of a Safe Regional Environment" (Київ 28-29 травня 2004), Всеукраїнській конференції “Сучасні економіко-математичні методи у ринковій економіці" (Київ, 5-6 листопада 2004 року), наукових конференціях викладачів та аспірантів економічного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (квітень 2003р., квітень 2004р., квітень 2005р), науково-методологічних семінарах кафедри економічної кібернетики.
Ряд висновків та положень дисертаційного дослідження знайшли відображення у річних звітах про наукову роботу кафедри економічної кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Основні положення та результати досліджень пройшли апробацію у навчальному процесі на економічному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка при викладанні курсів: “Інвестування", “Теорія економічного ризику”, “Економічний ризик та методи його вимірювання", “Управління інвестиційним портфелем" (Довідка № 013/245 від 07.12.2005 р).
Публікації. Основні положення дисертаційної роботи опубліковані в 5 наукових працях загальним обсягом 2,4 др. арк.
Обсяг і структура роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел та додатків; містить 74 таблиці, 25 ілюстрацій і 3 додатки. Вона викладена на 175 сторінках машинописного тексту, з яких таблиці займають 25, ілюстрації - 9, а додатки - 4 сторінки. Список використаних літературних джерел включає 196 найменувань і наведений на 16 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі висвітлено авторське бачення актуальності теми і сучасного стану її вивчення, сформульовані мета і завдання дослідження, його наукова новизна та практичне значення, визначено особистий внесок здобувача, зміст і етапи апробації результатів дисертації, вказана кількість публікацій автора з даної теми.
В першому розділі "Класичні та неокласичні підходи до побудови інвестиційного портфеля" у послідовності і взаємозв'язку розкриті такі базові категорії теорії портфельного інвестування як доходність і ризик фінансового активу та портфеля, ефективність інвестиційного портфеля, ефективна множина, очікувана корисність, короткий продаж, безризикова ставка та інші. Проведено комплексний аналіз основних підходів до моделювання інвестиційного портфеля, інструментів управління портфелем, особливостей їх використання, визначена теоретико-практична цінність та наявні недоліки. В результаті аналізу вперше була розроблена і запропонована класифікація економіко-математичних моделей інвестиційного портфеля, за допомогою якої вдалось з'ясувати та обґрунтувати вибір напрямів дослідження.
Існуючі підходи до побудови оптимального за тим чи іншим критерієм інвестиційного портфеля можна розділити на дві групи: класичні та неокласичні. Основна відмінність полягає у способі кількісної формалізації доходності та ризику.
Класичні підходи ґрунтуються на гіпотезі, що доходність цінного папера має незмінне математичного сподівання і коливання відносно нього характеризуються незмінною величиною - стандартним відхиленням. Причому, чим більшим буде це відхилення, тим більшим буде ступінь ризику, пов’язаного з певною стратегією.
До класичних відносяться наступні моделі:
Модель Марковіца (пряма та обернена);
Модель Тобіна (пряма та обернена);
Модель оптимізації співвідношення доходності та ризику;
Модель оптимізації співвідношення премії за ризик та ризику;
Модель максимізації очікуваної корисності;
Модель Шарпа.
Важливу роль в управлінні інвестиційним портфелем відіграють модель оцінки капітальних активів (CAPM), модель арбітражного ціноутворення (АРТ) та модель Блека-Шоулза оцінки опціонів. Нещодавно виникла група нових моделей, в яких очікувану доходність та ризик пропонується оцінювати іншим чином, ніж в класичному підході, або ж зустрічаються інші суттєві відмінності.
Так, як очікувану доходність в альтернативу середньому вибірковому історичних значень пропонують: середнє геометричне вибіркове і експоненціальне згладжування.
Як міру ризику в альтернативу варіації пропонують: семіваріацію; коефіцієнт асиметрії; середній квадрат приростів; експоненціально згладжений квадрат приростів; середні втрати в доходності портфеля.
Може скластися враження, що методологічна база управління інвестиційним портфелем створена, існує багато моделей, які є цілком придатними до практичного застосування, і необхідність подальших дослідів в цьому напрямку не очевидна. Однак, на думку фахівців, це не так. Так, зокрема, В.В. Вітлінський зазначає, що "існує широке поле для подальшої розбудови неокласичної теорії портфеля та її використання в різних сферах фінансово-економічної діяльності, розбудови аксіоматичної неокласичної теорії портфеля"[3]. Ю.Ф. Касімов пише: "процес створення сучасної теорії інвестицій іще далеко не завершений і тривають активне обговорення і суперечки з приводу її основних принципів і результатів"[4]. За необхідність проведення подальших досліджень також висловлюються інші науковці.

