Реферат Уравнение Шредингера, его свойства.
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Билет 1. 1. Уравнение Шредингера, его свойства. Статическая интерпретация волновой функции. Ур-е Шредингера – основное ур-е нерелятивистской квантовой механики, которому подчиняется любая волновая ф-ция y ( x , y , z , t ). Частица движется в некотором силовом поле ` F ( x , y , z , t )= gradU ( x , y , z , t ) то есть силовое поле задается силовой ф-цией. Нужно найти волновую ф-цию, т.е. решить ур-е Шредингера: ih ( ¶ y / ¶ t )=-( h 2 /2 m ) D y + U ( x , y , z , t ) y , y ( x , y , z , t ) – искомая волновая ф-ция. i = Ö -1 – мнимая единица, h – константа планка деленная на 2 p , m – масса частицы, D - оператор Лапласа, D = ¶ 2 / ¶ x 2 +…+ ¶ 2 / ¶ z 2 . D y = ¶ 2 y / ¶ x 2 +…+ ¶ 2 y / ¶ z 2 – подставим в уравнение. U – силовая ф-ция характеризует поле, в котором движется частица. Это уравнение справедливо для любой частицы, движущейся с малой скоростью. Оно дополняется условиями: 1) Волновая ф-ция y должна быть конечна, однозначна, непрерывна. 2) Частные производные должны быть непрерывны. 3) Функция | y |2 должна быть интегрируема. Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства . 2. Фотопроводимость полупроводников,процессы генерации и рекомбинации носителей заряда Фотопроводимость полупроводников – увеличение электропроводности полупроводников под действием электромагнитного излучения – может быть обусловлена свойствами, как основного вещества, так и содержащихся в нем примесей. В первом случае при поглощении фотонов, соответствующих собственной полосе поглощения полупроводника, т.е. когда энергия фотона равна или больше ширины запрещенной зоны ( hv ≥ ΔE ), могут совершать перебросы электронов из валентной зоны в зону проводимости, что приведет к появлению добавочных (неравновесных) электронов(в зоне проводимости) и дырок (в валентной зоне). В результате возникает собственная фотопроводимость, обусловленная как электронами, так и дырками. Если полупроводник содержит примеси, то фотопроводимость может возникать и при hv ≤ ΔE : для полупроводников с донорной примесью фотон должен обладать энергией hv ≥ ΔED , а для полупроводников с акцепторной примесью - hv ≥ ΔE А . При поглощении света примесными центрами происходит переход электронов с донорных уровней в зону проводимости в случае полупроводника n -типа, или из валентной зоны на акцепторные уровни в случае полупроводника p -типа. В результате возникнет примесная фотопроводимость, являющаяся чисто электронной для полупроводников n -типа и чисто дырочной для p -типа. hv ≥ ΔE - для собственных полупроводников, hv ≥ ΔE П для примесных полупроводников. Из этого можно определить красную границу фотопроводимости, красная граница фотоэффекта-минимальная частота ν0 света( зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен: λ0= ch /Δ E - для собственных полупроводников λ0= ch /Δ E П – для примесных полупроводников. ------------------------------------------------------ Билет 2 1.Стационарные состояния, их временная зависимость. Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Стационарные состояния – это состояния с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция U = U ( x , y , z ) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Уравнение Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем e - iωt = e - i ( E /ħ) t , так что Ψ( x , y , z , t )= ψ ( x , y , z ) e - i ( E /ħ) t , где Е- полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера((–ħ2/2 m ) ΔΨ + U ( x , y , z , t ) Ψ = i ħ(∂ Ψ /∂ t ), где ħ= h /(2 π ), m –масса частицы, i -мнимая единица, U -потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется Δ-оператор Лапласа(ΔΨ=∂2Ψ/∂ x 2 +∂2Ψ/∂ y 2 +∂2Ψ/∂ z 2 ), Ψ( x , y , z , t )-искомая волновая функция частицы) получим: разделив на общий множитель e - i ( E /ħ) t и преобразовав придем к уравнению, определяющему функцию ψ Δψ+(2 m /ħ2)( E - U ) ψ =0-уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это уравнение имеет бесчисленное количество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбираются решения, имеющие физич.смысл. Условия: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Т.