Дисциплина: Высшая математика

Тема: Матрицы и определители

Понятие матрицы.
При изучении вопросов, связанных с действием над векторами, а также при изучении систем линейных уравнений приходится иметь дело с таблицами из чисел, которые называются матрицами.
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая  строк и  столбцов.
Числа  и  называются порядками матрицы. Если , то матрица называется квадратной. Для обозначения матрицы пользуются либо вертикальными двойными черточками, либо круглыми скобками:
 или .
Для краткого обозначения матрицы может быть использована и одна буква, например, . Кроме того, вместо всей таблицы может быть написано:
, где ; .
Числа  называются элементами матрицы,  - номер строки,  - номер столбца.
Для квадратной матрицы вводится понятие главной и побочной диагонали: главная диагональ идет из верхнего левого угла в нижний правый; побочная - из верхнего правого в нижний левый.
Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы.
Дана прямоугольная матрица:

Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов (k Ј m, k Ј n).
Определение. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы A. Матрица A имеет C ^k_m*C ^k_n миноров k-го порядка.
Определение. Рассмотрим всевозможные миноры матрицы A, отличные от нуля. Рангом матрицы A называется наибольший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю.
Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.
Ранг матрицы A будем обозначать через r (A). Если r (A) = r (B), то матрицы A и B называются эквивалентными.
Полезно иметь ввиду, что ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимаются:
1) замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;
2) перестановка строк матрицы;
3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;
4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.
Действия над матрицами.
Определение. Две матрица называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Определение. Суммой двух матриц  ( ) и  ( ) одинаковых порядков  называется матрица  ( ) того же порядка, элементы которой равны .
На письме это действие может быть записано так: . Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным ; сочетательным .
Определение. Произведением матрицы  на число  называется матрица , элементы которой равны .
Умножение матрицы на число может быть записано:  или .
Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя ; распределительным относительно суммы матриц ; распределительным относительно суммы чисел .
После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число.
Определение. Произведением матрицы  ( ), имеющей порядок , на матрицу  ( ), имеющую порядок , называется матрица  ( ), имеющая порядок , элементы которой равны , где .
Записывается это действие так . Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента , в произведении  необходимо попарно перемножить все соответствующие элементы -ой строки матрицы  на элементы -го столбца матрицы , а затем все это сложить. Из определения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы  было равно числу строк матрицы . Отсюда следует, что одновременно произведение  и  существует только лишь в том случае, когда число столбцов  равно числу строк , а число столбцов  равно числу строк . В этом случае  и  будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы  и  были квадратными матрицами одинакового порядка.
Произведение матриц  имеет свойства: сочетательное ; распределительное . Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях.
Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц.
Определение. Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:
.
В том случае, если , то для любой квадратной матрицы  порядка  справедливо . Действительно, для  получаем . Для  - . Отсюда, .
Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы , обозначается она - , у нулевой , обозначается она - .
Как было показано , . Перемножив эти матрицы, можно убедиться, что ; . Таким образом, матрицы  и  выполняют ту же роль, что и 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которой равны нулю.
Понятие определителя.
Выше было показано, что матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка  или просто :
 (3.1.1)
Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связать вполне определенную численную характеристику.
Определение. Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем.
Рассмотрим матрицу первого порядка .
Определение. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента .
Обозначается определитель одним из символов .
Рассмотрим матрицу второго порядка
.
Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное .
Обозначается определитель одним из символов
 (3.1.2)
Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.
Поскольку одна из форм обозначения определителя и обозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то так же, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.
После того как рассмотрены определители 1-го и 2-го порядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этим введем понятие минора.
Определение. Минором любого элемента  квадратной матрицы порядка  называется определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из первоначальной в результате вычеркивания -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Обычно минор элемента  обозначается .
Определение. Определителем порядка , соответствующим матрице порядка , называется число, равное
.
Обозначается определитель одним из символов
Приведенное выражение представляет собой правило вычисления определителя -го порядка по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки, которые являются определителями порядка . Для  это правило дает:
.
В приведенном правиле вычисления определителя фигурирует лишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель, используя элементы других строк?
Теорема. Каков бы ни был номер строки  ( ), для определителя -го порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по -ой строке.
Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Докажем эту теорему для . В этом случае  может быть равно только 2, так как  входит в основное определение величины определителя. Итак:
.
Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.
Для произвольного  данная теорема доказывается методом математической индукции.
Итак, показано, что определитель может быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.
Теорема. Каков бы ни был номер столбца  ( ), для определителя -го порядка справедлива формула , называемая разложением этого определителя по -му столбцу.
Докажем теорему для :
.
Данное выражение равно величине определителя, введенной по определению.
Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя -го порядка необходимо его разложить по произвольной строке или столбцу.
В заключение введем еще одно определение.
Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента  определителя -го порядка называется число, равное , которое обозначается .
Значит, алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можно вычислить с помощью формул:
.

Литература

1.                Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, "Высшая школа", 1973.
2.                Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.
3.                Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., "Наука", 1986.
4.                Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., "Высшая школа" изд. 5, 1977.
5.                Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., "Высшая школа" изд.2.
6.                Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г.3
7.                Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999.
8.                Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969.
9.                Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). - М.: Наука, 1966.
10.           Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973.
11.           Соколов Н.П. Пространственные матрицы и их приложения. - М.: ГИФМЛ, 1960.