На нашу думку, всі існуючі моделі різняться по таких ознаках:
Оцінка ризику;
Оцінка очікуваної доходності;
Цільовий показник (критерій оптимальності);
Зміст шуканих змінних;
Наявність коротких продаж;
Наявність безризикових активів;
Система додаткових обмежень інвестора.
Детальна класифікація моделей подана на рисунку 1.
В переважній більшості робіт, присвячених проблемі оптимізації інвестиційного портфеля, обговоренню ефективності методів приділяється недостатня увага. Висловлюються окремі гіпотези, але обґрунтовані твердження, висновки, отримані на основі експериментальних досліджень, зустрічаються зрідка.
В умовах браку інформації про те, які моделі дають кращий результат за інші і наскільки, портфельний керуючий, швидше за все, обиратиме простішу модель. Виходячи з цього, практично немає сенсу створювати нову модель портфеля, не обґрунтовуючи її переваги, принаймні теоретично. Тому, по-перше, необхідним є дослідження ефективності підходів, побудова обґрунтовано кращих оцінок доходності і ризику.
Існуючі моделі не надають можливості інвестору врахувати додаткову, можливо, тільки йому відому на час формування портфеля, інформацію. Для того, щоб просто висловити свої вподобання щодо активів - претендентів до портфеля, поки що не зустрічається іншого способу, ніж лімітування їх часток у портфелі через відповідні обмеження. Таким чином, по-друге, необхідно створити способи врахування додаткової інформації інвестора.
Існуючі моделі є спрощеними з огляду на те, що вони не враховують деяких обмежень, умов, що виникають на практиці, серед яких:
відсутність нескінченої подільності активів;
відчутне зростання ціни одиниці активу при збільшенні обсягу пакету;
складність придбати не кратний загальноприйнятому лоту (наприклад, 1000 штук) пакет цінних паперів одного емітента;
проблема з подрібненням пакетів, тобто можливість купувати “все або нічого”;
проблема з реалізацією невеликого пакету активів;
ринкові ціни на момент формування портфеля.
Тому, по-третє, необхідна модель, яка б врахувала, принаймні, частину таких умов.
В другому розділі "Застосування некаузальних методів економічного прогнозування у формуванні і управлінні інвестиційним портфелем" відбувається дослідження ефективності застосування трендових моделей, моделей згладжування та моделей ARMA-ARIMA до рядів курсової динаміки цінних паперів з метою отримання найкращих вхідних оцінок майбутньої доходності для моделі оптимізації інвестиційного портфеля. Особлива увага приділяється аналізу якості історичних даних, оцінці точності прогнозів. Подається змістовна інтерпретація отриманих результатів.
Як відзначається в ряді робіт, середнє вибіркове значення не є бездоганною оцінкою очікуваної доходності фінансових активів. Отже ставилась мета - знайти кращі способи оцінювання очікуваної доходності. Ідея полягала в застосуванні до реальних історичних даних по фондових індексах та акціях різних методів прогнозування, отриманні прогнозів, їх співставленні з метою визначення, які з методів дозволяють отримати кращі результати.
Прогноз майбутньої поведінки фондового індексу розглядався як база для порівняння ефективності застосування на ринку цінних паперів різних методів прогнозування; орієнтир доходності портфельного інвестування; засіб для визначення теоретичних очікуваних доходностей активів за моделлю CAPM.
Будувались наступні моделі: трендові моделі; модель експоненціального згладжування; модель Холта-Вінтерса; модель авторегресійного рухомого середнього (Бокса-Дженкінса).
Дані по курсах цінних паперів, цінах і обсягах угод в Україні стали придатними для аналізу з початком становлення реальної торгівлі в Першій фондовій торговій системі (ПФТС), з лютого 2003 року. В жовтні того ж року почалося стрімке падіння ринку, яке перейшло у стагнацію. На нашу думку, дані до червня 2004 року є найбільш придатними. Таким чином, довжина рядів склала менше 1,5 року. Висновки аналізу були б достовірнішими за наявності якісних даних за 3-5 років. Окрім малої довжини, ряди мають ще й такі недоліки: перервність, різна значущість даних, велика питома вага угод, що не відображають ринкової кон’юнктури. Були розраховані середньозважені ціни активів по укладених угодах за кожний тиждень. Таким чином довжина рядів зменшилась у 5 разів, але значно підвищилась їх якість.
