Реферат Перестановка слагаемых
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Тема: Перестановка слагаемых.
Цель: Посредством наблюдения вывести правило о том, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется; закрепление умений решать задачи и примеры, изученных видов.
Развивать наблюдательность, внимание, память, логическое мышление.
Воспитывать интерес к предмету.
Оборудование: на доске рисунки для упражнений на внимательность; рисунок с кружочками и примерами к новой теме; примеры на карточках. развешанные по классу; 4 схемы (на карточках) к простым задачам на доске; чистые листочки для детей.
Ход урока.
I. Приветствие. Эмоциональный настрой.
- Какое у вас настроение?
- Повернитесь друг к другу и подарите друг другу улыбки.
- Каким вы хотите, чтобы получился у нас урок математики?
- А какими вы должны быть?
II. Постановка учебных задач. (В деловом темпе, в тоне сотрудничества).
- Хотите знать, чем мы будем сегодня заниматься на уроке?
-Во-первых, я помогу вам развить наблюдательность. Смотрите, какие задачи я вам приготовила!
(Показываю записанные на доске задачи и сразу же закрываю запись занавеской).
- Во-вторых, вы должны проверить правильность примеров, записанных мною на карточках.
- В-третьих, вы посредством наблюдения должны вывести правило о перестановки слагаемых.
- В-четвёртых, мы с вами будем решать задачи и примеры.
III. Устный счёт.
1) Развитие наблюдательности. (В ускоренном темпе. Интригующе и живо)
(Раскрываю часть доски и показываю детям рисунок).
- Посмотрите внимательно и запомните, какие здесь нарисованы фигуры и как они расположены. Кое-что я изменю в них, а вы постарайтесь узнать, что изменилось!
(Время запоминания – 4-5 секунд).
- Опустите головы! Закройте глаза!
(Поворачиваюсь к доске и за 2-3 секунды делаю изменения в рисунке).
Варианты упражнения:
- луч превратить в отрезок;
- не производить никаких изменений;
- заменить цифру 9 цифрой 6.)
(На доске: квадрат, луч, цифра 9, круг, точка, треугольник, цифра 5.)
(После каждого изменения произношу решительно, отходя от доски:
- Поднимите головы! Шепните мне ответ на ушко, какое изменение я внесла в рисунок!? ( Быстро подхожу к каждому, кто хочет мне шепнуть на ухо свой ответ, тут же даю оценку – тоже шепчу на ухо ребёнку. Потом прошу весь класс сказать ответ хором).
- Переходим к следующему заданию. Посмотрите на этот рисунок!
(На доске рисунок большого треугольника, а в нём по несколько различных геометрических фигур. Отодвигаю занавеску и показываю детям рисунок).
- Надо определить, какие фигуры здесь нарисованы и сколько их. Вы считайте про себя, и я – про себя, ведь я тоже не знаю, сколько каких фигур нарисовано! Сосчитаем сначала треугольники..
(Демонстрирую детям, что я тоже считаю фигуры на рисунке).
- Я насчитала пять треугольников! А вы?
(Ответы могут быть разными, кое-кто обнаружит, что треугольников не пять , а шесть, т.к. надо ещё сосчитать большой треугольник, в котором нарисованы все фигуры. Выражаю ему благодарность),
- Сосчитаем теперь точки.
- По-моему их там три.. нет, четыре! Правда? И так далее.
(По мере решения каждого примера справа от рисунка записываю:
(Можно в одном случае сделать «ошибку»: «Итак, здесь четыре прямоугольника!» - и вместо цифры четыре пишу цифру 5 или 6. Даю детям возможность заметить и исправить допущенную мною «ошибку», благодарю того, кто первый поправит меня)
2) Арифметический диктант.
- Опустите головы на парты! Повторять задачу не буду!
(Шёпотом, спокойно, с незначительными паузами говорю:
- Я задумала число.. Если прибавить к нему 6, то в сумме получится 10!
- Какое число я задумала? Покажите пальцами!
(Дети, не поднимая головы и не открывая глаз. Показывают свой ответ пальцами и говорю вполголоса (если ответ правильный):
- Правильно…Спасибо… Верно… Молодец!.... В том случае, если ответ неверный, то вселяющим надежду голосом шепчу: - Ошибся! Подумай ещё! Я к тебе ещё подойду!)
- Второе задание!
- Забыла, какое число отняла от 10, однако знаю. Что осталось 7!
- Какое число я забыла?
( Снова подхожу к детям…)
- Хотите пример-загадку? (Говорю шёпотом).
- Пусть каждый из вас задумает любое число от 1 до 5!
- Задумали? Прибавьте к задуманному числу 3! Прибавили?
- Прибавьте ещё 2!.. Из полученной суммы вычтите задуманное число!..
- Вычтите ещё 1!
- Хотите, я разгадаю, что у вас получилось?
- Поднимите головы! Смотрите на меня!
(Затем быстро и решительно записываю на доске цифру. Прикрываю занавеской, чтобы дети её не видели. Живо и быстро спрашиваю:
- Что у вас получилось? Скажите вместе! (Взмах рукой. Хоровой ответ детей в полный голос:
- Четыре!)
( Сразу отодвигаю занавеску на доске).
- Верно я угадала?
3) Игра «Собери примеры и определите, правильно ли я их решила». (Решение примеров на сложение и вычитание с числом 4.)
(Примеры написаны на карточках и развешаны по классу. Есть примеры с неверным ответом).
(6 + 4 = 9 8 – 4 = 4 5 + 4 = 9 7 – 4 = 2 2 + 4 = 7 6 – 4 = 2 )
( Дети находят примеры и исправляют ошибки).
- Что вы заметили?
- Какую мы повторили таблицу?
III. Работа над новым материалом.
1) Наблюдения учащихся.
- Вы хорошо справились со всеми заданиями, я надеюсь, что вы сейчас сможете вывести новое правило перестановки слагаемых.
- Посмотрите внимательно на рисунок и запись на доске.
( На доске нарисованы 2 синих круга и 1 красный. Рядом запись: 2 + 1 = 3
Ниже: 1 красный круг и 2 синих. Рядом запись: 1 + 2 = 3)
- Что вы заметили? Почему всё время получается 3?
- Какой можно сделать вывод?
2)- Давайте прочитаем правило на с. 14 учебника.
( Чтение правила. Рассматривание рисунков в учебнике.)
IV. Закрепление пройденного материала.
1) Решение задач:
а) Задача № 2., с 14.
( Задача читается, анализируется. Ребята находят соответствующую схему к задаче на доске. Выполняют краткую запись. Самостоятельно записывают решение в тетрадь. Учитель может предложить тоже записать решение задачи вместе с ребятами и при этом рассуждает вслух и делает ошибку в записи решения. Кто-то из ребят замечает ошибку, говорит учителю. Учитель благодарит тех ребят, которые первыми заметили ошибку).
б) Задача № 3 , с 14.
(Выполняется аналогично первой)
2) Самостоятельное составление примеров.
(Каждому ложу на парту листок бумаги)
- Можно вас попросить помочь мне? Составьте. Пожалуйста. 1-2 примера на сложение и вычитание. Я отберу из них самые интересные и сложные. А завтра будем решать их всем классом. Этим вы поможете мне подготовиться к уроку.
V. Итог урока.
- Какой у нас получился урок?
- Какой вывод вы сделали на уроке?
- Кому за урок вы бы хотели сказать «спасибо»?
( Учитель выражает детям благодарность за урок, говорит им «спасибо»).
6 + 4 = 9
8 – 4 = 4
5 + 4 = 9
7 – 4 = 2
2 + 4 = 7
6 – 4 = 2 1 класс. Тема: "Решение задач. Закрепление"
Цели:
1) совершенствовать навык счёта в пределах 10, закреплять знания состава чисел, закреплять умение решать задачи изученных видов, учить преобразовывать задачи, использовать математическую терминологию;
2) развивать мышление, память, внимание, речь;
3) воспитывать организованность, интерес к предмету, бережное отношение к природе, расширять кругозор.
Тип урока: закрепление.
Оборудование: карточки с цифрами для устного счёта, картинки с изображением Муравьишки, Лесовичка, Паука, карточки с примерами, цифры, схемы к задачам, карточки для устного счёта (у каждого ученика).
1. Организационный момент.
Ну-ка проверь, дружок,
Ты готов начать урок?
Все ль на месте, всё ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят
Тут затеи и задачи, игры, шутки - всё для вас!
Пожелаю всем удачи -
За работу, в добрый час!
Сегодня на уроке у нас очень много гостей. Они хотят посмотреть чему вы научились. Но к нам на урок ещё пришёл кто-то. Догадайтесь.
На поляне, возле ёлок,
Дом построен из иголок.
За травой не виден он,
А жильцов в нём миллион.
Что же это за жильцы? (правильно - Муравьи)
(картинка - Муравьишка с шарами, а на них написано, чему будем учить его).
Вот сегодня на урок и пришёл Муравьишка Вопросик. Вы же знаете, что он очень любознательный, хочет всему научиться. Сегодня он решил учиться вместе с вами математике. Но не в классе, а пригласить вас в лес, где много интересного и полезного. Вы согласны?
Прежде чем отправиться в путь проведём разминку.
2. Устный счёт
б) работа с классом.
- счёт через 1 число, через 2, через 3 (до 20)
- ряд чисел 13 5 6
что общего?
лишнее? почему? (отложить в сторону)
продолжить ряд. Какие это числа? Кто может дальше продолжить? Дополнить каждое число до 10,
расскажите всё, что знаете о числе 6.
- проверяем домик, который заполняет 1 ученик.
- проверяем примеры (2 ученик решал)
- чем похожи примеры? (везде ответ 6)
- как число 6 связано с Муравьишкой?
- к какой группе животных относится (насекомые).
Молодцы! Теперь в путь. Самый короткий маршрут нам укажет числовая
дорожка, которую предлагает Муравьишка. Дорожка у каждого на столе.
в) математический диктант.
- первое слагаемое 6 - второе 4
- 6 увеличить на 2
- 7 уменьшить на 1
- из какого числа вычесть 2, чтобы получить 2
- сколько прибавить к 8, чтобы получить 10
- сколько вычесть из 5, чтобы получить 5.
Проверка - у Муравья на сапожках соответствующего цвета (как и на
цепочке) написаны ответы.
На доске получилась запись
1 3 5 7 9
10 8 6 4 2 чем отличаются эти ряды чисел.
Научили Муравьишку считать. Переворачиваем 1 шарик с надписью (считать).
3. Работа над пройденным материалом.
Физ. минутка.
Подошли к лесу. В лесу растут самые разнообразные деревья. Хотите узнать, какое дерево является лучшим пылесосом? Если выполните следующее задание, научите Муравьишку решать примеры, он вам расскажет,
а) решить цепочку примеров. Ответ показать цифрой.
Что заметили? (примеры круговые). Дополните своим примером, чтобы круг замкнулся. Разделите на 2 группы.
Научили Муравьишку решать примеры. Открываем 2 шарик.
Найдите лишний пример? Почему?
7 + 1 = 8. прочитайте по-разному. Составьте различные задачи по этому решению. Назовите ответ в этих задачах. Посмотрите в таблицу и узнаете, какое дерево является лучшим пылесосом.
берёза - 6 (картинка тополя или из гербария)
тополь - 8
сосна - 4
б) решение задач.
Отгадайте загадку: На тополиную ветку
Кто сумел повесить сетку? (паук) (рассказ Муравьишки про паука)
Можно ли паука назвать насекомым? Почему?
У Муравья 6 ног. У паука - 8. это задача? Почему? Поставьте вопрос так, чтобы он начинался со слов на сколько... (на сколько ног у Муравья меньше, чем у паука)
- повторяем задачу.
- что нам известно М - 6 ног
П - 8 ног. На сколько меньше?
- что надо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (из 8 вычесть 6).
Почему? (чтобы узнать на сколько 1 число меньше другого, надо из большего вычесть меньшее).
Выложить решение на столах. Один - у доски.
- На сколько же у Муравья ног меньше, чем у паука?
- А на сколько у паука больше, чем у Муравья.
А дальше на нашем пути озеро. Но что это? В озере мусор. Давайте очистим его от мусора.
Решим примеры (карточкой ответ). "Мусор" вытащили и на доске
4 - 2 = 2
4 + 2 = 6
6 - 4 = 2
6 + 4 = 10
К каждому решению составляем задачу.
Теперь послушаем задачу. У озера росли 4 ракиты, а берёз на 2 больше.
Сколько росло берёз?
- пересказ задачи (2 ученика). О чём говорится в задаче?
- что известно в задаче? (краткая запись)
- что сказано о берёзах?
- что значит на 2 больше? (столько же да ещё 2)
- как решаем такую задачу. Выберите правильное решение.
- сколько же росло берёз? (6)
Измените условие так, чтобы решение было 4 - 2 = 2. Рассказывают задачу. Почему будем так решать? Что значит на 2 меньше?
Сколько росло ракит? (4) А сколько берёз - мы узнали (6).
Что же узнаем, если из 6 - 4.
Что узнаем, если к 6 + 4 (научили решать задачи, переворачиваем шарик)
Пришли на полянку. Отдохнём.
Физ. минутка,
в) самостоятельная работа.
Кто это поджидает нас. Лесовичок - хозяин леса. Он предлагает вам задание для самостоятельной работы, (дифференцированное задание). Открывают учебник. Несколько человек решают задачу стр.21 №5 - решение выкладывают на партах. Потом решают примеры со всеми вместе. Остальные примеры №13 (3 столбика) стр.23, в тетрадях стр.9 №2. (задачу проверяет учитель у каждого).
Проверка: - назовите примеры, в ответе которых получилось 10, 9, 8, 7.
Молодцы!
г) геометрический материал.
Чтобы выйти из леса, вы должны перейти ров.
- выложить из палочек
- какие фигуры видите?
- сколько их?
- переложите 2 палочки, чтобы стало 4 треугольника
- какая ещё фигура получилась?
4. Итог.
- чему учили Муравьишку? (на шарах)
- что нового рассказал Муравьишка вам?
- какое доброе, полезное дело сделали в лесу?
- что больше всего понравилось?
- какие задания показались трудными?
Лесовичку очень понравилось как вы вели себя в лесу, как работали хорошо на уроке. Он дарит вам свой портрет. Только он не цветной. Вы его раскрасите сами. Для этого решите примеры. Заодно и повторите таблицу сложения.
Тема: «Закрепление изученного».
Цель: Закрепить знания о числах в пределах 10 и математических действиях с ними.
Задачи: Систематизировать знания учащихся по темам, изученным в 1 классе. Повторить основные математические понятия: названия компонентов и результатов математических действий, названия и признаки некоторых геометрических фигур; соседей чисел.
Совершенствовать умение решать задачи, определять тип и составляющие части задачи, закрепить навык нахождения значений математических выражений.
Способствовать формированию навыка самостоятельной работы, навыка каллиграфического письма. Развивать логическое мышление и речь учащихся, внимание, память по средствам анализа выполняемых и планируемых действий.
Воспитывать умение работать в коллективе, прививать интерес к предмету, стимулировать познавательную активность.
Ход урока:
I Организационный момент.
Стихотворение читает подготовленный учащийся.
- Ну-ка покажи, дружок!
Готов ли ты начать урок?
Все ли правильно сидят?
Все ли весело глядят?
Слушайте внимательно.
Работайте старательно!
II.Сообщение темы и цели урока.
Сопровождается выставлением картинного плана.
- устный счёт
- минутка чистописания
- работа с геометрическим материалом
- физминутка
- решение задачи
- решение примеров
- Сегодня на уроке мы закрепим знания и умения по темам, с которыми мы познакомились на предыдущих уроках. Вспомним решение задач, нахождение значений математических выражений, названия и свойства некоторых геометрических фигур.
- А начнем урок с устного счёта.
III Устный счёт.
• Индивидуальная работа по карточкам – 3 человека
• Работа у доски (решение уравнения х+5=7) – 1 учащийся
• Работа с тренажёром на компьютере – 1 учащийся
Затем меняются местами ученик, работавший у доски и ученик за компьютером
• Работа у доски (решение уравнения 6-х=2) – 1 учащийся (ранее работавший с тренажёром)
Фронтальная работа.
1.Счёт.
От 20 до 10 парами
От 5 до 25 пятёрками
От 3 до 15 тройками
2.Нахождение числа по его характеристике.
- число, которое на 1 больше 3
- числа, которые больше 2,но меньше 7
- соседей числа 12,15,20
- предыдущее 17,19,25
3.Задачи в стихах.
Инсценируют подготовленные учащиеся.
Белка с рынка возвращалась
И с лисою повстречалась.
- Что ты, белочка несёшь?
Задала лиса вопрос.
- Я несу своим детишкам
2 ореха и 3 шишки.
- Ты, лиса, мне подскажи,
Сколько будет 2+3?
По траве бежал котёнок
А за ним бежал щенок
Кто, ребята, сосчитает,
Сколько там бежало ног?
Мы ходили на базар,
Выбирали там товар:
3 морковки,2 петрушки,
Тыква. Свёкла. Сельдерей.
Сколько будет овощей?
Вот задумал ёж друзей
Пригласить на юбилей.
Пригласил 2 медвежат,
3 зайчат и 5 бельчат.
Посчитайте поскорей,
Сколько у ежа друзей?
- Молодцы, вы хорошо справились с заданиями!
IV Чистописание.
- Продолжает наш урок минутка чистописания.
- Для чего мы проводим минутку чистописания?
А)- Чтобы узнать какую цифру будем писать на минутке чистописания, нужно выполнить следующее задание:
- Как называется книга, по которой мы изучаем математику?
УЧЕБНИК
- А как называю детей, которые учатся в школе?
УЧЕНИК
- Как учебник превратить в ученика?
(зачеркнуть буква Б)
-Какое математическое выражение можно составить?
7-1=6
- Назовите компоненты вычитания.
- С какой цифрой будем работать? 6
Цифра 6 – дверной замочек,
Сверху – крюк, внизу – кружочек.
Эта цифра – акробатка:
То шестёрка, то девятка.
- Дайте характеристику числу 6(однозначное, соседи)
Определите закономерность и пропишите в той же последовательности.
6 66 666 6666
-Дальше, по плану, работа с геометрическим материалом.
Б) графический рисунок «Кораблик»
- Что видите на рисунке?
-Продолжите рисунок по клеткам.
- Из каких геометрических фигур состоит кораблик?
- Какие ещё геометрические фигуры вы знаете?
- Какие свойства геометрических фигур вам знакомы?
V.Закрепление.
1)Работа с учебником. Стр.111
- С какими геометрическими фигурами предлагает нам поработать Незнайка в № 3 стр. 111?
- Как называются эти фигуры?
- Чем отличается луч от прямой линии?
- Чем от них отличается отрезок? (можно измерить длину)
Выполнение задания учебника.
ФИЗМИНУТКА.
2)- А сейчас поработаем над задачами стр.111 №1
Запись условия и решения задачи коллективно.
- Прочитайте вторую задачу.
- Какой тип задачи?
- Выберите схему, которая поможет решить эту задачу.
Иллюстрирование задачи на доске.
- Как узнать, на сколько одно число больше или меньше другого?
- Запишите решение этой задачи.
- Сравните эти задачи.
- Чем они отличаются?
- Что общего в них?
3) Приступаем к решению примеров.
Работа в парах по карточкам.
- На какое действие примеры?
- Назовите компоненты при сложении.
Проверка коллективно после первых 5 пар.
Нахождение значений выражений.
2+2=4 м
4+5=9 о
7-3=4 л
8-8=0 о
7+0=7 д
10-5=5 ц
9-7=2 ы
9 6 7 4 5 0 2
О М Д Л Ц О Ы
-Поднимите руку те дети, у кого получилось слово.
- Выйдите к доске и скажите это слово хором.
(МОЛОДЦЫ!)
VI Итог.
Выставление оценок за урок и по карточкам. Домашнее задание.
Пестова Олеся Анатольевна
Государственное Учреждение «Общеобразовательная средняя школа № 14 города Темиртау»
Учитель начальных классов
Источник информации:
1.Л.Г.Петерсон «Математика 1 класс»
2.Н.Л.Кульчинская «Геометрические узоры»
3.Е.Л.Горбунь «Королевство весёлых чисел».
Организация игры.
Для данного расположения фигур дается перечень ответов, из которых следует указать номер ответа на каждый из заданных вопросов.
Для иного расположения фигур ребенку самому надо составить ответы.
В первом и втором случаях вопросы одинаковые. Играть могут двое. Один размещает фигуры, второй отвечает. Делается это поочередно. Правильный ответ —1 балл, неправильный ответ — 0 баллов. Выигрывает тот, кто наберет больше баллов.
Эту игру можно проводить со всеми учащимися класса. Ведущий располагает фигуры. Дети отвечают на те же четыре вопроса, записывая ответы. Затем ведущий может фронтально анализировать ответы или собирает ответы и оценивает их. Выигрывает тот, кто наберет больше баллов.
Второй пример дидактической игры, в основе которой лежит так называемый “Магический квадрат”. В методических пособиях и учебниках предлагаются различные виды работ с занимательными квадратами. К сожалению, чаще всего учителя, экономя время урока, не учат детей работать с ними. Между тем, магические квадраты обучают детей различным вычислительным алгоритмам. Задания каждый учитель может придумать легко, в зависимости от цели урока, например:
Задание №1. Подберите числа, чтобы квадрат стал магическим: 8 7
6
5
правильный ответ: 3 8 7
10 6 2
5 4 9
Задание №2. Используя числа квадрата, составьте из них произведения, один из множителей которых равен 2: (4*2=8, 2*2=4, 3*2=6, 5*2=10).
Задание №3. Какие числа второго квадрата можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых равен 2? (8=4*2, 10=2*5, 6=2*3, 4=2*2, 2=2*1).
Задание №4. При делении каких чисел можно получить второе число верхнего ряда? (16:2=8, 24:3=8, 32:4=8 и т.д.); При делении каких чисел можно получить третье число нижнего ряда?(18:2=9, 81:9=9 и т.д.)
Третий пример игровой ситуации – решение “Круговых примеров”. В данном случае надо подбирать примеры так, чтобы число, получаемое в результате одного из них, являлось началом другого. Примеры следует писать вперемешку. Ответ последнего совпадает с началом первого, например: 41-33, 72-9, 63:7, 71-15, 54+17, 9*6, 8*9, 56:8, 7+34. При самостоятельном решении круговые примеры предупреждают учащихся от ошибочных результатов, так как, не получив верного ответа, дети не найдут начало следующего примера. Для большей самостоятельности при выполнении задания эффективнее проводить работу по вариантам:1 вариант
57:19*26
91-38+15
60:5*6
78:6*7
68:17*15
72-15*1 Ответ последнего (57) совпадает с началом первого примера. 2 вариант
72:24*19
75:5+69
98:2+23
57+27:12
84:6*7
7*13-16 Ответ последнего (72) совпадает с началом первого примера.
Четвертый пример игровой ситуации - “Задание для товарища”, стимулирующее познавательную и творческую активность учащихся. Учитель проецирует на доску задания общего характера:
Увеличить: в несколько раз, на несколько единиц.
Уменьшить: в несколько раз, на несколько единиц.
Во сколько раз число больше или меньше?
На сколько единиц число больше или меньше?
Делимое, делитель, частное.
Уменьшаемое, вычитаемое, разность.
Слагаемое, сумма.
Множители, произведение.
Ниже записаны числа:6
7
8
9 12
15
60
48 36
33
66
99
Используя задания – подсказки и числа, учащиеся самостоятельно составляют задание, а затем предлагают его товарищам, например:
число 6 увеличь в 9 раз;
во сколько раз 66 больше 33?
уменьшаемое 48, разность 12. Найдите вычитаемое и т.д.
Пятый пример игровой ситуации - организация самостоятельной работы по решению задач в виде игры. Например, каждый ученик получает карточку с заданием – задачей. Задача у всех может быть одной и той же, но или степень помощи к ее решению разная (хорошо подготовленный ученик составляет и решает задачу по краткой записи, менее подготовленный ученик – составляет задачу по краткой записи и заканчивает ее решение) или задания по одной и той же задаче разные.
Карточка №1. Вставь пропущенные в тексте задачи слова и числа, если данное выражение является её решением: 360 + 360 : 2. “Фермер отправил в магазин ……….. кг малины, вишни ………………….. , а смородины …………………. . Сколько килограмм смородины отправил фермер в магазин?” Запиши решение задачи по действиям с пояснением.
Карточка №2. Вставь пропущенные в тексте задачи слова и числа, если данное выражение является её решением: 360 + 360 : 2. “Фермер отправил в магазин ……….. кг малины, вишни ………………….. , а смородины …………………. . Сколько килограмм смородины отправил фермер в магазин?” Запиши другие вопросы, на которые можно ответить, используя условие задачи. Покажи решение.
Карточка №3. Вставь пропущенные в тексте задачи слова и числа, если данное выражение является её решением: 360 + 360 : 2. “Фермер отправил в магазин ……….. кг малины, вишни ………………….. , а смородины …………………. . Сколько килограмм смородины отправил фермер в магазин?” Начерти схему, соответствующую условию задачи. Запиши, пользуясь схемой, пояснение к выражению:
360 • 2 + 180 • 2.
Дидактические игры, кроме решения учебных задач, способствуют воспитанию граждан, способных думать, умеющих найти правильное решение в ситуации выбора, при этом духовно богатых и нравственных. Игры важны и для развития мышления. Например, математическое мышление - это не только цифры, это еще и абстрактное мышление, это умение просчитывать ситуацию "Математика. Считаем уверенно" А.Е. Соболева, Е.Е. Печак
Однако, игра не должна быть самоцелью, а должна служить средством развития и обучения. Поэтому при проведении дидактических игр на уроке необходимо продумывать следующие вопросы:
Цели игры: дидактическая (какие умения и навыки формируются в процессе игры по предмету); развивающая (развитие логического и математического мышления, развитие качеств ума); воспитательная (воспитание волевых качеств, взаимопомощи, доверия друг другу, дружбы, чувства товарищества, умение подчинять свои личные интересы интересам группы).
Материал игры должен быть посилен для всех детей.
Дидактический материал прост и по изготовлению и по использованию.
Знакомство с правилами игры в минимально короткий срок, при чем, правила должны быть простыми и четко сформулированными.
Игра интересна только в том случае, если в ней принимает активное участие каждый ребенок. Длительное ожидание своей очереди снижает интерес к игре.
Организация детей (соревнование отдельных учеников, команд, участие всего класса).
Подведение итогов игры должно быть четким и справедливым
Информационно-справочная система
Электронная хрестоматия
по методике преподавания математики
введение
Общая методика
Курс математики в средней школе и методика преподавания
Составные части методики преподавания математики
Цели обучения математике
Взаимосвязь целей, содержания, форм и методов обучения математике
Движение за реформу математического образования
Предмет математики, роль математики, роль практики в возникновении и развитии математики, математические абстракции
Математическая деятельность, её составные части
Практические приложения математики
Связь математики с другими учебными дисциплинами (мировоззренческий аспект)
Анализ программ по математике для 1-11 классов
Содержание школьного курса математики
Перспективы развития школьного курса математики
Принципы дидактики в преподавании математики
Реализация дидактических принципов в обучении математике
Принципы обучения как категории дидактики
Принцип воспитания
Принцип направленности обучения на взаимосвязанное решение задач образования, воспитания и развития учащихся
Принцип научности
Принцип усиления прикладной направленности обучения
Принцип систематичности и последовательности
Принцип доступности
Принцип сознательности, активности, самостоятельности и прочности усвоения
Принцип наглядности
Принцип индивидуального подхода к учащимся
Принцип прочности знаний
Методы обучения математике
Методы обучения, выделяемые по источнику знаний
Словесные методы обучения
Наглядные методы обучения
Практические методы обучения
Методы обучения, определяемые уровнем познавательной деятельности учащихся
О сочетании методов обучения
Проблемное обучение математике.
Методы проблемного обучения
Исследовательский метод
Метод проблемного изложения
Эвристический метод обучения математике
Метод программированного обучения в преподавании математики
Особенности программированного обучения
Методы информатики в обучении математике
Методы информатики в обучении математике
Методы научного познания в обучении математике
Эмпирические методы познания
Логические методы познания
Анализ и синтез
Сравнение и аналогия
Обобщение, абстрагирование и конкретизация
Математические методы познания
Применение индукции и дедукции в преподавании математики
Индукция
Математическая индукция
Дедукция
Методика введения математических понятий в школьном курсе математики
Математические понятия
Математические понятия, предложения и доказательства
Математические суждения и умозаключения
Основные виды математического суждения
Теоремы в школьном курсе математики
Математические предложения
Методика обучения решению задач
Роль задач в обучении математике. Обучение общим методам решения задач
Значение учебных математических задач
Роль задач в процессе обучения математике
Обучение математике через задачи
Общие методы обучения решению математических задач
Организация обучения решению математических задач
Урок математики
Организация обучения математике
Урок, его структура. Основные требования к уроку. Типы уроков
Средства обучения математике. Кабинет математики
Наглядные пособия и технические средства информации прямой связи в преподавании математики
Технические средства обратной связи в обучении математике
Проверка и оценка знаний учащихся
Организация обучения математике в вечерних и заочных школах в профессионально-технических училищах
Повышенная математическая подготовка учащихся
Внеклассная работа с учащимися по математике и методика ее преподавания
Внекласная работа учащихся по математике и методика её проведения
Кружковые занятия по математике и методика их проведения
Работа учащихся с дополнительной литературой при обучении математике
Факультативные занятия по математике и методика их проведения
Список использованной литературы
Введение
Курс методики преподавания математики состоит из двух частей: "Общая методика" и "Специальная методика".
