2. Программирование нестандартных функций
2.1. Постановка задачи.
Составить алгоритм и программу вычисления функции с использованием нестандартных функций:



2.2. Метод решения.
При составлении программы для расчета гиперболических синуса, косинуса , тангенса , а также факториала  используем функции, описанные с помощью оператора FUNCTION. Для описания функций  и  воспользуемся формулами  и .
Для вычисления  используем функцию языка Паскаль .

Блок-схема программы




 
















           Рис.2- Блок схема программы (а-д).
2.3. Описание программы.
Программа FUNCTIONS предназначена для вычисления функции  в произвольной точке .
В начале работы программы необходимо ввести значение переменной , для которой будет вычисляться значение функции , а так же значения констант  и .
Для примера введем значения: ,  , .

Текст программы:
program functions;

   var x,y:real;

   var n,m:integer;

      s:text;

     function sh(q:real):real;

       begin

        sh:=(exp(q)-exp(-q))/2;

       end;
     function ch(q:real):real;

       begin

         ch:=(exp(q)+exp(-q))/2;

       end;
     function th(q:real):real;

       begin

         th:=sh(q)/ch(q);

       end;
     function fact(k:integer):integer;

     var i,f:integer;

       begin

         f:=1;

         for i:=1 to k do f:=f*i;

         fact:=f;

       end;

   begin

     assign  (s,'A:\Факториал.txt');

     rewrite(s);

     Writeln ('Разроботал студент гр.ТМДу-21 Кондратьев В.В.');

     Writeln ('Составить алгоритм и программу вычисления функции сиспользованием нестандартных функций');

     Writeln (s,'Разроботал студент гр.ТМДу-21 Кондратьев В.В.');

     Writeln (s,'Составить алгоритм и программу вычисления функции сиспользованием нестандартных функций');

     writeln ('Введите константы:');

     write ('n:');

     readln (n);

     write ('m:');
     readln (m);

     writeln ('Введите переменную x');

     readln (x);

     y:=fact(n)*ln(sh(x)+ch(x))-th(x)/fact(m);

     writeln ('x=',x:5:2,', y=',y:8:3);

     writeln (s,'x=',x:5:2,', y=',y:8:3);

     readln;

     close(s);
   end.
2.4. Результаты машинного и ручного расчетов.
Результат машинного расчета для  ,  , :
Ручной расчет для тех же данных:
 



2.5. Вывод: Результаты ручного и машинного расчетов полностью совпадают.

 


     3. Операции над матрицами
3.1.    Постановка задачи.
Составить алгоритм и программу операций над матрицами: . Размерности , , .


3.2.   Метод решения.

Операции над матрицами и векторами определяются следующим образом:[7.1], [7.2], [7.3].:

·        сумма матриц  и  порядка i x j – матрица  того же порядка, каждый элемент которой ;

·        матрица - транспонированная к матрице , если   для всех  i и j;
·        произведение матрицы  порядка i x j  и матрицы  порядка j x k – матрица  порядка i x k, каждый элемент которой ;
Все перечисленные операции, а так же ввод данных и вывод результата опишем отдельными процедурами.



Блок-схема программы
















Рис. 3- Блок- схема программы MATRIX.
3.3.   Описание программы.

Программа MATRIX предназначена для выполнения операций над матрицами: .

В начале работы программы необходимо задать значения констант , , , определяющих размерности матриц A, B, C и D.

Затем вводим значения элементов матриц A, B, C и D.

Для определенности примем:
 ;     ;      

;   
Текст программы:



program matrix;

 const Ni=2;           

       Nj=3;

       Nk=5;

 type matr=array[1..Nk,1..Nk] of real;

 var A,At,B,Bt,C,Ct,D,Dt,AtBt,CtDt,S:matr;

     i,j,k:integer;

      s:text;

 procedure multi(var m:matr; p,l:matr);   

 var i1,j1,k1:integer;

   begin

     for i1:=1 to Nk do

       for k1:=1 to Nk do

         begin

           m[i1,k1]:=0;

           for j1:=1 to Nk do

               m[i1,k1]:=m[i1,k1]+p[i1,j1]*l[j1,k1];

          end;

   end;
 procedure vvod(var m:matr;t:char; Ni1,Nj1:integer);

 {ввод матрицы}

 var i1,j1:integer;

   begin

     assign  (s,'A:\Факториал.txt');

     rewrite(s);

     Writeln ('Разроботал студент гр.ТМДу-21 Кондратьев В.В.');

