Реферат Экстремумы функций 3
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Экстремумы функции
На рисунке 123 изображён график функции y=
=0, т.е. некоторый интервал содержащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки x
=0, что наибольшее значение функция
= 0. Например, на интервале (—1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке x
=0. Точку x
= 0 называют точкой максимума этой функции.
Аналогично точку x
= 2 называют точкой минимума функции x
—Зх2, так как значение функции в этой точке меньше ее значения в любой точке некоторой окрестности точки x
=2, например окрестности (1,5; 2,5).
Точка
f(x)
Например, точка хо = 0 является точкой максимума функции f
(
x
)
=1—х2, так как f
(0)=1 и при всех значениях x
(
x
)
<1 (рис. 124).
Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех x
f(x)
Например, точка х0=2 является точкой минимума функции f(x) =3+(x— 2)2, так как /(2) = 3 и /(х)>3 при всех значениях хф2 (рис. 125).
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Рассмотрим функцию /(х), которая определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет производную в этой точке.
Теорема. Если х0 — точка экстремума дифференцируемой функции /(х), то /'(х0) = 0.
Это утверждение называют теоремой Ферма1. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции г/ = /(х) в точке (х0; / (х0), где х0 — точка экстремума функции г/ = /(х), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент /'(х0) равен нулю (рис. 126). Например, функция / (х) = 1 — х2 (рис. 124) имеет