Л.
П.
С/Р
Всего
6 сем. (Э)
26
26
52
104
7 сем. (Э)
26
26
52
104
8 сем. (З) (6 нед.п/пр.)
18
24
42
84
9 сем. (З) (8 нед.п/пр.)
18
26
34
68
10 сем. (З)
18
24
42
84
106
116
222
444
Гос. Экз. - Один из разделов - МПМ
На первую страницу
Общая методика
В курсе общей методики преподавания математики рассматриваются цели обучения математике, анализируется содержание учебной программы и учебников, изучаются вопросы методики обучения учащихся понятиям, теоремам, доказательствам, решению задач. При этом учитываются достижения базисных наук: математики, логики, теории познания, дидактики, психологии и др. Знания, умения и навыки по общей методике составляют методический "инструментарий", с помощью которого строится методика изучения отдельных учебных курсов, разделов, тем, понятий и фактов.
Глава 1
Курс математики в средней школе и методика преподавания
Предмет методики преподавания математики (содержание, цели, задачи ). Три фундаментальные комплексные проблемы методики преподавания математики. Проблема содержания школьного курса математики. Проблема структуры этого курса. Проблема методов обучения математике в средней школе. Движение за реформу математического образования. Цели обучения математике в средней общеобразовательной школе. Значение школьного курса математике в общей системе образования. Формирование научного мировоззрения, воспитание учащихся в процессе изучения математики. Связь обучения математике с жизнью.
Составные части методики преподавания математики
Цели обучения математике
Взаимосвязь целей, содержания, форм и методов обучения математике
Движение за реформу математического образования
Предмет математики, роль математики, роль практики в возникновении и развитии математики, математические абстракции
Математическая деятельность, её составные части
Практические приложения математики
Связь математики с другими учебными дисциплинами (мировоззренческий аспект)
Составные части методики преподавания математики
Методика преподавания математики - дисциплина, которая занимается разработкой целей, содержания, средств, форм и методов обучения математике в учебных заведениях различных типов.
Учебный курс методики преподавания математики состоит из двух разделов: общая методика и частные методики (методики изучения отдельных учебных предметов).
Назад к оглавлению | К началу главы
Цели обучения математике
1. Ведущие цели обучения математике в школе. Три крупные группы целей:
а) прогностические (обучающие);
б) мировоззренческие, направленные на воспитание математической культуры (воспитательные и развивающие);
в) личностно-ориентированные (воспитательные в более узком смысле).
2. Требования к целям:
а) прогностические цели должны обладать - конкретностью, конструктивностью, проверяемостью, участием ученика в процессе учения;
б) мировоззренческие должны пронизывать весь учебный процесс, выражать стремление к аргументации и четким логическим схемам рассуждения, к четкому расчленению рассуждения и т.п.;
в) личностно-ориентированные должны учитывать формирование возможных в том или ином возрасте качеств личности средствами предмета.
3. Этапы формирования действия целеполагания у учащихся:
а) первый этап - учитель раскрывает структуру действия постановки (полагания) цели;
б) второй этап - учитель привлекает детей к постановке цели и критическому осмыслению полученных результатов при достижении цели;
в) третий этап - учащиеся под руководством учителя конструируют цель изучения конкретного учебного материала;
г) четвертый этап - учащиеся самостоятельно ставят цели, а классный коллектив критически анализирует процедуру постановки цели и достижения результата.
Цели обучения математике отражают общедидактические цели и вместе с тем учитывают специфику данного учебного предмета. Разработка целей обучения является непростым делом. В дидактике и частных методиках в этом направлении сделаны определенные шаги. Цели обучения математике подразделяются на несколько групп: образовательные (в том числе-практические), воспитательные, развивающие.
Образовательные цели обучения во многом зависят от принятой формы дифференциации обучения. Основным документом, в котором фиксируются цели обучения математике, является программа по математике. Необходимо различать два уровня описания целей обучения: общая характеристика целей обучения и конкретное их представление. Общая характеристика целей обучения дается в объяснительной записке к программе по математике. Существуют различные способы конкретного представления целей обучения. Образовательные цели, например, формулируются в виде требований к уровню математической подготовки учащихся. В программе по математике для этого выделяется специальный раздел "Требования к математической подготовке учащихся". Другой раздел программы "Содержание обучения" представляет образовательные цели в еще более конкретной форме. Дальнейшей конкретизацией образовательных целей служит учебник. Предельно конкретный уровень представления образовательных целей имеет место в экзаменационных билетах для учащихся, контрольных работах, предлагаемых Министерством общего и профессионального образования. В методических пособиях часто формулируются цели обучения для отдельных тем, уроков. Образовательные цели призваны разграничить основной и второстепенный материал и в соответствии с этим помочь учителю рационально распределить учебное время.
Умение правильно формулировать цели уроков приходит к начинающему учителю не сразу. В период педагогической практики студенты нередко испытывают затруднения в постановке целей урока. При формулировании ими образовательной цели урока не всегда хватает четкости, конкретности (особенно в дифференциации целей "соседних" уроков). Иногда образовательная цель повторяет (или почти повторяет) название темы урока. Например, цель урока на тему "Первый признак равенства треугольников" чаще всего формулируется так: "Изучить первый признак равенства треугольников". Аналогично формулируются цели и в других случаях: "Изучить теорему Виета", "Изучить определение производной функции" и т.д. Во всех этих формулировках имеется общий недостаток: в них не уточняется, на каком уровне должен быть изучен данный элемент учебного материала. Необходимо указывать, когда ставится цель только ознакомить учащихся с тем или иным элементом учебного материала, когда - добиться хорошего воспроизведения учебного материала учащимся, а когда - заложить первоначальные умения и навыки и т. д. Еще большие затруднения начинающий учитель испытывает при постановке воспитательных и развивающих целей урока.
В некоторых методических руководствах имеются непосредственные указания, на каком уровне должен быть изучен тот или иной теоретический материал, в решении каких задач должны быть сформированы умения и навыки. Эти указания помогут начинающему учителю точнее формулировать цели урока.
Первым практическим навыком, которым должен овладеть студент, является навык безошибочной дифференциации целей обучения по трем группам (образовательные, воспитательные и развивающие). В изучении данного вопроса, приобретении соответствующих умений помогут следующие задания.
Несколько слов о постановке воспитательных целей. Они должны быть тесно связаны с содержанием урока. Это могут быть цели по формированию мировоззрения, сознательного отношения к учебе, развитию" познавательной и общественной активности, культуры учебного труда, воспитанию сознательности, расширению политехнического кругозора, подготовке к сознательному выбору профессии и т. д.
Развивающие цели должны находиться также в тесной связи с содержанием урока. Приведем примеры постановки развивающих целей:
развитие у учащихся навыков применения анализа, синтеза, сравнения, аналогии, индукции, дедукции, обобщения, конкретизации, моделирования классификации;
развитие у учащихся геометрической, алгебраической и числовой интуиции, пространственного представления и воображения, сообразительности, наблюдательности, памяти и т. д.
Назад к оглавлению | К началу главы
Взаимосвязь целей, содержания, форм и методов обучения математике
Цели, содержание и методы обучения взаимно связаны и обусловливают друг друга (при сохранении ведущей роли целей обучения). Из различных целей обучения наиболее подвижны и изменчивы образовательные цели. Следующие задания помогут подтвердить это положение и проиллюстрировать механизм взаимодействия целей, содержания и методов обучения.
Отдельно отметим воспитательные возможности исторического материала. Исторические экскурсы позволяют в доступной для учащихся форме раскрыть основу происхождения математических понятий и фактов. Они положительно сказываются на эмоциональном отношении учащихся к учебному материалу, на воспитании их моральных качеств и развитии интеллекта. Незаменимым средством при этом являются также старинные задачи, задачи с занимательным сюжетом, математические игры и т. п.
Остановимся на функциях компьютеризации обучения, являющейся одним из требований реформы школы. Первый шаг в осуществлении компьютеризации обучения заключается в использовании в школе микрокалькуляторов. В чем состоят образовательные, воспитательные и развивающие цели применения микрокалькуляторов на уроках математики? Прежде всего, очевидна практическая значимость применения микрокалькуляторов (коль скоро вычислительной техникой оснащается наука и производство).
Микрокалькулятор удобно использовать при введении, например, понятий длины окружности и площади круга. Вычислив 8-9 членов последовательности периметра (площадей) правильных вписанных n-угольников, учащиеся наглядно убеждаются в сходимости этих последовательностей. С помощью микрокалькулятора удобно организовать машинный эксперимент по обнаружению некоторых теорем (например, при изучении теоремы Виета, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, теоремы синусов и т. д.).
Движение за реформу математического образования
Если во времена Клейна речь шла только о знакомстве школьников с некоторыми завоеваниями математики 17 в., то теперь ставится вопрос о перестройке школьного курса в направлении сближения его с духом и буквой современной математики (т.е. математики середины 20 в.). В реформистском движении этого этапа выделяются три основные направления, делающий акцент на:
а )общеобразовательный характер образования,
б) прикладной, политехнический характер образования,
в) направленность образования на подготовку учащихся к обучению в вузе.
Каждое из этих направлений в известной степени противоречит двум другим, что делает проблему наиболее рационального построения учебных программ очень трудной. Поэтому попытки разных стран перестроить школьного математическое образование на базе основных обобщающих идей математики редко оказывались удачными. Это относилось как к отбору нового материала для школьной программы, так и к вопросу о слиянии "классических" "ядра" и "современных" тем в едином курсе; чаще всего новые понятия сосуществовали рядом со старыми, не работая на них по существу. Дело в том, что очень немногое из "ядра" -традиционного содержания школьного курса математики может быть из него исключено и, следовательно, не очень многое из современной математики может быть в него включено. Выход подсказывался тем обстоятельством, что и традиционный материал так называемой элементарной математики может быть построен на базе идей и методов современной математики (в то время как его традиционная трактовка основана на идеях и методах классической элементарной математики, т.е. математики до 17в.). Таким образом, стали говорить не только и не столько о преподавании современной математики, сколько о современном преподавании математики, т.е. реформа содержания математического образования должна сопровождаться реформой методов обучения. При этом оказывается, что сама разработка новых методов изучения математики вызывает необходимость в изменении содержания.
Именно на этой основе осуществлялась на этом этапе реформа школьного математического образования в нашей стране. Она датируется 1965 годом, когда под председательством видного математика, вице-президента АНН СССР А.И. Маркушевича и под руководством выдающегося математика современности академика А.Н. Колмогорова была образована комиссия по определению содержания среднего математического образования, которая в 1968 г. подготовила и издала программы по математике для средней школы. Отметим характерные особенности этой программы:
1) Изменение сроков и содержания начального обучения математике: 3 года вместо 4-х; вместо курса арифметики с основной задачей - обучение счету - курс математики, т.е. арифметики натуральных чисел и основных величин с элементами алгебры (с ранним введением буквенной символики и уравнений как главного способа решения задач) и геометрии положения.
2) Изменение структуры и названия предметов систематического курса математики: 4-5 классы - курс арифметики с элементами алгебры и геометрии с общим названием "математика", 6-8 классы - систематические курсы алгебры и планиметрии; 9-10 классы - курс "алгебра и начала анализа" и систематический курс стереометрии.
3) Построение всего курса - линейное, устранен излишний концентризм. Но явно выделены три этапа его изучения (4-5, 6-8, 9-10 классы), отличающиеся уровнем изложения, названиями предметов, отдельными учебниками; допускаются некоторые повторения отдельных вопросов на новом уровне. Курс геометрии носит одно название но тоже разделен на три этапа: 4-5 -пропедевтический курс; 6-8- систематический курс планиметрии, завершающий её изучение; 9-10 -систематический курс стереометрии, построенный с использованием векторов и координат, дающий представление об аксиоматическом строении геометрии.
4) Устранение из школьного курса математики многих архаических вопросов и частностей, не имеющих ни научного, ни прикладного, ни общеобразовательного значения (например, алгоритма извлечения квадратного корня и т.п.).
5) Из большого числа новых вопросов введение в школьный курс лишь таких, которые имеют широкое общеобразовательное значение, содействуют формированию научного мировоззрения, помогают понять место математики в системе наук и в практической деятельности человека. Это: элементы дифференциального и интегрального исчислений, теории вероятностей, систем счисления) некоторые сведения об ЭВМ и программировании.
6) Особое место элементов теории множеств и математической логики, которые представляют собой непросто новый дополнительный материал образовательного значения, но и язык, на котором излагаются многие "вопросы курса (в том числе, традиционные). Другие обобщающие и объединяющие математические понятия могут появляться в курсе не как исходные, а как итоги изучения, по мере накопления фактов и закономерностей, дающих повод к соответствующим обобщениям (группа, поле, линейное пространство и т.п.).
7) Создание существенно новой для нашей школы формы обучения - факультативных занятий по выбору учащихся. Факультативные занятия по математике предполагаются двух видов. Первый - "Дополнительные главы и вопросы математики" - имеет целью углубление программных вопросов; изучение вопросов, примыкающих к программным; и изучение некоторых дополнительных вопросов, важных с образовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики. Значительная часть времени выделяется на решение задач по обязательной программе. Кроме того, на ближайшее время этот вид занятий имеет целью помочь учителям освоиться с первым содержанием обучения, идеями и методами, входящими постепенно в новые программы. При этом будет меняться и программа факультативных курсов. Учитель, при обязательности изучения некоторых тем, может в каждом классе с учетом конкретных возможностей и интересов учащихся, выбрать из нескольких предложенных те темы, изучение которых представляется ему наиболее целесообразным.
Второй вид занятий - "Избранные вопросы математики" ( программирование, вычислительная математика, векторная алгебра, задачи линейного программирования и др.) рекомендуется, в основном для учащихся старших классов, интересующихся математикой, и только в тех школах, где возможна, работа специалистов по этим вопросам.
Факультативные занятия призваны обеспечить индивидуальное развитие учащихся, основательную подготовку в вуз. Программы факультативных занятий по математике составляются так, что они являются продолжением друг друга, образуют некоторую идейнотеоретически законченную систему. Оценка факультативным занятиям вносится в аттестат.
8) Развитие системы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением отдельных предметов, который начали создаваться начиная с 1959 г. на базе средних общеобразовательных школ с производственным обучением и хорошо себя зарекомендовали. С 1966 г. организовываются также физикоматематические школыинтернаты при крупных университетах страны. Их основная цель - обеспечить приход в науку талантливых людей, разработка содержат и методики преподавания современных вопрос математики.
Курс математики в школах с математической специализацией состоит из трех предметов - алгебры, математического анализа и геометрии. Эти предметы и физика .являются профилирующими, преподавание остальных предметов ведется по обычным программам. Прикладным предметом является курс "Программирование и вычислительная математика", но это могут быть и другие приложения математики.
9) В соответствии с содержанием и построением курс математики программы этого этапа реформы предполагают и некоторые новые методы обучения, о которых - пойдёт речь в дальнейшем.
Работа по совершенствованию содержания обучения в нашей стране происходит постоянно, следующий этап реформы 80-е годы. При сохранении всего того ценное что апробировано школой и дает возможность обеспечить высокий уровень образования, в программе по математике находят отражение основные направления развития научно-технического прогресса, современные достижения науки и техники, культуры; усиливается практическая направленность, уточняются требования к знаниям, умениям и навыкам школьников, устраняются перегрузки и т.д.
Так, в 1980 г. была принята программа, в которой был полнее учтен уровень логического мышления школьников - через отказ от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала. Такой подход позволил усилить прикладное содержание школьного курса математики, сделать его менее абстрактным и формализованным, хотя при этом и терялись некоторые достижения предыдущего этапа реформы.
В 1985 г. силами АПН СССР и АН СССР, ведущих специалистов университетов, пединститутов была подготовлена новая учебная программа по математике. В ней предпринята попытка разгрузить содержание обучения и усилить его практическую направленность. С этой целью, при сохранении в основном структуры предыдущей программы, в неё внесены следующие изменения:
1) Увеличены сроки обучения за счет начальной школы; начальная школа -1-4 классы, три этапа средней школы - 5-6, 7-9, 10-11 классы.
2) В структуре программы появились новые разделы ("Организация учебно-воспитательного процесса", "Рекомендации по оценке, знаний", "Межпредметные связи" и другие), уточняющие цели обучения математике на данном этапе. В программе заложены возможности реализации преемственности в обучении математике (пропедевтика, обобщение и развитие понятий, их свойств, логических умений), внутрипредметных и межпредметных связей, связи обучения математики с жизнью и современным производством.
3) Исключены некоторые темы (например, "Координаты и векторы в пространстве", вычисления с логарифмами) , хотя такая мера устранения перегрузки учащихся имеет очевидные пределы и может привести к ошибкам (примером такой ошибки, на наш взгляд, является исключение понятий предела и непрерывности).
4) Перераспределен материал некоторых тем между классами, устранена излишняя фрагментарность. Так, например, за счет исключения большого по объему материала о степени с рациональным показателем из курса алгебры неполной средней школы в него введен первоначальный курс тригонометрии (тождественные преобразования тригонометрических выражений). Это разгружает старшие классы, дополняет линию тождественных преобразований выражений, усиливает вычиолительную линию и межпредметные связи алгебры и геометрии неполной средней креолы.
5) Введен новый курс "Основы информатики и вычислительной техники". Он насыщен примерами алгоритмов решения математических задач и их реализации с помощью вычислительной техники, что повышает уровень прикладной и политехнической направленности курса математики.
б) В дополнение к программе по каждому классу и предмету в соответствии с разделом программы "Тематическое планирование" разработаны "Обязательные результаты обучения", определяющие для каждого этапа обучения опорный уровень подготовки учащихся по математике, которого должны достичь все учащиеся для получения положительной оценки.
Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда Госкомитетом СССР по народному образованию была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования и на её основе НИИ СиМО АПН СССР подготовил концепцию школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного образования, определяемое новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе. Ведущей идеей обновления математического образования признается его гуманизация; её основные направления, как отмечалось выше, - дифференциация обучения математике, гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, уровневая подготовка учащихся по математике, перестройка учебно-воспитательного процесса в направлении изменения отношения к ученику и создания возможностей для проявления индивидуальности как учащегося, так и учителя. В дополнение к этой концепции в 1995 г. РАО разработан документ "Стандарт среднего математического образования".
Исходя из новых целей обучения математике на современном этапе формы, меняются и принципы отбора содержания. Профессор Г.В.Дорофеев формулирует их следующим образом: 1) информационная ёмкость, 2) социальная эффективность, 3) интеллектуальная емкость, 4) дифференцированная реализуемость, 5) познавательная емкость, 6) диагностико-прогностическая емкость, 7) возможность изучения смежных предметов на современном уровне развития, 8) преемственность.
Интересно, что некоторыми учеными на Западе- также формулируется новая концепция математического образования, согласно которой:
а) математика должна рассматриваться как деятельность человека, а не как готовый предмет;
6) математика должна внедряться, а не навязываться;
в) обучение должно происходить в форме повторного открытия, а не простой передачи идей;
г) реальность должна быть в большей мере источником математических идей, чем областью их приложений;
д) особое внимание должно быть уделено связям между математическими идеями, а не изолированным фактам;
е) следует обращать внимание .на богатство содержания курса, а не на наборы задач;
ж) следует добиваться создания у учащихся мысленных образов предметов, а не достижения концепций;
з) следует искать многосторонние подходы к новым концепциям, а не рассматривать многообразные воплощения этих концепций;
и) главным в изучении математики является понимание, а не навыки.
Назад к оглавлению | К началу главы
Предмет математики, роль математики, роль практики в возникновении и развитии математики, математические абстракции
Обучение математике преследует различные воспитательные цели (см. тему 1). Одна из главных среди них - воспитание мировоззрения учащихся. Особенностью математики является высокая абстрактность ее понятий и фактов. Предмет современной математики значительно шире предмета классической математики.
"Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира". (Математическая энциклопедия.- М., 1982, т. 3, с. 559) В связи с потребностями техники и естествознания непрерывно развивается и математика. Обогащение ее содержания происходит за счет изучения новых количественных отношений и пространственных форм действительного мира.
История развития математики дает богатый материал, подтверждающий материалистические источники происхождения математики. Знакомство с такими историческими сведениями может осуществляться на уроке, внеклассных мероприятиях. Тот факт, что математика представляет собой результат отражения и научного обобщения действительного мира, находит подтверждение даже в названиях отдельных математических дисциплин. Например, слово "геометрия" в переводе с греческого означает "землемерие". Достоверные исторические сведения подтверждают, что именно практические нужды людей, связанные с разметкой и восстановлением границ земельных участков, измерением площадей и объемов, послужили первоначальным материалом для формулирования первых геометрических фактов. Современная геометрическая наука решает обширный класс задач, который далеко выходит за рамки "землемерия", но первоначальное название этой науки сохранилось.
Основной методический прием формирования у учащихся правильных мировоззренческих представлений о предмете математики, источниках ее возникновения, движущих силах развития состоит в использовании исторического материала. Главным при этом является умение сделать (на основе знакомства с историческим материалом) доступный для учащихся мировоззренческий вывод.
Нельзя иметь правильные мировоззренческие представления о математике, не уяснив особенности математической деятельности, результатом которой является математическая наука. Этот вопрос - предмет рассмотрения следующего параграфа.
Назад к оглавлению | К началу главы
Математическая деятельность, её составные части
Особенности математики наиболее полно раскрываются в единстве двух ее сторон: математика как определенная научная деятельность и математика как теория, являющаяся результатом этой деятельности. Выделяются следующие составные части учебной математической деятельности: математизация эмпирического материала; логическая организация математического материала; применение теории.
В более детальной расшифровке элементы математической деятельности можно представить таким образом:
1) целенаправленное накопление эмпирического материала;
2) выбор математического языка, описание эмпирического материала на языке математики;
3) первичная систематизация математического материала, группировка его по тем или иным общелогическим признакам (сходству, степени общности и т. д.);
4) частичная аксиоматизация математического материала, построение фрагмента математической теории;
5) применение математического материала;
6) применение частично аксиоматизированного математического материала (фрагмента теории);
7) применение теоретического материала нескольких математических разделов.
Эмпирический материал - это окружающие нас реальные объекты, к изучению которых стремятся применить методы математики, или объекты другой научной области (физики, химии, астрономии, биологии и т. д.), или специально приготовленный для целей обучения дидактический материал, или математический материал в случае, когда он подвергается изучению с помощью других математических средств.
Назад к оглавлению | К началу главы
Практические приложения математики
Применение математической теории к решению прикладных задач - еще одно направление формирования мировоззрения учащихся о месте и роли математики в общественной практике людей. Через решение прикладных задач реализуется политехнический принцип обучения математике. Целенаправленное использование прикладных задач способствует ориентации учащихся на различные профессии, осуществлению связи обучения математике с жизнью. В практике работы школы используются различные педагогические приемы: составление прикладных задач на материале, собранном в процессе экскурсии на производственное предприятие; использование календаря профессиональных праздников; тематическая подборка задач в соответствии с этим календарем; краткие вступительные беседы о той или иной профессии, предваряющие решение прикладных задач, и т. д.
Говоря о современных приложениях математики к решению практических задач, нельзя обойти роль электронновычислительных машин. Как было отмечено ранее, программа по математике предусматривает привитие учащимся навыков обращения с микрокалькуляторами. В этой связи использование в школе микрокалькуляторов представляет новые возможности для усиления практической направленности обучения математике. Особенно эффективным и оправданным является применение микрокалькулятора в тех случаях, когда требуется высокая точность вычислений, причем эта точность не может быть обеспечена другими средствами вычислений (например, четырехзначными Математическими таблицами).
Назад к оглавлению | К началу главы
Связь математики с другими учебными дисциплинами (мировоззренческий аспект)
Применение математического аппарата к решению задач других учебных дисциплин, установление межпредметных связей содержат в себе еще один важный мировоззренческий аспект: существование межпредметных связей является объективной закономерностью, отражающей взаимосвязь явлений действительного мира. В программе по математике впервые содержится специальный раздел "Межпредметные связи", в котором эти связи характеризуются применительно к курсам математики V-VI классов, алгебры VII-IX классов, алгебры и начал анализа X-XI классов, геометрии VII-XI классов.
Наиболее тесные связи существуют между курсами математики и физики. Огромное значение для физики имеют такие математические темы, как "Производная", "Применения производной", "Интеграл и его применения". С помощью методов математического анализа в значительной степени упрощаются решения многих физических задач. В целях более явного подчеркивания роли математического аппарата при решении физических задач целесообразно придерживаться следующей методической схемы:
1) перевести физическую задачу на язык математики;
2) решить математическую задачу;
3) перевести ответ математической задачи на язык физики;
4) конкретизировать физический смысл ответа задачи.
Глава 2
Анализ программ по математике для 1-11 классов
Цель программ по математике, их структура. Роль объяснительной записки и пояснений к отдельным математическим дисциплинам и темам. Содержание программ по математике начальной, восьмилетней и средней школы. Проблема преемственности в обучении математике. Вопросы политехнического обучения, межпредметных и внутрипредметных связей в преподавании математики
Содержание школьного курса математики
Перспективы развития школьного курса математики
Содержание школьного курса математики
Школьным учебным планом на изучение математики с 1 по 11 класс отводится около 2000 учебных часов. Кроме того, дополнительные часы на изучение математики предусматриваются в системе факультативных курсов (8-11 классы).
Нормативным, обязательным для выполнения документом, определяющим основное содержание школьного курса математики, объем подлежащих усвоению учащимися каждого класса знаний, приобретаемых умений и навыков, является учебная программа по математике.
Учебная программа школы основывается на принципах соответствия программы основным целям школы, обеспечивает преемственность получаемой учащимися подготовки в 1-3 классах (начальная школа), 5-9 классах (девятилетняя школа), 10-11 классах (средняя школа).
Учащиеся, которые после окончания девятилетней школы будут завершать среднее образование в системе профессиональнотехнических училищ, в средних специальных учебных заведениях, в вечерних (заочных) школах, должны получить математическую подготовку в том же объеме, что и учащиеся, оканчивающие среднюю общеобразовательную школу. Таким образом, все учащиеся, получившие среднее образование, приобретают равную возможность для продолжения образования.
Предусмотренное программой содержание школьного математического образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в течение достаточно длительного времени сохраняет свое основное ядро. Такая устойчивость основного содержания программы объясняется тем, что математика, приобретая в своем развитии много нового, сохраняет и все ранее накопленные научные знания, не отбрасывая их как устаревшие и ставшие ненужными.
"Ядро" современной программы по математике составляют:
1. Числовые системы.
2. Величины.
3. Уравнения и неравенства.
4. Тождественные преобразования математических выражений.
5. Координаты.
6. Функции.
7. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. Геометрические преобразования.
8. Векторы.
9. Начала математического анализа.
10. Основы информатики и вычислительной техники.
Каждый из вошедших в это "ядро" разделов имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе. На каком возрастном этапе, в каких классах, с какой глубиной и при каком числе часов изучаются эти разделы, определяет программа по математике для средней школы. Вопросы их изучения будут подробно рассматриваться в специальной методике преподавания математики. Сейчас ограничимся отдельными краткими пояснениями.
Раздел "Числовые системы" изучается на протяжении всех лет обучения. В школьную программу вопросы числовых систем входили уже в далеком прошлом. Но с течением времени происходило значительное снижение возраста, в котором учащиеся изучали включаемые в программу темы, возрастала глубина их изложения. В настоящее время изыскиваются возможности включения в программу заключительной темы этого раздела - "Комплексные числа".
Изучение величин в программах и учебниках по математике не выделено в специальный раздел. Но на протяжении всех лет обучения учащиеся выполняют действия с различными величинами при решении задач, особенно задач, отражающих связи курса математики с дисциплинами естественнонаучного, технического циклов.
Изучению уравнений и неравенств посвящается значительная часть всего учебного времени. Особая значимость этой темы состоит в широком применении уравнений и неравенств в самых различных областях приложений математики. До недавнего времени систематическое изучение уравнений начиналось лишь с 7 класса. В течение последних десятилетий знакомство с уравнениями и применение уравнений к решению задач вошло в курс математики начальной школы и 5-6 классов.