За всіма моделями будувались прогнози на три періоди вперед. Якість прогнозів визначалась за критерієм RMSE (стандартної середньоквадратичної похибки):
де f_{t -} прогноз y_t,
N - кількість періодів прогнозування.
В результаті оцінювань було встановлено, що найбільш вдалими є прогнози, отримані за методом ARMA-ARIMA, дещо гірші - за методом Холта-Вінтерса, прогнози за рештою методів значно поступаються. Окрім того, прогнози доходності акцій за методом ARMA-ARIMA в переважній більшості випадків виявились кращими за відповідні середні вибіркові значення. Отримані висновки підтверджуються результатами дослідження італійського вченого К. Конверсано, які проводились паралельно на основі інформації про італійський фондовий ринок.
В третьому розділі "Нові моделі формування і управління інвестиційним портфелем. Практичні розрахунки і результати" досліджується ефективність застосування традиційних та деяких альтернативних оцінок доходності і ризику в моделюванні інвестиційного портфеля, пропонуються нові критерії ризику, методи врахування історичних даних, та наводяться розроблені автором дослідження економіко-математичні моделі вибору інвестиційного портфеля: модель інвестиційного портфеля з пуасонівським згладжуванням і врахуванням вподобань; моделі оптимізації структури інвестиційного портфеля з індикацією імовірних втрат доходності; моделі оптимізації обсягів пакетів цінних паперів. Надаються рекомендації по їх використанню. Аналізуються практичні результати моделювання. Робляться висновки щодо успішності і практичної доцільності використання розроблених методів та моделей.
Модель інвестиційного портфеля з пуасонівським згладжуванням і врахуванням вподобань. Методологічною основою моделі є підхід Марковіца. Визначається портфель, що забезпечує отримання певної заданої доходності за мінімального ризику. Як міра ризику фінансових активів замість дисперсії використовується середній квадрат приростів доходності за минулі періоди часу.
Для описання нерівнозначних періодів в функціонуванні ринку і відповідного врахування попередніх даних було застосоване пуасонівське згладжування. Процедура пуасонівського згладжування означає, що згладжена доходність і-го цінного паперу на момент T визначається так:
де R_i,t - фактичне значення доходності i-го цінного папера в момент часу t, а згладжений добуток приростів доходностей цінних паперів i та j:
Застосування згладжування найбільш адекватного до ретроспективи ринку здійснюється завдяки підбору параметрів _i. Пуасонівське згладжування з параметром? <1 близьке за ефектом до експоненціального, а з параметром?? 1 дозволяє промоделювати піки на всьому проміжку розгляду даних.
Окрім показників доходності та ризику активів, введемо такі позначення:
Нехай  - частка і-го цінного папера в портфелі у вартісному виразі, тоді економіко-математична модель оптимальної структури інвестиційного портфеля матиме вигляд:
Цільова функція (1.1) є формалізацію ризику - міри мінливості доходності активів портфеля, що мінімізується. Обмеження (1.2), (1.3), (1.4) втілюють вимогу по мінімально допустимому рівню доходності, ліквідності, та фінансової стійкості портфеля відповідно. Обмеження (1.5) є природньою вимогою рівності одиниці суми всіх часток, а (1.6) - умови невід’ємності часток.
Якщо інвестор має підстави відрізняти активи, не тільки за об’єктивними показниками (доходності, ліквідності і т. і), але й за особистими міркуваннями, його ставлення до конкретного активу можна виразити в величині вагового коефіцієнта, що може приймати значення з проміжку (0,1]. Чим привабливішим, з точки зору інвестора, є актив, тим більшого значення буде надано відповідному коефіцієнту.
Позначимо - коефіцієнт переваги, яку надає інвестор і-му активу.
