Реферат

Реферат Введение в стереометрию

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 25.11.2024

















Реферат на тему:

«Введение в стереометрию»






























I
.Основные аксиомы стереометрии




В стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:
·        Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)


Рис. 1
 
Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:


·        Через любые три точки проходит плоскость.





С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.

Аксиома пересечения плоскостей звучит так:



·       

Рис. 2
 
Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

·        (рис.2)

Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.


          Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.

          Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным  так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.

          В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.


β

 

α
 

Рис. 3
 

B
 

A
 

.
 

.
 

.C
 

l
 
          Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α
(рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскостьβ. Она отлична от плоскости α, так как содержит С и имеет с α две общие точки. Значит,β пересекается сα по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.


         

Путем несложных доказательств мы находим, что:

·        На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.




II
. Прямые, плоскости, параллельность.


 

     Уже такое основное понятие, как параллель­ность прямых, нуждается в новом определении:

две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадай­тесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно про­вести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую плани­метрическую аксиому о единственности парал­лельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:

·        Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.


 Сохраняется и другое важное свойство па­раллельных прямых, называемое транзитив­ностью параллельности:

·        Если две прямые а и b параллельны   третьей прямой с, то они параллель­ны друг другу.

     Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В про­странстве существуют непараллельные и при­том непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.



 



 


 


 

D
 

А
 
На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюс­трировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD со­держащих их квадратов.


С
 

В
 

Рис. 4
 
В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две пло­скости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:

·        Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

·        Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:

·        Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.

         А вот признак параллельности плоскостей:

·        Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.

         Часто используется и такая простая теорема:

·        Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.

         Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.



1. Курсовая на тему Организационные формы международного туризма
2. Контрольная работа на тему Спецификация финансового учета и отчетности в некоммерческий общес
3. Реферат на тему Вариационный подход к сглаживанию и определению характерных точек черно-белых изображений
4. Курсовая Значение бухгалтерского баланса и требования, предъявляемые к нему в рыночной экономике
5. Реферат на тему Смутное время Руси
6. Реферат на тему Coriolis Drift Essay Research Paper The Coriolis
7. Диплом Правовое регулирование эвтаназии в России и в зарубежных странах
8. Реферат Теория социального конфликта 3
9. Доклад Философия Древнего Китая 2
10. Реферат Андреев-Бурлак, Василий Николаевич