СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………….......3

Глава 1 Статистическое исследование финансовых результатов деятельности предприятий…………………………………………………………………....….5

1.1 Показатели финансовых результатов предприятий ….......…………...........5

1.2 Понятие статистических рядов распределения и их виды …………….......7                                                                             

Глава 2 Построение ряда распределения и расчет показателей ….........….....17

2.1 Постановка  задачи …………………………………………………....…….17

2.2 Решение задачи …………..………………………………………….............18

Заключение……………………………………………………………………….29

Библиография…………………………………………………………………….31
ВВЕДЕНИЕ
В условиях рыночной экономики, когда развитие предприятий и организаций осуществляется за счет собственных и привлеченных средств, важное значение имеют финансовые результаты и устойчивое финансовое состояние предприятий и организаций.

Финансы предприятий и организаций представляют собой финансовые отношения, выраженные в денежной форме, возникающие при образовании, распределении и использовании денежных фондов и накоплений в процессе производства и реализации товаров, выполнения работ и оказания различных услуг.

Финансовые отношения возникают внутри самих предприятий в процессе образования доходов, формирования и использования целевых фондов для удовлетворения потребностей производственного и потребительского назначения. Финансовые отношения возникают между предприятиями, резидентами и нерезидентами, между предприятиями и банками, между предприятиями и государством. Кроме того, предприятия и организации вступают в определенные финансовые отношения в пределах внутриотраслевого перераспределения финансовых ресурсов.

Основными задачами статистики финансов предприятий являются:

- изучение состояния и развития финансово-денежных отношений;

- анализ объема и структуры источников формирования денежных средств;

- исследование направлений использования денежных средств;

- оценка финансовой устойчивости и платежеспособности предприятий.

Для анализа закономерностей финансового состояния предприятий широко используют методы группировок, индексный метод, показатели рядов динамики, методы регрессионного и корреляционного анализа т другие.

Целью данной работы является рассмотрение статистических методов исследования динамики финансовых результатов деятельности предприятий.

В соответствии с целью были поставлены следующие задачи:

- характеристика финансовых показателей результатов деятельности предприятий;

- анализ колеблемости прибыли от продажи  продукции предприятий с помощью статистических показателей.
ГЛАВА 1 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ

1.1 Показатели финансовых результатов предприятий

Конечным результатом финансово-хозяйственной деятельности предприятий является прибыль (убыток), которые определяются как сальдо его доходов и расходов.

В соответствии с положениями по бухгалтерскому учету все доходы и расходы организации делятся на следующие группы: по обычным видам деятельности, операционные, внереализационные, чрезвычайные.

Доходы и расходы по обычным видам деятельности связаны с производством и реализацией продукции, приобретением и продажей товаров, выполнением работ, оказанием услуг. Доходом от обычных видов деятельности является выручка от продажи товаров, продукции, работ и услуг. Расходами по обычным видам деятельности являются издержки производства и обращения.

В состав операционных доходов и расходов входят поступления и расходы, связанные:

- с предоставлением за плату во временное пользование активов предприятия и прав, возникающих из патентов на изобретения, промышленных образцов и других видов интеллектуальной собственности;

- с участием в уставных капиталах других организаций (проценты по ценным бумагам, прибыль от совместной деятельности);

- с продажей, выбытием и прочим списанием основных средств и иных активов, не относящихся к денежным средствам, продукции и товарам;

- с предоставлением в пользование денежных средств (кредитов, займов) в виде полученных и уплаченных процентов;

- с оплатой услуг кредитных организаций и др.

К внереализационным доходам и расходам относятся:

- полученные и уплаченные пени, штрафы, неустойки за нарушение условий договоров;

- прибыль или убытки прошлых лет, выявленные в отчетном году;

- суммы дебиторской и кредиторской задолженности, по которым истек срок исковой давности;

- курсовые разницы;

- прочие внереализационные доходы и расходы.

Чрезвычайные доходы и расходы предприятия возникают как последствия чрезвычайных обстоятельств хозяйственной деятельности (стихийного бедствия, пожара, аварии, национализации имущества). В качестве чрезвычайных доходов могут выступать, например, страховые возмещения.

В зависимости от вида доходов и расходов могут быть рассчитаны различные по экономическому содержанию показатели прибыли. В статистике финансов предприятий используется система показателей прибыли, представленная в форме № 2 бухгалтерского отчета «Отчет о прибылях и убытках»: валовая прибыль (Пв), прибыль от продаж (Пп), прибыль до налогообложения, или бухгалтерская прибыль (Пб), чистая прибыль предприятия (Пч).