     Writeln ('Составить алгоритм и программу вычисления функции сиспользованием нестандартных функций');

     Writeln (s,'Разроботал студент гр.ТМДу-21 Кондратьев В.В.');

     Writeln (s,'Составить алгоритм и программу вычисления функции сиспользованием нестандартных функций');
     writeln('Ввод матрицы ',t);

     for i1:=1 to Ni1 do

       for j1:=1 to Nj1 do

         begin

           write ('Введите ',j1,' -элемент ',i1,' строки:');

           readln(m[i1,j1]);

         end;

   end;
procedure trans(var mt:matr; m:matr; N1:integer);

 var i1,j1:integer;

   begin

     for i1:=1 to N1 do

       for j1:=1 to N1 do

         mt[i1,j1]:=m[j1,i1];

   end;
procedure summ(var m:matr; p,l:matr; Ni1,Nj1:integer);

 {сумма матриц}

 var i1,j1:integer;

   begin

     for i1:=1 to Ni1 do

       for j1:=1 to Nj1 do m[i1,j1]:=p[i1,j1]+l[i1,j1];

   end;
 begin

   vvod(A,'A',Nj,Ni);         {ввод матриц A,B,C,D}

   vvod(B,'B',Nk,Nj);

   vvod(C,'C',Nj,Nk);

   vvod(D,'D',Nj,Nk);
   trans(At,A,Nj);         {транспонирование матриц}

   trans(Bt,B,Nk);

   trans(Ct,C,Nk);

   trans(Dt,D,Nk);

   summ(CtDt,Ct,Dt,Nk,Nj);

   multi(AtBt,At,Bt);             {умножение матриц}

   multi(S,AtBt,CtDt);
   writeln ('Результирующая матрица:');   {вывод результата}

   for i:=1 to Ni do

     begin

       for k:=1 to Nj do

         write (s,’S[i,k]:7:2,’ );

       writeln;

     end;

  readln;

 end.
3.4  Результаты машинного и ручного расчетов.

В результате машинного расчета для выбранных в п.2.3. матриц A, B, C и D получаем матрицу .


Выполним ручной расчет для тех же данных.



;     ; 
;   




3.5.    Вывод: Результаты ручного и машинного расчетов полностью совпадают.



      4. Вычисление определенного интеграла
4.1.    Постановка задачи.
Составить алгоритм и программу для вычисления определенного интеграла:                        При числе разбиений интервала N = 10.




4.2.     Метод решения.

Вычислим определенный интеграл по методу левых

прямоугольников [7.3]. Метод состоит в разбиении участка

интегрирования на N равных промежутков и вычислении

площадей прямоугольников ,

где ,  - значение функции в начале

интервала разбиения i. Таким образом, площадь под

графиком приближенно заменяется суммой

площадей прямоугольников:

.
                                                                                                                                                            Рис. 4- График функции.F(x)
             Блок-схема программы





4.3.    Описание программы.
Программа INTEGRAL предназначена для вычисления определенного интеграла  по методу  левых прямоугольников.

В начале работы программы необходимо ввести значения констант ,  и количество разбиений . По запросу программы вводим , ,

 
Текст программы:



program integral;

 var i,N,a,b:integer;

     x,y,h:real ;

     s:text;

 begin

   assign  (s,'A:\Седьмая.txt');

   rewrite(s);

   Writeln ('Программа вычисления функциии с использованием нестандартных функций');

   Writeln ('Разроботал студент гр.ТМДу-21 Кондратьев В.В.');

   Writeln (s, 'Программа вычисления функциии с использованием нестандартных функций');

   Writeln (s,'Разроботал студент гр.ТМДу-21 Кондратьев В.В.');

   writeln ('Введите пределы интегрирования:');

   write ('a=');

   readln(a);

   write ('b=');

   readln(b);

   write ('Введите количество разбиений:');

   readln(N);

   x:=a;

   y:=0;

   h:=(b-a)/N;

   for i:=1 to N do

     begin

       y:=y+h*(exp(x)+exp(-2*x))/x;

       x:=x+h;

     end;

   writeln ('I=',y:6:2);

   readln;

   close (s);

   END.