Врахувати переваги інвестора в цільовій функції це можна зробити так:
Наведемо приклад застосування цієї моделі. Будувався портфель в вибраний довільним чином момент часу (14.03.04) на термін один тиждень. З аналізу ринкової історії активів був зроблений висновок про застосування до всіх рядів доходності пуасонівського згладжування з параметром =2. Були розраховані згладжені значення доходності і квадратів приростів. Далі будувалась сукупність ефективних портфелів із заданою доходністю від 0,5 до 3,5% за тиждень. В результаті застосування моделі були отримані оптимальні структури та реалізована доходність портфелів (табл.1):
Фактична доходність кожного з побудованих портфелів перевищила задану на 3,5-12%. Отже пуасонівське згладжування може успішно застосовуватись до врахування даних при моделюванні інвестиційного портфеля.
Дослідження ефективності оцінок доходності і ризику. Особлива увага була приділена порівнянню ефективності застосування варіації і середнього квадрата прирощувань як оцінок ризику; середнього вибіркового і оцінки очікуваної доходності за ARMA-прогнозуванням як оцінок доходності.
Комбінуванням двох оцінок доходності та двох оцінок ризику можна побудувати чотири моделі (одна з них - модель I - модель Марковіца) (табл.2).
Примітка. В моделях рамкою виділені вирази з альтернативними показниками доходності та ризику.
Зважаючи на невеликий обсяг вибірки, проводилась побудова портфелів та оцінювання результатів для трьох послідовних періодів. Момент початку формування портфелів - останній тиждень лютого 2004 року (вибраний довільним чином). Інвестиційний горизонт - один тиждень, з можливістю подальшого управління. По кожній моделі будувалось одразу кілька портфелів, задаючись різними значеннями бажаної доходності, від 1,0 до 4,0%, з кроком 0,5%. Реалізовані доходності портфелів, побудованих по різних моделях, порівнювались.
Наступним етапом було поєднання трьох послідовних періодів в один інвестиційний горизонт і розгляд побудови портфелів як єдиний процес управління, що складається з трьох етапів: 1 - первинний розподіл грошових коштів по напрямках, тобто між конкретними видами активів; 2,3 - ротація портфеля за результатами реоптимізації (рис.2).
З розгляду одержаних результатів управління можна дійти висновків, що для використання в моделі портфеля ARMA-ARIMA прогноз є кращою оцінкою очікуваної доходності за середнє вибіркове, а середній квадрат приростів доходності є більш вдалою оцінкою ризику, ніж варіація доходності. До того ж ARMA-ARIMA прогноз і середній квадрат приростів вдало сполучаються в одній моделі.
В модель можуть бути включені обмеження по ліквідності активів, рівню їх недооціненості, кредитному ризику емітента, граничним часткам інвестицій в різні види активів, цінні папери окремих галузей, а в критерій оптимальності - вподобання інвестора. В оцінці доходності можна врахувати оподаткування і операційні витрати.
Інші нові моделі. На основі прогнозів, отриманих за методом Бокса-Дженкінса, можна створити альтернативні критерії ризику інвестиційного портфеля, зокрема, використовувати в побудові індикаторів імовірної зміни доходності.
Ідея індикації зміни доходності була закладена Ю.П. Лукашиним в розрахунок показника середніх втрат в доходності[5]. Він припускає, що небезпека зниження доходності виходить в момент t від тих цінних паперів, у яких спостерігається падіння доходності. При цьому кореляційні зв'язки між доходностями активів не враховуються.
З використанням ARIMA-прогнозу можна побудувати, принаймні, два індикатори напрямку та сили імовірної зміни доходності.
Нехай - ARIMA-прогноз доходності і-го активу;
нижня межа інтервалу довіри (наперед визначеної імовірності) ARIMA-прогнозу доходності і-го активу;
очікувана доходність і-го активу, визначена як середнє вибіркове.
Тоді 1) є найбільшим імовірним негативним відхиленням фактичноі доходності і-го активу від ARIMA-оцінки доходності;
2) - індикатор імовірного відхилення доходності і-го активу від очікуваного: негативного, якщо і позитивного, якщо.
Індикатор через вагові коефіцієнти сполучимо в моделі з показником середніх втрат доходності:, де - множина t, для яких.
Позначимо:
коефіцієнт зважування критеріїв ризику і-го активу;
максимальний обсяг частки і-го активу в портфелі.
Нехай - частка від суми інвестиції, яка буде використана на придбання активу і-го виду,, тоді модель інвестиційного портфеля з використанням запропонованого індикатору має вигляд:
По цій моделі була здійснена практична реалізація. По більшості портфелей фактична доходність перевищила задану.