Финансовая деятельность предприятий всех видов, в том числе и малых, характеризуется рядом важных показателей.

Финансовые ресурсы - это денежные средства предприятия (собственные и привлеченные), находящиеся в его распоряжении и предназначенные для выполнения финансовых обязательств и осуществления затрат для производства.

Ключевым показателем финансового состояния предприятия, характеризующим конечные результаты торгово-производственного процесса, является прибыль в форме денежных накоплений, представляющих собой разность между доходами от деятельности предприятия и расходами на ее осуществление. Прибыль - один из основных источников доходов федерального и местного бюджетов, основная цель предпринимательской деятельности. При стабильных ценах динамика прибыли отражает изменение эффективности производства. От размера полученной прибыли зависит финансовое положение предприятия, возможность формирования фондов развития производства и социальной защиты, материального поощрения работников.

Прибылью характеризуется абсолютный эффект, или конечный результат хозяйственной деятельности предприятий всех видов. При этом используется система показателей прибыли (убытка), существенно различающихся по величине, экономическому содержанию, функциональному назначению.

Основная цель анализа финансового состояния – это не только оценка текущего состояния предприятия, но и отслеживание тех или иных тенденций в изменении основных финансовых показателей, выявление слабых позиций, проведение целенаправленной работы на улучшение этих показателей.

Одним из способов статистического исследования финансовых результатов деятельности предприятий являются статистические ряды распределения.

1.2 Понятие статистических рядов распределения и их виды

Результаты сводки и группировки материалов статистического наблюдения оформляются в виде статистических рядов распределения.     Статистические ряды    распределения    представляют    собой упорядоченное распределение  единиц  изучаемой   совокупности   на группы по    группировочному    (варьирующему)    признаку.    Они характеризуют состав  (структуру)  изучаемого  явления,  позволяют судить об   однородности   совокупности,  границах  ее  изменения, закономерностях развития наблюдаемого объекта. В зависимости  от  признака статистические ряды распределения делятся на:

     - атрибутивные (качественные);

     - вариационные (количественные)

         а) дискретные;

         б) интервальные.

     Атрибутивные ряды   образуются   по  качественным  признакам, которыми могут выступать занимаемая должность работников торговли, профессия,  пол,  образование  и т.д. 

                                                                                    Таблица 1.1

Распределение работников предприятия по образованию.

Образование  работников	Количество  работников
	абсолютное	в  %  к  итогу
высшее	20	15,4
неполное  высшее	25	19,2
среднее  специальное	35	26,9
среднее	50	38,5
ИТОГО	130	100

В данном    примере   группировочным   признаком   выступает образование работников  предприятия  (высшее,  среднее). Данные ряды  распределения   являются   атрибутивными,   поскольку варьирующий признак     представлен    не    количественными,    а  качественными показателями.   Наибольшее  число  составляют  работники  со средним    образованием   (порядка   40%);   остальные   работники распределяются на группы по  данному  качественному  признаку:  со  средним специальным образованием - 25%; с неполным высшим - 20%; с высшим - 15%.

Вариационные ряды   строятся   на   основе    количественного группировочного  признака.  Вариационные ряды состоят из двух элементов: вариант и частот.

     Варианта -  это  отдельное  значение  варьируемого  признака, которое он принимает в ряду распределения.

Они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными.  

Частота - это численность отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда.  Частоты,  выраженные в долях  единицы  или  в процентах к итогу,  называются частостями. Сумма частот называется объемом совокупности и определяет число элементов всей совокупности.

Частости – это частоты, выраженные в виде относительных величин (долях единиц или процентах). Сумма частостей равна единице или 100 %. Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с разным числом наблюдений.

Вариационные ряды в зависимости от характера вариации подразделяются на дискретные   (прерывные)   и   интервальные (непрерывные). Дискретные ряды  распределения  основаны   на дискретных (прерывных) признаках, имеющих только целые значения (например, тарифный разряд рабочих, число детей в семье).

     Интервальные ряды  распределения  базируются   на непрерывно изменяющемся  значении признака,  принимающем любые (в том числе и дробные) количественные выражения,  т.е. значение признаков таких рядах задается в виде интервала.

