Оглавление.
         Источник сообщений……………………………………..4

         Дискретизатор…………………………………………….6

         Кодер……………………………………………………....7

         Модулятор……………………………………………….10

         Линия связи………………………………………………14

         Демодулятор…………………………………………......15

         Декодер…………………………………………………...17

         Фильтр-восстановитель………………………………….20

         Выводы……………………………………………………23

         Литература………………………………………………..25


Рисунок 1.Схема линии связи.
Таблица 1.Исходные данные, вариант 2.



Источник сообщений.

Источник сообщений выдает сообщение а(t), представляющее собой непрерывный стационарный случайный процесс, мгновенные значения которого в интервале а _min  a _max  распределены равномерно, а мощность сосредоточена в полосе частот от 0 до F_c.

Требуется:

1.          Записать аналитические выражения и построить график одномерной плотности вероятности мгновенных значений сообщения а(t).

2.          Найти мат. ожидание и    дисперсию сообщения а(t)

3.          Построить график случайного процесса и на графике обозначить max значение сигнала, математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение.

Вычисления.

           1.Запишем выражение одномерной плотности вероятности:



=0,15625

                                                                            
P
(
a
)

			3

-4

-3

 

-2

-1

4

3

2,

1

0

                                           

a

                                 

Рисунок 2.Зависимость вероятности от
2. Найдем математическое  ожидание:





 

 3. Найдем дисперсию:



 

         σ_а= 1.85,В.
4.    

U(t)

Первичный сигнал:

1,85

t, c.

0

1,85

Дискретизатор.

Передача непрерывного процесса осуществляется дискретными методами. Для этого сообщение а(t) дискретизируется по времени и квантуется по уровню с равномерным шагом. Шаг квантования по уровню Dа= 0,1В.

Требуется:

1.     Определить шаг дискретизации по времени (Dt).

2.     Определить число уровней квантования (L).

3.     Рассчитать среднюю мощность шума квантования.

4.     Рассматривая дискретизатор как источник дискретного сообщения с объемом алфавита L, определить его энтропию и производительность (Н, Н^’), отсчеты, взятые через интервал Dt считать независимыми.

Вычисления.

1)     Определим шаг дискретизации по времени:

.

2) определим число уровней квантования:

 

3)рассчитаем среднюю мощность шума квантования:

             
            4) определим энтропию: 



Т.к. p(a₁)= p(a₂)=…= p(a_i), то .

Следовательно,  ,бит/символ.



КОДЕР.

Кодирование осуществляется в два этапа.

На первом этапе производится примитивное кодирование каждого уровня квантованного сообщения a(t_i)  k – разрядным двоичным кодом. На втором этапе к полученной k-разрядной комбинации добавляется r проверочных символов, обеспечивающих исправление одиночной ошибки в k-разрядной комбинации (кодирование по Хэммингу). Формируется [k, r] код. В результате этих преобразований на выходе кодера образуется двоичная случайная последовательность b(t) (синхронный случайный телеграфный сигнал), состоящая из последовательности биполярных импульсов единичной высоты. Причем положительные импульсы в ней соответствуют символу «0», а отрицательные ­– символу «1» кодовой комбинации.

Требуется:

1.     Определить число разрядов кодовой комбинации примитивного кода k, необходимое для кодирования всех L уровней квантованного сообщения. Определить длину всей кодовой комбинации.

Число разрядов кодовой комбинации примитивного кода k, необходимое для кодирования всех L уровней квантованного сообщения:

; _K=log264=6

Число проверочных разрядов rдля исправления однократной ошибки должно удовлетворять неравенству

Найдем решение этого неравенства графическим методом:


Рисунок 3. Нахождение геометрическим способом числа проверочных разрядов r.

              Итак, длина всей кодовой комбинации

n=k+r=6+4=10
2.                 Определить избыточность кода при использовании кодирования Хэмминга.

Χ=(n-k)/n=r/n=0,4

3.                 Записать двоичную кодовую комбинацию, соответствующую передаче j-го уровня, считая, что при примитивном кодировании на первом этапе j-му уровню ставится в соответствии двоичная кодовая комбинация, представляющая собой запись числа j в двоичной системе счисления. В полученной кодовой комбинации указать информационные и проверочные разряды.

j = 30 в двоичной системе исчисления 011110.

Здесь и далее мы будем нумеровать биты не с нуля, а с единицы.