Також в альтернативу моделям визначення оптимальної структури портфеля були запропоновані моделі оптимізації обсягів пакетів фінансових активів. Ці моделі потребують відчутно більшої кількості вхідних даних. Порівняно з моделями оптимізації структури портфеля додається інформація про ціни, суму інвестиції та параметри пакетних обмежень. У випадку врахування залежності вартості активу від обсягу пакету потрібно попередньо оцінювати аналітичний вигляд N функцій ціни.

ВИСНОВКИ

Дисертаційне дослідження було присвячене кількісним методам портфельного інвестування. Успіх портфельного інвестування залежить не лише від інвестиційного клімату, досвіду інвестора, величини його вільних коштів, попередньої селекції активів, але й від якості методів, що використовуються для найкращого розподілу інвестиційної суми по напрямкам. Використовуючи більш досконалі кількісні методи прийняття рішень можна підвищити прибутковість інвестиційної діяльності. Тому на початку була вибрана мета розробити ефективний економіко-математичний інструментарій визначення оптимального інвестиційного портфеля.
Будь-яка модель інвестиційного портфеля ґрунтується на чисельній формалізації доходності та ризику. Тому побудувати кращу модель інвестиційного портфеля означає визначити спосіб, який дозволяє краще оцінити очікувану доходність та ризик її імовірного недоотримання. Крім того, поліпшення могло б полягати в найбільш повному врахуванні реальних ринкових умов укладання угод, додаткової інформації, яку інвестор вирішить взяти до уваги при прийнятті рішення. Тому проведене дослідження зводилось до пропозиції нових оцінок очікуваної доходності та ризику; порівняння результатів управління інвестиціями з використанням моделей з традиційними і альтернативними оцінками доходності та ризику; врахування додаткової інформації (особистих вподобань) інвестора; врахування окремих факторів, що можуть негативно вплинути на реалізацію очікуваної доходності (фінансовий стан емітента, ліквідність інструментів); найбільш повного врахування реальних умов укладання угод.
Внаслідок проведеного дослідження автор дійшов таких висновків:
1. Аналіз інвестиційних характеристик акцій українських підприємств, зокрема доходності і її мінливості, вказує на високий ризик, пов’язаний з інвестуванням в ці фінансові активи. В такій ситуації розробка і практичне застосування ефективних методів вибору оптимального портфеля як засобів суттєвого зниження ризику інвестування виглядають особливо актуальними. Успіхи портфельного інвестування могли б стати одним із важливих чинників піднесення авторитету українських підприємств як об’єктів стратегічного інвестування та сприяли б залученню в реальний сектор економіки України коштів від первинного розміщення цінних паперів.
2. Метод ARMA-ARIMA (Бокса-Дженкінса) дозволяє більш точно передбачати майбутню доходність фінансових активів порівняно з іншими розглянутими методами прогнозування. Прогноз, отриманий за цим методом, є кращою оцінкою очікуваної доходності ніж середнє вибіркове для моделі інвестиційного портфеля.
3. Середній квадрат приростів доходності є більш вдалою оцінкою ризику активів і портфеля, ніж дисперсія доходності. Очевидно, цей показник точніше враховує взаємозв’язки між поведінками курсів фінансових активів.
4. ARMA-ARIMA прогноз та середній квадрат приростів доходності особливо вдало сполучаються в одній моделі. Економіко-математична модель з використанням середнього квадрату приростів, ARMA-ARIMA прогнозу та запропонованою системою обмежень є практичним засобом побудови та управління інвестиційнім портфелем. Вона може систематично використовуватись інвесторами та портфельними керуючими з метою оптимізації інвестиційної діяльності.
5. Пуасонівське згладжування є придатним і, при коректному застосуванні, вдалим способом врахування історичних даних у формуванні оцінок доходності та ризику активів. Модель інвестиційного портфеля з відповідними оцінками і запропонованими обмеженнями є ефективним засобом визначення оптимальної стратегії інвестування.
6. Якщо інвестор має підстави відрізняти активи, не тільки за об’єктивними показниками (доходності, ліквідності і т. і), але й за особистими міркуваннями, врахувати переваги інвестора в моделі можна або спеціальним чином в цільовій функції (способи пропонуються) або шляхом включення відповідного обмеження.
