Числовые ряды
Основные понятия
Числовым рядом называется выражение вида



где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,  - общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: .

Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через , т.е.  

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают:

Если  не существует или =, то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Рассмотрим некоторые важные свойства рядов:
Свойство 1.  Если ряд  сходится и его сумма равна S, то ряд



где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд  расходится и , то и ряд  расходится.
Обозначим n-ю частичную сумму ряда  через . Тогда



Следовательно,

,

т.е. ряд  сходится и имеет сумму cS.

Покажем теперь, что если ряд  расходится, , то и ряд расходится. Допустим противное: ряд  сходится и имеет сумму .

Тогда

Отсюда получаем:

т.е. ряд  сходится, что противоречит условию о расходимости ряда.
Свойство 2.  Если сходится ряд  и сходится ряд



А их суммы равны  и  соответственно, то сходятся и ряды

,

причем сумма каждого равна соответственно .
Обозначим n-е частичные суммы рядов ,  и  через ,  и  соответственно. Тогда



т.е. каждый из рядов  сходится, и сумма его равна  соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Свойство 3. Если к ряду  прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд  сходятся или расходятся одновременно.
Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда, будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n>k будет выполняться равенство , где  – это n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда   путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому

+ . Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т.е. ряд  сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

=

называется n-м остатком ряда
. Он получается из ряда отбрасыванием n первых его членов. Ряд  получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд  и его остаток =

 одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд  сходится, то его остаток  стремится к нулю при ,  т.е.
Ряд геометрической прогрессии
Исследуем сходимость ряда

,

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых n членов прогрессии находится по формуле . Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если , то  при . Поэтому , ряд  сходится, его сумма равна ;
2. Если , то  при . Поэтому , ряд  расходится;
3. Если , то при q=1 ряд  принимает вид

  a+a+a+…+a+…, для него  и , т.е. ряд

расходится; при q=-1 ряд  принимает вид

а – а + а – а +...- в этом случае  при четном n и  при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд  расходится.

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Гармонический ряд.
Нахождение n-й частичной суммы  и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.
Теорема.

Если ряд  сходится, то его общий член  стремится к нулю, т.е. .
Пусть ряд  сходится и . Тогда и . Учитывая, что  при n>1, получаем:

 .
Следствие (достаточное условие расходимости ряда)

Если  или этот предел не существует, то ряд расходится.
Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.
Теорема о сходимости дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия  не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд




Очевидно, что . Однако ряд расходится.

Как известно, . Отсюда следует, что при любом  имеет место неравенство . Логарифмируя это неравенство по основанию е, получим:

,

т.е. ,

Подставляя в полученное неравенство поочередно n=1, 2, …, n – 1, n, получим:



Сложив почленно эти неравенства, получаем . Поскольку , получаем , т.е. гармонический ряд  расходится.
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.
Необходимый признак сходимости не дает возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков.

Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрицательными членами.
Признаки сравнения рядов.
Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.
Теорема1.

Пусть даны два знакоположительных ряда



и



Если для всех n выполняется неравенство

,

то из сходимости ряда  следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Обозначим n-е частичные суммы рядов  и  соответственно через  и . Из неравенства  следует, что



Пусть ряд  сходится и его сумма равна . Тогда . Члены ряда положительны, поэтому  и, следовательно, с учетом неравенства . таким образом, последовательность  () монотонно возрастает () и ограничена сверху числом . По признаку существования предела последовательность  имеет предел , т.е. ряд  сходится.

Пусть теперь ряд  расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем . Тогда с учетом неравенства  получаем , т.е. ряд  расходится.
Теорема2(предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда  и . Если существует конечный, отличный от 0, предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.
По определению предела последовательности для всех n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого  выполняется неравенство , или .

Если ряд  сходится, то из левого неравенства  и теоремы1 вытекает, что ряд  также сходится. Но тогда, согласно свойству1 числовых рядов, ряд  сходится.

Если ряд  расходится, то из правого неравенства , теоремы1, свойства 1 вытекает, что ряд  расходится.

Аналогично, если ряд  сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд .

Следствие

Если ряд  расходится при , то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству
Действительно, если допустить сходимость ряда в точке , для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что если  есть точка сходимости степенного ряда, то интервал  весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд  расходится.

Интервал  и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде (
-R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е.
R>0 – это такое число, что при всех х, для которых , ряд абсолютно сходится, а при  – расходится.

В частности, когда ряд  сходится лишь в одной точке , то считаем, что R=0. Если же ряд сходится при всех значениях , то считаем, что .

Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при х=
R и при х=
-R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда  можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда



и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

,

По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях х, для которых ; ряд, составленный из модулей члена ряда , расходится при тех значениях х, для которых . Таким образом, для ряда  радиус абсолютной сходимости


Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что


Свойства степенных рядов
1. Сумма S(x) степенного ряда  является непрерывной функцией в интервале сходимости  (
-R;R).

2. Степенные ряды  и , имеющие радиусы сходимости соответственно  и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел  и .

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда



при –R<x<R выполняется равенство

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда  при –R<a<x<R выполняется равенство

Ряды  и  имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.
Разложение функций в степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
Как известно, для любой функции  определенной в окрестности точки  и имеющей в ней производные до (
n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:



где  – остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде , где . Формулу  кратко можно записать в виде , где  – многочлен Тейлора.
Если функция  имеет производные любых порядков в окрестности точки  и остаточный член  стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции  по степеням , называемое рядом Тейлора:



Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:



Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции .
Теорема1

Для того чтобы ряд Тейлора  функции  сходился к  в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора  стремился к нулю при , т.е. чтобы 0.
Пусть ряд Тейлора  сходится к функции  в некоторой окрестности точки , т.е. . Так как n-я частичная сумма  ряда  совпадает с многочленом Тейлора , т.е.  находим:

Обратно, пусть 0. Тогда
Теорема2

Если модули всех производных функций  ограничены в окрестности точки  одним и тем же числом М
>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции  сходится к функции , т.е. имеет место разложение .
Согласно теореме1, достаточно показать, что 0. По условию теоремы2 для любого n имеет место неравенство . Тогда имеем:

Осталось показать, что . Для этого рассмотрим ряд

Так как  , то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,

Следовательно, 0
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Для разложения функции  в ряд Маклорена  нужно:

А) найти производные , ,…, ,..;

Б) вычислить значения производных в точке ;

В) написать ряд  для заданной функции и найти его интервал сходимости;

Ґ) найти интервал (
-R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена  при . Если такой интервал существует, то в нем функция  и сумма ряда Маклорена совпадают.
Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

Докажем формулу.
Пусть
Имеем:

А)

Б)

В) , т.е. ряд сходится в интервале ;

Ґ) для всех  имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, . Таким образом, .
Докажем формулу.
Пусть f(x)=sin x
Имеем:

А)



Б)

В)   Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. при всех

Ґ) любая производная функция f(x)=sin x по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, имеет место разложение f(x)=sin x.
Докажем формулу
Пусть f(x)=cos x
Формулу f(x)=cos x  можно доказать так же, как и формулу f(x)=sin x. Однако проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд f(x)=sin x, получим:


Докажем формулу
Пусть, 
Имеем:

А)
Б)

В)

Ґ)  , т.е. составленный для функции  ряд сходится в интервале (-1;1), остаточный член  стремится к нулю при .
Ряд  называется биномиальным. Если , то все члены ряда с (
n+1)-го номера равны 0, так как содержат множитель . В этом случае ряд представляет собой известную формулу бинома Ньютона:


Докажем формулу
Пусть
Формула  может быть получена разными способами:

1)пользуясь правилом разложения функции в ряд;

2)рассматривая ряд  как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен 1 и знаменатель q=x; известно, что данный ряд сходится при  и его сумма равна

3)воспользовавшись формулой : положив в ней  и заменив х на –х, получим формулу .
Докажем формулу
Пусть f(x)=ln (1+x)
Формула f(x)=ln (1+x) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.
Рассмотрим равенство ,

 справедливое для всех . Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0;x], :



или

       
Докажем формулу
Пусть f(x)=arctg x
Положив в формуле    и заменив х на , получим равенство



Тогда

или


Докажем формулу
Пусть f(x)=arcsin x
Положив в формуле   и заменив х на , получим  равенство



Тогда

 или


Некоторые приложения степенных рядов
Приближенное вычисление значений функции
Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при  с заданной точностью

Если функцию f(x) в интервале (
-R;R) можно разложить в степенной ряд

 и , то точное значение  равно сумме этого ряда при , т.е.  

а приближенное – частичной сумме , т.е.



Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е. ,

где



Таким образом, ошибку  можно найти, оценив остаток  ряда.

Для рядов лейбницевского типа



В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти положительный ряд с большими членами, который легко бы суммировался. И в качестве оценки  берут величину остатка этого нового ряда.
Приближенное вычисление определенных интегралов
Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном итоге через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить  с точностью до . Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости (
-R;R) включит в себя отрезок [a;b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.
Приближенное решение дифференциальных уравнений
Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.