Выполнение тождественных преобразований, овладение специфическим языком математики требуют от учащихся не только понимания, но и отработки прочных практических навыков на достаточно большом числе тренировочных упражнений. Такие упражнения, содержание которых в каждом разделе курса обладает своими особенностями, выполняются учащимися всех классов.
Координаты и функции вошли в курс математики средней школы только в первой четверти XX в. Характерной особенностью современного школьного курса математики являются расширение этих разделов и возрастающая роль метода координат и функций в изучении других тем школьной программы.
Наибольшую остроту в обсуждении вопросов его содержания приобрел в последние десятилетия курс геометрии. Здесь в значительно больших размерах, чем в других разделах школьного курса математики, возникли проблемы соотношения традиционного содержания с необходимыми новыми дополнениями. Однако при всех различиях в подходах к решению этой проблемы получило общее одобрение включение в курс геометрических преобразований.
Векторы впервые вошли в курс геометрии нашей школы только в середине 70-х годов. Большая общеобразовательная значимость этой темы, обширные практические применения обеспечили ей общее признание. Однако вопросы доходчивого для всех учащихся изложения этого раздела в школьных учебниках, применения векторов к решению содержательных задач находятся еще в стадии разработки и могут найти свое решений только на основе глубокого анализа и учета результатов школьного преподавания.
Элементы математического анализа вошли в программу общеобразовательной школы недавно. Включение в программу этих разделов вызвано их большой прикладной значимостью.
Последний из разделов - основы информатики и вычислительной техники - отражает требования, предъявляемые к современной математической подготовке молодежи в связи с широким внедрением в практику электронновычислительных машин.
Назад
Перспективы развития школьного курса математики
Как отмечалось ранее, новые научные достижения, их развитие и внедрение в практику приводят к пересмотру школьного курса математики. Происходит идейное и прикладное обогащение курса. Кроме того, из содержания школьного образования исключаются менее важные разделы и на смену им приходят новые вопросы, приобретающие более высокую как теоретическую, так и практическую ценность. С развитием математики и ее приложений возрастает число разделов, обоснованно ждущих своего включения в школьный курс математики. Но возможности общего среднего образования небеспредельны, они ограничены как сроком обучения, так и пределами разумной учебной нагрузки учащихся. Несмотря на то что уже сейчас стало ясным, что для всеобщего среднего образования важно иметь в курсе средней школы элементы теории вероятности, статистики, что важно строить школьный курс так, чтобы учащиеся были подготовлены к восприятию новых аспектов прикладной математики, эти назревшие вопросы оказались весьма сложными для их практической реализации. Возможные формы включения ряда новых разделов в обязательный курс математики средней школы пока не найдены. В связи с этим обсуждается вопрос о том, что именно из прикладных вопросов должно войти в школьное обучение в ближайшем будущем. В то же время высказывается и такое мнение, что в программу не надо вводить специальных разделов прикладной математики, а идти по пути включения в курс таких тщательно отобранных задач, решение которых приводит к рассмотрению ситуаций, которые нужно математизировать, чтобы прийти затем к математическим моделям. Таким образом, предполагается установить более тесную взаимосвязь теоретического содержания математического образования с практикой применения учащимися приобретаемых математических знаний.
Пока все эти и ряд других, важных в своем прикладном значении разделов математики изучаются в школьных факультативах на внеклассных занятиях. Из сказанного видно, что с течением времени содержание школьного математического образования расширяется. Возникает вопрос: каким образом всевозрастающий объем школьного курса математики остается возможным изучать в примерно остающееся стабильным учебное время?
Как показывает история развития школьного математического образования, это становится выполнимым в результате:
1) происходящего в изучаемом предмете процесса обобщения (генерализации) входящих в него понятий, рассматриваемых фактов;
2) все возрастающего применения математических знаний и их приложений в повседневной практике, что приводит к предварительному ознакомлению детей в их жизненном опыте с понятиями, подлежащими изучению;
3) совершенствования методов и средств обучения. Включение в школьный курс основных разделов становится возможным, если каждый из перечисленных факторов учтен в должной для этого мере.
Выделенное ядро школьного курса математики составляет основу его базисной программы, в которой материал расположен не по классам, а по ступеням обучения ( 1-3, 5-6, 7-9, 10-11 классы) и излагается согласно логике развития ведущих научно-методических линий.
Базисная программа обязательна для всех учебных заведений, дающих среднее образование, она является для них исходным документом для разработки тематических программ. В тематической программе для средней школы, кроме распределения учебного материала по классам, излагаются требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся, раскрываются межпредметные связи, примерные нормы оценок. В программе подробно освещаются вопросы формирования научного мировоззрения, воспитания учащихся в процессе обучения.
В содержании математического образования, в результатах, которые должны быть получены в процессе обучения, можно выделить следующие аспекты:
1. Совокупность необходимой для усвоения и запоминания информации.
2. Система выводимых одно из другого понятий.
3. Совокупность приобретаемых оперативных навыков.
4. Система взаимосвязанных способностей.
В последние десятилетия предметом острых дискуссий стали вопросы о том, какова в современных условиях значимость каждого из этих аспектов. Не происходит ли постепенная утрата значимости аспектов 1 и 2 при возрастающей значимости для результатов процесса обучения аспектов 3 и 4?
Но становится все более очевидной необходимость одинаково большого внимания к каждому из этих аспектов, причем каждый из них получает свое развитие, приобретает новые особенности.
Нарушение этого требования влечет за собой отрицательные последствия, и прежде всего возникновение формализма в математической подготовке учащихся: и приобретаемые учащимися знания не становятся опорой для осознанного приобретения необходимых практических навыков; получаемые практические навыки, не подкупленные знаниями, быстро утрачиваются или применяются там, где эго применение не является необходимым и даже не имеет смысла.
Глава 3
Принципы дидактики в преподавании математики
Принципы обучения как категории дидактики. Принцип воспитания. Принцип направленности обучения на взаимосвязанное решение задач образования, воспитания и развития учащихся. Принцип научности. Принцип усиления прикладной направленности обучения. Принцип систематичности и последовательности. Принцип доступности. Принцип сознательности, активности, самостоятельности и прочности усвоения. Принцип наглядности. Принцип индивидуального подхода к учащимся. Принцип прочности знаний. Сущность каждого принципа, возможности его реализации. Конкретные примеры
Реализация дидактических принципов в обучении математике
Принципы обучения как категории дидактики
Принцип воспитания
Принцип направленности обучения на взаимосвязанное решение задач образования, воспитания и развития учащихся
Принцип научности
Принцип усиления прикладной направленности обучения
Принцип систематичности и последовательности
Принцип доступности
Принцип сознательности, активности, самостоятельности и прочности усвоения
Принцип наглядности
Принцип индивидуального подхода к учащимся
Принцип прочности знаний
Реализация дидактических принципов в обучении математике
Обучение математике, как и любому учебному предмету, может стать эффективным средством формирования личности, достичь непосредственной цели - прочного и сознательного усвоения ее содержания - лишь в случае, если в основу обучения будут положены определенные положения, вытекающие из основных закономерностей дидактики, подтвержденные опытом преподавания. Система таких положений, специально ориентированная на особенности математики как учебного предмета, и составляет основное содержание этой главы. В ней описываются наиболее важные принципы, характеризующие подход к обучению математике в школе, - принцип воспитания, принцип научности, принцип сознательности обучения, принцип систематичности и др. Владение этими принципами необходимо будущему учителю для того, чтобы правильно организовать свой труд, грамотно, квалифицированно анализировать различные учебные пособия, которыми ему придется пользоваться в своей работе.
Назад к оглавлению | К началу главы
Принципы обучения как категории дидактики
Процесс обучения, являясь составной частью целостного педагогического процесса, в советской школе направлен на формирование всесторонне и гармонически развитой личности.
Обобщенный опыт обучения школьников основам науки показывает, что для обеспечения единого подхода к учащимся, к выбору средств и методов учебной работы учитель должен придерживаться положений, носящих в определенном смысле универсальный характер.
В связи с этим в советской дидактике разработаны принципы, которые рассматриваются как важнейшие требования к организации процесса обучения, его содержанию, формам и методам. Эти единые требования .получили название дидактических принципов или принципов обучения. Организация процесса обучения в соответствии с дидактическими принципами позволяет построить его на научной основе.
Вместе с тем следует иметь в виду, что дидактические принципы, выражая определенные закономерности обучения и передовой опыт учебновоспитательной деятельности школы, не являются раз и навсегда установленными. Они постоянно углубляются и видоизменяются в соответствии с теми задачами, которые ставит перед школой общество.
Таким образом, дидактические принципы - это основные направляющие положения, возникающие в результате анализа научнопедагогических закономерностей и практического педагогического опыта. Они являются главным ориентиром в педагогической работе учителя.
Известные советские дидакты М. А. Данилов, И. Я. Лернер, М. Н. Скаткин в своих исследованиях показали, что принципы обучения, являясь категориями дидактики, характеризуют способы использования законов и закономерностей обучения в соответствии с целями воспитания и образования.
Дидактические принципы - это принципы деятельности, представляющие собой наиболее общее нормативное знание о том, как надо строить, осуществлять и совершенствовать обучение и воспитание. Закономерности этой деятельности являются теоретической основой для выработки норм учебно-воспитательной работы учителя. Однако сами по себе они не содержат конкретных указаний для такой деятельности. Эти указания дают принципы. Таким образом, принципы обучения взаимообусловлены его закономерностями. Например, принцип проблемности в обучении вытекает из закономерности, установленной С. Л. Рубинштейном, состоящей в том, что мышление возникает из проблемной ситуации и направлено на ее разрешение.
Однако, кроме законов и закономерностей обучения в становлении принципов, учитываются и другие факторы, а именно: 1) цели, которые ставит общество перед обучением и воспитанием; 2) конкретные условия, в которых осуществляется учебный процесс; 3) психологические характеристики процесса учения; 4) существующие способы конструирования учебных и воспитательных ситуаций.
Здесь следует заметить, что если речь идет не о дидактическом, а о методическом принципе, то в этом случае должна учитываться специфика конкретного учебного предмета и его функции в общем образовании.
Например, А. А. Столяр предлагает систему дидактических принципов дополнить двумя принципами, характерными для обучения математике:
1) школьный курс математики должен отражать фундаментальные идеи и логику современной математики (в соответствии с уровнем мыслительной деятельности учащихся);
2) процесс обучения математике должен строиться подобно процессу исследования в математике, он должен имитировать процесс творческого поиска в математике (в определенной мере, в какой это допускает уровень мыслительной деятельности учащихся).
Первый принцип относится к построению содержания обучения математике и в определенной степени конкретизирует дидактический принцип научности. Второй принцип относится к построению процесса обучения и конкретизирует дидактический принцип проблемности обучения.
В методической литературе по математике общепризнанной является следующая система дидактических принципов:
1. Принцип воспитания в обучении математике.
2. Принцип научности в обучении математике.
3. Принцип сознательности, активности и самостоятельности в обучении математике.
4. Принцип систематичности и последовательности в обучении математике.
5. Принцип доступности в обучении математике.
6. Принцип наглядности в обучении математике.
7. Принцип индивидуального подхода к учащимся в обучении математике.
8. Принцип прочности знаний в обучении математике.
Назад к оглавлению | К началу главы
Принцип воспитания
Общей целью воспитания в школе является подготовка всесторонне развитых людей, способных построить и защитить общество. Всестороннее развитие личности предполагает умственное и нравственное развитие, политехническое образование и профессиональную подготовку, богатую духовную жизнь, физическое и эстетическое развитие. Реализация общей цели воспитания требует поэтому решения более частных задач, которые рассматриваются в качестве составных частей или сторон воспитания. Составными частями воспитания являются трудовое, нравственное, умственное, эстетическое и физическое воспитание.
Выделение составных частей воспитания опирается на объективные требования общества в развитии определенных свойств (качеств) личности. Так как свойства личности формируются не изолированно друг от друга, то и стороны воспитания, находясь во всеобщей взаимосвязи, способствуют формированию целостной личности. Поэтому такие качества целостной личности, как знание, умение, убеждение, поведение и др., могут быть составной частью каждой из указанных выше сторон воспитания.
Но воспитание в процессе обучения вообще и математике в частности как принцип обучения имеет и свою содержательную направленность. Содержательная направленность всех сторон воспитания в обучении определяется формированием коммунистического мировоззрения и морали. Формирование мировоззрения и морали - центральная задача воспитания. Под мировоззрением понимается система философских, научных, политических, нравственных и эстетических представлений и убеждений человека, которая отражает понимание человеком окружающей его природной и социальной среды, его отношение к ней и определяет общую направленность всей его деятельности.
Мораль - это совокупность норм, принципов и правил, регулирующих поведение людей во всех сферах общественной жизни. Воспитание мировоззрения и морали способствует формированию характера каждого школьника. Чтобы учащийся мог действовать в соответствии с принципами мировоззрения и морали, он должен сформировать у себя такие черты характера, как принципиальность, сила воли, скромность, честность по отношению к самому себе и другим людям.
Мировоззрение, базирующееся на научном знании и практическом жизненном опыте, связывает в единое целое эти свойства личности. Отсюда вытекают возможность и необходимость передачи всем людям знаний о закономерностях развития природы, общества и человеческого мышления, чтобы они могли сознательно осуществлять деятельность, направленную на построение общества.
Итак, принцип воспитания подрастающего поколения имеет своей целью воспитание в процессе обучения всесторонне развитой личности на основе формирования мировоззрения и морали.
Следовательно, в формировании убеждений возрастает роль процесса усвоения знаний. В связи с этим в преподавании математики (как и каждого учебного предмета) необходимо повышать активность учащихся и возбуждать у них интерес к вопросам, имеющим мировоззренческое значение. Важную роль в этом приобретает освещение в преподавании математики (также других предметов) новых идей современной науки.
Чтобы в обучении (в частности, математике) реализовывался принцип воспитания, учителю необходимо руководствоваться принципами научности, сознательности, активности и самостоятельности, стимулирования и мотивации положительного отношения школьников к учению и т. п.
Назад к оглавлению | К началу главы
Принцип направленности обучения на взаимосвязанное решение задач образования, воспитания и развития учащихся
При планировании содержания, средств, методов и форм обучения учитель призван обеспечить решение всего комплекса образовательных, воспитательных и развивающих задач
Назад к оглавлению | К началу главы
Принцип научности
Требование научности содержания образования было выдвинуто в советской педагогической литературе еще в работах Н. К. Крупской (см.: "О работе над новым учебником для новой программы").
Статус дидактического принципа требование научности в обучении приобрело с 1950 г., когда оно было сформулировано и обосновано М. Н. Скаткиным. Было показано, что воспитание человека коммунистического общества непосредственно связано с требованием научности содержания школьного образования.
В дальнейшем Л. Я- Зорина показала, что под научностью содержания образования следует понимать такую его качественную характеристику, которая удовлетворяет трем признакам:
а) соответствие содержания образования уровню современной науки;
б) создание у учащихся верных представлений об общих методах научного познания;
в) показ важнейших закономерностей процесса познания. Эти условия взаимосвязаны между собой, ибо реализация каждого из последующих обусловлена выполнением предыдущих. Каждое предыдущее условие является необходимой базой для реализации последующего.
Первое условие говорит о том, что в соответствии с принципом научности образовательный материал, составляющий содержание школьного обучения, должен в определенной мере соответствовать уровню современной науки. Это требование принципа научности было с достаточной полнотой реализовано в процессе проведенной в последние годы модернизации обучения математике в школе.
Второе условие говорит о том, что принцип научности требует также знания общих методов научного познания. Но это лишь необходимое условие научности знаний. Оно недостаточно для создания у учащихся представлений о процессе познания. Одним из наиболее эффективных методов научного познания действительности в математике является построение математических моделей изучаемых явлений. Метод моделирования широко применяется сейчас в самых разнообразных областях знаний. Поэтому второе требование принципа научности естественным образом выдвигает на первый план обучение школьников доступным для них способам математического моделирования.
Третье условие указывает на то, что принцип научности требует формирования у учащихся представлении о процессе познания и его закономерностях.
В обучении математике у учителя имеется много возможностей показать учащимся закономерности процесса познания. Эти вопросы будут предметом специального рассмотрения в последующих главах. Именно поэтому в процессе обучения основам наук в школе шире должны внедряться проблемное обучение и разнообразные исследовательские приемы. В процессе реализации принципа научности учитель должен соблюдать также принцип доступности, чтобы содержание, формы и методы обучения учитывали реальные возможности учащихся. При этом необходимо учитывать и то, что принцип доступности предполагает обучение на достаточно высоком уровне трудности. Однако это можно достигнуть лишь при наилучшем сочетании индивидуальных и коллективных форм познавательной деятельности школьников в обучении.
Можно выделить три аспекта реализации принципа научности в обучении: 1) реализация его в учебнике (соответствие содержания учебника современному уровню науки); 2) обеспечение высокого научного уровня изложения учебного материала учителем на уроке; 3) выработка у учащихся учебно-исследовательских навыков и умений.
Принцип усиления прикладной направленности обучения
Изучение основ науки должно осуществляться в тесной связи с раскрытием важнейших их применений в промышленности, сельском хозяйстве и общественной жизни. При этом основы науки не должны подменяться ее приложениями.
Использование в обучении математических моделей реальных ситуаций, отбор содержания обучения, отвечающего поставленной цели, представляют собой основные средства реализации принципа связи обучения с жизнью. Важной составной частью этих средств являются задачи и примеры прикладного характера.
Назад к оглавлению | К началу главы
Принцип систематичности и последовательности
Нельзя овладеть наукой, не изучая ее в определенной системе. В такой же мере нельзя успешно развивать познавательные и творческие способности учащихся без строго продуманной системы их обучения и воспитания.
"Принцип систематичности и последовательности в обучении обусловливается и логикой самих наук, изучаемых в школе, и особенностями познавательной и практической деятельности учащихся. протекающей в соответствии с закономерностями их умственного и физического развития. Принцип систематичности и последовательности в обучении лежит в основе построения учебных программ, определяет систему работы учителя и деятельность учащихся в процессе обучения"
Принцип систематичности и последовательности в обучении проводится во всей системе учебной работы. Излагать знания систематически - это значит при изучении нового опираться на ранее пройденное, выделять в нем главное, вскрывать общую идею, формировать у учащихся умение анализировать, систематизировать и обобщать изучаемые явления и факты.
Важное значение принцип систематичности и последовательности приобретает в выработке у учащихся умений и навыков самостоятельной работы с книгой, в воспитании у них навыков организованности и последовательности в приобретении знаний.
Систематичность в обучении математике предполагает соблюдение определенной последовательности в изучении учебного материала н постепенное овладение основными понятиями школьного курса математики.
Принцип систематичности ориентирует учителя на достижение системности знаний в сознании учащихся путем установления теснейшей связи между элементами изучаемого материала, раскрытия единства элемента и структуры, части и целого. Следовательно, смысл принципа систематичности заключается в том, что учащиеся осознают приобретенные знания как элементы целостной, единой системы.
Сказанное позволяет утверждать, что научность обучения немыслима без систематичности, а с систематичностью тесно связан вопрос о преемственности в обучении. Ее характеризует опора на пройденное, дальнейшее развитие имеющихся у учащихся знаний, умений н навыков, установление связей между немыми и ранее приобретенными знаниями. В результате этого знания становятся прочными и глубокими.
Систематичность имеет место и в организационных приемах работы учителя - в системе его требований к учащимся. Систематичность должна быть также в учебной деятельности учащихся, в системе методов работы над каждым учебным предметом, в последовательности выполнения домашних заданий и т. п.
Последовательность в обучении математике означает, что обучение осуществляется в соответствии с правилами обучения: а) от простого к сложному; б) от легкого к трудному; в) от известного к неизвестному; г) от представлений к понятиям; д) от знания к умению, а от него к навыку.
Учитель реализует этот принцип, если обучение математике представляет собой цепочку последовательных шагов, каждый из которых последовательно дополняет известные учащимся знания, умения и навыки разумной дозой новых знаний, умений и навыков.
В заключение отметим, что успешная реализация принципа систематичности и последовательности в обучении во многом зависит от того, какое значение придается учителем межпредметным связям в обучении, как скоординированы требования к учащимся между преподавателями различных учебных предметов, соблюдается ли преемственность в изучении отдельных тем и учебных предметов. При этом важное значение приобретает преемственность обучения в младших, средних и старших классах.
Систематические знания характеризуются как знания о научных основах учебного предмета. Они формируются на основе усвоения понятий и фактов в определенной логической последовательности. Наиболее полное свое выражение этот принцип находит в систематических курсах математики. Можно выделить три вида систематизации учебного материала: целевая, логическая и психологическая. В качестве методов систематизации широко применяются индуктивные и дедуктивные методы, аналогия, обобщение, конкретизация и др. Встречаются попытки "ревизии" принципа систематичности, которые выражаются в отказе от изложения в среднем звене обучения основ науки. (Такая идея высказана, например, М. М. Постниковым.) В отдельных странах (например, в Англии, Швеции, Финляндии), по существу, отказались от систематического курса геометрии. Это обстоятельство не замедлило отрицательно сказаться на уровне логического развития учащихся, на их возможностях в усвоении курса математики.
Различают еще системные знания. Они характеризуются, прежде всего, как методологические знания основ научной теории. Одним из средств формирования системных знаний является включение в учебник сведений о математической теории и способах ее построения.
Назад к оглавлению | К началу главы
Принцип доступности
Принцип доступности в обучении вытекает из требований учета возрастных особенностей учащихся. Он лежит в основе составления учебных планов и программ.
Принцип доступности требует, чтобы объем и содержание учебного материала были по силам учащимся, соответствовали уровню их умственного развития и имеющемуся запасу знаний, умений и навыков.
Доступность не следует понимать как учение без трудностей. Она не исключает приучение учащихся к преодолению трудностей в учебной деятельности. Это понятно, так как учебная работа требует определенных усилий учащихся в достижении поставленных целей. Суть вопроса заключается не в том, чтобы обходить трудности, а в том, чтобы эти трудности не подрывали, а развивали силы ученика и способствовали повышению результатов учебных занятий.
Реализация принципа доступности предполагает выполнение следующих условий - дидактических правил: а) следовать в обучении от простого к сложному; б) от легкого к трудному; в) от известного к неизвестному.
Отсюда следует, что строгое соблюдение в обучении принципа систематичности и последовательности предопределяет успешную реализацию принципа доступности.
Следовать в обучении от простого к сложному означает, что изучение учащимися фактов, явлений, закономерностей, понятий и т. п. должно начинаться с наиболее простых, с тем чтобы подготовить их к пониманию более сложных. Это положение касается как теоретического, так и практического учебного материала.
Принцип доступности в обучении привлекает к себе особое внимание также в связи с проблемой индивидуального подхода к учащимся и условиях массового обучения.
Принцип доступности требует, чтобы обучение строилось на основе учета возрастных возможностей учащихся. С его помощью регулируется уровень сложности учебного материала, определяется выбор методических подходов изложения его на уроке, правильная дозировка домашних заданий. Слишком упрощенное содержание обучения снижает его развивающие и воспитательные возможности. Поэтому рекомендуется (по Л. В. Занкову), чтобы содержание заданий для учащихся находилось в "зоне их ближайшего развития".
Назад к оглавлению | К началу главы
Принцип сознательности, активности, самостоятельности и прочности усвоения
Данный принцип заключается в целенаправленном активном восприятии изучаемых явлений, их осмыслении, творческой переработке и применении. Он вытекает из целей и задач средней школы, призванной готовить активных и самостоятельных членов общества, а также из особенностей процесса обучения, требующего осмысленного и творческого подхода к изучаемому материалу.
Реализация принципа сознательности, активности и самостоятельности в обучении предполагает выполнение следующих условий:
а) соответствие познавательной деятельности учащихся закономерностям процесса учения;
б) познавательная активность учащихся в процессе учения;
в) осознание школьниками процесса учения;
г) владение учащимися методами умственной работы в процессе познания "нового".
Остановимся кратко на сущности этой совокупности условий. Учебное познание есть учение, т. е. деятельность учащихся по усвоению новых знаний и способов деятельности. Следовательно, говоря об усвоении, мы имеем в виду познавательную деятельность учащихся (процесс учения), но всегда в единстве с руководящей, обучающей ролью учителя и содержанием учебного материала с учетом его структуры.
Отсюда следует, что сущность процесса обучения в целом и его составной части - учения (усвоения) заключается в том, что этот процесс вытекает из общего хода процесса познания и его закономерностей. В соответствии с ним дидактика выделяет в процессе усвоения диалектически взаимосвязанные этапы познавательной деятельности учащихся: восприятие - осмысление - закрепление - применение.
Если в процессе познания нового учащиеся будут совершать умственные и практические действия в соответствии с выделенными этапами процесса учения, включающими в себя действия по восприятию изучаемого материала, его осмыслению (пониманию), закреплению и применению, то можно утверждать, что в обучении созданы условия для активизации познавательной деятельности учащихся и осознания ими процесса учения.
Здесь следует обратить внимание на три обстоятельства. Во-первых, процесс познавательной деятельности в каждом отдельном случае не обязательно проходит по всем этапам учебного познания и в указанной последовательности. Например, при дедуктивном рассуждении учащимся нет необходимости проходить этап восприятия изучаемых явлений и формирования соответствующих представлений. Так, при усвоении нового знания о том, что всякое сечение шара плоскостью есть круг, учащимся предлагается конкретный факт - данная плоскость пересекает шар - и общее правило относительно всех плоскостей, пересекающих шар, - всякое сечение шара плоскостью есть круг.. Применив это общее правило к конкретному факту, учащиеся приходят к одному и тому же выводу: "Следовательно, данное сечение есть круг". Во-вторых, выделенные выше четыре условия реализации принципа сознательности, активности и самостоятельности не являются независимыми. Выполнение первого условия означает выполнение остальных. Однако выделение такой совокупности условий раскрывает дидактический механизм действия самого принципа, что важно и необходимо знать учителю. В-третьих, чтобы в обучении было установлено соответствие познавательной деятельности учащихся закономерностям процесса учения (первое условие), необходима целенаправленная деятельность учителя по формированию у учащихся ответственного отношения к приобретению и усвоению знаний, их осмысливанию и практическому применению. Только в результате такой управляющей деятельности учителя можно говорить о реализации принципа сознательности, активности и самостоятельности учащихся в обучении.
Сознательность понимается в дидактике как овладение учащимися данными науки, учебным материалом, глубокое осмысление его, умение пользоваться знаниями на практике в новых условиях, превращение знаний в убеждения, в руководство к действию.
В процессе сознательного усвоения знаний формируется творческое отношение к изучению и применению знаний, логическое мышление учащихся и их мировоззрение. Сознательное усвоение знаний исключает догматическое, при котором учащиеся принимают на веру преподносимые учителем знания. Результатом догматического усвоения является формализм знаний. Основными признаками формализма знаний являются отсутствие конкретных представлений об изучаемых явлениях; запоминание без понимания, без умения творчески применять знания на практике; безынициативность; отсутствие высоких общественных идеалов, глубоких убеждений и готовности бороться за них.
Конкретно в обучении математике формализм в знаниях особенно часто проявляется в том, что учащиеся безошибочно дают формулировку определения того или иного понятия, но не могут им воспользоваться при решении задач, доказательстве теорем.
В теории обучения выявлены признаки осознанности знаний, которыми может руководствоваться учитель в процессе обучения. К ним относится следующая совокупность признаков:
а) понимание учащимися характера связей между знаниями (рядоположности и соподчиненности, степени их существенности);
б) понимание механизма становления и проявления связей;
в) умение обосновывать знания;
г) понимание способов получения знаний и сферы их применения. Сознательное обучение обязательно предполагает активную деятельность учащихся в этом процессе.
Активность есть деятельное состояние учащегося, которое характеризуется стремлением к учению, умственным напряжением и проявлением волевых усилий в процессе овладения знаниями. Такую активность учащихся в обучении называют познавательной активностью.
В учебном процессе активность учащихся получает свое выражение не только в работе мысли, но и в практической деятельности, в общественной работе, в волевом напряжении и в эмоциональных переживаниях.
Умственная активность учащихся в процессе обучения математике имеет особо важное значение при формировании понятий. Поэтому учителю необходимо владеть методическими приемами, возбуждающими мыслительную активность учащихся в этом процессе.
Активность учащихся в обучении проявляется в их инициативности и высокой степени самостоятельности (или познавательной самостоятельности).
Познавательная самостоятельность является высшей формой активности и сознательности учащихся в процессе учения. Поэтому осуществление в обучении сознательного и активного процесса учения неизбежно формирует такое важное качество личности, как познавательная самостоятельность, которая является важнейшей характеристикой деятельности школьника в учебном процессе.
