Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.


            Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂, …, х_n = {x_n}
            Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
            Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

                           {x_n} = {sinpn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …
Для последовательностей можно определить следующие операции:
1)      Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2)      Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n}    = {x_n ± y_n}.

3)      Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4)      Частное последовательностей:  при {y_n} ¹ 0.
Ограниченные и неограниченные последовательности.


            Определение. Последовательность {x_n} называется  ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:


т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
            Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что
x_n £ M.
            Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что
x_n ³ M
            Пример. {x_n} = n – ограничена снизу  {1, 2, 3, … }.
            Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:


Это записывается:    lim x_n = a.

            В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.
            Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
            Пример.  Доказать, что предел последовательности lim .
Пусть при n > N верно , т.е.  . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.
            Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3,  имеет пределом число 2.
            Итого: {x_n}= 2 + 1/n;    1/n = x_n – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {x_n} = 2.
            Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
            Доказательство. Предположим, что последовательность {x_n}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

x_n ® a; x_n ® b;    a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что



Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.
            Теорема. Если x_n

®

a
, то .
            Доказательство. Из x_n

®

a следует, что . В то же время:
, т.е.    , т.е. . Теорема доказана.
            Теорема.  Если x_n

®

a
, то последовательность {
x_n
} ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
            Например, последовательностьне имеет предела, хотя
Монотонные последовательности.
            Определение. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

                         2) Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

                                     3) Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

                                    4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
            Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная

                           {x_n} = n – возрастающая и неограниченная.
            Пример. Доказать, что последовательность {x_n}= монотонная возрастающая.
            Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
            Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{x_n} = .
            Найдем .  Найдем разность

, т.к.  nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
            Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
            Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность
х₁ £ х₂ £ х₃ £ … £ х_n £ x_n+1 £ …
Эта последовательность ограничена сверху: x_n £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x_N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {x_n}- неубывающая последовательность, то при N > n  а - e < x_N £ x_n,

x_n > a - e.

Отсюда a - e < x_n < a + e

-e < x_n – a < e    или    ôx_n - aô< e,    т.е. lim x_n = a.
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.



Число е.
Рассмотрим последовательность {x_n} = .

Если последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое



Покажем, что последовательность {x_n} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n+1 и сравним его с выражением x_n:

      Каждое слагаемое в выражении x_n+1 больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x_n} возрастающая.

            Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.



Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.



Из неравенства  следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x_n} все члены, начиная с четвертого, имеем:



переходя к пределу, получаем



            Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:                                 







Найдем  

Число е является основанием натурального логарифма.







Выше представлен график функции y = lnx.
Связь натурального и десятичного логарифмов.
            Пусть х = 10^у, тогда  lnx = ln10^y , следовательно lnx = yln10 

 у = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.


Предел функции в точке.
                                                      y                                        f(x)
                                              

                                             A + e

                                                  A

                                              A - e
                                                           0                      a - D  a  a + D      x
            Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
            Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что
0 < ïx - aï < D

верно неравенство                                ïf(x) - Aï< e.
            То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D,  x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Запись предела функции в точке:
            Определение. Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то  - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то  называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.
                                                                       у

                                                                                                                      f(x)
                                                                       А₂
                                                                       А₁
                                                                             0            a                                    x
            Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

           

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).




Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.


            Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство



При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:  
                                              

            Графически можно представить:                                      




                 y                                                                            y
                 A                                                                           A
                 0                                                                           0

                                                                 x                                                                             x
                 y                                                                            y






                 A                                                                           A
                 0                                                                           0

                                                               x                                                                             x
Аналогично можно определить пределы  для любого х>M и

 для любого х<M.
Основные теоремы о пределах.

            Теорема 1. , где С = const.
            Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.
            Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
            Теорема 3.

            Следствие.
            Теорема 4.     при
            Теорема 5. Если f
(
x
)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.
            Теорема 6. Если g
(
x
)
£

f
(
x
)
£

u
(
x
) вблизи точки х = а и , то и .
            Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.
            Теорема 7. Если функция f
(
x
) имеет конечный предел при х
®
а, то она ограничена вблизи точки х = а.

           

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

 или

, т.е.

где М = e + ïАï

Теорема доказана.
Бесконечно малые функции.
            Определение.  Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

            Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
            Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .
            Теорема. Для того, чтобы функция f
(
x
) при х
®
а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f
(
x
) =
A
+
a
(
x
),

где
a
(х) – бесконечно малая при х
®
а (
a
(х)
®
0 при х
®
а).
            Свойства бесконечно малых функций:
1)      Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2)      Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3)      Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4)      Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const,  a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит



Теорема доказана.


Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда



A×B = const,  a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит



Теорема доказана.

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого e>0 существует D>0 такое, что для любых точек х₁Î[a,b] и x₂Î[a,b] таких, что

ïх₂ – х₁ï< D

верно неравенство                                    ïf(x₂) – f(x₁)ï < e
            Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое D, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х.
            Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
            Пример.

            Функция  непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число D>0 такое, что существуют значения х₁ и х₂ такие, чтоïf(x₁) – f(x₂)ï>e, e - любое число при условии, что х₁ и х₂ близки к нулю.
            Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.
            Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.


                                     
в точке х = -1 функция непрерывна             в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода     

          
                                                                       у

                                                                            3
                                                                            2
                       

                                      -4                       -1      0        1                                  х
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.


                                     
в точке х = 0 функция непрерывна             в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода                        




                                                                      у
                                                          

                                                                       2

                                                                      

                                                                           1
                                               -p       -p/2         0      1                                   x