о. реальный физич.смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ . 2. Принцип работы лазера. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров, их применение . Лазер – устройство, при прохождении через которое электромагнитные волны усиливаются за счет вынужденного излучения. Лазер – оптический квантовый генератор. Лазер имеет 3 основных компонента: 1) активная среда, 2) система накачки, 3) оптический резонатор. 1-й лазер был рубиновый, активная среда – рубин Al 2 O 3 . Для оптической накачки использовалась газоразрядная лампа. В кристалле Al 2 O 3 некоторые атомы Al замещены на Cr 3+ . При облучении рубина цветом атом хрома переходит с уровня 1 на уровень 3, затем происходят переходы либо 3 ® 1 (незначительно), либо 3 ® 2. Переход 2 ® 1 запрещен, поэтому атомы хрома накапливаются на уровне 2, возникает среда с инверсной населенностью. Фотон случайно родившийся при спонтанных переходах может порождать в активной среде множество вынужденных переходов 2 ® 1, в результате возникает целая лавина вторичных фотонов, зарождается лазерная генерация. Для выделения направления лазерной генерации используется оптический резонатор. В простейшем случае – пара обращенных друг к другу зеркал на общей оптической оси, между которыми помещается активная среда. Фотоны, которые движутся под углом к оси кристалла выходят из активной среды, а фотоны, которые движутся параллельно оси вызывают вынужденное излучение. Многократно усиленный поток выходит через полупрозрачное зеркало, создавая пучок огромной яркости. Типы лазеров: 1) твердотельные, 2) газовые (гелий-неоновые), 3) полупроводниковые, 4) жидкостные. Применение: обработка, резание, скоростное и точное обнаружение дефектов, в измерительной технике, голография. | Билет 4. 1.Квантовая теория свободных электронов в металле. Плотность электронных состояний. Энергия Ферми. Квантовая теория электропроводности металлов – теория электропроводности основывается на квантовой механике и квантовой статистике Ферми-Дирака. Согласно этой теории выражение для удельной электрической проводимости металлов: g = ne 2 < lF >/ m < UF >, где n – концентрация электронов проводимости, < lF > - средняя длина свободного пробега электронов, имеющего энергию Ферми, < UF > - средняя скорость теплового движения такого электрона. Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с реальной кристаллической решеткой, а классическая, взаимодействие с идеальной кристаллической решеткой. Классическая теория дает, что g ~1/ Ö T , а квантовая более точно объясняет зависимость g от Т, как g ~1/ T . Так как согласно классической теории < U >~ Ö T , то в квантовой теории доказано, что < UF > от температура практически не зависит, так как доказано, что с изменением температуры уровень Ферми остается неизменным. Однако с повышением температуы рассеяние «электронных волн» на фотонах возрастает. А это соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. Поэтому можно заметить, что сопротивление металла R~1/ g растет пропорционально Т Энергия Ферми – это максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в атоме при 0 ° К. Наивысший энергетический уровень, занятый электронами называют уровнем Ферми. Уровню ферми соответствует энергия ферми Е F , которую имеют электроны на этом уровне. 2. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада. Виды радиоактивных излучений. Радиоактивностью называется самопроизвольное превращение одних атомных ядер (нестабильных) в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц. Радиоактивные процессы: 1) α-распад, 2) β-распад, 3) γ-излучение ядер, 4) спонтанное деление тяжелых ядер, 5) протонная радиоактивность. Радиоактивное ядро – материнское, образующееся при распаде – дочернее. Радиоак-ть подразделяют на естественную и искусственную, принципиальных различий в них нет. Закон радиоактивного распада. Отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга. Можно считать, что число ядер dN , распадающихся за малый промежуток времени dt, пропорционально как числу имеющихся ядер N, так и dt: dN = - λNdt, где λ – постоянная распада, характерная для каждого рад. препарата (“-“ т.