Тема: "Сигналы и их характеристики"

Сигнал - физический процесс, отображающий сообщение. В технических системах чаще всего используются электрические сигналы. Сигналы, как правило, являются функциями времени.

1. Классификация сигналов

Сигналы можно классифицировать по различным признакам:
1. Непрерывные (аналоговые) - сигналы, которые описываются непрерывными функциями времени, т.е. принимают непрерывное множество значений на интервале определения. Дискретные - описываются дискретными функциями времени т.е. принимают конечное множество значений на интервале определения.
Детерминированные - сигналы, которые описываются детерминированными функциями времени, т.е. значения которых определены в любой момент времени. Случайные - описываются случайными функциями времени, т.е. значения которых в любой момент времени является случайной величиной. Случайные процессы (СП) можно классифицировать на стационарные, нестационарные, эргодические и неэргодические, а так же, гауссовы, марковские и т.д.
3. Периодические - сигналы, значения которых повторяются через интервал, равный периоду
х (t) = х (t+nT), где n = 1,2,...,¥; T - период.
4. Kаузальные - сигналы, имеющие начало во времени.
5. Финитные - сигналы конечной длительности и равные нулю вне интервала определения.
6. Когерентные - сигналы, совпадающие во всех точках определения.
7. Ортогональные - сигналы противоположные когерентным.

2. Характеристики сигналов

1. Длительность сигнала (время передачи) Т_с - интервал времени, в течении которого существует сигнал.
2. Ширина спектра F_c - диапазон частот, в пределах которых сосредоточена основная мощность сигнала.
3. База сигнала - произведение ширины спектра сигнала на его длительность.
4. Динамический диапазон D_c - логарифм отношения максимальной мощности сигнала - P_max к минимальной - P_{min (}минимально-различи-мая на уровне помех):
D_c = log (P_max/P_min).
В выражениях, где может быть использованы логарифмы с любым основанием, основание логарифма не указывается.
Как правило, основание логарифма определяет единицу измерения (например: десятичный - [Бел], натуральный - [Непер]).
5. Объем сигнала определяется соотношением V_c = T_cF_cD_c.
6. Энергетические характеристики: мгновенная мощность - P (t); средняя мощность - P_ср и энергия - E. Эти характеристики определяются соотношениями:
P (t) = x² (t); ;  (1)
где T = t_max-t_min.

3. Математические модели случайных сигнлов

Детерминированное, т.е. заранее известное сообщение, не содержит информации, т.к получателю заранее известно, каким будет переда-ваемый сигнал. Поэтому сигналы носят статистический характер [11].
Случайный (стохастический, вероятностный) процесс - процесс, который описывается случайными функциями времени.
Случайный процесс Х (t) может быть представлен ансамблем неслучайных функций времени x_i (t), называемых реализациями или выборками (см. рис.1).

X(t)                                                                x1(t)                                                                                                                          x2(t)                                                                xn(t)      0                 t1                     t2                  t

 

Рис.1. Реализации случайного процесса X (t)
Полной статистической характеристикой случайного процесса является n - мерная функция распределения: F_n (x₁, x₂,..., x_n; t₁, t₂,..., t_n), или плотность вероятности f_n (x₁, x₂,..., x_n; t₁, t₂,..., t_n).
Использование многомерных законов связанно с определенными трудностями, поэтому часто ограничиваются использованием одномерных законов f₁ (x, t), характеризующих статистические характеристики случайного процесса в отдельные моменты времени, называемые сечениями случайного процесса или двумерных f₂ (x₁, x₂; t₁, t₂), характеризующих не только статистические характеристики отдельных сечений, но и их статистическую взаимосвязь.
Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайного процесса, но случайные процессы могут быть достаточно полно охарактеризованы и с помощью, так называемых, числовых характеристик (начальных, центральных и смешанных моментов). При этом наиболее часто используются следующие характеристики: математическое ожидание (начальный момент первого порядка)
; (2)
средний квадрат (начальный момент второго порядка)
; (3)
дисперсия (центральный момент второго порядка)
; (4)
корреляционная функция, которая равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса
 
. (5)
При этом справедливо следующее соотношение:
 (6)
Стационарные процессы - процессы, в которых числовые характеристики не зависят от времени.
Эргодические процессы - процесс, в которых результаты усреднения и по множеству совпадают.
Гауссовы процессы - процессы с нормальным законом распределения:
 (7)
Этот закон играет исключительно важную роль в теории передачи сигналов, т.к большинство помех являются нормальными.
В соответствии с центральной предельной теоремой большинство случайных процессов являются гауссовыми.
Марковский процесс - случайный процесс, у которых вероятность каждого последующего значения определяется только одним предыдущим значением.