В теории обучения выделены признаки познавательной самостоятельности учащихся. К ним относятся стремление и умение самостоятельно мыслить; способность ориентироваться в новой ситуации, найти свой подход к решению новой задачи; желание понять не только усваиваемые знания, но и способы их добывания; критический подход к суждению других; независимость собственных суждений. Большое значение в плане формирования познавательной активности и самостоятельности учащихся имеют самостоятельные работы. Самостоятельные работы являются формой совместной единой деятельности учителя и учащихся. Выполняя самостоятельную работу, учащиеся активно оперируют приобретенными знаниями, умениями и навыками, совершают поисковую деятельность. Поэтому в этой самостоятельной деятельности учащегося укрепляются и взаимообусловливаются его познавательная активность и самостоятельность, а такая деятельность отличается высоким уровнем сознательности.
Если в результате обучения учащиеся приобрели такое качество личности, как познавательная самостоятельность, то можно утверждать, что на всех этапах учебного познания реализовывался дидактический принцип сознательности, активности и самостоятельности в обучении.
Сознательное усвоение характеризуется: пониманием изученного, осознанием путей получения нового знания, умением применять знания.
Применение знаний связано с "переносом" их в те или иные ситуации. Возможность осуществления учащимися переноса более высокого уровня (на более отдаленную, необычную, существенно отличающуюся от первоначальной новую ситуацию) свидетельствует о высокой степени сознательности усвоения.
Сознательное усвоение помогает избежать формализма в знаниях. Различаются два вида формализма (по Я. С. Дубнову):
1) ученик не видит связи математических понятий и фактов с реальным миром - формализм первого вида;
2) ученик воспроизводит определение, но не понимает его смысла (например, формулирует определение логарифма, но не может найти log100) - формализм второго вида.
Прочность усвоения может быть обеспечена четким выделением главного в учебном материале, выявлением внутренних и внешних связей изучаемого материала (например, с помощью логико-структурных схем), продуманной системой повторения и применения знаний, дифференцированным подходом к объяснению наиболее сложных мест учебного материала.
Принцип наглядности
Теоретическое обоснование принципу наглядности впервые было дано чешским педагогом Я.А. Коменским, который выдвинул требование учить людей познавать самые вещи, а не только чужие свидетельства о них.
Русский педагог К.Д. Ушинский указывал, что наглядность отвечает психологическим особенностям детей, мыслящих "формами, звуками, красками, ощущениями". Наглядное обучение, по словам К. Д. Ушинского, "строится не на отвлеченных представлениях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринятых ребенком". Наглядность обогащает круг представлений ребенка, делает обучение более доступным, конкретным и интересным, развивает наблюдательность и мышление.
Принцип наглядности вытекает из сущности процесса восприятия, осмысления и обобщения учащимися изучаемого материала. Он означает, что в обучении необходимо, следуя логике процесса усвоения знаний, на каждом этапе обучения найти его исходное начало в фактах и наблюдениях единичного или в аксиомах, научных понятиях. и теориях, после чего определить закономерный переход от восприятия единичного, конкретного предмета к общему, абстрактному или, наоборот, от общего, абстрактного к единичному, конкретному. Таким образом, советская дидактика исходит из единства чувственного и логического, считает, что наглядность обеспечивает связь между конкретным и абстрактным, содействует развитию абстрактного мышления, во многих случаях служит его опорой. Однако характер и степень использования наглядности различны на разных этапах обучения. Излишнее увлечение наглядностью в обучении может привести к нежелательным результатам. Конкретная наглядность (например, рассмотрение моделей геометрических тел) должна постепенно уступать место абстрактной наглядности (рассмотрению плоских чертежей).
Говоря о значении принципа наглядности и о его роли в процессе учебного познания, дидактика утверждает, что наглядность является исходным моментом обучения главным образом в младших классах. По мере движения учащихся к старшим классам учитель постепенно должен находить в обучении историко-индуктивный путь пополнения знаний: постановка проблемы, история ее решения и современное состояние, затем практические или лабораторные работы. Здесь наглядность получает свою реализацию дважды: как иллюстрация истории открытия и как способ раскрытия современного решения проблемы.
Однако исторический подход занимает много времени и не всегда необходим. Поэтому исходным началом могут быть теоретические положения, аксиомы, системы понятий, усвоенные учащимися на предшествующих этапах обучения. В этом случае наглядность используется лишь для иллюстрации усвоенных учащимися знаний в процессе их применения к решению задач. По характеру отражения окружающей действительности различают следующие виды наглядности:
натуральная (естественная) наглядность, представляющая собой реальные предметы или процессы (объекты и явления, раздаточный материал и др.);
изобразительная наглядность (фотографии, художественные картины, рисунки, учебные картины и др.) применяется, когда показ натурального предмета затруднен, а созерцание конкретного образа необходимо;
символическая наглядность (чертежи, графики, схемы, таблицы, диаграммы) по существу является своеобразным языком, а потому должна специально изучаться, чтобы стать понятной. Например, при изучении свойств функций (возрастание, убывание, максимум, минимум и др.) целесообразно их аналитическую запись переводить на язык графиков и на этой основе тренировать учащихся "читать" графики функций.
Различные виды наглядности выполняют различные функции. Одни содействуют оживлению представлений (картины, предметы жизни), другие являются опорой для отвлеченного мышления.
Наглядность применяется и как средство познания нового, и для иллюстрации мысли, и для развития наблюдательности, и для лучшего запоминания материала. Средства наглядности используются на всех этапах процесса обучения: при объяснении нового материала учителем, при закреплении знаний, формировании умений и навыков, при выполнении домашних заданий, при контроле усвоения учебного материала.
Применение наглядных пособий в обучении подчинено ряду правил: ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств;
обращать внимание учащихся на самые важные, существенные признаки предмета;
показать предмет (по возможности) в его развитии; предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении наглядных пособий;
использовать средств наглядности ровно столько, сколько это нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не превращать наглядность в самоцель.
Следовательно, умелое применение средств наглядности в обучении всецело находится в руках учителя. Учитель в каждом отдельном случае должен самостоятельно решать, когда и в какой мере надо применять наглядность в процессе обучения, ибо от этого в определенной степени зависит качество знаний учащихся.
Принцип наглядности, по выражению Я. А. Коменского, является "золотым правилом дидактики". Он требует сочетания наглядности и мысленных действий, наглядности и слова. Вредным является как недостаточное, так и избыточное применение средств наглядности. Их недостаток приводит к формальным знаниям, а избыток может затормозить развитие логического мышления, пространственного представления и воображения. Встречаются примеры нетрадиционного применения принципа наглядности.
Назад к оглавлению | К началу главы
Принцип индивидуального подхода к учащимся
Повышение эффективности обучения непосредственно связано с тем, насколько полно учитываются особенности каждого учащегося. Важной индивидуальной особенностью учащихся является их способность к усвоению знаний, т. е. обучаемость. Под влиянием возрастающих требований жизни увеличивается объем и усложняется содержание знаний, подлежащих усвоению в школе. Чем глубже развивается этот процесс, тем более четко выступают индивидуальные различия в обучаемости школьников.
Как показали многочисленные психолого-дидактические исследования, если уровнять многие факторы, влияющие на уровень усвоения новых знаний, а именно: обеспечить одинаковый исходный минимум знаний у всех учащихся, положительное отношение их к уроку, желание как можно лучше усвоить материал, тщательно разработать методику введения нового материала, то, несмотря на равенство этих условий, новые знания будут усвоены поразному. Одни школьники достаточно полно усвоят новое и могут применить его в новых, но сходных с учебной обстановкой условиях, требующих самостоятельного развития новых знаний (высший уровень усвоения). Другие усвоят существенные стороны нового понятия или закономерности и сумеют применить их к решению задач, близких к тем, которые разбирались в процессе объяснения нового материала (средний уровень усвоения). Наконец, будут и такие, кто вынес лишь отдельные, нередко несущественные стороны нового понятия или закономерности и не может применить их к решению даже простых задач (низший уровень усвоения). При этом потребуется различное количество упражнений и различная мера помощи со стороны учителя тем учащимся, которых предстоит довести до высшего уровня усвоения.
В психологии обучения выявлено несколько характеристик индивидуальных различий учащихся, связанных с понятием обучаемости. К ним относятся: а) темп усвоения или продвижения в обучении как наиболее устойчивая характеристика; б) полнота и точность анализа и синтеза и неразрывно связанных с ними обобщения и абстрагирования; в) устойчивая предрасположенность школьников к тому или иному виду анализа, особенно при первичной работе над материалом; г) уровень формируемых у школьника обобщений; д) уровень выделения и обобщения школьниками способов оперирования знаниями; е) экономичность мышления и др.
Следует заметить, что предпоследняя (указанная здесь) сторона мыслительной деятельности позволила психологам сделать предположение о том, что не всякое усвоение знаний означает сдвиг в умственном развитии учащегося. Этот сдвиг происходит тогда, когда обучение обеспечивает овладение не только содержанием знаний, но и методами, способами их приобретения, благодаря чему учащиеся могут самостоятельно приобретать новые знания.
Отмеченные выше явления, имеющие место в обучении школьников, показали невозможность создать в обучении систему, равно оптимальную для каждого учащегося. Это обстоятельство привело к необходимости реализации в обучении принципа индивидуального подхода к учащимся. Сущность принципа индивидуального подхода по существу состоит в адаптации (приспособлении) обучения либо к содержанию и уровню знаний, умений и навыков каждого учащегося, либо также к характерным для него особенностям процесса усвоения, либо даже к некоторым устойчивым особенностям его личности. Основным средством реализации принципа индивидуального подхода являются индивидуальные самостоятельные работы, предназначенные для учащихся. Они выступают в качестве специфического дидактического средства организации и управления самостоятельной деятельностью учащихся на всех этапах обучения.
Назад к оглавлению | К началу главы
Принцип прочности знаний
Принцип прочности знаний обусловливается как задачами школы, так и закономерностями процесса обучения. Опираться на приобретенные знания, умения и навыки можно лишь в том случае, когда они усвоены твердо и длительное время удерживаются в памяти.
Прочные знания, умения и навыки необходимы как для успешного продолжения образования, так и для формирования у учащихся научного мировоззрения, развития их способностей, подготовки к практической деятельности.
В дидактике сформулированы условия прочности знаний. К ним относятся:
активное приобретение знаний с целью сознательного их усвоения; научность обучения;
создание в обучении условий для запоминания учебного материала.
Содержание и сущность принципов научности и сознательности в обучении было раскрыто выше. Поэтому рассмотрим некоторые основы механизма запоминания в процессе обучения.
Запоминание есть процесс памяти, в результате которого происходит закрепление нового путем связывания его с ранее приобретенным. Запоминание всегда избирательно: в памяти сохраняется не все, что оказывает воздействие на органы чувств индивида. От чего это зависит? Запоминание является закономерным продуктом действия субъекта с объектом, т. е. запоминается то, с чем человек действует. При этом успешность запоминания учебного материала определяется мотивами, целями и способами деятельности личности. Назовем основные условия запоминания материала в обучении: учебный материал запоминается учащимися лучше, если он входит в содержание основной цели деятельности. Например, если целью действий учащихся является выявление свойств той или иной геометрической фигуры, то их запоминание будет лучшим, нежели в том случае, когда свойства фигуры сообщаются непосредственно учителем; учебный материал запоминается лучше, если он вызывает активную умственную работу над ним. Поэтому материал более трудный запоминается лучше, чем легкий, так как связи между элементами трудного текста являются более содержательными.
Глава 4
Методы обучения математике
Сущность и роль проблемы методов в современном обучении математике. Понятие метода обучения. Методы преподавания и методы обучения. Условия успешного применения различных методов обучения
Методы обучения, выделяемые по источнику знаний
Словесные методы обучения
Наглядные методы обучения
Практические методы обучения
Методы обучения, определяемые уровнем познавательной деятельности учащихся
К методам этой группы относятся репродуктивные, проблемно-поисковые и самостоятельная работа учащихся.
В практике многих учителей широко используется самостоятельная работа учащихся. Она проводится почти на каждом уроке в пределах 7-15 мин. Первые самостоятельные работы по теме носят в основном обучающий и корректирующий характер. С их помощью осуществляется оперативная обратная связь в обучении: учитель видит все недостатки в знаниях учащихся и своевременно устраняет их. От занесения в классный журнал оценок "2" и "3" можно пока воздержаться (выставляя их в тетради или дневнике учащегося). Если самостоятельная работа носит контролирующий характер, то в журнал выставляются все оценки. Такая система оценивания является достаточно гуманной, хорошо мобилизует учащихся, помогает им лучше осмысливать свои затруднения и преодолевать их, способствует повышению качества знаний. Учащиеся оказываются лучше подготовленными к контрольной работе, у них исчезает страх перед такой работой, боязнь получить двойку. Количество неудовлетворительных оценок, как правило, резко сокращается. У учащихся вырабатывается положительное отношение к деловой, ритмичной работе, рациональному использованию времени урока.
О сочетании методов обучения
Проблемное обучение математике.
Общая характеристика проблемного обучения. Проблемное изучение нового материала. Проблемы обучения при решении задач. Виды учебной работы школьников в условиях проблемного обучения. Контроль и оценка поисковой деятельности учащихся в условиях проблемного обучения, роль отметки
Методы проблемного обучения
Исследовательский метод
Метод проблемного изложения
Эвристический метод обучения математике
Сущность эвристики. Роль эвристической деятельности в науке и практике обучения математике. Эвристическая беседа. Достоинства и недостатки эвристического метода обучения математике
Эвристика - молодая научная дисциплина, возникшая на стыке таких наук, как философия, кибернетика, психология и педагогика. Специалисты каждой из этих наук рассматривают эвристику со своих позиций, придают своеобразное толкование ее основным понятиям и положениям.
Так, кибернетики считают, что эвристика - методы и способы, связанные с улучшением эффективности системы (человека или машины), решающей задачи. Психологи считают эвристику разделом психологии, изучающим творческое мышление. Педагоги считают эвристикой науку о средствах и методах решения задач. Философы термин "эвристический" приписывают таким правилам или утверждениям, которые способствуют открытию нового.
В последние годы к эвристике относят и те исследования представителей кибернетики, которые пытаются моделировать высшие проявления интеллекта. Уже и сейчас проблемы эвристики разрабатываются инженерами и математиками, психологами и физиологами, педагогами и организаторами производства. Все же основой эвристики является психология, особенно тот ее раздел, который получил название психологии творческого, или продуктивного, мышления.
Эвристическая деятельность или эвристические процессы, хотя и включают в себя умственные операции в качестве важного своего компонента, вместе с тем обладают некоторой спецификой. Именно поэтому эвристическую деятельность следует рассматривать как такую разновидность человеческого мышления, которая создает новую систему действий или открывает неизвестные ранее закономерности окружающих человека объектов (или объектов изучаемой науки).
Попытки проникнуть в механизм этого процесса, раскрыть его закономерности предпринимали и предпринимают многие исследователи в различных отраслях науки.
В эвристике, как молодой, развивающейся науке, не все понятия достаточно четко определены. Это прежде всего относится к понятию "эвристический метод". Многие исследователи понимают под ним определенный эффективный, но недостаточно надежный способ решения задач. Он позволяет ограничивать перебор вариантов решения, т. е. сокращать число вариантов, изучаемых перед тем, как выбрать окончательное решение. Понятно, что это определение понятия "эвристический метод" не может быть признано удовлетворительным, так как в нем представлена лишь внешняя характеристика явления, но не раскрыты существенные его черты.
Чтобы раскрыть существо этого понятия, необходимо иметь в виду, что сам термин "эвристический" применим к явлениям двоякого рода. Во-первых, можно рассмотреть как эвристическую такую деятельность человека, которая приводит к решению сложной, нестандартной задачи, во-вторых, эвристическими можно считать и специфические приемы, которые человек сформировал у себя в ходе решения одних задач и более или менее сознательно переносит на решение других задач.
Эвристические приемы как готовые схемы действия составляют объект эвристической логики, а реальный процесс эвристической деятельности - объект психологии. Но если эвристические приемы могут быть представлены в виде определенной логической схемы, т. е. могут быть описаны математическим языком, то эвристическая деятельность на современном этапе развития науки не имеет своего математического выражения.
Начало применения эвристического метода как метода обучения - математике можно найти еще в книге известного французского педагога - математика Лезана "Развитие математической инициативы". В этой книге эвристический метод не имеет еще современного названия и выступает в виде советов учителю. Вот некоторые из них:
Основной принцип преподавания - "сохранять видимость игры, уважать свободу ребенка, поддерживая иллюзию (если есть таковая) его собственного открытия истины"; "избегать в первоначальном воспитании ребенка опасного искуса злоупотреблением упражнениями памяти", ибо это убивает его врожденные качества; обучать, опираясь на интерес к изучаемому.
Лезан приводит множество примеров, наглядно показывая, как сделать обучение математике более эффективным, опираясь на явную заинтересованность учащихся процессом обучения.
Эвристический метод обучения рассматривался в русской школе с начала XIX в. Многие русские педагоги-математики того времени не раз пересматривали традиционные методы обучения, представлявшиеся им устаревшими, не отвечающими основным задачам математического образования.
На необходимость пересмотра традиционной программы обучения в русской школе указывал, в частности, известный педагог-математик С. И. Шохор-Троцкий. В книге "Геометрия на задачах" он писал, что нельзя излагать учащихся данный раздел математики в совершенно готовом виде. Поступать так - значит идти вразрез с основными принципами обучения и воспитания. В частности, он указывал, что "занятия геометрией могут быть для ученика занимательны только тогда, когда они требуют от него посильного и планомерного труда... требуют умственной работы, а не заучивания слов на память".
Большое значение эвристическому методу обучения в школе придавал другой русский педагог-математик Н. А. Извольский. В книге "Комбинационная работа" он писал, что "главной задачей обучения является развитие творческих способностей".
Известный методист-математик В. М. Брадис определяет эвристический метод следующим образом: "Эвристическим называется такой метод обучения, когда руководитель не сообщает учащимся готовых, подлежащих усвоению сведений, а подводит учащихся к самостоятельному переоткрытию соответствующих предложений и правил"
Определение эвристического метода преподавания дается также В. В. Репьевым. Только название метода здесь звучит несколько иначе - эвристическая беседа. "... Этот метод состоит в том, что учитель ставит перед классом проблему (теорему, задачу), а затем путем целесообразных вопросов приводит учащихся к решению проблемы".
Но суть этих определений одна - самостоятельный, планируемый лишь в общих чертах поиск решения поставленной проблемы.
Роль эвристической деятельности в науке и в практике обучения математике подробно освещается в книгах американского математика Д. Пойа. В книге "Как решать задачу". Д. Пойа пытается охарактеризовать эвристику как специальную отрасль знания. Цель эвристики - исследовать правила и методы, ведущие к открытиям и изобретениям. Интересно, что основным методом, с помощью которого можно изучить структуру творческого мыслительного процесса, является, по его мнению, исследование личного опыта в решении задач и наблюдение за тем, как решают задачи другие. Автор пытается вывести некоторые правила, следуя которым можно прийти к открытиям, не анализируя той психической деятельности, в отношении которой предлагаются эти правила. "Первое правило - надо иметь способности, а наряду с ними удачу. Второе правило - стойко держаться и не отступать, пока не появится счастливая идея". Интересна приводимая в конце книги схема решения задач. Схема указывает, в какой последовательности нужно совершать действия, чтобы добиться успеха. Она включает четыре этапа:
1. Понимание постановки задачи.
2. Составление плана решения.
3. Осуществление плана.
4. Взгляд назад (изучение полученного решения).
В ходе выполнения этих этапов решающий задачу должен ответить на следующие вопросы: Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие? Не встречалась ли мне раньше эта задача, хотя бы в несколько другой форме? Есть ли какая-нибудь родственная данной задача? Нельзя ли воспользоваться ею?
Нетрудно видеть, что эта схема подчеркивает главным образом один принцип эвристической деятельности: использование в том или ином виде прошлого опыта. Но этот принцип не может считаться единственным в структуре творческой мыслительной деятельности. Понятно, что многие весьма важные компоненты продуктивного мышления в работах Д. Пойа и не могут выступить с должной отчетливостью, так как речь у него идет об учебных, а не о чисто творческих задачах.
Близка точке зрения Д. Пойа та характеристика эвристической деятельности, которая дается известным американским психологом Д. Брунером в его книге "Процесс обучения". Эвристические приемы характеризуются Д. Брунером как некоторые не вполне точные способы решения задач, с помощью которых можно прийти, а можно и не прийти к нужному результату. У Брунера понятие "эвристический" служит для характеристики лишь приемов, помогающих решать задачу, как и у Д. Пойа. Д. Брунер не исследует эвристическую деятельность человека как процесс, приводящий к формированию приемов или схемы действий. Между тем обучение деятельности - это значительно более сложная и вместе с тем гораздо более важная проблема, чем обучение готовым, сложившимся приемам решения задач.
Весьма интересна с точки зрения применения эвристического метода в школе книга американского педагога У. Сойера "Прелюдия к математике".
"Для всех математиков, - пишет Сойер, - характерна дерзость ума. Математик не любит, когда ему о чем-нибудь рассказывают, он сам хочет дойти до всего"
Эта "дерзость ума", по словам Сойера, особенно сильно проявляется у детей.
"Если вы, например, преподаете геометрию 9-10-летним ребятам, - говорит Сойер, - и рассказываете, что никто еще не смог разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля, вы непременно увидите, что один-два мальчика останутся после уроков и будут пытаться найти решение. То обстоятельство, что в течение 2000 лет никто не решил эту задачу, не помешает им надеяться, что они смогут это сделать в течение часового перерыва на обед. Это, конечно, не очень скромно, но и не свидетельствует об их самонадеянности. Они просто готовы принять любой вызов. А ведь в действительности уже доказано, что невозможно разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля. Их попытка найти решение - того же рода, что попытка представить "корень из двух" в виде рациональной дроби p/q
Хороший ученик всегда старается забежать вперед. Если вы ему объясните, как решать квадратное уравнение дополнением до полного квадрата, он непременно захочет узнать, можно ли решить кубическое уравнение дополнением до полного куба. Вот это желание исследовать является отличительной чертой математика. Это одна из сил, содействующих росту математика. Математик получает удовольствие от знаний, которыми он уже овладел, и всегда стремится к новым знаниям".
Другим необходимым качеством математика является интерес к закономерностям. Закономерность - это наиболее стабильная характеристика постоянно меняющегося мира. Сегодняшний день не может быть похожим на вчерашний. Нельзя увидеть дважды одно и то же лицо под одним и тем же углом зрения. Закономерности встречаются уже в самом начале арифметики. В таблице умножения имеется немало элементарных примеров закономерностей. Вот один из них. Обычно дети любят умножать на 2 и на 5, потому что последние цифры ответа легко запомнить: при умножении на 2 всегда получаются четные цифры, а при умножении на 5, еще проще, всегда 0 или 5. Но даже в умножении на 7 есть свои закономерности. Если мы посмотрим последние цифры произведений 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, т.е. на 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0, то увидим, что разность между последующей и предыдущей цифрами составляет:-3; +7;-3;-3; +7; -3; -3, -3. В этом ряду чувствуется совершенно определенный ритм.
Если прочесть конечные цифры ответов при умножении на 7 в обратном порядке, то мы получаем конечные цифры от умножения на 3. Даже в начальной школе можно развить навык наблюдения за математическими закономерностями.
В книге "Прелюдия к математике" Сойер приводит много примеров наблюдений закономерностей и в арифметике, и в алгебре, и в геометрии. Итак. одним из основных методов, который позволяет учащимся проявить творческую активность в процессе обучения математике, является эвристический метод. Грубо говоря, этот метод состоит в том, что учитель ставит перед классом некоторую учебную проблему, а затем путем после-довательно поставленных заданий "наводит" учащихся на самостоятельное обнаружение того или иного математического факта. Учащиеся постепенно, шаг за шагом, преодолевают трудности в решении поставленной проблемы и "открывают" сами ее решение.
Известно, что в процессе изучения математики школьники часто сталкиваются с различными трудностями. Однако в обучении, построенном эвристически, эти трудности часто становятся своеобразным стимулом для изучения. Так, например, если у школьников обнаруживается недостаточный запас знаний для решения какой-либо задачи или доказательства теоремы, то они сами стремятся восполнить этот пробел, самостоятельно "открывая" то или иное свойство и тем самым сразу обнаруживая полезность его изучения. В этом случае роль учителя сводится к тому, чтобы организовать и направить работу ученика, чтобы трудности, которые ученик преодолевает, были ему по силам. Нередко эвристический метод выступает в практике обучения в форме так называемой эвристической беседы. Опыт многих учителей, широко применяющих эвристический метод, показал, что он влияет на отношение учащихся к учебной деятельности. Приобретя "вкус" к эвристике, учащиеся начинают расценивать работу по "готовым указаниям", как работу неинтересную и скучную. Наиболее значимыми моментами их учебной деятельности на уроке и в домашних условиях становятся самостоятельные "открытия" того или иного способа решения задачи. Явно возрастает интерес учащихся к тем видам работ, в которых находят применение эвристические методы и приемы.
Современные экспериментальные исследования, проведенные в советской и зарубежной школах, свидетельствуют о полезности широкого использования эвристического метода при изучении математики учащимися средней школы, начиная уже с начального школьного возраста. Естественно, что в таком случае перед учащимися можно поставить только те учебные проблемы, которые могут быть поняты и разрешены учащимися на данном этапе обучения.
К сожалению, на частое применение эвристического метода в процессе обучения поставленных учебных проблем требуется гораздо больше учебного времени, чем на изучение этого же вопроса методом сообщения учителем готового решения (доказательства, результата). Поэтому учитель не может использовать эвристический метод преподавания на каждом уроке. К тому же длительное использование только одного (даже весьма эффективного метода) противопоказано в обучении. Однако следует отметить, что "время, затраченное на фундаментальные вопросы, проработанные с личным участием учащихся,-не потерянное время: новые знания приобретаются почти без затраты усилий благодаря ранее полученному глубокому мыслительному опыту".
Метод программированного обучения в преподавании математики
Характерные черты программированного обучения. Линейный и разветвленный способы программирования учебного материала. Методика проведения занятий с применением программированных материалов
Особенности программированного обучения
Методы информатики в обучении математике
Логико-алгоритмический метод, программированное обучение, компьютеризация обучения математике. Технологический подход к построению обучения математике
Методы информатики в обучении математике
Методы научного познания в обучении математике
Общая характеристика методов научного исследования. Наблюдение, опыт и измерение, анализ и синтез, сравнение и аналогия, обобщение, абстрагирование и конкретизация, математическое моделирование в процессе обучения математике. / Характеристика каждого метода, его достоинства и недостатки, примеры
Эмпирические методы познания Эмпирические методы познания
К эмпирическим методам познания относятся наблюдение, описание, измерение и эксперимент. Наиболее часто эти методы применяются в естественнонаучных дисциплинах (химии, биологии, астрономии, физике, географии и т. д.). Для математики эти методы не являются характерными. История развития математики свидетельствует о том, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в зарождении математических знаний, становлении математики как самостоятельной теоретической дисциплины. Школьное обучение математике в определенной мере повторяет ее исторический путь развития. Использование средств наглядности и технических средств обучения, как правило, предполагает применение различных эмпирических методов. Часто имеет место одновременное использование методов наблюдения, описания, измерения и эксперимента. Это помогает избежать пассивной созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную работу по использованию демонстрационных наглядных пособий, приборов, моделей и т. п.
Математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основанием истинности ее предложений. Это несомненно верно, если под математикой понимать совокупность готовых, уже построенных дедуктивных теорий, но это неверно, если под математикой понимать мыслительную деятельность, результатом которой являются подобные теории. В последнем случае дедуктивная теория лишь одна фаза математики. Но она имеет еще две фазы - предшествующую дедуктивной теории фазу накопления фактов (опытную, интуитивную) и следующую за ней фазу приложений. Эти две фазы независимо от того, считают ли их собственно математическими или "околоматематическими", не менее важны в обучении, чем сама дедуктивная теория: первая - для понимания этой теории, вторая - для ее оправдания.
Исходя из задач, стоящих перед школой, речь идет об обучении не только готовым знаниямно и методам познания приводящим к этим знаниям. Поэтому естественно применять в обучении и те эмпирические методы познания, с помощью которых формулируются гипотезы, подлежащие обоснованию (или опровержению) уже иными методами.
Наблюдение, опыт и измерения должны быть направлены на создание в процессе обучения специальных ситуаций и предоставление учащимся возможности извлечь из них очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т, д. Чаще всего результаты наблюдения, опыта и измерений служат посылками индуктивных выводов, с помощью которых осуществляются открытия новых истин. Поэтому наблюдение, опыт и измерения относят и к эвристическим методам обучения, т. е. к методам, способствующим открытиям.
Проиллюстрируем такое применение наблюдения, опыта и измерений несколькими примерами.
