Реферат Прогрессии

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 1.6.2025

                                                     Содержание.

1)     Введение __________________________________________________3

2)     Глава 1. Прогрессии.

      §1 Последовательность_________________________________________4

            §2 Арифметическая прогрессия_________________________________6

            §3 Геометрическая прогрессия__________________________________9

            §4 Понятия гармонической прапорции и гармонической прогрессии__17

3)     Глава 2. Задачи.____________________________________________19

4)     Заключение _______________________________________________25

5)    Литература ________________________________________________26

Введение.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта(v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии....

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому крайне важно дать полное описание этого курса, дабы читатель мог повторить уже известный ему из школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного.

В своей работе я рассматриваю определения арифметической, геометрической и бесконечно убывающей геометрической прогрессий, а так же свойства членов прогрессий, сумму n-членов арифметической и геометрической прогрессий. Ввожу понятия гармонической пропорции и гармонической прогрессии. Так же в этой работе целая глава посвещана задачам по данной теме.

Цель курсовой работы упрощение решения практических задач и применение свойств арифметической и геометрической прогрессии при решении задач.

Глава 1.Прогрессии.

§1 Последовательность

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТь-совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде

,...,

,... или коротко {

}.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значения y₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n²можно записать:

y₁= 1²= 1;

y₂= 2²= 4;

y₃= 3²= 9;…y_n= n²;…

Способы задания последовательностей.

Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

y_n= f(n).

Пример. y_n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y₁= 3; y_n= y_n_–1+ 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y₁= 3; y₂= 3 + 4 = 7; y₃= 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y_n= 4n – 1.

Пример 2. y₁= 1; y₂= 1; y_n= y_n_–2+ y_n_–1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y₁= 1; y₂= 1; y₃= 1 + 1 = 2; y₄= 1 + 2 = 3; y₅= 2 + 3 = 5; y₆= 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой

.

На первый взгляд, формула для n-го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y₁< y₂< y₃< … < y_n < y_n₊₁< ….

Определение.Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y₁> y₂> y₃> … > y_n> y_n₊₁> … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y₁= 1; y_n= n^2</SUP^{– последовательность.}

^{Пример 2. y}₁^{= 1; – убывающая последовательность.}
§2 Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d,которое называется разностью прогрессии.

Для всех элементов прогрессии, начиная со второго выполнимо равенство:

Если d > 0, то прогрессия является возрастающей. Если d < 0, то прогрессия является убывающей.

Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.

+ d = (

+ d) + d =

+ 2d,

+ d = (

+ 2d) + d =

+ 3d,

+ d(n-1)

+ d(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии.(n≥1)

Пример

3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3.

Свойства

1.

2.Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.

3.Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
$a_n={a_{n-1}+a_{n+1} \over 2} \quad \forall n \ge 2$ .

Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.
Доказательство:

$\Rightarrow : \forall n > 1 \quad a_n = a_1 + (n - 1)d = \frac{2\cdot (a_1 + (n - 1)d)}{2} = \frac{2a_1 + 2dn - 2d}{2} = \frac{a_1 + (n-2)d + a_1 + nd}{2} = \frac{a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}$

Обратное аналогично

4.Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

$S_n=\sum_{i=1}^n a_i ={a_1+a_n \over 2}n={2a_1 + d(n-1) \over 2}n$

Доказательство:

Через сумму:

$\sum_{i=1}^na_i = \sum_{i=1}^n(a_1+d(i - 1)) = \sum_{n - i = 1}^n(a_1+d(n - i - 1)) = \sum_{i=1}^n(a_1 + dn - di) =$

$= \sum_{i=1}^n(2a_1 + d(n-1)) - \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1)) = n(2a_1 + d(n-1)) - \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1)) \quad \Rightarrow$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1)) = n\frac{2a_1+d(n-1)}{2} = n\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2} = n\frac{a_1+a_n}{2}$

По индукции:

$n = 1 :\quad S_1 = \sum_{i=1}^1(a_1+d\cdot 0) = a_1 = 1\cdot \frac{a_1+a_1}{2}$

$n \rightarrow n+1 :\quad S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1}(a_1+d(i-1)) = \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1))+(a_1+dn)=$

$=S_n+(a_1+dn) = n\frac{a_1 + a_n}{2}+(a_1+dn) = \frac{na_1 + na_1+n^2d-nd+2a_1+2dn}{2}=$

$=(n+1)\frac{2a_1+dn}{2}=(n+1)\frac{a_1 + a_{n+1}}{2}$

5.Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

$S_n={a_k+a_{k+n-1} \over 2}n$

6.Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

$S_n = \sum_{i=1}^n i = 1+2+3+4+5+...+n = {n(n+1) \over 2}$

Задача 1.При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.