4. Формы аналитического описания сигналов

Сигналы могут быть представлены во временной, операторной или частотной области, связь между которыми определяется с помощью преобразований Фурье и Лапласа (см. рис.2).
Преобразование Лапласа:
L:  L^-1:  (8)
Преобразования Фурье:
F:  F^-1:  (9)
                                                        L:

t

p

w

    
                                                                        
                                                         L-1:
                                            F-1 :                      p=jw  
                        
                                     F:                                    jw=p   
Рис.2 Области представления сигналов
При этом могут быть использованы различные формы представления сигналов с виде функций, векторов, матриц, геометрическое и т.д.
При описании случайных процессов во временной области используется, так называемая, корреляционная теория случайных процессов, а при описании в частотной области - спектральная теория случайных процессов.
С учетом четности функций  и  и в соответствии с формулами Эйлера:
 (10)
можно записать выражения для корреляционной функции R_x (t) и энергетического спектра (спектральной плотности) случайного процесса S_x (w), которые связанны преобразованием Фурье или формулами Винера - Хинчина
; (11)
. (12)

5. Геометрическое представление сигналов и их характеристик

Любые n - чисел можно представить в виде точки (вектора) в n -мерном пространстве, удаленной от начала координат на расстоянии D,
где . (13)
Сигнал длительностью T_с и шириной спектра F_с, в соответствии с теоремой Котельникова определяется N отсчетами, где N = 2F_c T_c.
Этот сигнал может быть представлен точкой в n - мерном пространстве или вектором, соединяющим эту точку с началом координат [5].
Длина этого вектора (норма) равна:
; (14)
где x_i = x (nDt) - значение сигнала в момент времени t = n. Dt.
Допустим: X - передаваемое сообщение, а Y - принимаемое. При этом они могут быть представлены векторами (рис.3).
                      X2 ,Y2         
                          
                       x2                        X
                                                      d
                                          
                       y2                               Y  
                             g      
                                                                    X1 , Y1
                           0   a1  a2       x1         y1         
Рис.3. Геометрическое представление сигналов
Определим связи между геометрическим и физическим представлением сигналов. Для угла между векторами X и Y можно записать
cosg = cos (a₁-a₂) = cosa₁ cosa₂ + sina₁ sina₂ =
=  (15)
Для N - отсчетов:
cosg  (16)
Найдем модуль формального вектора. Для этого рассмотрим кванто-ванный сигнал (рис. 4).

X  0     Dt                                       t                    T

 

      Рис. 4. График сигнала
Рис.4. График сигнала
Средняя мощность сигнала
.
Энергия сигнала
.
Энергия кванта
.
Энергию квантованного сигнала можно определить по формуле
.
При этом модуль сигнала равен
.
Взаимная корреляционная функция равна
.
При этом
.
Это нормированная корреляционная функция
Если g = 90^о, то r_{xy (}t) = 0 - сигналы ортогональны, т.е. независимы;
Если g = 0, то r_{xy (}t) = 1 - передаваемый сигнал равен принятому;
Вектор d - характеризует (помеху) ошибку. Определим дисперсию ошибки:

По вектору ошибки определяют, допустима ли ее величина.

Список литературы

1.                Hayes, M. H. Statistical Digital Signal Processing and Modeling. New York: John Wiley & Sons, 1996.
2.                Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.
3.                Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ., под ред.А.М. Трахтмана. - М., "Сов. радио", 1973, 368 с.
4.                Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. - Харьков: ХПУ, 2000.
5.                Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. - М.: Высш. шк., 1982.
6.                Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. -М.: Наука, 1982.
7.                Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.
8.                Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ. М.: Мир, 1990.
9.                Рудаков П. И, Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений Matlab 5. x. Диалог-МИФИ. 2000.
10.           Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002.