Реферат

Реферат Метод вращений решения линейных систем

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025



Метод вращений решения линейных систем

    Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе–приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.



       Умножим первое уравнение исходной системы (1) на с1 ,второе на s1 и сложим их ; полученным уравнением заменим первое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на –s1 , второе на c
1
  и результатом их сложения заменим второе уравнение . Таким образом, первые два уравнения (1) заменяются уравнениями

         





Отсюда . Эти числа можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла (отсюда название метод вращения, каждый шаг такого преобразования можно рассматривать как вращение расширенной матрицы системы в плоскости обнуляемого индекса).

В результате преобразований получим систему


где

 

Далее первое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов умножения первого и третьего уравнений соответственно на



а третье–уравнением,  полученное  при сложении   результатов умножения  тех же



где



Выполнив преобразование m-1 раз, придем к системе



      Вид полученной системы такой же, как после первого этапа преобразований методом Гаусса. Эта система обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразований не наблюдается рост элементов.

Далее по этому же алгоритму преобразуется матрица




и т.д.

В результате m-1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.



Нахождение неизвестных не отличается от обратного хода метода Гаусса.

Всего метод вращения требует примерно  операций умножения и деления.
Пример:
Дана СЛУ:

х1+2х2+3х3=8

123=3

1+3х23=5
Умножим первое уравнение на с1, второе на s1, сложим их, а потом умножим первое на ( –s1), а второе на с1 и сложим. Результат : система (1)  из 2 измененных уравнений и 1 оставшегося:
x1(c1+3s1)+x2(2c1+s1)+x3(3c1+s1)=8c1+3s1

x1(3c1-s1)+x2(c1-2s1)+x3(c1-3s1)=3c1-8s1

2x1+3x2+x3=5
Найти c1 и s1
-s1+3c1=0
c1=1/10^1/2
s1=3/10^1/2
Подставим эти значения в первые два уравнения системы  (1), получим новую систему (2):
10x1+5x2+6x3=17

         -5x2-8x3=-21

2x1+3x2=5
Умножим уравнение 1 из системы(2) на с2, третье на s2, сложим их, а потом умножим первое на ( –s2), а второе на с2 и сложим. Результат : система (3):
2x1(5c2+s2)+x2(5c2+3s2)+x3(6c2+s2)=17c2+5s2

2x1(c2-5s2)+x2(3c2-5s2)+x3(c2-5s2)=5c2-17s2
Найти c2 и s2:
-10s2+2c2=0
c2=5/26^1/2

s2=1/26^1/2
Подставим эти значения в уравнения 1 и 3 системы (3), получим систему (4):
52x1+28x2+31x3=90

-5x2-8x3=-21

-10x2-x3=-8
Теперь, оставляя 1 уравнение без изменений, умножим  второе на с3, третье на s3, сложим их., умножим второе на (-s3), третье на с3, сложим и их. Результат : система (5):
52x1+28x2+31x3=90

5x2(-c3-2s3)+x3(-8c3-s3)=-21c3-8s3

5x2(-2c3+s3)+x3(-c3+8s3)=-8c3+21s3
Найдем c3 и s3:
10s3-5c3=0
c3=-1/5^1/2

s3=-2/5^1/2
Подставим найденные значения во 2 и 3 уравнения системы (5) и найдем результирующую систему (6):
52x1+28x2+31x3=90

            35x2-10x3=15

                   -15x3=-30
Ответы:

х1=0

х2=1

х3=2


1. Диплом Лексические и грамматический архаизмы как элемент поэтического стиля Беллы Ахмадулиной
2. Реферат Игровые технологии
3. Курсовая на тему Сталинизм и его последствия
4. Реферат на тему Inbvisible Man Essay Research Paper Invisible Man
5. Реферат на тему The Effects Of The P51 Mustang In
6. Реферат Структура расходов на безопасность жизнедеятельности
7. Биография на тему Вишняков ИЯ
8. Курсовая на тему Разработка учебного пособия Семейство компьютеров Pentium
9. Реферат на тему Martin Luther King Essay Research Paper Letter
10. Краткое содержание Бояриня