Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет
“ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”
Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування”
Реферат з курсу “Численные методы”
Тема: “ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ”

Виконав:

студент групи

Перевірив:

Харків

Содержание
1. Разделенные разности
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
3. Интерполяционный многочлен Ньютона
4. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
Литература

1. Разделенные разности
Часто экспериментальные данные функциональной зависимости представляются таблицей, в которой шаг по независимой переменной не постоянен. Для работы с таким представлением функции конечные разности и конечно-разностные операторы не пригодны. В этом случае первостепенную роль играют разделенные разности.
Разделенную разность функции f(x) для некоторых двух точек  и  определяют следующей дробью:

Для построения степенного многочлена, проходящего через заданные точки, необходимо иметь число точек на единицу больше, чем степень многочлена. Согласно определению разделенной разности число их для n точек равно числу сочетаний из n по 2. Это во много раз больше, чем необходимо для построения кривых, проходящих через n точек. Из опыта работы с конечными разностями видно, что разделенных разностей из всего множества достаточно выбрать всего n, но выбрать так, чтобы в их образование входили все (n+1) точек таблицы.
Вполне разумно вычислять разделенные разности только для соседних значений функции в таблице. В этом случае говорят об упорядоченных разделенных разностях. Аргументу табличной функции присваиваются индексы из чисел натурального ряда, начиная с нуля, в результате чего обозначения разделенных разностей для i-той строки таблицы будут .
Повторная разность от разделенной разности есть разделенная разность второго порядка:



В общем случае разделенная разность n-го порядка имеет вид:

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Произведения из скобочных сомножителей в знаменателе каждого слагаемого напоминают своим видом некий степенной многочлен от переменной , который своими корнями имеет значения , исключая . Многочлен от x с корнями в этих же точках, включая и , будет иметь вид:

Удаляя тот или иной сомножитель из , можно по желанию исключить ненужный нуль многочлена. Если взять i-тое слагаемое без  из выражения для разделенной разности n-го порядка и умножить его на , в котором отсутствует сомножитель , то многочлен степени n будет обладать следующими свойствами:

Если умножить  на , то полученный многочлен степени n будет проходить через точку с координатами  и будет равен нулю во всех точках . Сумма таких многочленов по всем  определяет интерполяционный многочлен Лагранжа степени n.
.
3. Интерполяционный многочлен Ньютона
Интерполяционный многочлен в форме многочлена Лагранжа не удобен в случаях, когда необходимо добавлять экспериментальные данные в таблицу с целью повышения точности интерполяции. При этом необходимо проводить все вычисления заново.
Если задачу поставить так, что добавление лишней точки требовало бы лишь добавки некоторого многочлена степени (n+1) к многочлену Лагранжа n-й степени, то эту добавку можно искать, выполнив в общем виде преобразование разности двух многочленов Лагранжа: степени (n+1) и n. Несложные преобразования приводят к следующему соотношению для добавочного многочлена степени (n+1):
 ,
где    – многочлен степени (n+1),
 – разделенная разность (n+1)-го порядка.
Если считать разделенную разность нулевого порядка равной значению функции  в точке , то


Поступая аналогичным образом и находя последовательно , в конце концов, получим общее выражение для другой формы представления интерполяционного многочлена Лагранжа, которая в литературе называется интерполяционным многочленом Ньютона для неравных интервалов и записывается так:

Надо отметить, что дополнительную точку в таблицу необходимо записывать в самую нижнюю строку таблицы, чтобы не нарушить уже имеющегося упорядочения разностей и ускорить вычисление новых.
И, наконец, надо отметить, что и многочлен Лагранжа, и многочлен Ньютона удобны для вычислений, но после раскрытия скобок и приведения подобных дают один и тот же степенной многочлен.
4. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
Основным недостатком интерполяционных многочленов является наличие у них большого числа экстремумов и точек перегибов, что определяется суммированием в них многочленов , n раз меняющих свой знак. Кроме того, исходные табличные значения функции заданы неточно по разным причинам, поэтому строить многочлены выше 4-5-й степени, зная, что из теоретических исследований функция в интервале таблицы совсем не такая, не имеет особого смысла.
Если табличные значения функции можно интерпретировать как теоретическое значение плюс погрешность, то, задав некоторый критерий близости теоретической кривой к заданному множеству табличных точек, можно найти нужное число параметров этой кривой.
Наиболее популярным критерием близости является минимум среднего квадрата отклонения:
,
где    – точка экспериментальных данных из таблицы,
 – значение искомой зависимости в точке .
Если искомую зависимость желательно представить многочленом степени n, то (n+1) коэффициент в нем будут представлять неизвестные параметры. Подставив в сумму квадратов отклонений искомый многочлен, получим функционал, зависящий от этих параметров:

Чтобы функционал  был минимален, необходимо все частные производные функционала по параметрам приравнять нулю и систему разрешить относительно неизвестных параметров . Эти действия приводят к следующей системе линейных уравнений

Здесь  – постоянный коэффициент, равный сумме (j+k)-тых степеней всех значений аргументов. Для их ручного вычисления удобно к исходной таблице данных добавить еще  столбцов.    – числовые значения в правой части системы линейных алгебраических уравнений, для подсчета которых тоже
удобно к исходной таблице данных добавить еще n столбцов.
Демонстрацию метода наименьших квадратов проведем для данных с количеством точек в таблице, равным 4. Максимальная степень аппроксимирующего многочлена для такого набора равна 3, так как должно выполняться соотношение: . Для максимальной степени аппроксимирующий и интерполяционный многочлены равны.
Пусть таблица данных после добавления в нее дополнительных колонок выглядит следующим образом:

В нижней строке размещаем итоговые суммы по каждой колонке.
Система уравнений для полинома третьей степени:

Решив систему, найдем:


Эта же таблица без добавления чего-либо позволяет найти коэффициенты аппроксимирующего многочлена второй степени. Для этого достаточно в системе для полинома третьей степени убрать 4-е уравнение, а из остальных уравнений исключить слагаемые с неизвестной . В результате система уравнений для полинома второй степени будет:

Решив систему, найдем:

Аналогично можно уменьшать число уравнений для построения аппроксимирующих многочленов первой и нулевой степеней.
На рисунке 1 показаны графики двух аппроксимирующих многочленов второй и третьей степени. Многочлен третьей степени проходит через 4 заданные точки, а многочлен второй степени проходит сквозь множество заданных точек с минимумом суммы квадратов отклонений от них, что хорошо видно на графиках.

Рисунок 1.
Литература
1.                 Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 600 с.
2.                 Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. - М.: Наука, 1966. – 248 с.
3.                 Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.
4.                 Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.
5.                 Калашников В. И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 196 с.
6.                 Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.
7.                 Волков, Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с.
8.                 Мудров, А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП "РАСКО", 1991. 272 с.
9.                 Шуп, Т. Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с.
10.            Бахвалов, Н. С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.