7. Моделі з використанням новозапропонованих оцінок ризику можуть розглядатися як альтернативні до існуючих. Моделі з лінійними оцінками ризику потребують меншої кількості вхідних даних, просто розв’язуються та при цьому можуть забезпечувати не гірші результати за більш складні моделі.
8. Моделі оптимізації обсягів пакетів цінних паперів більш адекватні до практичних умов здійснення інвестиційної діяльності на фондовому ринку, але є задачами цілочисельного програмування. Ці моделі можуть стати об’єктами вивчення.
9. Розроблена класифікація моделей управління інвестиційним портфелем має теоретико-методологічне значення і може бути використана в подальших дослідженнях з метою поліпшення кількісних засобів портфельного інвестування.
10. Використання методів технічного аналізу дозволить тестувати отримані прогнози доходності та розробляти рекомендації по оперативному управлінню портфелем. Використання технічного аналізу, зокрема, дозволить визначати найбільш сприятливі моменти купівлі та продажу активів протягом торгової сесії, коли необхідно отриманий оптимальний розв'язок по складу портфеля реалізувати практично.
11. Технічною проблемою застосування економіко-математичного моделювання в формуванні та управлінні інвестиційним портфелем на даний час є відсутність тривалої та якісної бази даних по історії ринку цінних паперів, складність ведення статистичних рядів. Тому слід працювати з тими даними, які є.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Черняк О.І., Пешко О.В. Визначення оптимального портфеля цінних паперів і методи врахування ретроспективних даних // Банківська справа. - 2003. - №4. - С.58-61. - 0,5 друк. арк. (особистий внесок - 70%, методика застосування пуасонівського згладжування, способи врахування вподобань, модель інвестиційного портфеля).
2. Пешко О.В. Оптимізація портфелю цінних паперів // Фондовий ринок. - 2003. - №45. - С.26-28. - 0,35 друк. арк.
3. Пешко О.В. Прогнозування на ринку цінних паперів // Банківська справа. - 2005. - №4. - С.52-57. - 0,6 друк. арк.
4. Пешко А.В. Формирование портфеля ценных бумаг: перспективы и методики. Практика применения в Украине // Финансовые риски. - 2004. - №4. - С.125-130. - 0,7 друк. арк.
5. Chernyak A.I., Peshko A. V. The methods of forecasting and optimization in investment portfolio management // Proc. Internatinal Conf. The Information Technology Contribution to the building of a Safe Regional Environment. - Kiev (Ukraine). - 2004. - P. 194-198. - 0,3 друк. арк. (особистий внесок - 60%, модель, результати, пропозиції).

АНОТАЦІЯ

Пешко О.В. Економіко-математичні моделі управління інвестиційним портфелем. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук за спеціальністю 08.03.02 - економіко-математичне моделювання. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.
Дисертацію присвячено питанням економіко-математичного моделювання інвестиційного портфеля. Проведено комплексний аналіз існуючих підходів до вибору оптимального інвестиційного портфеля і управління ним, особливостей їх використання, розкрита теоретико-практична цінність і наявні недоліки. Розроблена класифікація економіко-математичних моделей інвестиційного портфеля. Досліджена ефективність некаузальних методів економічного прогнозування у передбаченні доходності фінансових активів, ефективність використання традиційних та альтернативних оцінок доходності і ризику при моделюванні інвестиційного портфеля. Запропоновані методи врахування історії ринку в побудові оцінок доходності і ризику фінансових активів, способи врахування в моделях особистих переваг інвестора. Розроблені економіко-математичні моделі управління інвестиційним портфелем, висока ефективність яких обґрунтована теоретично та підтверджена практично.
Ключові слова: інвестиційний портфель, економіко-математичне моделювання, прогнозування, фінансовий актив, доходність, ризик.

АННОТАЦИЯ
Пешко А.В. Экономико-математические модели управления инвестиционным портфелем. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук по специальности 08.03.02 - экономико-математическое моделирование. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.