В отличие от других методов коррекции ошибки, где контрольные биты дописываются в конец или начало блока данных (либо вообще в другом пакете данных), биты кода Хэмминга записываются вместе с данными в строго определённых позициях – разрядах, номера которых соответствуют степеням двойки (2^k,   k = 0, 1, 2, ...), то есть 1, 2, 4, 8 и т.д.

Таблица 2. Расположение битов кода Хэмминга (* отмечены контрольные биты).

Позиция бита	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Значение бита	0	1	*	1	1	1	*	0	*	*

Контрольная сумма формируется путем выполнения операции "исключающее ИЛИ" над кодами позиций ненулевых битов. Исключающее

ИЛИ, неэквивалентность, сложение по модулю 2 – бинарная логическая операция, результат которой истинен (равен единице) только тогда, когда значения операндов не совпадают.

, где верхнее подчеркивание обозначает инверсию.

Сформируем контрольную сумму, выполнив операцию "исключающее ИЛИ" над номерами позиций ненулевых битов (7, 4 и 3).

Таблица 3. Формирование контрольной суммы



         Полученная контрольная сумма записывается в соответствующие разряды блока данных - младший бит в младший разряд. Таким образом, формируется итоговый блок данных, в котором информационные разряды – 3, 5, 6, 7, 9;проверочные разряды – 1, 2, 4, 8.

Таблица 4. Итоговый блок данных:

Позиция бита	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Значение бита	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1

    Проверим корректность блока данных, просуммировав коды позиций с ненулевыми битами –  5, 4, 8,9 .

Таблица 5. Проверка корректности блока данных

9 8 7 6 5 4 1 Сумма

1001 1000 0111 0110 0101 0100 0001 0000

При проверке получен 0, что является признаком корректного блока данных.

4.                 Определить число двоичных символов V_n, выдаваемых кодером в единицу времени и длительность T двоичного символа.

V_n=n/(δt)=10/1×10^-5=10×10⁵,бит/c.

T=1/V_n=1/10×10⁵=1×10^-6 ,c.

Модулятор.

В модуляторе синхронная двоичная случайная последовательность биполярных импульсов b
(
t
) осуществляет модуляцию гармонического переносчика U_m = cos(2πft
).

ЧМ:

«0» –,

«1» –;

Требуется:

1.     Записать аналитическое выражение модулированного сигнала U
(
t
)=φ(
b
(
t
)).

2.     Изобразить временные диаграммы модулирующего b
(
t
) и модулированного U
(
t
) сигналов, соответствующие передачи j-го уровня сообщения a
(
t
).

3.     Привести выражение и начертить график корреляционной функции модулирующего сигнала В(τ).

4.     Привести выражение и начертить график спектральной плотности мощности модулирующего сигнала G_В(ω).

5.     Определить ширину энергетического спектра модулирующего сигнала ∆F_B из условия ∆F_B
=α
V_k (где α выбирается в пределах от 1 до 3). Отложить полученное значение ∆F_B на графике G_В(ω).

6.     Привести выражение и построить график энергетического спектра G_U
(ω) модулированного сигнала. (В случае ЧМ частоты сигналов U
₀
(
t
) и U
₁
(
t
) выбирать из условия их ортогональности на интервале Т).

7.     Определить ширину энергетического спектра ∆F_u модулированного сигнала и отложить значение ∆F_u на графике G_u
(ω).

0     1      1      1       1       1       1       0        0      1

            1. Покажем, как выглядит сигнал на временной диаграмме

b(t)

U(t)

t, c.

Рисунок 4. Временные диаграммы модулированного сигнала

               2.   Приведем график корреляционной функции

-13·10-9

Рисунок 5. график корреляционной функции.
5.     Приведем и построим график спектральной плотности мощности              модулирующего сигнала

        

 

 

     


Рисунок 6. График спектральной  мощности сигнала
    5. Определим ширину спектра модулирующего сигнала, а так же  ширину       энергетического спектра и приведем график

                             

f
₀ = 100·V_n = 10·10⁷ ,Гц.

 ∆f=2/T=2/1·10^-6=2·10⁶,Гц.

∆=102·10⁶ ,Гц.

-∆=98·10⁶ ,Гц.


ЧМ:

«0» –,

«1» –;



                                      F_u        


Рисунок 7. График ширины энергетического спектра


Канал связи.

Передача сигнала U
(
t
) осуществляется по каналу с постоянными параметрами и аддитивным флуктуационным шумом n(t) с равномерным энергетическим спектром N
₀/2 (белый шум).