Если показать учащимся IV-V классов различные фигуры, в том числе окружающие нас предметы, среди которых одни обладают, а другие не обладают осевой симметрией, то наблюдение этих фигур позволяет заметить, что каждая из "симметричных" фигур делится некоторой прямой на две части так, что, если согнуть фигуру по этой прямой, одна ее часть полностью належится на другую. Для каждой же из "несимметричных" фигур такой прямой нельзя найти.
После такого наблюдения "симметричных" фигур вокруг нас (архитектурных украшений, строительных и других деталей, некоторых листьев на деревьях и т. д.) можно перейти к дальнейшему изучению осевой симметрии с помощью специального опыта (эксперимента).
Каждому ученику предлагается согнуть лист бумаги так, чтобы одна часть листа упала на другую и образовалась линия сгиба. Затем предлагается выпрямить снова лист и отметить на нем произвольную точку А, не лежащую на линии сгиба, затем снова согнуть лист по той же линии сгиба и определить, глядя на свет через согнутый лист, с какой точкой совпала при этом точка А. Пусть это точка А1 Учащимся сообщают, что точки А и А1 называются симметричными относительно прямой l (линии сгиба), называемой осью симметрии этих точек. Для другой точки В, лежащей по другую сторону от линии сгиба, чем точка А, предлагается определить (опытным путем, с помощью сгибания листа) симметричную ей точку относительно той же оси l. Замечаем, что, если взять точку С на линии сгиба, она остается неподвижной при сгибании листа, т. е. не совпадает с какойлибо другой точкой листа. Мы говорим, что любая точка оси симметрии (линии сгиба) симметрична самой себе.
Естественно возникает вопрос: чем. же характеризуется расположение относительно оси пары симметричных точек (А, А1, В, В1, как это можно описать с помощью уже известных геометрических терминов? Учащиеся замечают (возможно, с помощью учителя), что симметричные точки (если они различны) всегда лежат по разные стороны от оси симметрии. Предлагается соединить симметричные точки отрезком прямой. Учащиеся высказывают гипотезу, что симметричные точки отстоят на равных расстояниях от оси симметрии, т. е. что отрезки АА1 и ВВ1 делятся осью симметрии пополам. Это предположение подкрепляется с помощью измерения соответствующих отрезков. Если учащиеся не замечают перпендикулярности отрезка АА1 и ВВ1 к оси симметрии (обычно равенство углов не так быстро обнаруживается, как равенство отрезков), то берут две точки, равностоящие от оси по разные стороны от нее, но не на одном перпендикуляре к ней, и задают вопрос: будут ли эти точки симметричны относительно той же оси? Сопоставляя расположение этих точек с расположением симметричных точек, учащиеся обнаруживают, что последние лежат на одном перпендикуляре к оси симметрии. Это пока предположение, которое также подкрепляется измерением соответствующих углов.
Если соединить отрезками точки А и В и симметричные им точки А1 и В1, то при сгибании листа бумаги по линии l отрезок АВ наложится на отрезок А1В1 т. е. обнаруживается, что расстояние между двумя точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А1 и В1.
Опытным же путем обнаруживается также, что каждая из полуплоскостей с границей l "накладывается" (преобразуется, отображается) на другую.
Таким образом, с помощью наблюдения, опыта и измерений формируется представление об осевой симметрии как о преобразовании плоскости, при котором каждой точке сопоставляется симметричная ей относительно оси l точка и мы получаем возможность описать осевую симметрию на уже известном учащимся геометрическом языке с помощью следующей совокупности предложений.
(П1) Каждая точка оси симметрии симметрична сама себе. Любые две различные симметричные точки лежат:
(П2) по разные стороны от оси симметрии,
(П3) на одном перпендикуляре к оси и
(П4) на одинаковом расстоянии от оси.
(П5) Расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между симметричными им точками.
(П6) Каждая из полуплоскостей с границей преобразуется в другую. Полученное описание нашего опыта не является, однако, совершенным. Во-первых, все предложения П1 - П6 "обоснованы" лишь опытным путем. Во-вторых, еще не раскрыты логические связи между ними, не выяснено, какие из этих предложений могут служить посылками для вывода из них остальных предложений этой совокупности (с помощью, возможно, и некоторых других, уже известных геометрических истин).
Однако устранение этих дефектов нашего описания требует уже применения других методов, о которых речь пойдет дальше.
Приведем пример, когда опыт способствует открытию геометрического свойства и подсказывает путь его доказательства.
Экспериментально обнаружить, что сумма углов данного треугольника равна 180°, можно сразу же, как только учащиеся научатся измерять углы с помощью транспортира.
Учащимся предлагается измерить транспортиром углы начерченного в тетради треугольника и сложить результаты измерения. У некоторых сумма углов треугольника получается меньше 180°, у других - больше, но у всех результаты близки к 180°, а у некоторых даже "точно" 180° (!). Ученики догадываются, что должно получиться 180°, а другие результаты объясняются погрешностями измерения. Они "совершают открытие": "Во всяком треугольнике сумма внутренних углов равна 180°".
Это предположение подкрепляется вторым опытом, подсказывающим идею доказательства (одного из возможных доказательств). У каждого школьника заготовлен вырезанный из бумаги треугольник. Учитель предлагает "оторвать" два угла и приложить их к третьему так, как он это делает сам на большом треугольнике. Учащиеся замечают, что получены три угла с общей вершиной А, расположенные по одну сторону от прямой. Следовательно, сумма этих углов равна 180°. С помощью этого опыта (уже без измерений) мы пришли к той же гипотезе, и всем кажется, что обнаруженное свойство достоверно. Но можно ли быть уверенным в том, что два луча, сходящиеся в точке А, образуют прямую линию? Ведь они могут образовать ломаную, так мало отличающуюся от прямой, что мы этого не заметим. Но в этом случае сумма углов уже не будет равна 180°.
Таким образом, проведенный опыт не заменяет доказательство. Он лишь подсказывает один из возможных путей доказательства открытого опытным путем свойства.
С помощью простого опыта формируется и наглядное представление о перемещении как об отображении плоскости на себя, сохраняющем расстояние между точками. На лист бумаги кладут тонкую прозрачную "o пластинку со многими отверстиями. С помощью карандаша отмечается на листе положение одного отверстия (одной точки). Пусть это точка А плоскости. Затем перемещают произвольно пластинку на листе и через это же отверстие отмечается новая точка А При этом отмечается, что так можно поступить с любой точкой плоскости. Затем отмечают острием карандаша через два отверстия пластинки точки В и С плоскости и после некоторого перемещения пластинки через те же отверстия отмечают новые точки -В1 и С1 соответственно. Так как при перемещении пластинка не растягивается и не сжимается, то расстояния между точками сохраняются, т. е.
|ВС| == | В1 С1 |
Таким образом, всякая точка Х неподвижного листа отображается точно в одну точку Х1 этого же листа. Так получается отображение плоскости на себя, при котором расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами.
С помощью описанного опыта обнаруживаются и важнейшие свойства движения:
а) если три точки А, М, В лежат на одной прямой, то и их образы А1, М1, В1 тоже лежат на одной прямой;
б) если точка М лежит между точками А и В, то и М лежит между А1 и В1
Открытые опытным путем, эти свойства, разумеется, подлежат доказательству. Здесь опять опыт проявляется как эвристический метод.
Рассмотрим пример применения опыта для открытия алгебраической закономерности.
Допустим, что в одном, синем, мешочке имеется т синих палочек, а в другом, красном, мешочке - п красных палочек. Нужно освободить один мешочек. Мы можем это сделать двумя способами. Можно пересыпать все красные палочки из красного мешочка в синий, и тогда в нем окажется т + п палочек. Но можно пересыпать все синие палочки в красный мешочек, и тогда в нем окажется п + т палочек. Но и в одном, и в другом случае мы имеем в мешочке одно и то же множество палочек. Следовательно,
т + п =-- п + т.
Разумеется, в конкретном опыте т и п обозначают определенные числа. Поэтому полученное равенство является лишь одной из посылок, с помощью которых уже другим методом (индукцией) получают общий закон коммутативности сложения натуральных чисел:
"т +п = п+т ; для любых натуральных чисел т и п".
Подсчет двумя способами (по рядам и по столбцам) единичные квадратиков, заполняющих прямоугольник, измерения которого выражаются натуральными числами, является опытом, с помощью которого обнаруживается коммутативность умножения натуральных чисел.
Важно отметить, что с помощью эмпирических методов (наблюдения, опыта, измерений) выполняется лишь начальный этап работы по математическому описанию реальных ситуаций. Получаемый математический материал (интуитивные понятия, гипотезы, совокупности математических предложений) подлежит дальнейшей обработке уже другими методами
Логические методы познания Логические методы познания
К логическим методам познания относятся: анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, аналогия, абстра-гирование, обобщение, конкретизация, классификация и др.
Анализ и синтез Анализ и синтез
Логические методы познания особенно необходимы при отыскании решения задач. Рассмотрим, например, следующую задачу: "Определить площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см". Поиск ее решения целесообразно начать, пользуясь методами анализа и синтеза. В процессе анализа задачи выделяются все ее утверждения: 1) необходимо вычислить площадь четырехугольника; 2) четырехугольник имеет взаимно перпендикулярные диагонали; 3) диагонали четырехугольника равны 6 и 8 см. Выделение этих утверждений из "целого" (задачи) - результат проведения анализа. Анализ направляется вопросами: "Что дано в задаче?", "Что еще дано в задаче?", "О чем еще говорится в задаче?", "Что в задаче требуется найти?". Важно иметь в виду, что при решении задачи анализ проводится не один раз: возможен повторный анализ, анализ с новой целью, с иной точки зрения и т. п. Так, для выполнения чертежа необходим дополнительный анализ, устанавливающий порядок использования данных задачи для построения чертежа. Выполнение чертежа предполагает уже другой метод познания - метод синтеза. Ошибки в выполнении чертежа являются поводом для проведения анализа с более конкретной целью, т. е. более углубленного анализа. Например, при решении рассматриваемой задачи учащиеся иногда четырехугольник изображают в виде параллелограмма. Избежать ошибки в выполнении чертежа можно, если начать построения не с четырехугольника, а с его диагоналей, изображая их произвольными взаимно перпендикулярными отрезками. В итоге дополнительного анализа на первый план выдвигается условие перпендикулярности диагоналей, которое является основным в отыскании общей идеи решения задачи, необходимых вычислений. Возможны различные решения задачи (в зависимости от того, в каком направлении будет вестись анализ, на какие треугольники будет разбит данный четырехугольник). Например, нетрудно заметить, что данный четырехугольник состоит из четырех (или двух) треугольников и задача тем самым сводится к нахождению суммы площадей этих треугольников.
Анализ - логический прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически ) расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого.
Синтез - логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое.
Очень часто умение мыслить связывают с умением анализировать. Это вполне правомерно, так как вывод следствий, выражающих новые свойства изучаемого объекта, очень часто требует анализа того, что уже известно о нем. В математике, чаще всего, под анализом понимают рассуждение в "обратном направлении", т. е. от неизвестного, от того, что необходимо найти, к известному, к тому, что уже найдено или дано, от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное. В таком понимании, наиболее важном для обучения, анализ является средством поиска решения, доказательства, хотя в большинстве случаев сам по себе решением, доказательством еще не является.
Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соответствующего алгоритма), известного под названием сведения (редукции) задачи к совокупности подзадач. Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа "размышлении в обратном направлении" от задачи, которую предстоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т. д., пока исходная задача не будет сведена к набору элементарных задач. Что же понимают под "элементарными задачами"? Это, во-первых, задачи, решаемые за один шаг поиска, во-вторых, более сложные задачи (т. е. не решаемые за один шаг поиска), решение которых уже известно из имеющегося опыта решения задач.
Из такого понимания элементарной задачи следует, что чем больший опыт решения задач, тем больше задач становятся для нас "элементарными" в упомянутом выше смысле, а следовательно, тем меньше объем поиска при решении новых задач, их сведения к элементарным, так как цель поиска состоит в получении элементарных задач, останавливающих процесс поиска.
Подход к решению задач, состоящий в сведении задач к совокупности подзадач, находит широкое применение в практике решения не только задач на доказательство.
Приведем в качестве примера арифметическую задачу для IV класса: "В двух бригадах совхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно. Первая бригада собрала по 30 ц, вторая по 26 ц с гектара. Продано государству 5500 т с первого участка и 7000 т со второго. Остальное зерно засыпано в семенной фонд. Сколько зерна засыпал совхоз в семенной фонд?"
Обычно анализ задачи по существу представляет собой процесс сведения данной задачи к совокупности подзадач, доведенный до элементарных задач. Здесь элементарной считается задача, решаемая с помощью не более одного действия над данными задачи (т. е. элементарной считается и задача, решение которой находится среди данных, например: "Сколько зерна продано государству с первого участка?").
Возможен и иной путь поиска. Построение самого процесса решения (синтез) осуществляется последовательным решением подзадач в обратном порядке.
Наряду с анализом и синтезом в обучении математике часто используются аналогия, обобщение и конкретизация.
Принцип сознательности обучения ориентирует учащихся на осознание путей получения новых знаний. Это осознание формируется на основе практики целенаправленного применения методов научного познания. Полезным является также краткий методологический комментарий процесса поиска решения математических задач.
Сравнение и аналогия
Сравнение и аналогия-логические приемы мышления, используемые как в научных исследованиях, так и в обучении.
С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, т. е. наличие у них общих и необщих (различных) свойств.
Например, сравнение треугольника и четырехугольника раскрывает их общие свойства: наличие сторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон, а также различие: у треугольника три вершины (стороны), у четырехугольника - четыре. Сравнение параллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства: они оба четырехугольники, оба имеют параллельные стороны, - и различие: в одном - две пары параллельных сторон, в другом - одна. Сравнение обыкновенных и алгебраических дробей выявляет их сходство: наличие числителя и знаменателя, отсутствие значения, когда знаменатель обращается в нуль, и т.д., - и различие: в одном случае числитель и знаменатель - числа, в другом - алгебраические выражения.
Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия:
1) сравниваемые понятия однородны и 2) сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.
Эти два условия выполняются в приведенных выше сравнениях: треугольник и четырехугольник - однородные понятия (многоугольники), параллелограмм и трапеция - четырехугольники, обыкновенные и алгебраические дроби - выражения. Во всех трех случаях сравнение осуществлено по существенным признакам (если, например, включили бы в общие свойства параллелограмма и трапеции тот факт, что они оба обозначены одними и теми же буквами АВСД, или считали бы различием обозначение их различными буквами, то это было бы ошибочным подходом к сравнению). Сравнение подготавливает почву для применения аналогии. С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство (или новые свойства).
Рассуждение по аналогии имеет следующую общую схему:
А обладает свойствами А, В, С, Д,
В обладает свойствами А, В, С,
Вероятно (возможно) В обладает и свойством Д.
Как видим, заключение по аналогии является лишь вероятным (правдоподобным), а не достоверным. Поэтому аналогия, как правило, не является доказательным рассуждением, т. е. рассуждением, которое может служить доказательством. ("Как правило" потому, что имеется исключение, связанное с особым видом аналогии, о котором речь пойдет дальше.) Однако в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.
В приведенном выше разъяснении того, что такое аналогия, используется понятие "сходство", которое само нуждается в разъяснении. Когда говорят, например, о сходстве между людьми, между человеком и его изображением на фотоснимке или картине и т. п., интуитивно понимают, что означает сходство. Но можно ли в таком же смысле говорить, например, о сходстве между множеством учащихся класса и множеством А = {1,2,3, ..., 30}, или между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, или между множеством объектов на некотором участке и планом этого участка? Применение же аналогии в математическом исследовании, а поэтому и в обучении математике, часто характеризуется именно тем, что оно основано на глубоком, внутреннем "сходстве", а по существу на одинаковости структуры множеств предметов различной природы с отношениями, имеющими совершенно различный смысл, при отсутствии всякого внешнего "сходства" (в обычном смысле) между этими множествами. Это "структурное сходство", получившее точное математическое описание с помощью понятия изоморфизма, лежит в основе особого вида аналогии, приводящей в отличие от обычной аналогии к достоверным заключениям.
Например, в основе координатного метода лежит идея взаимно однозначного соответствия между множеством точек прямой (плоскости или пространства) и множеством действительных чисел (пар или троек чисел), переводящего некоторые отношения между точками в отношения между числами (парами или тройками чисел). Это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом, позволяющим осуществить однозначный перевод свойств с языка, описывающего структуру множества точек прямой (плоскости или пространства), на язык, описывающий структуру множества Я (^ или ^), и обратно.
Возможность применения аналогии, казалось бы, к совершенно различным объектам основана на совпадении математических моделей этих объектов или принадлежности этих моделей к одному классу.
Вспомним слова В. И. Ленина: "Единство природы обнаруживается в "поразительной аналогичности" дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений". Простейшее дифференциальное уравнение
y' = -ky (1)
и его решение
y = yoe-kt(2)
могут описать процесс распада радия (в этом случае формула (2) дает массу у радия в момент х, если y - масса радия в момент времени x ), и процесс изменения атмосферного давления в зависимости от высоты х над уровнем океана (в этом случае (2) - барометрическая формула), и процесс изменения народонаселения (если прирост населения в данный момент пропорционален численности населения в этот момент), и процесс охлаждения тела при постоянной температуре окружающей среды (поскольку скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды), и, вообще, всякий процесс показательного роста или спада (при k < 0 или k > 0), характеризующийся тем, что скорость изменения величины пропорциональна самой изменяющейся величине в данный момент, что и выражено в дифференциальном уравнении (1).
Все перечисленные явления и процессы обладают глубоким сходством при всем внешнем различии, выражающемся тем, что их математические модели принадлежат одному классу моделей (1). Это и позволяет переносить по аналогии свойства одного из этих процессов на другой (если только эти свойства выводимы из построенной модели).
Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении. Например, изучение десятичных дробей раньше обыкновенных объясняется не только тем, что именно десятичные дроби широко применяются в практике, но и возможностью использования при изучении арифметики десятичных дробей аналогии с арифметикой натуральных чисел. При изучении свойств алгебраических дробей можно использовать аналогию с обыкновенными дробями. Аналогия может служить базой для одновременного изучения арифметической и геометрической прогрессий.
Однако в установившейся практике обучения математике аналогия используется недостаточно. Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии мы можем прийти к ложным заключениям. Например, исходя из того, что предложение
а || b и ас bс(1)
верно (является теоремой) и на плоскости и в пространстве, а обратное предложение
а || c и bс aс(2)
верно на плоскости (является теоремой планиметрии), по аналогии утверждают, что предложение (2) верно и в пространстве, и приходят, таким образом, к ложному заключению.
Надо, однако, помнить, что в этом случае заключение по аналогии лишь правдоподобия и поэтому подлежит еще доказательству (или опровержению).
Следует отметить как недостаток, что (в практике обучения) опровержению мы почти не учим. Это является и серьезным упущением в общеобразовательном и воспитательном отношении, так как в жизни нередко возникает необходимость опровергать.
Исходя из истинности предложения (2) на плоскости, необходимо выяснить, имеет ли место аналогичное свойство в пространстве. Так как это предложение является общим (кванторы общности "для любых а, b, c подразумеваются), то для его опровержения достаточно найти такие прямые а, b, с, чтобы условие (аc и bс) выполнялось, а заключение {а || b) не выполнялось.
Мы не должны опасаться возникновения ложных заключений по аналогии. Необходимо лишь считать их гипотезами (предположениями). Ошибки, допускаемые в процессе поиска, исследования, вполне правомерны, так как чаще всего поиск ведется способом "проб и ошибок". В установившейся практике обучения, как правило, мы не даем учащимся, отвечающим на вопросы учителя, ошибаться. В этом отражается тот факт, что учебная деятельность учащихся является в основном лишь репродуктивной, а в такой деятельности ошибки недопустимы. Воспроизводить необходимо безошибочно. В продуктивной же, творческой деятельности ошибки неизбежны. Такого рода ошибками являются и те, которые появляются в результате применения аналогии в процессе поиска. Они являются составной частью метода проб и ошибок. Важно, чтобы учащиеся в поиске правильных ответов сами могли находить ошибочность возникающих в этом процессе предположений. Этому, разумеется, надо их учить.
Находить сходство, которое могло бы служить источником плодотворных рассуждений по аналогии, бывает нелегко даже в том случае, когда природа сравниваемых объектов одинакова.
Возьмем для примера две геометрические фигуры: треугольник и тетраэдр. В чем состоит сходство между этими фигурами? Треугольник - плоская фигура, тетраэдр - пространственная. Может быть, сходство в том, что грани тетраэдра - треугольники? Если даже принять, что в этом есть какое-то сходство (а пока не уточнено, что такое "сходство": можно понимать под этим что угодно), то вряд ли оно может быть источником для рассуждений по аналогии. Более глубокое исследование этих двух объектов позволяет обнаружить такое структурное сходство, которое является источником аналогии, ведущей к открытиям. Действительно, треугольник и тетраэдр - ограниченные выпуклые множества точек. .Первое образовано минимальным числом прямых на плоскости (нет многоугольника с меньшим, чем три, числом сторон), второе - минимальным числом плоскостей в пространстве. Отсюда, разумеется, не следует, что все свойства этих фигур одинаковы. Но если мы уже изучили свойства треугольника и приступаем к изучению свойств тетраэдра, то установленное сходство в одних свойствах дает нам право предполагать (только предполагать), что и некоторые другие свойства треугольника "переводятся" аналогичным образом в свойства тетраэдра. Так, например, исходя из установленного сходства и из того, что "в треугольнике биссектрисы углов пересекаются в одной точке и эта точка - центр вписанной окружности", мы приходим к предположению, что "в тетраэдре биссекторные плоскости двугранных углов пересекаются в одной точке и эта точка - центр вписанной сферы", и т. д. Мы открываем новые свойства тетраэдра, рассуждая по аналогии. Эти свойства, разумеется, подлежат доказательству.
Другой пример. Параллелепипед - пространственный аналог параллелограмма: в параллелограмме противоположные стороны параллельны, в параллелепипеде противоположные грани параллельны. Рассуждая по аналогии, можно прийти к гипотезе, что в параллелепипеде, так же как и в параллелограмме, диагонали, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам. Но если видеть только сходство и не замечать различия, в частности, что в параллелограмме всего две диагонали, а в параллелепипеде - четыре, то мы упустим важное свойство, подлежащее доказательству, а именно, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке. Как видим,. применению аналогии должно предшествовать сравнение, с помощью которого выявляется как сходство, так и различие.
Сфера - пространственный аналог окружности. Эти две фигуры определяются как множества точек плоскости и пространства соответственно, характеризуемые одним и тем же свойством:
{X || OX| = r}
(множество всех точек плоскости (пространства), расстояние которых от данной точки О равно данному числу r).
Это наводит на догадку, что сфера обладает некоторыми свойствами, аналогичными свойствам окружности. Например, что свойства взаимного расположения прямой и окружности переводятся в свойства взаимного расположения плоскости и сферы: 1) Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек. 2) Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют одну и только одну общую точку. 3) Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то плоскость и сфера пересекаются по окружности (т. е. имеют бесконечное множество общих точек, лежащих на окружности). Как видно, лишь в третьем случае проявляется различие между окружностью и сферой, которое должно учитываться при формулировке аналогичных свойств. Свойство касательной плоскости тоже может быть найдено с помощью аналогии.
Обобщение, абстрагирование и конкретизация
Обобщение и абстрагирование - два логических приема, применяемые почти всегда совместно в процессе познания.
Обобщение - это мысленное выделение, фиксирование каких-ни-будь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений. Абстрагирование - это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения) последних.
Когда мы говорим "несущественные свойства", то имеется в виду несущественные с математической точки зрения. Один и тот же предмет может изучаться, например, и физикой, и математикой. Для физики существенны одни его свойства (твердость, теплопроводимость, электропроводимость и другие физические свойства), для математики эти свойства несущественны, она изучает лишь форму, размеры, расположение предмета.
Из приведенного краткого разъяснения видно, что абстрагирование не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию.
Обобщение и абстрагирование неизменно применяются в процессе формирования понятий, при переход от представлений к понятиям и, вместе с индукцией, как эвристический метод.
Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему.
Под конкретизацией понимают обратный переход - от более общего к менее общему, от общего к единичному.
Если обобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.
Уточним переход от единичного к общему, от менее общего к более общему и обратный переход.
Например, формирование понятия "квадрат" на раннем этапе обучения начинается показом множества предметов, отличающихся друг от друга формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны. Дети, после того как им показывают на одну из этих фигур и говорят, что это квадрат, безошибочно отбирают из множества фигур все те, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размеров, окраски, материала. Здесь выделение из множества предметов подмножества производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - по форме. Дети еще не знают свойств квадрата, они распознают его только по форме. Такое распознавание встречается у детей 4-5 лет. Дальнейшая работа по формированию понятия квадрата состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств. Учащимся предлагается путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных фигур, имеющих форму квадрата, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у всех квадратов 4 вершины и 4 стороны. Но у некоторых фигур, которые мы не отнесли к квадратам, тоже 4 вершины и 4 стороны. Оказывается, у квадрата все стороны равны и все углы прямые. Все отобранные фигуры, обладающие этими свойствами, мы объединяем в один класс - квадраты (переход от единичного к общему).
В дальнейшем обучении этот класс включается в более широкий класс прямоугольников (переход от общего к более общему). При этом переходе к более широкому классу происходит сужение характеристики класса, одно из свойств, характеризующих класс квадратов (равенство всех сторон), опускается.
Так, если множество свойств, характеризующих класс предметов А, обозначить через S(А) (в традиционной формальной логике А называется объемом понятия, а S(А)-содержанием понятия), то имеет место следующее соотношение: если АВ, то S(В)S(A).
Обратный переход от более общего к менее общему, или выделение некоторого подкласса А класса В, осуществляется с помощью некоторого свойства, которым обладают некоторые элементы В, другие же не обладают им. Те элементы В, которые обладают этим новым свойством и образуют подкласс А класса В.
Присоединив это новое свойство Р к множеству свойств, характеризующих класс В, получаем множество свойств, характеризующих подкласс А, т. е. S(В){Р} = S(A), или S(В)S(А).
В нашем примере, если к содержанию понятия "прямоугольник" (к множеству свойств, характеризующих класс прямоугольников) добавить новое свойство (равенство всех сторон), мы получим содержание понятия "квадрат" (множество свойств, характеризующих класс квадратов).
В математике обобщение и абстрагирование часто связаны с заменой постоянных переменными (в переходе от записи отдельных фактов к записи общих закономерностей), а конкретизация - с подстановкой вместо переменных их значений (в обратном переходе).
Рассмотрим с точки зрения использования обобщения и абстрагирования открытие закона коммутативности сложения, который ранее мы изучили в ином аспекте.
Исходным эмпирическим материалом здесь служат непересекающиеся множества А и В конкретных предметов (карандашей и ручек или черных и красных палочек). Легко обнаруживается опытным путем, что, присоединяя к множеству А множество В или, наоборот, к множеству В множество А, получаем одно и то же множество. Варьируя число элементов этих множеств, получаем ряд конкретных равенств:
2+3==3+2; 5+7==7+5; 4+8=8+4 и т. п.
Внимательно присматриваемся к этим равенствам с целью выявления содержащегося в них общего и отделения его от частного содержания. Замечаем: в левой части каждого из этих равенств записана сумма двух чисел, в правой - сумма этих же чисел, но записанных в другом порядке. Как же сохранить только это общее, отвлекаясь от конкретных чисел, входящих в эти равенства?
Если просто отбросить эти числа, мы получим форму с "пустыми местами":
"... + ... = ... + ...",
которая не отражает выявленной общей закономерности, так как не отмечено, какие пустые места должны заполняться одними и теми же названиями чисел. Чтобы устранить этот недостаток полученной формы, изображают пустые места, которые должны заполняться именами одних и тех же чисел, в виде пустых "окошек" одинаковой формы. В результате получаем:
" x + о = о + x ".
В дальнейшем разъясняется, что в математике для большего удобства вместо пустых "окошек" различной формы применяются различные буквы и получается, например,
а + b = b + а или х+у == у+х.
Эти буквы, играющие роль пустых мест, и называются переменными, а числа, имена которых можно поставить вместо этих букв, - их значениями.
Как видно, обобщение и абстрагирование привело к открытию закона коммутативности сложения и одновременно к важному понятию переменной. Переходом от имен конкретных чисел к числовым переменным и осуществляется обобщение и абстрагирование.
Конкретизация основана на известном правиле вывода
называемом правилом конкретизации.
Смысл этого правила интуитивно ясен: из того, что свойством Р обладают все элементы некоторого множества, .следует, что этим свойством обладает произвольный элемент а этого множества. Применяя, например, закон ассоциативности сложения
(*)
к устному вычислению суммы 7+(93+15), мы применяем (неявно) правило конкретизации: мысленно мы отбрасываем в записи закона ассоциативности кванторы общности, подставляем вместо переменных х, у, z постоянные "7", "93" и "15" соответственно и получаем равенство 7 + (93 + 15) = (7 +93) +15, следующее из (*) по правилу конкретизации.