При наличии достаточно большого количества вариантов значений признака первичный ряд является труднообозримым, и непосредственное рассмотрение его не дает представления о распределении единиц по значению признака в совокупности. Поэтому первым шагом в упорядочении первичного ряда является его ранжирование – расположение всех вариантов в возрастающем (убывающем) порядке.

Для построения дискретного ряда с небольшим числом вариантов выписываются все встречающиеся варианты значений признака , а затем подсчитывается частота повторения варианта . Ряд распределения принято оформлять в виде таблицы, состоящей из двух колонок (или строк), в одной из которых представлены варианты, а в другой - частоты.

Для построения ряда распределения непрерывно изменяющихся признаков, либо дискретных, представленных в виде интервалов, необходимо установить оптимальное число групп (интервалов), на которые следует разбить все единицы изучаемой совокупности.

Как правило, средние величины рассчитываются для получения обобщенных количественных характеристик уровня какого либо варьирующего признака  по совокупности однородных по  основным свойствам единиц конкретного явления или процесса. В статистике все средние величины обозначаются как  `X.  Существует несколько видов средних величин.

Основной средней величиной является средняя степенная. Она имеет следующий вид:

                                                                                            (1)

где   `Х - средняя  величина;

          X - меняющаяся  величина  признака варианты;

          n - число признаков или вариант;

          m - показатель степени средней.

В  зависимости от  величины  показателя степени средней она принимает следующие виды:

а) Средняя  арифметическая невзвешенная, где m = 1. Она  имеет вид:

                                                                                                 (2)

 б) Средняя арифметическая  взвешенная. Она имеет вид:

                                                                                               (3)

где  f - частоты или веса

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода - это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается  в данной  совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В интервальном ряду распределения мода находится  по следующей формуле:

                                                     (4)          

где: минимальная граница модального интервала;

  -  величина модального интервала;

{частоты модального интервала, предшествующего и следующего за ним.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.д.

Медиана - варианта, находящаяся в середине ряда  распределения.

Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

В случае если  вариационный ряд  имеет число значений вариант четное, то расчет медианы производится по следующей формуле:

                                                                                           (5)   

где - варианты, находящиеся в середине ряда

В интервальном ряду распределения медиана рассчитывается следующим образом:

                                                                             (6)

где:  -  нижняя граница медианного интервала;

   -  величина  медианного интервала;

  -  полусумма частот ряда;

  -  сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

   -  частота медианного интервала.

Структурные средние величины (мода и медиана) имеют довольно большое значение в статистике и широкое применение. Мода  является  именно тем числом, которое в действительности  встречается наиболее  часто. Медиана имеет важные свойства для анализа явлений: она обнаруживает типичные черты индивидуальных признаков явления, и, вместе с тем, учитывает влияние крайних значений совокупности. Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности вследствие особого свойства – сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая:

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного расположения частот вариационного ряда.

Ряды распределения удобно изучать с помощью графического метода.

Статистический график – это чертеж, на котором статистические совокупности, характеризуемые определенными показателями, описываются с помощью условных геометрических образов или знаков. Представление данных таблиц в виде графика производит более сильное впечатление, чем цифры, позволяет лучше осмыслить результаты статистического наблюдения, правильно их истолковывать, значительно облегчает понимание статистического материала, делает его наглядным и доступным. Это, однако, вовсе не означает, что графики имеют лишь иллюстративное значение. Они дают новое знание о предмете исследования, являясь методом обобщения исходной информации.

         Значение графического метода в анализе и обобщении данных велико. Графическое изображение позволяет осуществить контроль достоверности статистических показателей, так как, представленные на графике, они более ярко показывают имеющиеся неточности, связанные либо с наличием ошибок наблюдения, либо с сущностью изучаемого явления. С помощью графического изображения возможны изучение закономерностей развития явления, установление  существующих взаимосвязей. Простое сопоставление данных не всегда дает возможность уловить наличие причинных зависимостей, в то же время их графическое изображение способствует выявлению причинных связей, в особенности в случае установления первоначальных гипотез, подлежащих затем дальнейшей разработке. Графики также широко используются для изучения структуры явлений, их изменения во времени и размещения в пространстве. В них более выразительно проявляются сравнительные характеристики и отчетливо виды основные тенденции развития и взаимосвязи, присущие изучаемому явлению или процессу.

Используются диаграммы: столбиковые, ленточные, квадратные, круговые, линейные, радикальные и др. Выбор вида диаграммы зависит в основном от особенностей исходных данных, цели исследования.