к. убыль числа ядер). Проинтегрируем, получим: N = N0e-λt, где N0 – количество ядер в начальный момент, N – количество нераспавшихся ядер в момент времени t. Это закон рад-ого распада: число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненте. Активность А =│dN/dt│=λN – число ядер, распавшихся за ед. времени. [1 Бк (беккерель) =1 распад/с или 1 Ки(кюри) =3,7∙1010 Бк]. Удельная активность – активность на ед. массы рад. препарата. Период полураспада Т: из условия N0/2 = N0e-λt, откуда Т = ln2/λ = 0,693/λ. Среднее время жизни τ = (1/ N0)∫0∞tdN = (1/ N0)∫0∞tλNdt = (1/ N0)∫0∞tλN0e-λtdt = 1/λ. Виды рад. излучений. α-распад. Самопроизвольное испускание ядром α-частицы (ядра 42Не): AZX → A-4Z-2Y+42Не. Спектр излучения α-частицы дискретный (монохромные волны). Масса материнского ядра > массы дочернего. Энергия α-частицы: 4-9 эВ. α-частица, покидая ядро, преодолевает потенциальный барьер, высота которого больше ее энергии. Внутреняя сторона барьера обусловлена ядерными силами, внешняя – кулоновскими. Преодолевает барьер благодаря туннельному эффекту. β-распад. Самопроизвольный процесс, в котором исходное ядро превращается в другое ядро с тем же массовым числом А, но с Z, отличающимся от исходного на ±1 (испускание е-\е+ или захват). Виды: 1) электронный β--распад (испускается е- и Z→Z+1); 2) позитронный β+-распад (испускается е+ и Z→Z-1); 3) К-захват (ядро захватывает е-, находящийся на К-ой оболочке и Z→Z-1, сопровождается рентгеновским излучением) γ-излучение. Испускание возбужденным ядром при переходе его в нормальное состояние γ-квантов (их энергия 10кэВ – 5МэВ, спектр дискретный, т.к. дискретны энергетические уровни самих ядер). γ-распад – процесс внутриядерный (β-распад - внутринуклонный). Возбужденные ядра могут переходить в основное состояние, передавая энергию возбуждения внешним е- - внутренняя конверсия электронов (эти е- моноэнергетичны), явление сопровождается рентгеновским излучением. ------------------------------------------------------ Билет 5. 1.Корпускулярно-волновой дуализм материи. Гипотеза де Бройля. Опыты по дифракции микрочастиц. Де Бройль выдвинул теорию о корп.-волн.дуализме материи, т.е. не только фотоны, но и электроны и любые другие частица материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами. Каждые микрообъект связывают корпуск.характеристики –энергия Е и импульс р, а также волновые – частота ν и длина волны λ. Е= h ν, p = h /λ. Т.о. любой частице обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемо по формуле де Бройля λ= h / p . Можно добавить то, что на частице вещества переносится связь между полной энергией частицы ε и частотой ν волн де Бройля: ε = h ν , h -постоянная Планка=6,625·10-34 Дж·с Волна де Бройля – это волна, связанная с равномерным и прямолинейным движением частицы. y = Acos ( w t - kx ) ü уравнения y ( x , t )= Aexp (-( w t - kx )) þ волны. E=h w , p=hk, w =E/h, k=p/h. y (x,t)=Aexp(-i/h(Et-px)) – плоская волна де Бройля . Фазовая и групповая скорости волн де Бройля. Фазовая скорость – скорость распространения фазы . Et - px = const , Edt - pdx =0, < u >= dx / dt = E / p = = mc 2 / m u - средняя скорость волны. u ф = c 2 / u , u гр = d w / dk , E = h w , p = hk , E 2 - p 2 c 2 = m 2 0 c 4 ; E = c Ö ( p 2 + m 2 0 c 4 ). u гр =d w /dk=dE/dp= c2p/(2 Ö (p2+m20c4))=pc2/c Ö (p2+m20c4)=pc2/mc2=p/m=m u /m= u . u гр u ф = c 2 . Дифракция микрочастиц. По идее де Бройля движение электрона или какой другой частицы связано с волновым процессом. l =2 p h / p =2 p h / m u (1); w = E / h . Гипотеза была подтверждена экспериментально в 1927 г. исследование отражения электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе. Узкий пучок моноэнергетических электронов направлялся на пов-ть монокристалла. Отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом, присоединенным к гальванометру. Интенсивность оценивалась по силе тока. Варьировалась скорость электронов и угол j . Рассеяние оказалось особенно интенсивным при угле, соответствующем отражению от атомных плоскостей, расстояние между которыми было известно из рентгенографических исследований. Вычисленная по формуле (1) длина волны