Как видно, с помощью этого правила мы осуществляем переход от общего к единичному.
Обобщение, абстрагирование и конкретизация находят широкое применение в специальных методах обучения математике, о которых речь пойдет дальше.
Если некоторая реальная ситуация или связанная с нею задача приводит к еще не изученной математической модели, то приходится исследовать новый класс моделей.
Для осуществления перехода от конкретной модели к классу моделей такого типа используется обобщение и абстрагирование. Применение же результатов исследования к конкретной модели этого класса предполагает использование конкретизации.
Например, пусть некоторая задача описывается с помощью квадратного уравнения
2x - 9х + 2 = 0,(1)
когда учащиеся еще не умеют решать подобные уравнения.
Это является стимулом для изучения соответствующего класса уравнений (моделей)
аx + bх + с = 0.(2)
Переход от конкретной модели (1) к классу моделей (2), т. е. от единичного к общему, осуществляется заменой коэффициентов, представляющих собой имена чисел, числовыми переменными.
После исследования этого класса моделей (построения алгоритма для решения любого уравнения этого класса) с помощью конкретизации (подстановки в формуле корней вместо а, b, с конкретных коэффициентов) решаем исходное и другие уравнения этого класса.
Процесс- абстрагирования в математике во многом отличается от аналогичного процесса в других науках, поскольку способы абстрагирования зависят от природа изучаемых объектов, характера и целей их изучения. Поэтому естественно, что характеристические особенности абстрагирования в математике неизбежно должны находить некоторое отражение и в методах обучения математике.
Наиболее распространенные в математике виды абстракций - обобщающая абстракция (или абстракция отождествления), идеализация и различные абстракции осуществимости - используются и в школьном обучении математике. Однако методически формирование этих абстракций не разработано. Поэтому часто эти и другие математические абстракции вызывают серьезные затруднения, с ними связаны и многие допускаемые учащимися ошибки.
Основой абстракции отождествления является отношение эквивалентности. При установлении отношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов эквивалентные объекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным понятием, находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, от которых оно было абстрагировано.
Так, отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие (эквивалентные множества). От множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс. Это свойство и является самостоятельным понятием натурального числа, выражающего численность множеств (одна и та же для каждого множества) из данного класса.
Так формировалось понятие натурального числа в длительном историческом процессе, так оно формируется и в обучении дошкольников и младших школьников.
Не надо думать, что усвоение детьми последовательности числительных-один, два, три, ..., десять, ... - является признаком сформированности у них понятия натурального числа. Формирование этого понятия у детей в какой-то мере имитирует исторический процесс формирования понятия натурального числа.
Мы должны предоставить детям возможность сравнивать множества различных предметов по их численности, обнаруживать, что между некоторыми множествами удается установить взаимно однозначное соответствие, между другими не удается. Так возникают классы равночисленных множеств, которым приписываются в качестве характеристик определенные натуральные числа.
Как видно, понятие натурального числа, как и другие понятия, формируемые с помощью абстракции отождествления, представляют собой абстракцию от абстракции: от предмета мы переходим к классу эквивалентных (в каком-то отношении) предметов, а от этого класса - к свойству, общему для всех объектов, ему принадлежащих, т. е. эти объекты отождествляются по одному свойству, которое абстрагируется от прочих свойств.
Абстрагирование в математике часто выступает как многоступенчатый процесс, результатом которого являются абстракции от абстракций.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Отношение сонаправленности лучей (плоскости или пространства) разбивает множество лучей на классы эквивалентности (классы сонаправленных лучей). Все лучи одного класса отождествляются по свойству одинаковости направления (отношению сонаправленности). По существу каждый класс сонаправленных лучей представляет собой одно направление. Но это направление определяется любым лучом (представителем) этого класса.
Отношение подобия фигур разбивает множество всех фигур на классы эквивалентности (классы подобных фигур). Все фигуры одного класса характеризуются одинаковостью формы. По существу каждый такой класс можно называть формой. Но эта форма определяется любой фигурой (любым представителем) этого класса.
В школьном обучении не всегда явно вычленяются все этапы абстрагирования. В частности, образование классов эквивалентности, как правило, протекает неявно. Наблюдается свойство у некоторых предметов данного рода или отношение между ними, которое затем абстрагируется от этих предметов и становится самостоятельным понятием. Часто, ничего не говоря о классах эквивалентности, мы сразу же пользуемся представителями этих классов. Проиллюстрируем это на примере.
Рассмотрим множество всевозможных направленных отрезков или пар точек плоскости или пространства (пару точек (А, В) можно изобразить в виде направленного отрезка с началом А и концом В). Установим в этом множестве отношение эквивалентности
(*)
т. е. два направленных отрезка эквивалентны, если соответствующие лучи сонаправлены, а длины этих отрезков равны.
Так как это отношение является отношением эквивалентности, то оно порождает разбиение множества всех направленных отрезков на классы эквивалентности.
Теперь возможны два методически различных продолжения: а) каждый класс эквивалентности называть вектором (это по существу то же, что называть вектором параллельный перенос, так как класс эквивалентных пар точек определяет параллельный перенос); б)- называть вектором направленный отрезок, т. е. отождествить класс эквивалентности с любым его представителем.
Такое отождествление вполне правомерно, так как практически в физических и других приложениях векторов мы работаем не с классами эквивалентных направленных отрезков, а с теми или иными представителями этих классов, т. е. с направленными отрезками, исходящими из определенных точек.
Педагогический подход, состоящий в замене класса его представителем, направлен на понижение уровня абстрактности понятий (направленный отрезок - менее абстрактное понятие, чем класс таких отрезков).
Наряду с абстракцией отождествления при построении математических моделей действительности, а следовательно, и при обучении математике используется и такой специфический прием абстрагирования, как идеализация.
Под идеализацией имеется в виду образование понятий, наделенных не только свойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и некоторыми воображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. Это делается для того, чтобы посредством изучения идеализированных образов облегчить в конечном счете изучение их реальных прообразов.
Разъяснение этого в процессе обучения на конкретных примерах имеет важное воспитательное значение, раскрывая связь абстрактных, идеализированных понятий с реальным миром. Оно способствует также пониманию способа математизации, построения математических моделей реальных ситуаций.
Действительно, нигде в природе не встречается "геометрическая точка" (не имеющая размеров), но попытка построения геометрии, не использующей этой абстракции, не приводит к успеху. Точно так же невозможно развивать геометрию без таких идеализированных понятий, как "прямая линия", "плоскосгь",. "шар" и т. д. Все реальные прообразы шара имеют на своей поверхности выбоины и неровности, а некоторые несколько отклоняются от "идеальной" формы шара (как, например, земля), но если бы геометры стали заниматься такими выбоинами, неровностями и отклонениями, они никогда не смогли бы получить формулу для объема шара. Поэтому мы изучаем "идеализированную" форму шара и, хотя получаемая формула в применении к реальным фигурам, лишь похожим на шар, дает некоторую погрешность, полученный приближенный ответ достаточен для практических потребностей. Это должно быть доведено до сознания учащихся.
Особым видом идеализации является абстракция потенциальной осуществимости. Например, при построении натуральных чисел абстрагируются от того, что невозможно написать или назвать число, содержащее в десятичной записи слишком много цифр (например, 10 ). Нам достаточно допустить возможность, как только дошло до некоторого числа п, написания и следующего за ним числа п + 1. Точно так же при изучении геометрии, пользуясь изображениями лишь конечных участков (отрезков) прямой, мы допускаем возможность неограниченного продолжения их в обе стороны или допускаем возможность безграничного деления отрезка или других фигур.
Сравнение и аналогия
Обобщение, абстрагирование и конкретизация
Математические методы познания
Глава 5
Применение индукции и дедукции в преподавании математики
Два основных вида умозаключений: дедукция и индукция. Различные формы проявления индукции. Неполная и полная индукция. Исследовательская /экспериментальная индукция/. Метод математической индукции. Дедукция.
Индукция Индукция
Обратимся к методу индукции. Этот метод находит систематическое применение в V-VI классах. Большинство обоснований в этих классах проводится индуктивным методом. В старших классах роль индукции снижается. Она применяется лишь в целях обнаружения математических закономерностей, обоснование же их проводится дедуктивным методом.
Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок (от лат. inductio - наведение).
Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процесс" обучения называют индуктивным методом обучения.
Для описания индуктивного метода обучения необходимо прежде всего выяснить, какие имеются виды индукции.
Пусть А={а1,а2,….}-множество всевозможных частных случаев, в каждом из которых некоторое свойство С может быть или не быть (иметь или не иметь место). Известно, допустим, что в k случаях имеет место свойство С, т. е. имеются посылки
С{а1), С(а2),...,С(аk).
Индуктивное рассуждение строится по схеме(1),
(в схеме (1) над чертой перечислены посылки, под чертой записано заключение).
В случае, когда А - конечное множество, содержащее k элементов (всевозможных частных случаев -k), т. е наши посылки исчерпывают всевозможные
частные случаи, схема (1) представляет собой правило вывода, основанное на формуле
и заключение достоверно (истинно, если истинны посылки).
В этом случае рассуждение, построенное по схеме (1), называется полной индукцией.
Если же множество А всевозможных частных случаев содержит более k элементов или же бесконечно (что особенно часто встречается в математике), т. е. когда наши посылки не исчерпывают всевозможные частные случаи, то заключение по схеме (1) не является достоверно истинным высказыванием, а лишь вероятно истинно (правдоподобно) при истинности посылок.
В этом случае рассуждение, построенное по схеме (1), называется неполной индукцией.
Математическая индукция Математическая индукция
В математике широко используется еще один вид индукции - полная математическая (или математическая) индукция.
Математическая индукция - специальный метод доказательства предложений типа (или , т. е. предложений, выражающих некоторое свойство Р, присущее всем натуральным числам n (или всем n > k, где k, - определенное натуральное число). Этот метод хотя и называется индуктивным, по своей структуре представляет собой дедуктивное рассуждение, опирающееся на аксиому математической индукции:
(если 1 обладает некоторым свойством Р и если для всякого натурального числа х имеем: если оно обладает этим свойством, то им обладает и непосредственно следующее за ним число х + 1,-то всякое натуральное число n обладает свойством Р).
Ввиду того что непосредственная проверка наличия свойства Р у любого натурального числа невозможна из-за бесконечности множества N, поступают так: проверкой устанавливают наличие этого свойства у числа 1 и доказывают, что из допущения о наличии этого свойства у произвольного числа х следует его наличие и у непосредственно следующего за ним числа х +1, (т.е. устанавливается, что свойство P как бы "передается по наследству" от х к х +1). После этого заключают об истинности доказываемого предложения, т. е. о том, что свойством Р обладают все натуральные числа.
Иногда это заключение обосновывается следующим образом: так как доказываемое предложение верно для 1 и из того, что оно верно для произвольного х, следует, что оно верно и для х + 1, то оно верно и для числа 2; так как оно верно для 2, то на том же основании оно верно и для 2+1, т.е. для 3; и т.д. Следовательно, оно верно для любого натурального числа. Слова "и т. д." свидетельствуют о незавершенности, а по существу о незавершимости этого рассуждения, состоящего из бесконечного числа шагов.
Роль аксиомы математической индукции состоит именно в том, что она позволяет заменить бесконечное индуктивное рассуждение конечным дедуктивным.
Заметим, что метод математической индукции неоднократно включался в школьную программу и неоднократно исключался из нее как предмет специального изучения. В любом случае он может разъясняться в связи с решением задач.
Полная индукция находит ограниченное применение в процессе обучения.
Примером полной индукции может служить рассуждение, которым следовало бы завершить доказательство теоремы об измерении вписанного угла, если она доказывается отдельно для случая, когда центр окружности лежит на стороне угла, внутри или вне его.
Если а1 - случай "центр лежит на стороне угла", а2 - "центр лежит внутри угла" и а - "центр лежит вне угла", то {а1, а2, а3}- множество всевозможных частных случаев и, если С {а) (означает "теорема доказана в случае а"), то с помощью рассуждения по схеме полной индукции ,- заключаем, что теорема доказана для всех возможных случаев, или что "теорема доказана". Это рассуждение обычно опускается в учебниках. Целесообразно его явно высказать, чтобы научить этому методу учащихся.
Обычно, когда говорят "индуктивные методы обучения", имеют в виду применение неполной индукции в обучении. Дальше, говоря "индукция", будем иметь в виду неполную индукцию.
Ввиду недостоверности заключения индукция не может служить методом доказательства. Но она является мощным эвристическим методом, т. е. методом открытия новых истин. В таком качестве индукция должна широко применяться в школьном обучении в рамках методов, ориентированных на обучение учащихся деятельности по приобретению новых знаний.
Индукция, так же как и аналогия, может привести к ложному заключению. Так, например, вычисляя значения выражения n2+n+17 при n = 1,2,3, ..., 15, мы получаем неизменно простые числа, и это наводит на мысль, что значение этого выражения при любом натуральном n есть простое число. Иначе говоря, на основании пятнадцати частных посылок получено общее заключение, относящееся к бесконечному множеству частных случаев, и это заключение оказывается ложным, так как уже при n = 16 получаем составное число
162+16+17=16*17+17-172.
В истории математики были случаи, когда известные математики ошибались в своих индуктивных выводах. Например, П. Ферма предположил, что все числа вида 22^ n+ 1 простые, исходя из того, что при n == 1,2,3,4 они являются таковыми, но Л. Эйлер нашел, что уже при n = 5 число 232+ 1 не является простым (оно делится на 641).
Однако возможность получения с помощью индукции ложного заключения не является основанием для отрицания роли индукции в школьном обучении математике. Во-первых, применение индукции в обучении корректируется и направляется учителем к открытию истин. Во-вторых, нужно добиваться понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения. Поэтому, применяя индукцию, необходимо всячески подчеркивать, что заключение является лишь предположением, гипотезой, которое может быть доказано (если оно истинно) или опровергнуто (если оно ложно).
Например, когда учащиеся открывают свойство суммы углов треугольника с помощью измерений, необходимо разъяснить им, что мы можем высказать лишь предположение гипотезу) о том, что "во всяком треугольнике сумма углов равна 180°". Во-первых, результаты опыта лишь близки к 180°; во-вторых, даже предполагая, что все отклонения в одну или другую сторону вызваны неизбежными погрешностями измерений и для каждого из 30 треугольников, в которых мы производили измерения углов, сумма углов действительно равна 180°, мы не можем на этом основании заключить, что она равна 180° в любом треугольнике.
Такими разъяснениями мы и добиваемся понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения.
Надо отличать возможность ложного заключения от ошибочного применения индукции. В практике иногда встречаются ошибочные применения индукции, когда учащимся не предъявляется необходимое разнообразие частных посылок. Приведем пример. Учитель хотел привести учеников к открытию индуктивным путем правила умножения десятичных дробей, но из-за недостатка времени предложил только один пример, в котором во множимом и множителе вместе было три десятичных знака. После разъяснения способа умножения на этом конкретном примере учитель поставил перед классом вопрос: "Какое же правило мы нашли для умножения десятичных дробей?" Ученик отчеканил "правило": "Чтобы умножить десятичные дроби, мы умножаем их как целые числа, не обращая внимания на запятые, а в произведении отделяем справа три десятичных знака". Вот к какому открытию можно привести учащихся, если строить индукцию на базе одной частной посылки! Разумеется, возможно, что кто-нибудь из учащихся догадался, как правильно сформулировать общее правило, но наша цель-создние такой педагогической ситуации, в которой все или по крайней мере большинство учащихся догадаются, как это сделать, а для этого нужно правильно подобрать последовательность частных посылок.
Совершенно очевидно, что на вопрос, сколько надо рассматривать частных посылок и какие, чтобы подвести учащихся к открытию общей закономерности, нельзя дать ответ, пригодный на все случаи применения индукции и для всех учащихся; Мы должны заботиться, чтобы частное содержание, которое выражается в посылках и не должно-входить в общее заключение, варьировалось, т. е. видоизменялось от посылки к посылке, чтобы облегчить учащимся выявление того общего, неизменного, содержащегося во всех посылках, что и должно составлять содержание заключения. В приведенном выше примере частное содержание, которое должно варьироваться в посылках, это число десятичных знаков во множимом и множителе.
На отдельных этапах обучения, в частности в IV-V классах, обучение математике ведется преимущественно индуктивными методами. Здесь индуктивные заключения достаточно убедительны психологически и в большинстве остаются пока (на этом этапе обучения) недоказанными. Можно обнаружить лишь изолированные "дедуктивные островки", состоящие в применении несложных дедуктивных рассуждений в качестве доказательств отдельных предложений.
В дальнейшем обучении индукция уступает первенство дедукции. Однако она не исключается, меняется лишь ее роль. Если в IV-V классах она служит основным методом обучения, в дальнейшем она становится вспомогательным. С помощью индукции (или аналогии) мы открываем то, что подлежит доказательству дедуктивным путем.
Сочетание индукции с дедукцией в процессе обучения математике вполне правомерно. Когда говорят "математика - дедуктивная наука", то термин "математика" понимается здесь в смысле готовая, уже построенная теория (или совокупность таких теорий). Когда же речь идет о методах обучения математике, то здесь, имеется в виду привлечение самих учащихся к деятельности по построению системы математических знаний, разумеется, в той мере, в какой это им доступно под руководством учителя. В процессе же построения системы математических знаний наряду с дедукцией применяются и другие методы (наблюдение, опыт, индукция, аналогия и др.), в основе которых лежат правдоподобные рассуждения.
Приведем пример. Признак перпендикулярности прямой и плоскости - известная теорема стереометрии. Можно сообщить учащимся формулировку теоремы, изложить ее доказательство. Этот подход малоэффективен.
Можно поступить иначе. Определение перпендикулярности прямой к плоскости неэффективно: мы не можем проверить перпендикулярность данной прямой к любой прямой плоскости, таких прямых бесконечно много. Возникает задача: нельзя ли указать некоторое достаточное условие перпендикулярности прямой к любой прямой плоскости?
Возникает гипотеза: перпендикулярность к одной прямой плоскости. Но она быстро опровергается, можно построить модель прямой, перпендикулярной к одной прямой плоскости, но не перпендикулярной к другой.
Возникает другая гипотеза: перпендикулярность к двум прямым плоскости. Это уже кажется более правдоподобно (пока все учащиеся берут две пересекающиеся прямые плоскости). Однако и здесь обнаруживается противоречащий случай (если взять параллельные прямые плоскости, можно указать прямую, перпендикулярную им, но не перпендикулярную некоторой третьей прямой плоскости).
Наконец, формулируется уточненная гипотеза: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна любой прямой плоскости, т. е. и самой плоскости.
Таким путем мы открываем то, что подлежит дедуктивному доказательству.
Приведенный пример относится к курсу IX класса. Он подтверждает, что и на этом этапе обучения индуктивные методы не теряют своего значения.
ДедукцияДедукция
Дедукция (в сравнении с индукцией) обладает меньшей эвристической силой. Однако отождествлять дедуктивные доказательства с догматической формой изложения все же не следует. Дедуктивное доказательство объясняет изучаемый факт; в педагогических целях оно может быть дополнено элементами разъяснений, мотивировок, указаний на общее направление рассуждения, краткой аргументацией выбора математического метода и т.д.
Дедукция (от лат. deductio-выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т. е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).
Впервые теория дедукции (логического вывода) была разработана Аристотелем. Эта теория развивалась, совершенствовалась с развитием науки логики. Особое развитие с учетом потребностей математики она получила в виде теории доказательства в математической логике.
Дедуктивное рассуждение (умозаключение) отличается от индуктивного или рассуждения по аналогии достоверностью заключения, т. е. в дедуктивном рассуждении заключение истинно, по крайней мере когда истинны все посылки. В отличие от индукции (неполной) и аналогии в дедуктивном рассуждении нельзя получить ложное заключение из истинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических доказательствах (доказательствах математических предложений).
Широкое применение дедукции в математике обусловлено аксиоматическим методом построения математических теорий.
Аксиоматический метод по существу представляет собой своеобразный метод установления истинности предложений математической теории, состоящий в следующем: некоторые предложения, выражающие основные свойства первоначальных понятий или отношения между ними, принимаются за истинные. Это исходные предложения, или аксиомы теории. Истинность же остальных предложений, теорем этой теории, устанавливается с помощью дедуктивных доказательств, т. е. все остальные предложения теории логически выводятся (дедуцируются) из предшествующих им предложений, т. е. из аксиом, определений и ранее доказанных теорем. Вот почему математику и называют "дедуктивной" наукой (в ней все выводится, "дедуцируется" из некоторых исходных фактов, выраженных в аксиомах).
Дедукция как метод обучения математике включает:
1) обучение дедуктивным доказательствам и
2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т. е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических методов, в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.
Рассмотрим эти два аспекта дедукции как метода обучения.
1) Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска и построения доказательства, а не воспроизведению и заучиванию готовых доказательств. В таком понимании это педагогическая задача первостепенного общеобразовательного и воспитательного значения, выходящего за рамки математического образования. Учить доказывать означает прежде всего учить рассуждать, а это одна из основных задач обучения вообще. Что же касается значимости этой задачи для усвоения математических знаний, то она соразмерна значимости доказательства в самой математике.
Поиск доказательств осуществляется средствами, отличными от дедуктивных, и вопрос об обучении поиску доказательства будет предметом следующего параграфа.
Обучение поиску и построению доказательств направляется тремя основными вопросами: "Что?", "Откуда?", "Как?"
а) Что? - что доказывается? Каково "доказываемое" предложение, для которого мы ищем доказательство? Как оно формулируется? Все ли понятно в этой формулировке? Нельзя ли иначе формулировать доказываемое предложение? Что "дано"? Что "требуется доказать"? Это далеко не полный перечень вопросов, которые мы объединяем в одном вопросе "Что?". Они связаны с изучением доказываемого предложения, с возможным приведением его к более удобному для выяснения условий и заключения виду. Например, представление доказываемых предложений в виде импликаций с использованием связки "если..., то..." облегчает учащимся выявление того, что "дано" (предложение, записанное между словами "если" и "то") и что "требуется доказать" (предложение, записанное после слова "то"). Например, расчленение теоремы "Вертикальные углы равны" на условие и заключение обычно -вызывает затруднения у учащихся, но эти затруднения сразу устраняются, если сформулировать теорему в виде импликации: "Если углы вертикальные, то они равны". Аналогично теорема "Диагонали ромба взаимно перпендикулярны" представляется в форме "Если параллелограмм - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны", в которой легко определить условие и заключение.
Необходимо выяснять все условия теоремы. Так, мы не сможем доказать, что среднее арифметическое двух чисел больше их среднего геометрического, если не учтем, что это верно лишь для двух положительных и неравных между собой чисел. Это подчеркивается в следующей записи этой теоремы в виде импликации:
б) Откуда? - откуда, из каких посылок следует (может следовать) доказываемое предложение? Из каких уже известных истинных предложений данной области (аксиом, определений, ранее доказанных теорем) можно было бы "вывести" это предложение?
Ответ на этот вопрос требует концентрации внимания на содержании условий и заключения доказываемого предложения с целью выделения тех уже известных предложений, которые как-то связаны с этими условиями. Совокупность этих предложений составляет базу для поиска доказательства. Эти совокупности могут быть различными, указывая на различные направления поиска, приводящие к различным доказательствам одной и той же теоремы. Например, готовясь к доказательству теоремы о трех .перпендикулярах, мы можем выделить (вспомнить) совокупность известных предложений, связанных с перпендикулярностью прямой и плоскости (определение, признак), но можем также думать о предложениях, связанных с перпендикулярностью векторов. В результате мы получаем два направления поиска и два различных доказательства теоремы о трех перпендикулярах.
в) Как? - как доказываемое предложение получается (выводится) из ранее известных предложений (аксиом, определений, теорем)?
Этот вопрос находит в массовой практике обучения простой ответ: "С помощью рассуждения". Так разъясняется понятие доказательства в ныне действующих и пробных учебных пособиях по геометрии для VI-Х классов школы. Этим разъяснением интуитивное понятие доказательства сводится к другому интуитивному же понятию рассуждения, которое, по-видимому, считается более ясным. Однако вряд ли слово "рассуждение" говорит учащимся намного больше, чем слово "доказательство", не говоря уже о том, что не всякое рассуждение может служить доказательством (имеет доказательную силу).
Можно предполагать (и некоторые эксперименты подтверждают), что по вопросу о том, как мы рассуждаем, можно подняться в школьном обучении (по крайней мере в школах с углубленным изучением математики или на факультативных занятиях) на более высокий уровень, можно достичь некоторого прогресса в понимании того, что такое доказательство, в уточнении этого понятия.
Выделим в обучении доказательству два основных уровня. На первом уровне (IV-VII классы) используемые в доказательствах (неявно) логические средства вывода не выявляются, не разъясняются, основное внимание уделяется выяснению того, "что доказывается" и "из чего это следует", но не "как это следует". На этом уровне доказательство рассматривается вообще как рассуждение, с помощью которого истинность одного (доказываемого) предложения устанавливается на основе истинности других предложений.
На втором уровне (в старших классах, на факультативных занятиях или в школах с углубленным изучением математики) учащимся могут быть разъяснены простейшие правила вывода и на этой основе уточнено понятие доказательства. Это уточнение достигается с помощью представления доказательства в определенной, стандартной форме, поддающейся точному описанию. На этом уровне учащимся становится доступным анализ доказательства, выявление его логической структуры, используемых в нем правил вывода, запись содержательного доказательства в полной логической форме, т. е. его формализация.
Разумеется, в практике обучения всегда применялись и будут применяться содержательные доказательства, представленные в виде обычных рассуждений и уровень строгости которых адекватен возможностям учащихся. Этот уровень должен естественным образом повышаться от класса к следующему в соответствии с развитием этих возможностей (а не наоборот, как это наблюдается в некоторых учебных пособиях, в которых уровень строгости доказательств в VI классе выше, чем в IX).
В практике обучения учитель, как правило, сам доказывает в классе каждую подлежащую изучению теорему (а то и дважды или даже трижды повторяет ее). Такой метод ориентирован главным образом на запоминание учащимися доказательств определенных теорем, и вряд ли можно таким методом научить учащихся доказывать. Сочетая же этот метод с методом обучения поиску доказательства, мы научим их доказывать. Сам же поиск доказательства, как и всякий поиск, требует творческого мышления и развивает его. Поэтому метод обучения поиску доказательства усиливает влияние обучения на умственное развитие учащихся, на развитие их творческого мышления.
2) В процессе обучения (опытным путем или с помощью эвристических методов) открываем, что при условии А имеет место некоторое свойство В. В таком случае предстоит доказать теорему, имеющую вид импликации А В, где А - условие, а В - заключение теоремы.
После доказательства теоремы А В изученный фрагмент теории, например геометрии, расширяется, включая и это предложение, которое в дальнейшем уже может использоваться в качестве одной из посылок при доказательстве других, новых теорем.
Однако расширено фрагмента теории только одним предложением, характерное для установившейся методики обучения, не является наиболее рациональным способом продвижения в теорию, расширения знаний применением дедукции в качестве метода обучения. Во-первых, этот способ не отражает специфики метода дедукции в самой математике. При описании реальных ситуаций, как правило, получают не одно предложение, а совокупность предложений, которая впоследствии исследуется с целью логического упорядочения, превращения в "маленькую" теорию, присоединяемую к уже изученному (построенному) фрагменту "большой" теории. Во-вторых, обычное использование дедукции в обучении нерационально, малоэффективно и с дидактической точки зрения. Выдвигаемый в методической литературе тезис обучения "укрупненными блоками" применительно к дедуктивно построенному фрагменту учебного материала по существу означает продвижение в теорию не единичными предложениями, а маленькими теориями, описывающими определенные ситуации, фигуры и т. п.
Глава 6
Методика введения математических понятий в школьном курсе математики
Понятия, суждения, умозаключения. Процесс формирования математических понятий . Обобщения через понятия. Содержание и объем понятия. Понятия и термины. Определения понятия. Требования, предъявляемые к формированию определений. Классификация понятий . Введение понятий конкретно-индуктивным и абстрактно-дедуктивным способом. Контроль за степенью усвоения математических понятий. Понятие о математическом суждении и умозаключении
Математические понятия Математические понятия
Термин "понятие" обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания.
Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.
Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений) - объем этого понятия - и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, - содержание этого понятия. Например, понятие "треугольник" соединяет в себе класс .всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие "уравнение" соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).
Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.
Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие - представление - понятие.
Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.
Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответствует первому этапу пути познания вообще, т. е. "живому созерцанию", и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба.
Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия.
Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия куба.
Детям (6-7лет) показывают много предметов, отличающихся формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны, причем таких, что одни из них имеют форму куба, а другие нет. Дети, после того как им показывают на одно из этих тел и говорят, что это куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, окраски, материала. Здесь выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - внешней форме. Дети еще не знают свойств куба, они распознают его только по форме.