Сигнал на выходе такого канала можно записать следующем образом:

z
(
t
) =
U
(
t
) +
n
(
t
)

Требуется:

1.     Определить мощность шума в полосе частот F_k
= ∆
F_u ;

2.     Найти отношение сигнал – шум Р_с /Р_ш;

3.     Найти пропускную способность канала С;

4.     Определить эффективность использования пропускной способности канала К_с, определив ее как отношение производительности источника Н^’ к пропускной способности канала С.

Вычисления.

1.     Определим мощность шума

 

2.Определим отношение сигнал-шум



, В²



3.  Определим пропускную способность канала и эффективность использования

С = ∆F_U·log₂(1+P_c/P_Ш) =4.8·10⁶ ,бит/с.

      К_с=.                          


Демодулятор.

В демодуляторе осуществляется оптимальная когерентная или некогерентная (в зависимости от варианта) обработка принимаемого сигнала z
(
t
) =
U
(
t
) +
n
(
t
)

Требуется:

Записать алгоритм оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом.
1.     Нарисовать структурную схему оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.

2.     Вычислить вероятность ошибки ρ оптимального демодулятора.

3.     Определить, как нужно изменить энергию сигнала, чтобы при других видах модуляции и заданном способе приема обеспечить найденное значение вероятности ошибки ρ.

Вычисления.

   1.                                       Некогерентный ЧМ

Рисунок 8. Схема приемника некогерентного ЧМ сигнала.

2.      Вычислим вероятность ошибки   для  оптимального демодулятора


P_ош=, где  ,                                   


          

=0,51010^-7 =5^-7,Дж.

           Отсюда  Р_ош=0,5 е^-2.38=0,047, Вт.
         

 3. Покажем соотношения выигрышей и проигрышей видов модуляции по  средней мощности и по пиковой мощности

Таблица соответствия:

Вид модуляции	по сред. мощности	по пиков. мощности
ЧМ	1	2
ФМ	2	4
АМ	1	1

 

Декодер

     В декодере декодирование осуществляется в два этапа:

- обнаружение и исправление ошибки в кодовой комбинации. Считать, что ошибка произошла в i-ом разряде;

- из кодовой комбинации выделяются информационные символы, а затем k-разрядная двоичная кодовая комбинация преобразуется в элемент квантованного сообщения.

Требуется:

1.                 Оценить обнаруживающую способность q кода Хэмминга.

Обнаруживающая способность q кода определяется d_min – наименьшим расстоянием по Хеммингу между кодовыми комбинациями:

          Теорема Хемминга:

для того чтобы код позволял исправлять все ошибки в z (или менее) позициях, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между кодовыми словами было d_min.

В нашем случае код исправляет одну ошибку, т.е. z=1. Значит наименьшее расстояние между кодовыми словами d_min=3, а обнаруживающая способность q = =2. Таким образом код обнаруживает две ошибки и одну исправляет.
2.                 Записать алгоритм обнаружения ошибок.

В нашем случае код длиной n=r+k=9 разрядов имеет после передачи по линии связи ошибочный разряд i = 1.

Таблица 6. Появление ошибки в 5разряде кода после передачи.

Позиция бита	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Значение бита	0	1	1	1	1	0	1	0	0	1

В принятом блоке данных номер ошибочного разряда нам неизвестен. Чтобы его определить, просуммируем коды позиций с ненулевыми битами.

Таблица 7. Определение номера ошибочного разряда

9 8 7 6 4 1 Сумма

1001 1000 0111 0110 0100 0001 0101

           Полученная сумма 0101 (т.н. код синдрома) есть двоичная запись номера ошибочного разряда.

Переведем её в десятеричную систему счисления:

0101 ₂ = 5 ₁₀.

Значит, ошибка в 5-ом разряде

3.                 Определить вероятность необнаружения ошибки.

Вероятность необнаружения ошибки определяется по формуле:

         где   n – число разрядов,

q – обнаруживающая способность кода Хэмминга,

р – вероятность ошибки в одном разряде, (P_ош из пункта 3 (демодулятор)),

С-число сочетаний из n по α

          Подставляя n=10, q=2, p = P_ош = 0,047,  вероятность необнаружения                                   

ошибки.

Вычислим значение формулы

=

Значит, вероятность необнаружения ошибки равна 0,082


       ФИЛЬТР – ВОССТАНОВИТЕЛЬ


Фильтр–восстановитель – фильтр нижних частот с частотой среза F_ср.

