Реферат

Реферат Египетские дроби

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024



Египетские дроби
Одним из древнейших письменных документов человечества яв­ляется папирус Райнда, датируемый ориентировочно 1600 г. до н.э. Замечательно, что это также древнейшее математическое сочинение. Древние египтяне записывали рациональные дроби как суммы чи­сел, обратных натуральным: 2/5 = 1/3 + 1/15, 6 / 7 = 1/2 + 1/3 + 1/42 и т. д. Папирус содержит математические задачи и таблицы, пред­ставляющие дроби 2/(2п+ 1), со знаменателями от 5 до 331 в виде суммы дробей с числителем 1.

Дроби с числителем единица мы будем называть египетскими дробями, а разложение рационального числа в сумму попарно раз­личных египетских дробей — египетской суммой. Мы будем рас­сматривать только положительные рациональные числа.

1.1.  а) Для каких натуральных N единицу можно представить в виде египетской суммы из N слагаемых?

б) Существуют ли египетские разложения единицы, в которых все знаменатели нечетны?

1.2.  а) Докажите, что любое положительное рациональное число т/п может быть представлено в виде египетской суммы.

6} Докажите, что если т < п 2 , то существует египетское разло­жение дроби  т / п, в котором не более 2 m - 1 слагаемых.

в)  Докажите, что всякую дробь т/п < 1 можно разложить в сумму не более  min(m, log 2 тп ) различных египетских дробей.

г)  Докажите, что всякую дробь т/п < 1 можно разложить в сум­му различных египетских дробей со знаменателями, не превосходя­щими п 2.

1.3. Докажите, что при каждом s уравнение


в натуральных числах имеет лишь конечное множество решений.

 1.4. а) Докажите, что для любого натурального п на интервале (0,1) существует рациональное число, не представимое в виде египетской суммы с не более, чем п слагаемыми.

б) Пусть М n — множество рациональных чисел из интервала (0,1), представимых в виде суммы не более чем n египетских дробей (не обязательно различных). Докажите, что при любом n множест­во М п нигде не плотно.

Другими словами, для любого n и любого промежутка (a,b)Ì (0,1) найдется такой интервал (с,d) Ì  (а,b), в котором все рацио­нальные числа не представимы в виде суммы не более n египетских дробей.
1.5. а) Может ли сумма нескольких последовательных египетских дробей (знаменатели которых являются последовательными нату­ральными числами) быть целым числом?

б)  Тот же вопрос, но знаменатели должны являться последова­тельными нечетными натуральными числами.

в)  Тот же вопрос, но знаменатели должны образовывать произ­вольную арифметическую прогрессию.

г)  Докажите, что равенство



возможно лишь при a = n + 1, m =1

 1.6. Пусть f n — числа Фибоначчи. Докажите, что при всех т, п


1.7. Верно ли, что для каждой правильной дроби вида , 2 £ n £18 существует египетское разложение со знаменателями не превосходящими 95?
Малые числители

1.8. Найдите египетское разложение  сумму наименьшего числа слагаемых.

1.9.  Докажите, что представление числа , где n не делится на 3, в виде суммы двух египетских дробей возможно в том и только том случае, когда n имеет делитель вида Зn + 2.
1.10.  Пусть а n  - число элементов множества


Докажите, что для каждого e > 0 при достаточно больших n  a n < n e .
Открытая проблема (Erdos, Straus). Уравнение

                                                                 (1)
при n > 3 разрешимо в натуральных числах. Вычислительный экс­перимент для n < 108 подтверждает эту гипотезу.

1.11.  Докажите, что уравнение (1) разрешимо при всех n, кроме, быть может, n = 1,121,169,289, 361,529 (mod 840).
1.12.      Докажите, что число 1 нельзя, а число 1/2 можно предста­вить в виде египетской суммы со знаменателями, являющимися точ­ными квадратами.
Способы разложения на египетские дроби

В этом разделе мы рассматриваем различные способы получить представление рационального числа в виде египетской суммы.

Определение 1. Жадный алгоритм. Выберем наибольшую дробь вида   , которая не превосходит  . Потом возьмем наи­большую дробь вида, n 2  > n 1  для которой   . По­том возьмем наибольшую дробь вида ,  n 3 > n ­2 , для которой
  и т.д.
Если на каждом шаге мы выбираем нечетные n  i , то полученный метод будем называть нечетным жадным алгоритмом.
Определение 2. Разрешение конфликтов. Пусть  < 1. Поло­жим

  

Когда несколько слагаемых в разложении совпадают, будем исправлять эту "неправильную" ситуацию. Каж­дый шаг алгоритма состоит в замене каких-то слагаемых другими. Будем рассматривать следующие разновидности этого метода.
Метод парных замен.

Метод подразбиения. Если какое-либо  слагаемое  встречается больше одного раза, выполним одну замену,


Определение 3. Метод двоичного разложения. Пусть  < 1. Разложим число в бесконечную двоичную дробь. Она будет сме­шанной периодической. Пусть период имеет длину n . Можно счи­тать, что начальная непериодическая часть имеет длину больше n . Каждой единице, предшествующей первому периоду, соответствует дробь вида . Каждой единице из периода соответствует египет­ская дробь .

Аналогичный метод работает и в системах с другими основания­ми, например, в шестиричной. Проблемы и решаются просто:  , . В десятичной системе счисления этот метод не­посредственно на работает, поскольку не удается представить числа 4, 7, 8, 9 в виде суммы различных делителей числа 10. Назовем чис­ло N практичным, если все натуральные числа, не превосходящие N (в случае нечетного N — все кроме 2), можно представить в виде суммы нескольких (быть может, одного) различных делителей чис­ла N. Пример четного практичного числа — 6, пример нечетного практичного числа — 945. Благодаря разложению из задачи 1.8, мы можем с минимальными изменениями распространить метод двоич­ного разложения на случай, когда основание системы счисления — практичное число.

Определение 4 Метод двоичного остатка. Для разложения числа а / b,  ( b¹  2 n ) в египетскую сумму выберем число p = 2 k > b. Разделим аp на b с остатком:   ар = sb + г.   Разложим r/p, s/p в



1. Отчет по практике Отчет по практике в социальной защите населения
2. Биография на тему Источники инвестиций АО их структура сравнительный анализ
3. Курсовая Пастер и его вклад в медицину
4. Реферат Мировой рынок вооружения
5. Реферат на тему Эндоскопия пищевода и желудка
6. Реферат на тему Macbeth Essay Research Paper There are many
7. Реферат на тему Say Hello To Tomorrow Essay Research Paper
8. Реферат Финансовый контроль 20
9. Реферат на тему Female Self Esteem Essay Research Paper A
10. Реферат Особенности учета затрат в торговых организациях 2