Дальнейшая работа по формированию понятия куба состоит в анализе этой формы с целью выяснения ее свойств. Учащимся предлагают путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у каждого куба 8 вершин, 6 граней. Но у некоторых тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней. Оказывается, у куба все грани - квадраты (эта работа обычно проводится после аналогичной работы по выделению класса квадратов из множества плоских фигур).
Остается один шаг к образованию понятия куба - переход от представления к понятию путем абстрагирования, т. е. отделения общих свойств от г^рочих, несущественных. Разумеется, на начальном этапе обучения нельзя еще говорить о полном абстрагировании этих свойств, у детей еще не образовывается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с различными измерениями. В дальнейшем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система геометрических понятий (в рамках систематического курса геометрии), учащиеся узнают, что куб - это вид прямоугольного параллелепипеда. В этом - диалектика развития понятий.
Приведенный пример показывает, что процесс формирования понятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся.
Однако формирование математических понятий не всегда протекает по приведенной выше схеме, начинающейся с ощущений. В частности, когда формируемое понятие связано, в той или иной форме, с категорией бесконечности (как, например, понятия прямой, плоскости, плотности множества рациональных чисел, предела и др.), то чувственная ступень играет меньшую роль, так как мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме), и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, иногда становится тормозящим фактором.
Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежащих между любыми двумя рациональными числами, не подкрепляется, а, наоборот, "опровергается" конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество. Свойство плотности множества рациональных чисел нельзя обнаружить опытным путем, оно не подтверждается наглядными геометрическими представлениями, а устанавливается логически. Этот и другие многочисленные примеры подтверждают выводы наших психологов о том, что восприятие наглядного материала в силу объективных особенностей этого материала может играть не только положительную, но и отрицательную роль.
Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение.
В математике и в обучении математике применяются различные способы определения понятий.
Наиболее часто, особенно в обучении геометрии, встречается определение "через ближайший род и видовое отличие". Примером такого определения является следующее: Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом. Как видно, это определение состоит из двух частей: "прямоугольник" - определяемое понятие и "параллелограмм с прямым углом" - определяющее понятие. Связка "есть" (иногда вместо "прямоугольник есть..." говорят "прямоугольником называется...") означает здесь, что термин "прямоугольник" (вновь введенный) обозначает то же понятие, что и выражение "параллелограмм с прямым углом", составленное из ранее уже известных терминов ("параллелограмм", "прямой угол").
Анализируя определяющее понятие "параллелограмм с прямым углом", выделяем понятие "параллелограмм" (ближайший род) и свойство "наличие прямого угла" (видовое отличие). Название "ближайший род" оправдано тем, что не выделено другое понятие, объем которого включается в множество параллелограммов и включает множество прямоугольников. Если бы мы определили прямоугольник как четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и имеется прямой угол, то мы получили бы, как видно, более громоздкое определение именно потому, что понятие "четырехугольник" не является ближайшим родом для прямоугольника (имеется понятие "параллелограмм", объем которого включается в множество четырехугольников и включает множество прямоугольников), и поэтому усложнилось характеристическое свойство (видовое отличие).
Общая схема определения "через ближайший род и видовое отличие" может быть записана на языке множеств (классов).:
В={х | х А и Р(х)}
(класс В состоит из объектов х, принадлежащих А - ближайшему роду - и обладающих свойством Р - видовым отличием).
В нашем примере В - определяемый класс прямоугольников (или свойство "быть прямоугольником"), А - класс параллелограммов (или свойство "быть параллелограммом"), Р - свойство "наличие прямого угла".
Такое определение является явным определением, в котором четко (явно) выделены определяемое и определяющее понятия. Оно позволяет нам заменить при необходимости одно понятие другим. Очень часто такой заменой пользуемся в доказательствах теорем.
Однако не все математические понятия могут определяться таким образом. Процесс формально-логического определения, как видно из приведенного выше примера, есть процесс сведения одного понятия к другому, с более широким объемом, второго - к третьему, с еще более широким объемом, и т. д. Процесс сведения не может быть бесконечным. Должны быть некоторые исходные, первоначальные понятия, которые неопределяемы через другие понятия данной теории, так как им не предшествуют никакие другие понятия этой теории. В процессе обучения должны создаваться такие педагогические ситуации, которые помогли бы учащимся открыть характерную особенность системы математических понятий, связанную с дедуктивным построением теории. Для этой цели можно использовать различный конкретный материал. Например, можно построить такую последовательность определений:
П1: квадрат - ромб с прямым углом;
П2: ромб - параллелограмм с равными смежными сторонами;
П3: параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;
П4: четырехугольник - многоугольник с четырьмя сторонами;
П5: многоугольник - фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией;
П6: фигура - множество точек.
Как видно, этот процесс сведения одних понятий к другим доходит до понятий "множество" и "точка", которые принимаются за первоначальные и именно поэтому не определяются через другие понятия.
Итак, первоначальные, исходные понятия не определяются явным образом через другие понятия данной теории. Это, однако, не означает, что они никак не определяются. В аксиомах выражаются основные свойства исходных понятий и отношений между ними, которыми пользуются при развертывании теории на базе этих аксиом, т. е. при доказательстве теорем и определении других (определяемых) понятий. Поэтому системы аксиом можно рассматривать как неявные, косвенные определения исходных понятий. Таким образом, когда говорят, например, что понятия "точка" и "прямая" - исходные понятия и поэтому не определяются, надо это понимать точнее: "не определяются явно через другие понятия".
Один и тот же раздел школьного курса математики может строиться с помощью различных систем понятий, различающихся между собой порядком введения понятий или самими понятиями. Выбор исходных понятий не определяет однозначно последовательность изучения понятий системы. Система понятий оказывается лишь частично упорядоченной. Например, в традиционной системе понятий стереометрии такие понятия, как "угол скрещивающихся прямых" и "перпендикулярность прямых и плоскостей", могут изучаться в любом порядке. В учебнике А. П. Киселева угол скрещивающихся прямых изучался после перпендикулярности и поэтому перпендикулярность прямых в пространстве, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикулярах формировались лишь в частных случаях. В результате такого расположения материала учащиеся изучали теорему о трех перпендикулярах лишь для случая, когда прямая на плоскости проходит через основание наклонной, и не могли видеть ее применение в задачах, где прямая на плоскости не проходит через основание наклонной. В большинстве же случаев именно такая ситуация наблюдается в задачах.
Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может бить правильным (корректным) или неправильным (некорректным) в зависимости от того, удовлетворяет оно или нет определенным требованиям.
Важнейшим требованием, предъявляемым к определениям, является отсутствие порочного круга. Нарушение этого требования проявляется в том, что определяемое содержится (явно или неявно) в определяющем. Например, фразы: "Решение уравнения - это то число, которое является его решением", "Подобными называются фигуры, которые между собой подобны" - не могут служить определениями решения уравнения и подобных фигур соответственно, так как в каждом из этих предложений содержится порочный круг.
Порочный круг может относиться не к отдельному определению, а к двум или нескольким определениям. Например, в двух определениях: "Угол называется прямым, если его стороны взаимно перпендикулярны" и "Две прямые взаимно перпендикулярны, если они образуют прямой угол" - имеется порочный круг, так как в одном понятие прямого угла определяется через перпендикулярные прямые, а в другом это второе понятие определяется через первое.
Другое важное требование, выполнение которого необходимо для корректности определения, - это отсутствие омонимии: каждый термин (символ) должен встретиться не более одного раза в качестве определяемого. Нарушение этого требования приводит к тому, что один и тот же термин (символ) обозначает различные понятия, т. е. нарушается один из принципов употребления символов или терминов в качестве имен.
Определенные языковые выражения (символы искусственного языка или термины, слова или группы слов естественного языка) выполняют функцию обозначения. Они сопоставляются определенным классам объектов (вещей, отношений) или их мысленным образам (понятиям) в качестве названий, имен.
Связь имен с их значениями (с обозначаемыми ими объектами) отражает связь мышления с речью. Формирование понятий возможно лишь при условии их именования, т. е. приписывания им определенных имен. Поэтому важно напомнить принципы корректного употребления имен.
1) Принцип предметности: предложение говорит о предметах, имена которых встречаются в этом предложении (а не об их именах). Например, предложение "3 < 5" говорит о том, что число, обозначенное цифрой 3, меньше числа, обозначенного цифрой 5, т. е. говорит о числах, а не об их именах, встречающихся в этом предложении; предложение "Треугольник - многоугольник" говорит о том, что класс объектов, обозначаемых термином "треугольник", является подклассом класса объектов, обозначаемых термином "многоугольник", т. е. говорит об объектах, имена которых встречаются в этом предложении, а не о самих этих именах.
2) Принцип однозначности: каждый символ (термин), используемый в качестве имени, обозначает не более одного объекта, иными словами, каждое имя имеет не более одного значения. Почему не говорим, что каждое имя имеет точно одно значение, а говорим: "не более одного значения"? Например, утверждая, что число а нельзя делить на 0, мы не утверждаем, что невозможна запись "а: 0"; эта запись столь же допустима, как, например, запись "о: 2". Утверждается лишь отсутствие объекта, имя которого есть языковое выражение "а: 0", т. е. это выражение не является именем какого-либо числа, или это имя без значения.
Нарушение принципа однозначности имеет серьезные последствия, особенно в обучении, так как это означает применение имен с более чем одним значением, приводящее к путанице и смещению понятии.
3) Принцип замены имен: предложение не меняет своего истинностного значения, когда одно из входящих в него имен заменяется другим именем, имеющим то же самое значение (т. е. синонимом).
Различные имена одного и того же предмета часто поразному характеризуют его, с помощью различной информации о нем. В таком случае говорят, что имена имеют одно и то же значение, но различные смыслы. Например, одна и та же прямая может обозначаться символом "а" или символом "АВ". Первое из этих именпростое имя, произвольно закрепляемое за прямой (мы можем обозначить эту же прямую буквой b ), рассматриваемое как неделимое. Второе имя "AB" - составное имя, содержащее другие имена ("A", "В") в качестве своих частей и обладающее строением, отражающим тот способ, которым оно обозначает предмет (прямую, проходящую через точки А и В). Вполне понятно, что второе, составное имя обладает большей познавательной ценностью. Оно сообщает нам, что обозначаемая этим именем прямая проходит через точки А и В.
Таким образом, в отношении именования участвуют три различных понятия: "имя", "значение имени", "смысл имени". Говорят, что имя называет свое значение и выражает свой смысл (или что оно имеет такоето значение и такой-то смысл), а смысл определяет значение.
Из сказанного следует, что надо различать выражения "Не имеет смысла" и "Не имеет значения". Например, в области натуральных чисел имя "корень уравнения х + 4 = 3" не имеет значения. В то же время это имя имеет ясный смысл: это такое число, что после подстановки его вместо х в данное уравнение слева и справа от знака равенства получатся имена одного и того же числа. Точно так же в области действительных чисел имя "" не имеет значения, но имеет смысл (такое число, что после возведения его в квадрат получится число - 4) или имя "2 : 0" не имеет значения, но имеет смысл (число, которое, будучи умножено на 0, дает 2).
В школьном преподавании необходимо тщательно следить за тем, чтобы употребляемые термины и символы имели определенные смысл и значение.
Не все явные определения можно отнести к определениям через ближайший род и видовое отличие. Приведем примеры:
(1) "Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой этой плоскости",
(2) "Число а делится на число b, если существует число с такое, что а = b * с",
В каждом из этих определений новое отношение (определяемое) определяется через ранее известные отношения (определяющие): перпендикулярность прямой и плоскости - через перпендикулярность прямых, отношение "делится на" - через отношение "быть произведением". Все эти определения являются явными, но в них нельзя выделить ближайший род и видовое отличие.
Применяемый здесь знак "" читается: "означает по определению" или "тогда и только тогда по определению".
Добавление "по определению" существенно потому, что, хотя словесные формулировки явных определений имеют вид повествовательных предложений, эти предложения не выражают высказывания (в том смысле, в каком термин "высказывание" понимается в математической логике), так как бессмысленно говорить об их истинности или ложности. Поэтому, в частности, нет смысла их доказывать или опровергать. С логической точки зрения словесные формулировки определений ближе к повелительным, чем к повествовательным предложениям, их можно рассматривать как приказы или разрешения пользоваться одним выражением (определяемым) вместо другого, более громоздкого (определяющего).
Знание определения еще не гарантирует усвоения понятия. Один из аспектов формализма в математических знаниях состоит именно в том, что некоторые учащиеся, зная точную формулировку определения, не распознают определяемый объект в различных ситуациях, где он встречается. Поэтому методика обучения должна разрабатывать систему работы с определениями, чтобы преодолеть возможный формализм в их усвоении.
Важное место в этой работе занимает обучение распознаванию объекта, соответствующего данному определению, и построению разного рода контрпримеров. Для этой цели необходимо ясно представить себе структуру определения.
Под структурой определения, построенного по схеме А(х) В(х) понимают структуру его правой части, т. е. предложения "В". В школьной математике встречаются определения различной структуры, порой довольно сложной, и, чем сложнее структура определения, тем более тщательной должна быть работа по его разъяснению, по предупреждению формального усвоения.
Одна из наиболее распространенных структур определений - конъюнктивная структура.
Пока индуктивные определения редко встречаются в школьном обучении, но, учитывая их широкое распространение и значение в математике (рекурсивные функции - одно из математических уточнений интуитивного понятия алгоритма), можно предполагать, что их применение в обучении математике будет постепенно разширяться.
Мы уже говорили о том, что содержание понятия раскрывается с помощью определения (явного или неявного), а объем - с помощью классификации.
Часто классификация состоит из многоступенчатого разбиения множества объектов на два класса с помощью некоторого свойства (двучленное деление, или "дихотомия", в терминах классической логики).
Методически полезными могут оказаться и схемы без слов.
Для наглядного представления классификации можно воспользоваться и так называемыми диаграммами Эйлера - Венна, в которых различные классы объектов изображаются в виде множеств точек, ограниченных простыми замкнутыми линиями.
С помощью диаграмм Эйлера - Венна можно выполнить широкое разнообразие упражнений, способствующих систематизации знаний учащихся, правильному пониманию отношений между различными понятиями. Они служат также аппаратом для анализа некоторых классов рассуждений (о которых пойдет речь дальше).
Значение деятельности по классификации (одного из важных видов умственной деятельности) далеко выходит за рамки усвоения математических знаний. Необходимость классифицировать возникает в любой области человеческой деятельности. Этому нужно учить в школе.
Математические понятия, предложения и доказательства Математические понятия, предложения и доказательства
Школьная математика включает начальные фрагменты различных математических теорий (арифметики, алгебры, геометрии, математи-ческого анализа) в содержательном (неформальном) изложении. В обучении математике на любом уровне мы имеем дело с понятиями, предложениями и доказательствами, и усвоение математических зна-ний сводится, в конце концов, к усвоению определенной системы поня-тий, предложений и доказательств последних. К тому же задача обучения состоит не только в усвоении учащимися теоретических знаний, но и в привитии им умений и навыков применять эти знания, не только в усвоении определенных доказательств, но и в приобрете-нии умения рассуждать, доказывать.
Отличительная черта математики состоит в том, что в ней исполь-зуется символический язык как рабочий аппарат. В школьном обу-чении мы применяем, как правило, словесно-символический язык, включающий элементы и символического языка математики, и есте-ственного словесного языка.
Изучение математики включает изучение языка математики, но не сводится только к нему. Другой важной чертой математического зна-ния является его логическая структура. Понимание логической струк-туры определений понятий, предложений теории (аксиом и теорем) и доказательств является необходимым условием усвоения этого знания.
В настоящей главе и рассматриваются язык и логика математики с точки зрения обучения математике. При этом использован логиче-ский аппарат, известный студентам и необходимый будущим учите-лям. Разумеется, этот аппарат не входит явно в школьное обучение (мы не рассматриваем здесь вопросы углубленного изучения матема-тики). Однако он помогает учителю найти способ разъяснения языка и логики математики учащимся без явного его использования. Многое из того, что остается неявным для учащихся в обучении математике, должно быть выявлено в методической подготовке учителя матема-тики.
Глава состоит из трех параграфов: "Математические понятия", "Математические предложения", "Математические доказательства".
Математические суждения и умозаключения Математические суждения и умозаключения
Суждение. Суждения и умозаключения. Суждения и высказывания
1. В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным способом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение "всякий ромб является параллелограммом" - истинное суждение; суждение "всякий параллелограмм является ромбом" - ложное суждение.
Таким образом, суждение - это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).
Мыслить - значит высказывать суждения. С помощью суждений мысль, понятие получают свое дальнейшее развитие.
Так как во всяком понятии отображается определенный класс объектов, явлений или взаимоотношений между ними, то всякое суждение можно рассматривать как включение или невключение (частичное или полное) одного понятия в класс другого понятия. Например, суждение "всякий квадрат есть ромб" указывает, что понятие "квадрат" включается в понятие "ромб"; суждение "пересекающиеся прямые не являются параллельными" указывает, что пересекающиеся прямые не принадлежат множеству прямых, называемых параллельными.
Суждение имеет свою языковую оболочку - предложение, однако не всякое предложение является суждением.
Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.
Например, предложение " АВС равнобедренный" выражает некоторое суждение; предложение "Будет ли АВС равнобедренным?" не выражает суждения.
Каждая наука по существу представляет собой определенную систему суждений об объектах, являющихся предметом ее изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах, присущих этой науке. Математика также представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов. Математические термины (или символы) обозначают те понятия, которые составляют содержание математической теории, логические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из одних математических предложений строятся другие математические предложения, из одних суждений образуются другие суждения, вся совокупность которых и составляет математику как науку.
2. Вообще говоря, суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например "эта фигура -т- круг". Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, "множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура - окружность".
В процессе этой мыслительной деятельности обычно осуществляется переход от одного или нескольких связанных между собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.
Итак, умозаключением называется процесс получения нового суждениявывода из одного или нескольких данных суждений. Например, диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника (первое суждение).
Сумма внутренних углов треугольника равна 2d (второе суждение).
Сумма внутренних углов параллелограмма равна 4d (новое суждение-вывод).
Познавательное значение математических умозаключений чрезвычайно велико. Он" расширяют границы наших знаний об объектах и явлениях реального мира в силу того, что большая часть математических предложений является выводом из сравнительно небольшого числа основныхo суждений, которые получены, как правило, путем непосредственного опыта и в которых отражены наши наиболее простые и общие знания об его объектах.
Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями.
Не всякое сочетание суждений между собой представляет собой умозаключение: между суждениями должна существовать определенная логическая связь, отражающая объективную связь, существующую в реальной действительности.
Например, из суждений "сумма внутренних углов треугольника равна 2d" и "2*2=4" нельзя сделать вывод.
3. Понятно, какое значение в системе наших математических знаний имеет умение правильно строить различные математические предложения или делать выводы в процессе рассуждения. Разговорный язык плохо приспособлен для выражения тех или иных суждений, а тем более для выявления логической структуры рассуждений. Поэтому естественно, что возникла необходимость усовершенствования языка, используемого в процессе рассуждения. Математический (а точнее, символический) язык оказался для этого самым подходящим. Возникшая" в XIX в. специальная область науки - математическая логика не только полностью решила проблему создания теории математического доказательства, но и оказала большое влияние на развитие математики в целом.
Формальную логику (возникшую еще в глубокой древности в трудах Аристотеля) не отождествляют с математической логикой (возникшей в XIX в. в работах английского математика Дж. Буля). Предметом формальной логики является изучение законов взаимосвязи суждений и понятий в умозаключениях и правилах доказательства. Математическая логика отличается от формальной логики тем, что она, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов: "Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т. д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении. Таким образом, для математической логики характерна формализация логических операций, полнее абстрагирование от конкретного содержания предложений (выражающих какое-либо суждение).
Проиллюстрируем сказанное одним примером. Рассмотрим следующее умозаключение: "Если все растения красные и все собаки - растения, то все собаки красные".
Каждое из используемых здесь суждений и то суждение, которое мы получили в результате сдержанного умозаключения, кажется явной бессмыслицей. Однако с точки зрения математической логики мы имеем здесь дело с верным предложением, так как в математической логике истинность или ложность умозаключения зависит только от истинности или ложности составляющих его посылок, а не от их конкретного содержания. Поэтому если одним из основных понятий формальной логики является суждение, то аналогичным ему понятием математической логики является понятие высказывания-утверждения, для которого имеет смысл лишь говорить, истинно оно или ложно. Не следует думать, что для каждого высказывания характерно отсутствие "здравого смысла" в его содержании. Просто содержательная часть предложения, составляющего то или иное высказывание, в математической логике отходит на второй план, несущественна для логического построения или анализа того или иного вывода. (Хотя, конечно существенна для. понимания содержания того, о чем идет речь при рассмотрении o данного вопроса.)
Понятно, что в самой математике рассматриваются содержательные высказывания. Устанавливая различные связи и отношения между понятиями, математические суждения утверждают или отрицают какие-либо отношения между объектами и явлениями реальной действительности.
Основные виды математического сужденияОсновные виды математического суждения
Аксиомы. Постулаты. Теоремы. Основные типы теорем и их взаимосвязь
1. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты).
Аксиома (греч. "axioma" - авторитетное предложение "то, что приемлемо") - предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему отправных, исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая из аксиом принимается без доказательства. Таково, например, известное положение евклидовой геометрии "Через две точки проходит единственная прямая".
Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории. К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются, как известно, требования независимости, непротиворечивости, полноты.
2. Слово "постулат" происходит от латинского слова "postulatum", обозначающего требование.
Постулат - это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями. Нередко постулаты являются частью определения некоторого понятия или некоторой системы понятий.
Например, отношение эквивалентности определяется тремя постулатами.
Именно для того, чтобы некоторое отношение т, заданное на множестве А, было отношением эквивалентности, должны иметь место следующие свойства:
1) отношение должно быть рефлексивным, т. е.
2) отношение должно быть симметричным, т. е.
3) отношение должно быть транзитивным, т. е.
Известное отношение равенства является одним из конкретных примеров отношения эквивалентности.
Обозначив высказывания, соответствующие этим трем утверждениям, через R, S и T, имеем следующее определение:
Отношение является отношением эквивалентности, тогда и только тогда, когда R S T.
Аналогично понятие "параллельные прямые" а || b определяется двумя постулатами: 1) 2)
3. При изучении свойств различных математических объектов (например, фигур - в геометрии, чисел - в арифметике, уравнений'-в алгебре) приходится делать те или иные заключения, т. е. на основе понятий того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать. Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой (от греческого слова "theorema" < "theorio"- рассматриваю, обдумываю). В теореме должно быть ясно указано:
1) при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы);
2) что об этом объекте утверждается (заключение теоремы). Пример. В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.
Здесь условие теоремы: р- четырехугольник-параллелограмм, диагонали его пересекаются;
заключение теоремы: q- точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам.
Чтобы легче выделить условие и заключение теоремы, ее часто формулируют в виде импликации, применяя логический союз: "если..., то...".
Так, например, теорему о диагоналях параллелограмма можно сформулировать подругому, не меняя ее смысла: "Если четырехугольник - параллелограмм и диагонали его пересекаются, то в точке пересечения они делятся пополам".
Теорему, как известно, можно записать в общем виде на языка логики так: (рq).
Таким образом, доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т. е., приняв, что p истинно, в соответствии c правилами вывода показать, что q истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание - теорема истинно в целом.
4. Известно, что, имея некоторую теорему (рq), назовем ее прямой теоремой, можно образовать новую теорему и не одну:
1) обратную: (qp);
2) противоположную:,
3) обратную противоположной:.
Теоремы в школьном курсе математики
Логическая структура теорем. Требования, предъявляемые к их формулировкам. Понятия теорем прямой, обратный, противоположный и обратный противоположной. Связь между ними. Необходимость и достаточность. Роль истинности прямой и обратной теорем при выявлении характеристических свойств изучаемого объекта
Математические предложенияМатематические предложения
Каждая математическая теория представляет собой множество предложений, описывающее какую-то структуру (если эта теория излагается содержательно в определенной конкретной интерпретации. как это имеет место в школьном обучении) или какой-то аксиоматизируемый класс структур (если она излагается абстрактно (полуформально или формально) вне всякой интерпретации).
Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками: (а) предложение записано (или сформулировано) на языке данной теории, состоит из математических (принадлежащих языку теории) и логических терминов или символов и не содержит никаких других терминов или символов; (б) предложение истинно, т. е. является или исходным истинным предложением (аксиомой) данной теории, или его истинность устанавливается доказательством с помощью уже известных (исходных или ранее доказанных) истинных предложений.
Например, предложение "Сумма углов всякого треугольника равна 180°" является геометрическим предложением, принадлежит теории евклидовой геометрии, потому что: (а) оно записано на языке геометрии (хотя одновременно па русском языке), т. е. состоит из геометрических ("сумма углов", "треугольник", "180°") и логических ("всякого", "равна") терминов или символов; (б) оно истинно, так как доказывается в рамках евклидовой геометрии, т. е. на основе ее аксиом или других уже доказанных предложений этой теории.
С каждым математическим предложением связаны содержание (выраженное в нем математическое содержание) и логическая форма (или структура).
Представление, что можно ограничиться в обучении математике лишь раскрытием содержания каждого математического предложения, ошибочно. Содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое без понимания второй.
Так как одна из центральных задач обучения математике состоит в обучении установлению истинности математических предложений (чаще всего с помощью доказательства), а истинностные значения этих предложений зависят от их логической структуры, то естественно считать одной из задач методики преподавания математики раскрытие логической структуры математических предложений.
Раскрыть логическую структуру сложного (составного) предложения - значит показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное сложное предложение и как оно составлено из них, т. е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок (слов или сочетаний слов) "не", "и", "или" , "если..., то" , "тогда и только тогда" , "для всякого" , "существует" (и некоторых синонимических выражений), обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие.
Всякое математическое (и не только математическое) предложение либо элементарное, т. е. не расчленяется на части, каждая из которых в свою очередь есть предложение, либо построено из элементарных, определенным образом соединенных между собой логическими связками.
Совокупность и порядок логических связок, с помощью которых сложное предложение образовано из элементарных, составляет логическую структуру (или логическую форму) этого сложного предложения. Раскрытие логической структуры математических предложений было бы бесполезным без разъяснения точного смысла используемых логических связок. Такое разъяснение необходимо потому, что, как показывают многочисленные исследования, применение, даже многократное, перечисленных выше слов само по себе еще не ^ обеспечивает правильного понимания их смысла. Не только школьники, но и некоторые взрослые, *много тысяч раз применявшие в своих рассуждениях союз "или", отвечают отрицательно, например, на вопрос:
"Истинно ли предложение "3 <= 5" ("3 < 5" или "3 = 5")?" Без понимания точного смысла логических связок не может быть достигнуто и правильное понимание точного смысла всей логико-математической конструкции, т. е. математического предложения, образованного с их участием, а следовательно, и выраженного в нем математического содержания.
Отношения равносильности и следования между предложениями находят широкие применения в математике и в обучении математике. Первое из этих отношений сводится ко второму, а отношение следования является основой всяких доказательств. Не может быть сомнений в том, что эти отношения должны разъясняться в процессе обучения математике примерно на таком же уровне, на каком мы иллюстрировали выше разъяснение и раскрытие логической структуры предложений.
Существенное значение при усвоении математических знаний имеет умение различать математические предложения, содержащие свободные вхождения переменных от таких, которые не содержат подобных вхождений.
Приведем несколько примеров:
(1) 3 < 5;
(2) 7 < 5;
(3) х < 5.
(4) Существует натуральное число х такое, что х < 5.
(5) Для всякого натурального числа х: х < 5.
(6) 3 +4 = 7;
(7) 5 + 3 = 7;
(8) х +у = 7.
(9) Существуют натуральные числа х, у такие, что х + у = 7.
(10) Для всяких двух натуральных чисел х, у: х + y = 7.
(11) х+у=у+х.
(12) Существуют натуральные числа х, у такие, что х + у = y + х.
(13) Для всяких двух натуральных чисел х, у: х+у = у+ х.
Что выражают эти предложения с логической точки зрения? Предложения (1), (4), (6), (9), (12), (13) выражают истинные высказывания, предложения (2), (5), (7), (10)- ложные высказывания, а предложения (3), (8), (11) не выражают высказывания, так как к ним не применим (не имеет смысла) вопрос: "Истинно ли предложение...?"
Если же вместо переменной (всех переменных) подставить какое-нибудь ее значение (какие-нибудь их значения), то эти предложения преобразуются в высказывания (точнее, в предложения, выражающие высказывания), истинные или ложные в зависимости от подставляемых значений. Эти предложения являются лишь формами для высказываний (или высказывательными формами), порождающими высказывания одной формы, хотя имеющими, возможно, и различные истинностные значения.