Решение:

…,

- арифметическая прогрессия

остаток 5)

Используя формулу n-го члена прогрессии получаем систему уравнений:

Откуда 4(2d-5)=3d,то 5d=20,то d=4

=3

Ответ:

d=4

Задача 2. Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.

Решение:

Пусть n=1 .

Пусть n=2 .

Так как

,то

Ответ:

Задача 3. Найти сумму

Решение: перепишем сумму в виде:

Ответ:

Задача 4. Найти сумму

+…+

Решение: заметим,что =

Тогда перепишем сумму в виде разности:

=(1 -

)+(

)+…+(

)+(

)=1 -

Ответ:

.

§3 Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots$ (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $q \quad$ (знаменатель прогрессии), где $b_1\not=0$ , $q\not=0$ и обычно предполагают, что $q\not=1$

$b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q$

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

$b_n=b_1q^{n-1} \quad$

Если b₁ > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью, а при q < 0 — знакопеременной

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

т.е. каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Пример

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.

Свойства

1)

Доказательство:

0; q

*q=

2)Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию

Доказательство

Пусть w_n — последовательность :
$w_n = \log_pb_n\$

$\forall n>1\quad \frac{w_{n-1} + w_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_{n-1} + \log_pb_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_1q^{n-2} + \log_pb_1q^{n}}{2} = \frac{\log_p(b_1^2q^{2n-2})}{2} = \frac{2\cdot \log_pb_1q^{n-1}}{2} = \log_pb_n = w_n\$

Полученное соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.

3) $b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, i < n$

Доказательство

$b_n^2 = b_nb_n = b_1q^{n - 1}b_1q^{n - 1} = b_1q^{n - 1 - i}b_1q^{n - 1 + i} = b_{n - i}b_{n + i}$

4)Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

$P_{n} = (b_1\cdot b_n)^\frac{n}{2}$ ,

Доказательство

$P_n = \prod_{i=1}^nb_i = \prod_{i=1}^nb_1q^{i-1} = b_1^n\prod_{i=1}^nq^{i-1} = b_1^{\frac{n}{2}}b_1^{\frac{n}{2}}q^{\frac{n(0 + (n - 1))}{2}} = (b_1b_1q^{n-1})^{\frac{n}{2}} = (b_1b_n)^{\frac{n}{2}}$

5)Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

$P_{k,n} = \frac{P_{n}}{P_{k-1}}$

Доказательство

$P_{k,n} = \prod_{i=k}^nb_i = \frac{\prod_{i=1}^nb_i}{\prod_{j=1}^{k-1}b_j} = \frac{P_n}{P_{k-1}}$

6)Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \sum_{i=1}^n b_i = \frac{b_{n+1}-b_1}{q-1}=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$ , при $q \ne 1$

$\ S_n = nb_1\$ , при $\ q = 1\$

Доказательство $\left(q \ne 1\right)$

1)Через сумму:

$S_n = \sum_{i=1}^n b_1q^{i-1} = b_1 + \sum_{i=2}^n b_1q^{i-1} = b_1 + q\sum_{i=2}^n b_1q^{i-2} = b_1 + q\sum_{i=1}^{n-1}b_1q^{i-1} = b_1+q\sum_{i=1}^nb_1q^{i-1} - b_1q^n \Rightarrow$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^n b_1q^{i-1} = b_1+q\sum_{i=1}^nb_1q^{i-1} - b_1q^n \Rightarrow (1 - q)\sum_{i=1}^nb_1q^{i-1} = b_1 - b_1q^n \Rightarrow \sum_{i=1}^nb_i = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$

2)
по n:

$n = 1 : S_1 = \sum_{i=1}^1 b_i = b_1 = b_1\frac{1 - q^1}{1 - q}$

$n \rightarrow n + 1 : S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1}b_i = \sum_{i=1}^nb_i + b_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} + b_1q^n = b_1(\frac{1 - q^n}{1 - q} + q^n) = b_1(\frac{1 - q^n + q^n - q^{n+1}}{1 - q}) = b_1\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

7)Если $\left| q \right|<1$ , то $b_n \to 0$ при $n \to +\infty$ , и

$S_n \to {b_1 \over 1-q}$ при $n \to +\infty$ .
Задача 1

Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...

Решение.

Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем

=3*

=756

Задача 2

Найти сумму ряда 1-0,37+

+…

Решение.

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна

S=

=

Задача 3

Найти сумму ряда

=1-

Решение.

Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен q= -

Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой

то получаем следующий результат

Задача4

Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.
Решение.

Запишем периодическую дробь в следующем виде:

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

знаменателем ,

получаем

Задача 5.

Показать, что

при условии x > 1.
Решение.

Очевидно, что если x >1,то

Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу

, левую часть можно записать в виде

что доказывает исходное соотношение.

Задача 6.

Решить уравнение

Решение.

Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Тогда уравнение принимает вид

Находим корни квадратного уравнения:

Поскольку |x| < 1, то решением будет

.
Задача 7.

Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Решение.

Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Так как второй член прогрессии равен

, то получаем следующую систему уравнений для определения

Решая систему, получаем квадратное уравнение:

Это уравнение имеет два корня:

Для каждого знаменателя q найдем соответствующие первые члены:

Таким образом, задача имеет два решения:

БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

При |q| < 1,

поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число ,

где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равна

Для доказательства достаточно заметить, что

В предпоследнем переходе использовались свойства пределов последовательностей.
§4 Понятие гармонической прапорции и гармонической прогрессии.

Последовательность чисел а1, а2, а3, а4 …называется гармонической прогрессией, если последовательность чисел, обратных данным 1/а1, 1/а2,1/а3, … образует арифметическую прогрессию. Любой член такой последовательности называется средним гармоническим двух соседних членов, поэтому, для того, чтобы найти среднее гармоническое двух заданных чисел а и b, сначала находим среднее арифметическое обратных им чисел, а затем число, обратное этому среднему. Таким образом, среднее гармоническое равно: 2ab/(a+b).

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить точкой C на две части следующими способами:

на две равные частиАВ : АC = АВ : ВC;

на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

таким образом, когда АВ : АC = АC : ВC.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

            Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618..., если c принять за единицу, a = 0,382. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

Разумеется есть и золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618.

Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.
Глава 2. Нестандартные задачи.

1) В сосуде находится 10 литров чистого спирта(алкоголь 100% концентрации). Из сосуда извлекли литр спирта и добавили литр воды, перемешали, снова извлекли литр жидкости и добавили литр воды и так далее. a).Каково содержание спирта в сосуде после 15 таких действий?      b).Через какое количество таких процедур содержание алкоголя станет впервые меньше 10%?

Решение. a).После первой процедуры извлечения и добавления одного литра в сосуде останется 9 литров чистого спирта и 1 литр воды, поэтому содержание алкоголя будет 0.9. В литре жидкости, извлеченной во второй раз, было уже 0.9 литра спирта и 0.1 литр воды. Значит в сосуде осталось 8.1 литра чистого спирта   (9 - 0.9) и 0.9 литра воды (1 - 0.1). После добавления в сосуд второго литра воды количество спирта в нем не изменится, т.е будет 8.1 литра алкоголя и 1.9 литра воды (1 + 0.9). Всего в сосуде 10 литров жидкости, поэтому после двух таких операций содержание в нем алкоголя 0.81, а содержаниее воды 0.19. Отсюда следует, что каждая операция извлечения и долива одного литра уменьшает содержаниее алкоголя в 0.9 раза. На самом деле здесь получается геометрическая прогрессия с a1 = 0.9 и q = 0.9.   Поэтому после 15 описанных операций   содержание спирта будет 0.9×0.914 = ... = 20.6%.