примерно равна брэгговской длине волны, где 2 dsin q = n l . Этот опыт подтвердил идею де Бройля. Томсон и Тартаковский независимо друг от друга получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. Пучок электронов проходил через тонкую фольгу и попадал на фотопластину. Электрон при ударе о фотопластину оказывает на нее такое же действие как и фотон. Полученая таким же способом электрограмма золота сопоставлена с рентгенограммой алюминия. Сходство поразительно. Обнаружили, что дифф. Явления и у атомных и у молекулярных пучков, и длина волны l =2 p h / p . Таким образом было доказано, что волновое сходство присуще отдельному электрону. | Билет 3 1. Спонтанное и индуцированное излучение. Коэффициенты «А» и «В» Эйнштейна. Спонтанный переход – переход атомов с более высоких на более низкие энергетические уровни. Такие переходы приводят к спонтанному испусканию атомами фотонов. Индуцированные переходы – переходы с более низких на более высокие уровни энергии под действием излучения. Для возможности установления равновесия при произвольной интенсивности падающего излучения необходимо существование «испускательных переходов», вероятность ктр. возрастала бы с увеличением интенсивности излучения, т.е. «испуск. переходов», вызываемых излучением. Возникающее при таких переходах излучение назыв. вынужденным или индуцированным. Вынужденное и вынуждающее излучения являются строго когерентными. Пусть- вероятность вынужденного перехода атома в ед. времени с энергетического уровня на уровень, -вер-ть обратного перехода. При одинаковой интенсивности излучения . и - вероятность вынужденных переходов пропорциональна плотности энергии вынуждающего переход магнитного поля, приходящейся на частоту , соответствующую данному переходу (). Величины назыв. коэф. Эйнштейна. Равновесие между веществом и излучением будет достигнуто при условии, что число атомов , совершающих в ед. времени переход из состояния n в сост. m, будет равно числу атомов , совершающих переход в обр. направ. Пусть , тогда переходы смогут происх. только под воздействием излучения, переходыбудут совершаться как вынужденно, так и cпонтан.,, Усл. равновесия:имеем , (-числа атомов в сост. m и n). Вероятность спонтанного перехода атома в ед. времени из сост. n в сост m через. Тогда число атомов совершающих в ед. вр. спонтанный переход, опр. т.е. . определяем равновесное значение(1), Согласно з-ну Больцмана При малых частотах сравнивая с формулой Рэлея-Джинса находим, что подставляя в (1) получаем формулу Планка. 2. Движение микрочастицы в области одномерного потенциального порога Одномерный потенциальный порог. и ;Решения ур-ий Шредингера для стац. сост. имеет вид и где и волновые ф-ии частицы в обл-тях I и II соотв. и , Вер-ть того что частица отразится от порога опр-ся коэф. отражения , Вероятность прохождения частицы =============================== Потенциальный барьер. Пусть ч-ца движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенц. барьер высоты .Рассм. случай тогда (1) для обл. I и III (2) для обл-ти II причем . Будем искать реш. ур-я (1) в виде подставляя получаем отсюда , где , т.о. реш. ур-я (1) имеет вид для обл-ти I, для обл-ти III, аналогично для ур-я (2) для обл. II, . Заметим,что реш. вида соотв. волне распростр. в положит. направлении оси х, а реш. вида - в противополож. В обл. III имеется только волна, прошедшая через барьер и распр. слева направо следов. =0. Для того чтобы была непрерывна должно вып. усл. и . Для того чтобы не имела изломов необх.: и , причем - отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающих волн определяет вер-ть отражения частицы от потенц. барьера – коэф. отражения. - отнош. квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн – вер-ть прохождения частицы через барьер – коэф. прохождения.. Из ур-ний получившихся из условий непрерывности и гладкости пси-ф-ии, находим , т.е. вер-ть прохождения частицы через потенц. барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превышения над . В случае барьера произв. формы . При преодолении потенц. барьера ч-ца как бы проходит через туннель в этом барьере – рассм. нами явление – туннельный эффект. |