4.4.                 Результаты машинного и ручного расчетов.
Результат машинного расчета: 

Ручной расчет интеграла:  , где ,

Интегралы такого вида вычисляются при помощи разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

Воспользуемся стандартным разложением в ряд функции,

тогда

Проинтегрировав, получаем:







Аналогично можно разложить в ряд и подынтегральную функцию 2-го интеграла, но так как вычисления трудоемки, а подынтегральная функция на указанном интервале достаточно мала (,  ),  то для приближенных вычислений этим интегралом можно пренебречь.
Ошибка вычислений составляет



4.5.    Вывод: Результаты ручного и машинного расчетов можно считать верными с погрешностью вычисления .






5. Нахождение максимального и минимального значений функции
5.1. Постановка задачи.

Составить алгоритм и программу для вычисления наибольшего и наименьшего значения функции на интервале:



5.2. Метод решения.


           Для поиска максимума и минимума на отрезке разбиваем этот отрезок на N равных частей с шагом . Переменной Ymax присваиваем значение, заведомо меньшее, чем может принимать функция, и наоборот, переменной Ymin присваиваем значение, заведомо большее, чем может принимать функция.

Последовательно вычисляем значения  с шагом h и на каждом шаге сравниваем  с  Ymax  и Ymin. Если у > Ymax, то присваиваем Ymax = y;  если y < Ymin, то присваиваем
Ymin = y. Таким образом, после прохождения всего цикла находим максимальное и минимальное значения  на интервале .

Статья I.  

5.3. Описание программы.

Программа MAXMIN предназначена для поиска максимума и минимума функции  на отрезке.


Текст  программы:
program maxmin;

const a=3;

      b=6;

      h=0.01;

 var x,y,xmin,xmax,max,min:REAL;

      s:text;
 begin

 assign (s,'A:\Max and Min.txt');

 rewrite(s);

 Writeln ('Разроботал студент гр.ТМДу-21 Кондратьев В.В.');

 Writeln ('Нахождение макс. и минимального значения ф-ии на отрезке [3,6]');

 Writeln (s,'Разроботал студент гр.ТМДу-21 Кондратьев В.В.');

 Writeln (s,'Нахождение макс. и минимального значения ф-ии на отрезке [3,6]');

 max:=-100000;

 min:=100000;

 x:=a;

 while x<=b do

   begin

     y:=x*x-4;

     if y>max then

       begin

         max:=y;

         xmax:=x;

       end;

     if y<min then

       begin

         min:=y;

         xmin:=x;

       end;

     x:=x+h;

   end;

 writeln ('max=',max:6:3,' при х=',xmax:6:2);
 writeln ('min=',min:6:3,' при х=',xmin:6:2);

 writeln (s,'max=',max:6:3,' при х=',xmax:6:2);

 writeln (s,'min=',min:6:3,' при х=',xmin:6:2);

 readln;

 close(s);

 end.



     5.4. Результаты машинного и ручного расчетов.
В результате работы программы получаем:             при

                                                                                     при

Для выполнения ручного расчета найдем критические точки функции  при помощи производной. Преобразуем исходную функцию:




 при   

Многочлен  не имеет действительных корней, поэтому у функции  имеется точка пересечения , которая находится за пределами отрезка  .  Следовательно, на интервале  функция монотонна, и ее наибольшее и наименьшее значения находятся на концах интервала.
 - наибольшее значение

 - наименьшее значение
5.5. Вывод: Результаты ручного и машинного расчетов полностью совпадают.
Заключение
.
В данной курсовой работе мной получены навыки по решению ряда задач из высшей математике при помощи программы Турбо Паскаль 7.0 (составление программы Матрица, решение уравнения методом левых прямоугольников и др.).

При сравнении ручного и машинного подсчета, у программ №2, №3, №5- ручной и машинный счет совпадает на 100, а в программах №1 и №4 имеется погрешность . Для задания №4 в  представлен график функции F(x).

 На основании подсчетов можно сделать вывод что программа работает правильно а значит и цель курсового проекта выполнена. Имеющаяся погрешность не велика и значит ей можно пренебречь.

 




Список литературы.
1.Карев Е.А.  Информатика: учебное пособие. – Ульяновск: УлГТУ, 1996. – 104с.

2. Вычислительная техника и программирование: Учебник для техн. вузов /А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др.; Под ред. А.В. Петрова.- М: Высш. шк., 1990. - 470 с.

3. Тарчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие. –М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1987. - 320 с.

4. Светозарова Г.И., Сиштов Е.В., Козловский А.В. Практикум программирования на алгоритмических языках. –М.: Наука, 1980. – 200 с.

5. Меженный О.А. TURBO PASCAL: Учитесь программировать. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 488 с.

6. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы. – М.: Наука, 1987.