2)Из сосуда, в котором 100 литров алкоголя 60% концентрации, извлекают 10 литров, переливают во вторую емкость, а вместо них в первую добавляют 10 литров воды. Затем снова берут из первой емкости 10 литров жидкости, переливают во вторую емкость и добавляют в первую 10 литров воды. Вычисли   содержание спирта во втором сосуде после 20 таких действий.

Решение. Количество спирта, помещенного во вторую емкость в результате первой операции 10×0.6 = 6 литров. Затем добавили 10 литров воды в первую емкость, поэтому содержание спирта в ней сейчас составляет 90% от прежней концентрации(см. пример e’ на стр. 90), т.е. содержание теперь 0.6×0.9 = 0.54. Значит количество спирта во второй порции 10×0.54 = 5.4 литра. Т.е. получается геометрическая прогрессия с a1 = 6, q = 0.9, n = 20. Вычислим сумму алкоголя во всех порциях: S20 = 6(1 - 0.920)/(1 - 0.9) = 52.71 литров. Всего же перелили во вторую емкость 10×20 = 200 литров жидкости. Поэтому содержание в ней спирта равно       52.71×100/200 = 26.35% .

3) Вычисли суммы следующих бесконечных геометричееских прогрессий:       a). 1/2, 1/4, 1/8, ...              b). 9, -6, 4, ...

Решения. a). Согласно задания a1 = 1/2, q = 1/2 и поэтому S = ... = 1.

b). Здесь a1 = 9, q = -2/3 и поэтому S = ... = 5.4.

4) Мяч упал с высоты 1.2 м, отскочил и затем поднимался всякий раз до высоты, составляющей 3/4 высоты, с которой он опускался предыдущий раз. Вычисли общий путь, пройденный мячем до его остановки на земле.

Решение. Решим эту задачу в предположении, что мяч остановится после бесконечного числа падений и подъемов. Предел суммы всех падений будет(a1 = 1.2) S = 1.2/(1 - 3/4) = 4.8 м, а предел суммы всех подъемов будет(a1 = 0.9)

S = 0.9/(1 - 3/4) = 3.6 м. Поэтому общий путь мяча составит 4.8 + 3.6 = 8.4 м.

5) Сумма бесконечного убывающего геометрического ряда равна 12, а сумма квадратов его членов равна 48. Найди первый член и знаменатель исходного ряда.
Решение. Если a1 и q есть, соответственно, первый элемент и знаменатель исходного ряда, то a12 и q2 суть, соответственно, первый элемент и знаменатель нового ряда. Полученные уравнения: a1/(1 - q) = 12, a12/(1 - q2) = 48. Возведем во вторую степень обе части левого уравнения и затем разделим на соответственные части правого уравнения, получим после сокращений (1 + q)/(1 - q) = 3. Решение этого уравнения   q = 1/2. В результате подстановки получаем a1 = 6.
6)В треугольнике, периметр которого Р, а площадь S, провели три средних линии и образовали второй треугольник (Рис.). Во втором треугольнике снова провели три средних линии и создали третий треугольник и так далее. Найди сумму бесконечной последовательности: a).периметров всех треугольников; b).площадей всех треугольников.

Решение. a).Согласно свойств средней линии длины сторон очередного треугольника равны, соответственно, половине длин сторон предыдущего треугольника. Поэтому периметры треугольников образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 1/2, а первый член равен Р. Отсюда сумма периметров всех треугольников есть Р/(1 - 1/2) = 2Р.

7)Наша последовательность состоит из подобных треугольников, отношения   подобия которых равны 1/2. Поэтому отношение площадей есть (1/2)2 = 1/4. Т.е. площади треугольников образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/4 и первым элементом S. Отсюда сумма площадей всех треугольников есть S/(1 - 1/4) = (4/3)S.

8) Найди общий член последовательности 11/2, 21/4, 31/8, 41/16, ... .

Решение. Из рассмотрения последовательности легко видеть, что каждый ее член состоит из суммы двух чисел: 1+1/2, 2+1/4, 3+1/8, 4+1/16, ... . Первое из них есть член арифметической прогрессии 1, 2, 3, 4, ... , а второе - член геометрической прогрессии   1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... . Значит общий член an = n + 2-n.