Используются диаграммы: столбиковые, ленточные, квадратные, круговые, линейные, радикальные и др. Выбор вида диаграммы зависит в основном от особенностей исходных данных, цели исследования. Например, если имеется ряд динамики с несколькими неравноотносящимися уровнями во времени, то часто для наглядности используют столбиковые, квадратные или круговые диаграммы. Они зрительно впечатляют, хорошо запоминаются, но не годны для изображения большого числа уровней, так как громоздки. Когда число уровней в ряду динамики велико, целесообразно применять линейные диаграммы, которые воспроизводят непрерывность процесса развития в виде непрерывной ломанной линии. Кроме того, линейные диаграммы удобно использовать: если целью исследования является изображение общей тенденции и характера развития явления; когда на одном графике необходимо изобразить несколько динамических рядов с целью их сравнения; если наиболее существенным является сопоставление темпов роста, а не уровней.

Основное назначение структурных диаграмм заключается в графическом представлении состава статистических совокупностей, характеризующихся как соотношение различных частей каждой из совокупностей. Состав статистической совокупности графически может быть представлен с помощью как абсолютных, так и относительных показателей. В первом случае не только размеры отдельных частей, но и размер графика в целом определяются статистическими величинами и измеряются в соответствии с изменениями последних. Во втором – размер всего графика не меняется (так как сумма всех частей любой совокупности составляет 100%), а меняются только размеры отдельных его частей. Графическое изображение состава совокупности по абсолютным и относительным показателям способствует проведению более глубокого анализа и позволяет проводить международные сопоставления и сравнения социально – экономических явлений.

В качестве графического образа для изображения структуры совокупностей применяются прямоугольники – для построения столбиковых и полосовых диаграмм и круги – для построения секторных диаграмм.

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Показатели вариации характеризуют колеблемость отдельных значений вариант около средних величин. Показатели вариации определяют различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности. Существует несколько видов показателей вариации:

а) Размах вариации R представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака. Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду.

б) Среднее линейное отклонение. Линейное отклонение учитывает различия  всех единиц изучаемой совокупности.

в) Дисперсия - показатель вариации, выражающий  средний квадрат отклонений вариант от средних величин в зависимости от образующего вариационного фактора. Показатель дисперсии более объективно отражает меру вариации на практике.

г) Среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение является показателем надежности средней: чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю статистическую совокупность.

д) Показатель вариации. Показатель вариации отражает тенденцию развития явления, т.e. действие главных факторов. Показатель вариации выражается в % или коэффициентах.

Рассмотрим  методику построения интервального ряда распределения и его применение на примере, представленном в расчетной части данной работы.
ГЛАВА 2 ПОСТРОЕНИЕ РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

2.1 Постановка задачи
Имеются выборочные данные (выборка 5%-ная, механи­ческая) об объеме реализации и сумме прибыли от реализации продукции по 40 однородным предприятиям одной из отраслей промышленности за год.

Таблица 3.1

Выборочные данные об объеме реализации и сумме прибыли от реализации продукции

(тыс. руб.)

№ предпри-ятия	Объем реализован-ной продукции	Прибыль от реализации	№ предприятия	Объем реализован-ной продукции	Прибыль от реализа-ции
1	1580	487	21	995	485
2	1960	650	22	1720	485
3	2495	790	23	1880	590
4	1320	430	24	2360	530
5	990	485	25	2830	750
6	2620	720	26	3000	740
7	1780	435	27	1770	485
8	1860	486	28	1120	435
9	1685	430	29	930	340
10	1080	430	30	1940	630
11	500	280	31	2494	620
12	1890	610	32	1885	650
13	1995	660	33	1480	545
14	1690	484	34	985	400
15	1990	690	35	1400	540
16	2493	590	36	2488	600
17	2380	650	37	2130	540
18	2950	730	38	1675	488
19	2340	560	39	1280	420
20	1420	560	40	2420	610

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по прибыли от реализации продукции, образовав 5 групп с равными интервалами.

2. Постройте графики ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.

3. Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по прибыли: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

4. Вычислите среднюю величину по исходным данным. Сравните ее величину с аналогичным показателем п. 3. Объяс­ните причину их несовпадения.

Сделайте выводы.