Требуется:

1.          Указать величину среза F_ср.

2.          Изобразить идеальные АЧХ и ФЧХ фильтра-восстановителя.

АЧХ идеального фильтра:

3.          Найти импульсную характеристику g(t) идеального фильтра-восстановителя и начертить ее график.

1.Определим величину F_ср.

,c^-1

2.Изобразим идеальные АЧХ и ФЧХ фильтра-восстановителя.



K₀=1, ω_ср=2πF_ср=3,14, с^-1



Рисунок 9. АЧХ идеального ФНЧ



ФЧХ для идеального фильтра:

       где τ_зад – время задержки (маленькая величина порядка 10^-4–10^-5 с).



Рисунок 10. ФЧХ идеального ФНЧ

Импульсная переходная характеристика берется как обратное преобразование Фурье:

          Будем считать, что фильтр функционирует на низких частотах и время задержки – достаточно маленькая величина.

С учетом того, что t_зад очень мало (фильтр не оказывает влияния на фазу сигнала), можем взять t_зад=0, тогда в интеграле K(jω) = K(ω)∙e⁰ =K(ω). Учитывая вышесказанное, получим:

          Второй интеграл равен нулю, т.к. sin(x) – функция нечетная, а K(2pf)=K₀=1 в (–F_cp, F_cp).



Рисунок 11. Импульсная характеристика идеального ФНЧ


ВЫВОДЫ.

По пункту ИСТОЧНИК СООБЩЕНИЙ:

·                   сообщение представляет собой случайный процесс;

По пункту ДИСКРЕТИЗАТОР:

·                   шаг дискретизации по времени в соответствии с теоремой Котельникова обратно пропорционален верхней частоте спектра первичного сигнала;

·                   средняя мощность шума квантования при равномерном квантовании прямо пропорциональна квадрату шага квантования;

·                   производительность источника определяется как энтропия в единицу времени.

По пункту КОДЕР:

·                   при кодировании по Хэммингу кодовая комбинация содержит вместе с информационными проверочные разряды, обеспечивающие исправление одиночной ошибки, но из-за них код приобретает некоторую избыточность (не более 40%).

По пункту МОДУЛЯТОР:

·                   энергетический спектр ЧМ сигнала представляет собой сумму энергетических спектров АМ сигналов с несущими частотами f₁ = f₀ - ∆f и f₂ = f₀ + ∆f;

·                   ширина энергетического спектра модулирующего сигнала зависит прямо пропорционально от производительности кодера;

·                   ширина энергетического спектра модулированного сигнала зависит прямо пропорционально от величины ∆f (девиации частоты) и от ширины энергетического спектра модулирующего сигнала.

По пункту ЛИНИЯ СВЯЗИ:

·                   При ЧМ отношение сигнал-шум тем больше, чем меньше девиация частоты ∆f;
·                   Пропускная способность зависит от ширины энергетического спектра модулированного сигнала и от отношения сигнал-шум.

По пункту ДЕМОДУЛЯТОР:

·                   на сколько ЧМ по средней мощности лучше АМ, настолько она хуже ФМ.

По пункту ДЕКОДЕР:

·                   код Хэмминга может обнаружить две ошибки и одну исправить, причем вероятность необнаружения ошибки < 1.

По пункту ФИЛЬТР – ВОССТАНОВИТЕЛЬ:

·                   в качестве фильтра-восстановителя используется фильтр нижних частот, преобразующий дискретный сигнал, поступающий с декодера, в непрерывный сигнал.

·                   Также хочется отметить, что линию связи с такими параметрами использовать нельзя, т.к. отношение сигнал-шум равно . Вероятность необнаружения ошибки в декодере равна .
Список использованной литературы.
1.                 Кловский Д.Д., Зюко А.Г., Коржик В.И., Назаров М.В.: Теория электрической связи: Учебник для вузов. Под. ред. Д.Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 1998.

2.                 Кловский Д.Д., Шилкин В.А.: Теория электрической связи. – Сб. задач и упражнений. – М.: Радио и связь, 1990.

3.                 Кловский Д.Д., Шилкин В.А.: Теория передачи сигналов в задачах.  - М.: Связь, 1978.

4.                 Кловский Д.Д.: Теория передачи сигналов. - М.: Связь, 1972.

5.                 Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М.: Теория передачи сигналов. - М.: Радио и связь, 1986.