9)Найди общий член последовательности 1×1/3, 3×4/9, 5×9/27, 7×16/81,... .

Решение. В числителе есть последовательности: (1) 1, 3, 5, 7, ... ; (2) 1, 4, 9, 16, ... . В знаменателе: (3) 31, 32, 33, 34, ... . Последовательность (1) есть арифметическая прогрессия с общим членом 2n - 1. Последовательность (2) состоит из квадратов натуральных чисел, поэтому ее общий член есть n2(в дальнеейшем мы рассмотрим способ нахождения общего члена в подобных случаях). Последовательность (3) является геометрической прогрессией с общим членом 3n . Отсюда общий член нашей последовательности есть an = (2n - 1)×n2/3n.

10)Найди общий член последовательности 8, -5, 2, 1, -4, 7, -10, 13,... .

Решение. Члены этой последовательности обладают попеременно меняющимися знаками (кроме 1 и 2). Поменяем знаки членов, стоящих на нечетных ппозициях, на обратные и получим последовательность -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, ... . Это арифметическая прогрессия с общим членом 3n - 11. Поскольку мы меняли знаки у членов на нечетных позициях, надо помножить 3n - 11, на такое выражение, что если n четное, то оно не должно изменяться, а если n - нечетное, то это выражение должно поменять знак. Здесь подходит (-1)n. Поэтому искомый общий член есть an = (-1)n(3n - 11).   Если мы хотим менять знаки членов на четных позициях, будем умножать на выражение (-1)n-1 или (-1)n+1

11) Из пункта А выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Спустя 3 ч вслед ему отправился мотоциклист. Который в первый час проехал 20 км, а в каждый следующий час проезжал на 1 км больше, чем в предыдущий. Сколько часов потребовалось мотоциклисту, чтобы догнать велосипедиста?

Решение: данная задача на арифметическую прогрессию. Разность прогрессии 1. Первый член прогрессии 20. Пусть за n часов мотоциклист догонит велосипедиста. Тогда велосипедист проехал

15 * 3 + 15 * n км., а мотоциклист проехал

*n км. Пути у них одинаковые. Составим и решим уравнение:
15 * 3 + 15 * n =

*n ,

n2 + 9n – 90 = 0,

n = 6.

Ответ:6 часов.

12)Артель изготовила в январе 118 изделий, а в каждый следующий месяц она изготавливала на 8 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила артель в марте; в декабре?

Решение: применяем арифметическую прогрессию. Первый член прогрессии 118. Разность 8. Третий член прогрессии равен 118 + 8 * (3 – 1) = 134. Двенадцатый член прогрессии равен 118 + 8 * (12 – 1) = 206.

Ответ: в марте артель изготовила 134 изделия, в декабре 206 изделий.

13)Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший а1 = 5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Записать длину семи стержней.

Решение: применяем арифметическую прогрессию.а1 = 5, а2 = 5 + 2 = 7, а3 = 7 + 2 = 9, а4 = 9 + 2 = 11, а5 = 11 + 2 = 13, а6 = 13 + 2 = 15, а7 = 15 + 2 = 17.

Ответ: 7м, 9м, 11м, 13м, 15м, 17м.

14)В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 минут.

Решение: применяем геометрическую прогрессию.b1 = 1, q = 2.

b8 = b1 * qn – 1, b8 = 1 * 28 – 1 = 128. S8 = b1 *(qn – 1) :(q – 1). S = 1 * (28 – 1) : (2 – 1) = 255. Получилось 255 бактерии. Но среди них присутствует и первоначальная бактерия. Значит от нее родились 254 бактерии.

Ответ: 254 бактерии.

15)Система состоит из трех банков А1, А2 и А3. В первый банк А1 внесен вклад 200000 руб. Процентная ставка обязательных резервов составляет 15%. Какова максимальная сумма кредитов, которую может выдать эта система?

Решение:

n=3, Sn=200000 руб., q=0,85. Обязательные резервы банка А1 составляют 15%, т. е. 200000*0,15=30000 руб. Величина свободных резервов банка составляет 200000-30000=170000 руб. Найдем

Ответ: 437325 руб.