Диссертация посвящена вопросам экономико-математического моделирования инвестиционного портфеля. Проведен комплексный анализ существующих подходов к выбору оптимального инвестиционного портфеля и управления ним, особенностей их применения, раскрыта теоретико-практическая ценность и имеющиеся недостатки. Разработана классификация экономико-математических моделей инвестиционного портфеля. Исследована эффективность некаузальных методов экономического прогнозирования в предсказании доходности финансовых активов, эффективность использования традиционных и альтернативных оценок доходности и риска при моделировании инвестиционного портфеля. Предложены методы учета истории рынка в построении оценок доходности и риска финансовых активов, способы учета в моделях личных предпочтений инвестора. Разработаны экономико-математические модели управления инвестиционным портфелем, высокая эффективность которых обоснована теоретически и подтверждена практически.
Ключевые слова: инвестиционный портфель, экономико-математическое моделирование, прогнозирование, финансовый актив, доходность, риск.

ANNOTATION
Peshko O. V. Economic and Mathematical Models of Investment Portfolio Management. - Manuscript.
Thesis for a Candidate’s degree in Economics by speciality 08.03.02 - Economic and Mathematical Modeling. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2006.
Thesis is devoted to the issues of economic and mathematical modeling of investment portfolio.
In the first chapter "Classical and neoclassical approaches to the building of investment portfolio" basic categories of portfolio investment theory are described.complex analysis of main approaches to investment portfolio modeling, portfolio management tools, their application peculiarities is given. Theoretical and practical value of methods is revealed and existing imperfections are mentioned. Worked out and suggested economic and mathematical modeling of investment portfolio classification.
Actual methods of creating optimal investment portfolio by one or another criterion are divided into two groups: classical and neoclassical.
Classical methods are based on hypothesis of invariability of security yield distribution average and fluctuations relating to it are characterized by constant - standard deviation. Neoclassical methods mean other ways of expected yield and risk estimation, also, there are other differences between approaches.
Most of issues on optimization of investment portfolio are lacking attention to discussing of methods efficiency. Proved statements and conclusions obtained on experimental data are very rare. Necessity of proving of newly created portfolio model efficiency and advantages is asserted.
The second chapter “Application of noncausal methods of economic forecasting at investment portfolio formation and management” is devoted to investigation of efficiency of application of some noncausal forecasting methods to security prices dynamics with aim of obtaining the best input estimation of future yield for investment portfolio optimization model. Special attention is paid to analysis of historical data quality and estimation of forecasting accuracy. Substantial interdivtation of obtained results is included.
Trend models, exponential smoothing model, Halt-Winters model, autoregressive moving average model (Box-Jenkins model) are built. Defined that the best methods of forecasting is ARMA-ARIMA forecasting method, a bit worse Halt-Winters method and other methods are far worse. ARMA-ARIMA forecasts of share yield are better in most cases than according selected average values.
In the third chapter “New models of investment portfolio formation and management. Practical calculations and results" an efficiency of application of traditional and some of alternative estimation of yield and risk in investment portfolio modeling is investigated. New risk criteria and methods of involving historical data are suggested. Developed by author economic and mathematical models of investment portfolio choice: investment portfolio model with Poisson’s smoothing and taking divferences into account; investment portfolio structure optimization models with indication of possible loss of yield; models of optimization of securities packages size. Recommendations on their application are given. Practical results of modeling are commented and analyzed. Conclusions on successfulness and practical usefulness of application of worked out methods and models are made.
Methodological basement of investment portfolio model with Poisson’s smoothing and involving divferences is Markovitz approach. Portfolio that provide obtaining set yield with minimal risk is defined. As risk measure for financial assets average square of yield increases for past time intervals is taken instead of variation. For description of non equal periods of market functioning and considering corresponding influence on divvious data Poisson’s smoothing is used. Methods of considering individual divferences of investor relative to financial assets are suggested. Model redivsents assets liquidity and financial state of their issuers. Use of the model for choice of investment portfolio with real data of Ukrainian capital market proved its practical value.
Investigation of application of traditional and alternative methods of yield and risk estimation in model of investment portfolio resulted that ARIMA forecast is better method of yield estimation than selected average and average square of increases is better risk estimation than variation. Model using that results is suggested. Noted that alternative risk criteria of investment portfolio can be created by using Box-Jenkins forecasts. New risk estimations and models applying them are suggested. Relative simplicity of using and solving linear models of investment portfolio is noted. Ways of the most adequate considering of real conditions of portfolio investment in models of securities packages size optimization are given. These models are proposed for consideration as object of further development till state of ready to practical use.
Key words: investment portfolio, economic and mathematical modeling, forecasting, financial assets, yield, risk.

---