2.2 Решение задачи
Для проведения группировки необходимо разбить исходную совокупность на интервалы, то есть составляем ранжированный ряд распределения. Количество интервалов задано условием задачи. Шаг интервала рассчитываем по формуле:

                                h = ,                                                          (1)

где Х_MAX = 790 тыс. руб. – максимальное значение прибыли от реализации;

        Х_MIN = 280 тыс. руб. – минимальное значение прибыли от реализации;

        к = 5 – число интервалов в соответствии с заданием.

Тогда шаг интервала составит:

h = = 102 тыс. руб.

Рассчитываем границы интервалов. Для этого минимальное значение товарооборота принимаем за нижнюю границу первого интервала, а верхняя граница получается прибавлением к нижней границе шага интервала (табл.3.2).

Таблица 3.2

Определение границ интервалов

Номер интервала	Нижняя граница интервала	Верхняя граница интервала
1	280	381
2	382	483
3	484	585
4	586	687
5	688	790

Суммарные результаты определяются простым суммированием, а средние – делением полученных сумм на количество предприятий в группах или по совокупности в целом.

Результаты произведённых расчётов оформим в виде расчётно-аналитической таблицы 3.3.

Таблица 3.3

Группировка предприятий по объёму прибыли от реализации

(тыс. руб.)

Номер интервала	Номер организации	Объем реализованной продукции	Прибыль от реализации
280 – 381 тыс. руб.
1	11	500	280
	29	930	340
Всего	2	1 430	620
В среднем	-	715	310
382 – 483 тыс. руб.
2	34	985	400
	39	1 280	420
	4	1 320	430
	9	1 685	430
	10	1 080	430
	7	1 780	435
	28	1 120	435
Всего	7	9 250	2 980
В среднем	-	1 321,429	425,714
484 – 585 тыс. руб.
3	14	1 690	484
	5	990	485
	21	995	485
	22	1 720	485
	27	1 770	485
	8	1 860	486
	1	1 580	487
	38	1 675	488
	24	2 360	530
	35	1 400	540
	37	2 130	540
	33	1 480	545
	19	2 340	560
	20	1 420	560
Всего	14	23 410	7 160
В среднем	-	1 672,143	511,429
586 – 687 тыс. руб.
4	16	2 493	590
	23	1 880	590
	36	2 488	600
	12	1 890	610
	40	2 420	610
	31	2 494	620
	30	1 940	630
	2	1 960	650
	17	2 380	650
	32	1 885	650
	13	1 995	660
	15	1 990	690
Всего	12	25 815	7 550
В среднем	-	2 151,25	629,167
688 – 790 тыс. руб.
5	6	2 620	720
	18	2 950	730
	26	3 000	740
	25	2 830	750
	3	2 495	790
Всего	5	13 895	3 730
В среднем	-	2 779	746
ИТОГО	40	73 800	22 040
В СРЕДНЕМ	-	1 845	551

Для более наглядного представления о распределении,  а также для графического определения указанных в задании параметров, построим гистограмму распределения, а также полигон и кумуляту распределения.

Исходные данные для построения графиков представлены в таблице 3.4.

При построении полигона частот и кумуляты вместо частот используем показатели частости, рассчитываемые как отношение частоты соответствующего показателя к общей сумме частот (Отметим, что сумма частостей по всей совокупности всегда равна 1).

Таблица 3.4

Ранжированный вариационный ряд распределения

№ интервала	Границы интервала, тыс. руб.	Середина интервала	Число предпри-ятий	Частости, доли единицы
				Обычные	Накопленные
1	280 – 381	330,5	2	0,050	0,050
2	382 – 483	432,5	7	0,175	0,225
3	484 – 585	534,5	14	0,350	0,575
4	586 – 687	636,5	12	0,300	0,875
5	688 – 790	739	5	0,125	1,000
Всего	-	-	40	1,000	-

Гистограмма распределения представлена на рис.3.1.

На гистограмме чётко видно, что распределение близко к нормальному, при этом наибольшее по сумме получаемой прибыли от реализации количество предприятий относится к срединному интервалу (интервал № 3, 484 – 585, тыс. руб.), при этом к трём средним интервалам можно отнести 33 предприятия, или 82,5 % от общего их количества.

Для определения моды и медианы графическим способом построим полигон распределения и кумуляту частостей (рис.3.2).

Модой называют чаще всего встречающийся вариант, или модой называют то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения. В интервальном вариационном ряду модой приближённо считают центральный вариант так называемого модального интервала, то есть того интервала, который имеет наибольшую частоту.