16)При одном из видов кредитования (как правило, краткосрочном) заем в 6000 руб. погашается в течение года по 500 руб. ежемесячно, вносимых в последний день месяца одновременно с уплатой 5% в месяц, начисляемых по формуле сложных процентов на совершаемый платеж. Найти процент всей платы за кредит.

Решение:

В первый месяц заемщик уплачивает 500*1,05=525 руб. Следующими пятью сотнями он пользовался уже 2 месяца, и за это придется заплатить больше: 500*(1,052). Получается геометрическая прогрессия с первым членом 525 и знаменателем q=10,

Ответ: 2356,3 руб.

17)Сумма трех положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то новые числа

Дано:

a1, a2, a3 – данные числа (а.п.)

a1+a2+a3=21

a1+2, a2+3, a3+9 – г.п.

Найти: a1, a2, a3

Решение:

Т.к. a1, a2, a3 – арифметическая прогрессия, используя характеристическое свойство а.п. можем записать 2a2=a1+a3; a1+2, a2+3, a3+9 – геометрическая прогрессия и используя характеристическое свойство г.п. получаем (a2+3)2= (a1+2)(a3+9).

Запишем систему

3a2=21, a2=7

Подставляя в третье уравнение вместо a2=7, получаем (a1+2)( a3+9)=102, т.к. a1+a3=14, значит a3=14-a1, то (a1+2)(14-a1+9)=100 приводим уравнение к виду a12-21a1+54=0. Решая получившееся квадратное уравнение, находим корни a1.1=18, a1.2=3. Значение a1.1=18 не подходит, т.к. сумма первых двух чисел уже будет превосходить сумму всех трех, т.к. все три числа положительны. Итак, a1=3, a2=7, a3=11.

Ответ: a1=3, a2=7, a3=11.

18)Задача о зёрнах на шахматной доске — математическая задача, в которой вычисляется, сколько будет зёрен на шахматной доске, если класть на каждую следующую клетку доски вдвое больше зёрен, чем на предыдущую, начиная с одного.

Для её решения учтём, что доска имеет 64 клетки. При удвоении количества зёрен на каждой последующей клетке сумма зёрен на всех 64 клетках определяется выражением

=1+2+4+…+

-1

что составляет 18 446 744 073 709 551 615.

Заключение.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др..

Существует много применений прогрессий, например в элементарной теории чисел,предсказательная астрология,банковское дело,экономика,в игровых страдеях ставок. В наше время принцип прогрессии все более часто применяется при построении самых разных составляющих музыкальной ткани (в том числе: интервалов, аккордов, кластеров, шумозвуков, громкостных единиц, темпов и синтаксических структур, "фактурной напряженности") и обрел, таким образом, значение одной из важнейших закономерностей формообразования на уровне как панкомпонентного и многокомпонентного, так и монокомпонентного конструктивных процессов.

В данной курсовой работе подобрано 36 задач. 18 из них повышенной сложности. 6 решено мною самостоятельно.

При выполнении работы опиралась в основном на рекомендованную преподавателем литературу.

Литература.

1)    Алексеев В.М. Элементарная математика. –Киев,1983.

2)    Антонов Н.П. и др. Сборник задач по элементарной математике.-М.:Наука,1967.

3)    Баранов И.Б., Ляпин С.Е. Задачи на доказательство по алгебре. –М.:Учпедиц,1954.

4)    Ваховский Е.Б., Пывкин А.А. Задачи по элементарной математике. –М.:Наука,1971.

5)    Лидский В.Б. и др. Задачи по элементарной математике. –М.:Наука,1969.

6)    Ляпин С.Е. и др. Сборник задач по элементарной алгебре.-М.:Просвещение,1973.

7)    Мещерякова Г.П. Нестандартные задачи на прогрессии.//МШ,1998,№6,стр.47.

8)    Мордкович А.Г. Две дюжины задач на прогрессии.//Квант,1971,№2.

9)    Петровская Н.А. Коллекция нестандартных задач на прогрессии.//МШ,1991,№9,стр.60

10) Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.-М.:Просвещение,1990.

11) Сивашинский И.Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям.

        -М.:Наука,1971.

Bukvasha