Из гистограммы видно, что модальный интервал – это интервал 484 до 585 тыс. руб., на котором находятся 14 предприятий. Срединное значение прибыли от реализации на данном интервале – 535 тыс. руб.



В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой, и аналитически.

Конкретное значение моды для интервального ряда определяется формулой:

     Мо = x_мо + h ,                                                  (2)

Где х_мо – нижняя граница модального интервала;

f_M0 – частота, соответствующая модальному интервалу;

f_M0-1 – частота, предшествующая модальному интервалу;

f_M0+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Рассчитаем значение показателя, считая, что модальным интервалом является 3 интервал:

Мо = 484 + 102  = 563,333 тыс. руб.

Таким образом, значение моды, которое несколько выше среднего значения прибыли, показывает, что прибыль в реальности выше, нежели полученная при расчёте средних величин.

Как видим, значение моды, полученное расчётным путём, существенно отличается от значения, полученного путём аналитическим.

Медиана – это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для нахождения медианы, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.

Для определения медианы интервального ряда распределения графическим путём следует провести прямую, параллельную оси абсцисс, через точу, соответствующую частости, равной 0,5, до пересечения с кривой накопленных частостей и из этой точки опустить перпендикуляр на ось абсцисс. Этой точке соответствует значение прибыли от продажи 542,5 тыс. руб. Именно это значение делит всю совокупность на две равные части – по 20 предприятий.

Как и в случае с модой, медиана может быть рассчитана и аналитическим путём, по формуле:

Медиана интервального ряда определяется по формуле:

                       М_Е = х₀ + h,                                                          (3)

где Х₀ – нижняя граница медианного интервала;

 h – величина медианного интервала;

  S_m-1 – сумма накопленной частоты интервала, предшествующего медианному;

  f_m – частота медианного интервала.

Половина суммы частот ряда распределения:

= 20

Медианным интервалом является третий интервал, в котором достигается средняя частота. Его нижняя граница Х₀ = 484 тыс. руб.

Сумма накопленной частоты интервалов, предшествующих медианному:

S_m-1 = 2 + 7 = 9

Рассчитаем медиану:

М_Е = 484 + 102  = 564,143 тыс. руб.

Значения медианы и среднее значение медианного интервала не совпадают, значение медианы существенно выше, то есть менее половины предприятий имеют прибыль ниже средней, а более половины – выше средней. При этом это значение выше среднего по совокупности, то есть основная часть предприятий имеет прибыль выше средней.

Среднее значение признака рассчитаем по формуле для взвешенной средней арифметической:

                                            х_СР = ,                                                    (4)

Где х – срединные значения интервалов.

Произведём расчёт:

х_СР =  = 562,613 тыс. руб.

Отметим, что среднее значение прибыли от реализации, рассчитанное по всем значениям (по формуле простой средней арифметической; Таблица 3.3) составило 551 тыс. руб. и существенно отличается от рассчитанного выше. Разницу можно объяснить в смещении оценок – расчёт по формуле средней арифметической взвешенной вёлся с использованием показателя середины интервала, которая далеко не всегда соответствует среднему значению на интервале и искажает несколько реальные данные.

 Рассчитаем показатели вариации ряда распределения предприятий по прибыли: среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

Исходные данные для расчётов приведены в расчётно-аналитической таблице 3.5. При этом для повышения точности и достоверности расчётов будем использовать не показатели середины интервала, а средние значения на интервале в соответствии с таблицей 3.3. Кроме того, используем значение средней величины по совокупности, полученную при расчёте по формуле для простой средней арифметической.
Таблица 3.5

Данные для расчёта показателей вариации

Номер интервала	x	f	|(x – xср)| * f	(x – xср)2 * f
1	310	2	482	116 162
2	425,714	7	877,002	109 876
3	511,429	14	553,994	21 922
4	629,167	12	938,004	73 321
5	746	5	975	190 125
ВСЕГО	551	40	3 826	511 406

Дисперсия рассчитывается по формуле:

                                           ,                                                 (5)

С учётом проведённых выше вычислений, дисперсия равна:

 =  = 12 785,15

Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение:

= 113,071 тыс. руб.

Разделив среднее квадратическое отклонение на среднее значение прибыли от продажи, получим коэффициент вариации:

V = = 20,51 %

Полученное значение коэффициента вариации свидетельствует об относительной однородности рассматриваемой совокупности и позволяет сделать вывод о средней колеблемости прибыли от продажи продукции предприятий.