Предложение (11) при любых значениях переменных х, у обращается в истинное высказывание. Именно поэтому предложение (13) выражает истинное высказывание (закон коммутативности сложения в множестве N).
Как видно, хотя предложения (4), (5), (9), (10), (12), (13) тоже содержат переменные, они в отличие от предложений (3), (8), (11) выражают высказывания. Это объясняется тем, что они не содержат свободных вхождении переменных, все входящие в них переменные связаны кванторами существования или общности, выраженными соответственно словами "существует" и "для всякого" (выражение "Существуют натуральные числа х, у" - сокращенная запись двух кванторов существования: "Существует натуральное число х, существует натуральное число у", аналогично выражение "Для всяких двух..." - сокращенная запись двух кванторов общности).
Важно отметить, что операция подстановки значения применима лишь к свободным вхождениям переменных.
Так, имеет смысл подставлять различные значения вместо х в предложении (3). Получим истинные или ложные высказывания:
Таблица 1
х
х < 5
И или Л?
1
1<5
И
2
2<5
И
3
3<5
И
4
4<5
И
5
5<5
Л
6
6<5
Л
Однако бессмысленно подставлять значения вместо х в предложении (4) или (5).
Роль элементов логики в теории и практике обучения математике состоит в том, что, во-первых, усвоение общих логических приемов мышления является необходимым условием формирования и развития познавательной деятельности учащихся и, во-вторых, разработанные в рамках математической логики некоторые общие понятия (высказывание, предикат, логические операции, отношение следования и др.) способствуют раскрытию структуры и более глубокому пониманию математического содержания. Речь идет лишь о разумном, дидактически целесообразном применении некоторых логических понятий и обозначений как важных вспомогательных средств обучения. Переоценка роли логики как одной из основ теории обучения математике так же вредна, как и недооценка этой роли.
В связи с уточнением роли логики в теории и практике обучения математике уместно привести высказывание академика А. Н. Колмогорова: "Ответственность преподавателей математики здесь особенно велика, так как отдельного предмета "логика" в школе нет и знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики".
Приведенные выше истинностные таблицы и определения кванторов в общем хорошо согласуются со смыслом соответствующих выражений в обиходном языке. Исключение составляет импликация, истинностная таблица которой не во всех строках согласуется со смыслами, в которых оборот речи "если..., то" применяется в обиходном языке.
Этот вопрос заслуживает специального рассмотрения, так как многие трудности в обучении возникают именно там, где точный смысл, в котором некоторые обороты речи используются в математике, отличается от смысла этих оборотов в обиходном языке.
Словосочетания "если..., то", "из... следует", "из... вытекает", "... влечет..." и т. п. часто встречаются в математических текстах, в том числе и в школьных учебниках. Анализ показывает, что этими словосочетаниями обиходного языка выражаются различные формально-логические понятия. Иными словами, попытка уточнения (или формализации) подобных формулировок приводит к одному из следующих логических понятий:
а) к сложному предложению (импликации), образованному из двух предложений "А" и "В" с помощью логической связки "если..., то" ("Если А, то В"), обозначаемой в логической литературе одним из знаков "", "",
б) к отношению логического следования (из предложения "Л" следует предложение "В")
в) к отношению формальной выводимости (из "А" выводимо "Б").
Так как логика школьной математики неформализована, то последнее понятие (отношение формальной выводимости) не применимо.
Анализ применения оборота "если..., то" в обиходном языке показывает, что применяется именно в случаях, когда истинностное значение предложения, стоящего между словами "если" и "то", неизвестно ("Если завтра будет хорошая погода, то осуществим прогулку в лес" и т. п.).
Такие слова, как "завтра", "сегодня", "здесь", "там", "дома", "мы" и т. п., имеют меняющееся от случая к случаю значение и могут играть в обыденном языке роль переменных математического языка. В математике же истинностное значение предложения, стоящего между словами "если" и "то", неизвестно чаще всего в случае высказывательной формы.
Например, в предложении "Если число n делится на 6, то оно делится на 3" переменная n может принимать различные значения и мы заранее не знаем истинностного значения предложения "Число n делится на 6", стоящего за словом "если", так как оно обозначает высказывательную форму. Часто, говоря "Если число n делится на 6, то оно делится на 3", подразумевают высказывание "Для всякого числа n: если n делится на 6, то n делится на 3" (квантор общности чаще всего явно не высказывается).
С отношениями следования и равносильности связаны применяющиеся в школьном обучении выражения: "необходимое условие", "достаточное условие", "необходимое и достаточное условие".
Если из предложения "А" следует предложение "В" ("А В"), то "А" выражает достаточное условие для "В", а "В" - необходимое условие для "А" (если из "А" следует "В", то истинность "А" достаточна для истинности "В", а истинность "В" необходима для истинности "А").
Таким образом, обороты речи: "Из А следует В", "А - достаточное условие для В" и "В - необходимое условие для А"-по существу применяются в качестве синонимов.
В обучении математике часто приходится формулировать отрицания предложений сложной логической структуры. Обычно это делается интуитивно, без явного применения каких-либо логических правил и при этом часто допускаются ошибки.
Правила построения и преобразования отрицаний предложений сложной логической структуры (сведение отрицаний к элементарным формулам) основаны на нескольких легко разъясняемых учащимся равносильностях, выражающих известные и широко применяемые законы логики:
(1) "Неверно, что не А равносильно "А"
(" А")
(закон двойного отрицания позволяет заменить предложение "Неверно, что не А" предложением "А").
(2) "Неверно, что А и В" равносильно "Не А или не В"
(" А или В").
(3) "Неверно, что А или В" равносильно "Не А и не В"
(" ")
(законы де Моргана позволяют заменить предложение "Неверно, что А и В" предложением "Не А или не В" и предложение "Неверно, что А или В" предложением "Не А и не В").
(4) "Неверно, что если А, то В" равносильно "А и не В))
(" ")
(закон отрицания импликации позволяет заменить предложение "Неверно, что если А, то В" предложением "А и не В").
(5) "Неверно, что для всякого х (имеет место) А" равносильно "Существует х такое, что не (имеет место) А"
(6) "Неверно, что существует х такое, что (имеет место) А" равносильно "Для всякого х не (имеет место) А"
(законы (5) и (6) дают следующее правило преобразования предложений, начинающихся с кванторов: квантор общности заменяется квантором существования, квантор существования - квантором общности, а знак отрицания переносится на выражение, стоящее за квантором).
Перечисленные законы (1)-(6) и основанные на них правила преобразования предложений достаточно просты, и их легко разъяснить учащимся на конкретных примерах.
Правила построения отрицаний предложений сложной логической структуры могут быть разъяснены учащимся постепенно в процессе обучения математике. Значимость этих правил сопоставима со значимостью грамматических правил. Раз усвоенные, они применяются затем автоматически, освобождая от необходимости в каждом случае искать решение.
Методика обучения решению задач
Роль задач в процессе развития математического мышления учащихся. Виды задач. Общие методы обучения решению задач. Анализ и синтез в поиске решения задач . Работа учителя с условием задачи . Классификация геометрических задач и методы их решения. Задача практического содержания и их роль в профессиональной ориентации школьников
Роль задач в обучении математике. Обучение общим методам решения задач Роль задач в обучении математике. Обучение общим методам решения задач
В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики (700-800 академических часов в IV-Х классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.
В этой главе рассматриваются общие и наиболее важные аспекты использования задач в обучении математике, общие методы, применяемые при решении задач, и т. д. Значительное внимание уделяется вопросам организации обучения решению задач на уроках, приводятся практические рекомендации, которые могут быть использованы в процессе учебной работы над задачей.
Назад к оглавлению | К началу главы
Значение учебных математических задач
При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение.
Образовательное значение математических задач. Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке - и навык, что тоже повышает уровень математического образования.
Практическое значение математических задач. При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математических задач. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особенно в их теоретических основах, и др.
Это означает, что при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и практическим, жизненным содержанием.
Значение математических задач в развитии мышления. Решение математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач, как указывал А. Я' Хинчин [24], воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной аргументации. Решение задачи должно быть полностью аргументированным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмотрение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формальнологической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.
Воспитательное значение математических задач. Прежде всего задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества. Так, в русских дореволюционных задачниках и в задачах, которые решают современные школьники капиталистических стран, сюжетное содержание многих математических задач связано с вопросами получения выгоды при купле и перепродаже товара, расчетов выигрышапроигрыша в азартной игре и т. п. Совсем иное сюжетное содержание у задач, помещенных в современных советских учебниках, учебниках по математике социалистических стран: в них сюжет направлен на воспитание у у учащихся высоких моральных качеств, научного мировоззрения, интернационализма, коллективизма, гордости за свою социалистическую Родину, на ознакомление с достижениями народного хозяйства.
Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей. С введением в школу элементов математического анализа выявились более широкие возможности воспитания у учеников в процессе решения задач диалектико-материалистического мировоззрения.
Назад к оглавлению | К началу главы
Роль задач в процессе обучения математике
Каждая конкретная учебная математическая задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как содержанием Задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.
Обучающая роль математических задач. Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.
1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при условии тщательной и кропотливой работы над понятиями, их определениями и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое знание достигается прежде всего при решении задач и выполнении упражнений.
2) Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим языком и, следовательно, математической символикой. Простейшая символика вводится еще в начальной школе и в IV-V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение.
3) Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказательствам - одна из важнейших целей обучения математике.
Простейшими задачами, с решения которых практически начинается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и элементарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.
Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказательства истинности ответа) установления одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы представляет собой цепочку шагов-импликаций.
Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой символики и используемого языка.
Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же математики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет вовсе. Начинать надо с достаточно простых задач.
4) Задачи для формирования математических умений и навыков (см. далее).
5) Обучающую роль играют и задачи, предваряющие изучение новых математических фактов, концентрирующие внимание учащихся на вновь изучаемых идеях, понятиях и методах математики, задачи, с помощью которых вводятся новые понятия и методы, задачи, создающие проблемную ситуацию с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь же следует рассмотреть и задачи, с помощью которых подготавливается сложное для учащихся доказательство теоремы.
Созданию проблемной ситуации для введения и изучения способов решения квадратных уравнений послужит задача, приводящая к такому уравнению.
Полезно вспомнить, что решение конкретных задач (например, о мгновенной скорости, о касательной, о плотности стержня) приводит к понятию производной, а задачи о площади криволинейной трапеции, о работе переменной силы, действующей вдоль прямой, - к понятию интеграла.
Для подготовки к изучению более или менее сложных теорем, играющих серьезную роль в курсе математики, могут быть предложены задачи, приводящие к формулировке теоремы, задачи на доказательство одного из промежуточных фактов в доказательстве теоремы и т. д.
Развитие мышления учащихся при решении математических задач.
1) Мыслительные умения, восприятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной
ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической науки.
Исследованиями советских психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Индивидуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно "обобщенные и свернутые структуры". Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач развивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует "обобщенные ассоциации". При непосредственном решении математических задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.
2) Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.
Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.
Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.
Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение ^ задач в два столбца: слева - утверждения, выкладки, вычисления, справа - аргументы, т. е. предложения, подтверждающие правильность высказанных утверждений, выполняемых выкладок и вычислений.
3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов. Рассмотрим некоторые из них.
а) Задачи и упражнения, включающие элементы исследования. Простейшие исследования при решении задач следует предлагать уже с первых уроков алгебры и геометрии и даже на уроках математики в IV-V классах.
В последующих классах следует предлагать не только задачи с элементами исследований, но и задачи, включающие исследование в качестве обязательной составной части. Такие исследования необходимо включаются в решение многих геометрических задач на построение (как в планиметрии, так и в стереометрии), уравнений и неравенств (особенно тригонометрических, показательных и логарифмических с параметрами) и др. Задачи и упражнения с выполнением некоторых исследований могут найти свое место во всех разделах школьного курса математики, например -при изучении действительных чисел в IX классе.
б) Задачи на доказательство доказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.
в) Задачи и упражнения в отыскании ошибок также играют значительную роль в развитии математического мышления учащихся. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д. Первые упражнения в отыскании ошибок должны быть несложными.
Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических знаний. Таким образом, рассмотрение различных вариантов решения задачи воспитывает у учащихся гибкость мышления. Поиск рационального варианта решения лишь на первых порах требует дополнительных затрат времени на решение задачи. В дальнейшем эти затраты с лихвой окупаются.
Надо отметить, что рациональные приемы решения не появляются сами, по одному только желанию. Рациональным способам решений надо обучать. Один из путей обучения и есть решение задач несколькими способами, выбор лучшего из них.
Вообще же полезно хотя бы знакомить учащихся с различными подходами к решению наиболее распространенных задач. Приведем пример.
Один из заключительных уроков геометрии в VIII классе учитель начал с простейшей задачи: разделить данный отрезок пополам. К огорчению учителя и учеников, обнаружилось, что полный набор чертежных инструментов имеют только 6 человек, а у некоторых учеников вообще не оказалось никакого инструмента. Тогда учитель предложил каждому решить задачу, применяя тот инструмент, который у него имеется, а тем, у кого не было инструмента, использовать прямой угол из плотной бумаги (тетрадный лист сложили по осям симметрии в 4 слоя) или его половину - угол в 45°.
В результате на уроке были рассмотрены 8 вариантов решения с помощью: а) циркуля и линейки; б) прямого угла; в) двусторонней линейки; г) чертежных угольников; д) угла величиной 45°; е) угла в 30°; ж) острого угла и односторонней линейки; з) транспортира и односторонней линейки. Польза такого обсуждения задачи несомненна. е) Составление задач учащимися. Сознательное изучение математики и развитие мышления учащихся стимулируется самостоятельным составлением (конструированием) математических задач. При этом, во-первых, воспитывается самостоятельность (школьники оперируют изученными и изучаемыми объектами и фактами математики, т. е. рассматривают и оценивают свойства, различия и характерные особенности этих объектов); во-вторых, развивается творческая мыслительная активность учеников.
Конструирование задач учениками заставляет их использовать больший объем информации, применять рассуждения, обратные применяемым при обычном решении задач. Следовательно, при составлении задачи ученик применяет логические средства, отличные от тех, с помощью которых решаются обычные задачи, открывает новые связи между математическими объектами. Это развивает их мышление. При изучении первых понятий алгебры (например, действий с рациональными числами) следует предлагать учащимся составлять вычислительные упражнения, в которых бы для упрощения вычислений применялись законы действий, особенно Дистрибутивный. Учащиеся должны свободно оперировать законами действий.
Очень полезны упражнения в составлении уравнений по заданным их корням, систем уравнений по данным решениям, задач по заданным уравнениям или их системам.
Составление задач по заданным уравнениям полезно хотя бы потому, что задачи эти бывают разнообразны по фабуле, а это убеждает в общности математических методов.
Следует предостеречь учителя от чрезмерного увлечения конструированием задач. Нет необходимости доводить конструирование задач до навыка, поэтому не нужно предлагать ученикам трафареты для составления математических объектов и задач. Всякий трафарет, шаблон в конструировании губит главное, ради чего эти упражнения вводятся: творческую мысль ученика.
Воспитательная роль математических задач. Процесс обучения теснейшим образом связан с воспитанием учащихся. В школе обучение не мыслится в отрыве от воспитания. Обучая решению математических задач, учитель математики в то же время воспитывает учащихся, формирует у них качества, присущие советскому общественному строю.
Значение учебных математических задач
Роль задач в процессе обучения математике
Обучение математике через задачи Обучение математике через задачи
Примерно половина уроков математики в средней школе, как уже указывалось, отводится решению математических задач и выполнению упражнений. Таким образом, обучение математике осуществляется и при решении задач. Уже рассмотрена обучающая роль учебных математических задач: при решении математических задач учащиеся усваивают многие математические понятия, овладевают математической символикой, обучаются проведению доказательств и т. д., т.е. обучаются математике. Но этим не ограничивается обучение математике через задачи. Осуществляя такой путь обучения математике, учитель ставит перед той или иной конкретной задачей дидактические цели, при достижении которых и осуществляется обучение через задачи. Какие же дидактические цели могут быть поставлены перед математическими задачами?
Математические задачи могут иметь своей дидактической целью подготовку к изучению теоретических вопросов математики (новых понятий, методов, теорем). Такая же цель ставится перед решением задач, с помощью которых перед изучением новых теоретических вопросов в памяти и сознании учащихся восстанавливаются те сведения, знание которых необходимо для изучения новых математических фактов. Эти задачи не должны быть сложными и могут решаться устно. Примеры:
1. Перед изучением свойств степеней с рациональными показателями полезны будут упражнения в применении свойств степеней с целыми показателями.
2. Изучению распределительного закона умножения (по отношению к сложению) для рациональных чисел могут предшествовать задачи, при решении которых напоминается применение этого закона для целых чисел. Именно так ученики обучаются верному применению аналогии.
Решение некоторых задач в IV-VI классах может быть проведено с таким расчетом, что после серии задач (упражнений) учитель может сформулировать новое предложение (определение, алгоритм и т. д.).
3. Введению определения умножения положительных и отрицательных чисел могут предшествовать упражнения в вычислениях с такими числами, выполняемые с помощью модели термометра. Четкое выделение характеристик (знака и модуля) произведения, сравнение их с соответствующими характеристиками множителей позволяют заметить закономерности выполнения умножения и сформулировать определение (правило).
Дидактической целью учебных математических задач может быть закрепление только что приобретенных теоретических знаний. Это могут быть задачи для усвоения математических понятий и их определений, для формирования умений, для закрепления формулировок, аксиом и теорем, для закрепления методов доказательств и т. д. Такие задачи следуют за изучением теоретических сведений. Примеры:
4. Два угла имеют общую вершину. Могут ли они быть несмежными и невертикальными?
Эта задача предназначена для закрепления у учащихся понятий о смежных и вертикальных углах.
5. Для закрепления формулировки теоремы Виета полезно решать задачи, подобные следующей. В уравнении х+рх+35 = 0 один из корней равен - 7. Вычислите Другой корень и значение коэффициента р.
Иллюстрация приложений изученного также может быть дидактической целью математических задач. С такой целью предлагаются учащимся практические задачи, иллюстрирующие приложения математики в технике, быту, смежных школьных предметах
Такое же назначение имеют задачи на применение тождественных преобразований к упрощению вычислений.
Пример: Докажите, что сумма двух диагоналей выпуклого четырехугольника меньше его периметра, но больше полупериметра. При решении этой задачи применяются свойство расстояний (так называемая "аксиома треугольника") и свойства неравенств.
Задачи на приложения могут быть предложены после изучения теории, при формировании умений и навыков, а могут и предшествовать изучению теории с целью создания проблемной ситуации.
Дидактической целью задач и упражнений может быть формирование умений и навыков.
1) Цель формирования умений обычно ставится при решении первых задач, выполнении первых упражнений по овладению новым приемом, алгоритмом, методом решения некоторого класса задач, а также задач, показывающих практическую ценность изучаемых способа, приема, метода. Это должны быть задачи, при решении .которых учащиеся приучаются оперировать вновь изученным, применять общий способ, алгоритм, метод в конкретной ситуации. Такие задачи не должны быть сложными, в них. должно отчетливо проявляться вновь изучаемое, лишь постепенно в задачи могут вводиться усложнения, так чтобы вновь формируемое умение включалось в уже имеющуюся систему математических умений и навыков учащихся. Первые такие задачи следует решать с подробным объяснением со стороны учащихся всех новых деталей решения, с подробными записями на доске. Это помогает осмысленному формированию умений, осмысленные же умения формируются быстрей и дольше сохраняются.
2) Формирование математических навыков может быть дидактической целью не отдельной задачи, а системы задач и упражнений. Умение оперировать многими приемами, способами и методами решения математических задач должно быть автоматизировано, доведено до навыка, чтобы при решении задач техническая сторона не отвлекала мышление решающего задачу, а помогала решению. Учащиеся должны владеть прочными и стойкими навыками вычислений, тождественных преобразований, решения у равнений, неравенств и их систем, геометрических построений и др.
Навыки формируются на основе осмысленных знаний и умений путем многократног" повторения операций, действий, приемов, алгоритмов, составляющих предмет изучения. Поэтому для формирования навыков нужна тщательно продуманная система упражнений и задач. В такой системе должна быть правильно установлена последовательность упражнений с учетом индивидуальных особенностей и возможностей учащихся и принципа "от простого к сложному". Следует соблюдать разумное разнообразие упражнений и задач в системе. При этом знания учащихся по математике должны совершенствоваться с решением каждой новой задачи. Следует добиваться, чтобы осознанные умения и навыки ученики получали при наименьших затратах времени.
Прочные, стойкие и гибкие навыки формируются тогда, когда они применяются совместно с ранее сформированными умениями и навыками в выполнении других действий. Именно таким образом вновь формируемые навыки включаются в систему знаний человека. К тому же решение задач, требующих применения и ранее полученных навыков, существенно помогает подкреплению очень важного умения применять полученные знания, умения и навыки в различных ситуациях.
Дидактической целью математических задач является и повторение ранее изученного. При решении большинства задач учащиеся применяют ранее полученные знания, умения, навыки. Такова особенность математики, заключающаяся в тесной взаимосвязи и взаимообусловленности ее разделов. Таким образом, независимо от целей, поставленных учителем перед решением конкретной задачи, при ее решении происходит повторение изученного ранее. Но повторение изученного может быть и специальным назначением задач, предложенных учителем. Например, решение задач на завершающих уроках по той или иной теме имеет своей дидактической целью повторение, систематизацию и уточнение знаний, полученных при изучении этой темы, и закрепление сформированных умений и навыков, что также требует повторения. Таково же назначение задач, решаемых при повторении математики в конце учебных четвертей года.
Контроль за усвоением математических знаний - одна из дидактических целей математических задач и упражнений. Каждая задача практически имеет своим назначением текущий контроль или самоконтроль. Задачи, решаемые фронтально с воспроизведением решения учащимися на доске, предназначаются и для выяснения затруднений учащихся, пробелов в их знаниях, степени усвоения новых теоретических знаний, изучаемых методов решения задач, прочности, стойкости и гибкости ранее приобретенных знаний, умений и навыков. Такое же предназначение имеется и у самостоятельно решаемых задач.
В проверочных и контрольных работах главным назначением решаемых задач является итоговый контроль за тем, насколько верно учитель учил, а ученики обучались по тем или иным разделам математики.
Назад
Общие методы обучения решению математических задач
Анализ и синтез при решении задач. Анализ и синтез находят широкое применение при решении математических задач. Напомним, что анализ - это метод рассуждений от искомых к данным. Синтез - метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. Оба эти метода обычно применяются во взаимосвязи.
Анализ и синтез находят применение практически при решении каждого вида задач, каждой задачи.
1) Анализ и синтез при решении задач на доказательство.
2) Анализ и синтез при решении текстовых задач. Текстовыми задачами здесь названы математические задачи, в которых входная информация содержит не только математические данные, но еще и некоторый сюжет (фабулу задачи).
При решении текстовых задач с помощью аппарата арифметики роль анализа сводится к составлению плана решения, задача же чаще всего решается синтетическим методом.
3) Анализ и синтез при решении задач на построение в геометрии. Анализ и синтез применяются и при решении задач на построение в геометрии, иначе, конструктивных задач геометрии. Как известно, решение этих задач выполняется по следующему плану: анализ, построение, доказательство, исследование. Название первой части - анализ говорит само за себя: это действительно метод анализа, ведущий от искомых ("предположим, что искомая фигура построена") к данным, точнее, к их использованию в построении. При анализе намечается план построения, которое выполняется синтетическим путем. При доказательстве возможно использование как анализа, так и синтеза, но чаще применяется последний. Исследование предполагает преимущественное применение метода анализа.
Другие общие методы решения задач.
Рассмотренные в предыдущих пунктах анализ и синтез являются самыми общими методами решения задач. Ниже излагаются также общие методы решения задач, которые имеют более ограниченное применение.
Один из них - метод исчерпывающих проб, основой которого является выявление всех логических возможностей и отбор из них таких, которые удовлетворяют условию задачи. Если логических возможностей, соответствующих условию задачи, - конечное число, то может оказаться возможным перебрать все их и в ходе этого перебора выделить вполне удовлетворяющие условию. С помощью этого приема решаются, в частности, некоторые элементарные задачи теоретико-числового содержания. Методом исчерпывающих проб с большим успехом можно пользоваться и для решения многих логических задач. Развитием указанного приема служат некоторые методы решения в целых или рациональных числах неопределенных уравнений, и в частности хорошо .известный метод рассеивания.
Второй метод - это метод сведения. Суть его состоит в том, что .данные задачи подвергаются последовательным преобразованиям. Концом получающейся таким образом цепочки преобразований может быть состояние, простое рассмотрение которого дает требуемый 'результат. Если, например, нужно решить уравнение, то обычно составляют такую конечную последовательность уравнений, эквивалентных данному, последним звеном которой является уравнение с 'очевидным решением. Точно так же поступают при решении систем уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Решение задач на доказательство очень часто представляет собой цепочки тождественных преобразований, тянущиеся от левой части доказываемых тождеств к правой, или наоборот, или от левой и правой частей к одному и тому же выражению. Конечно, указанное сведение нужно понимать и как выведение, как конечную последовательность, ведущую от искомых к данным. Этот метод наиболее часто применяется в тех случаях, в которых заданное отношение обладает свойством транзитивности. Таковы отношения эквивалентности (равенства, уравнения, тождества, логическая равносильность, параллельность) м порядка (строгие и нестрогие неравенства, включение множеств, логическое следование). Прием "сведения" лежит в основе решения геометрических задач на построение. В каждой задаче этого вида содержится требование: исходя из данных фигур (или данных их элементов), с помощью указанных конструктивных элементов построить фигуру, удовлетворяющую определенным условиям. Это означает, что требуемое построение должно быть сведено к так называемым элементарным построениям, выполняемым реальными инструментами.
Метод сведения находит постоянные применения при решении текстовых задач арифметическими способами. Суть дела здесь состоит в том, что данная задача сводится к простым задачам.
Решение задач на доказательство теорем в своей основе имеет также сведение: доказываемое утверждение сводится к ранее доказанным теоремам и ранее введенным аксиомам и определениям данной научной области. Доказать - это значит свести новую теорему (задачу) в конечном счете к аксиомам.
Третий метод решения задач имеет своей основой моделирование (математическое и предметное). Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна, графы и т. д.
Математическое моделирование находит применение при решении ' многих текстовых (сюжетных) задач. Уже уравнение, составленное по условию текстовой задачи, является ее алгебраической (аналитической) моделью. Чертеж фигуры, заданной в геометрической задаче, с обозначенными на ней данными и искомыми тоже является геометрической моделью задачи. Но нередко решению задачи помогает и предметная ее модель (например, объемная геометрическая фигура, модель с использованием или изображением предметов и объектов, заданных в задаче, и др.).
Большое практическое значение имеют методы нахождения приближенных значений искомых величин.
Все графические приемы решения задач на вычисление дают приближенные решения. Но приближенные решения могут получаться и с помощью численных методов (например, при решении квадратных уравнений по формулам их корней).
В геометрии используются приближенные методы построения. Примерами их служат спрямление окружности, построение квадрата, равновеликого данному кругу, деление угла на равные части и т. д.
Таковы основные приемы решения задач по курсу математики средней школы. Остается подчеркнуть, что в практике решения задач они часто комбинируются.
Одна из основных целей решения задач в школьном курсе математики и состоит в том, чтобы обеспечить действенное усвоение каждым учеником основных методов и приемов решения учебных математических задач.
Общие советы учителя ученику при решении задач. Для того чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения. Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя - помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Однако помощь учителя не должна быть чрезмерной. Если учитель много будет помогать ученику, на долю последнего ничего не останется или останется слишком мало работы по приобретению опыта решения задач. Так ученик не научится решать задачи. Если же помощь учителя будет мала, ученик также .может не научиться решать задача. Учитель должен помогать ученику путем советов, как решать задачу, или вопросов, отвечая на которые ученик успешнее решит задачу. Иногда учитель разыгрывает решение задачи, сам задавая вопросы и сам же отвечая на них. Ученики подражают ему в этом, постепенно приучаясь решать задачи. Но такой вариант обучения требует большей затраты времени и не всегда приводит к хорошим результатам. Можно сказать, что механическое подражание не метод обучения решению задач. Нужны вопросы и советы учителя ученику, вызывающие развивающие мыслительную деятельность школьников, помогающие развивать творческий подход к решению задач.
Такие вопросы и советы должны обладать общностью для различных задач, иначе ученики не научатся решать многие задачи, а будут учиться решать каждую конкретную задачу в отдельности. В то же время вопросы и советы должны быть естественны и просты, должны иметь своим источником простой здравый смысл. Они должны оказывать ученику действенную, но не назойливую помощь.
Но одних вопросов и советов учителя ученику недостаточно для обучения решению задач. Нельзя забывать, что "умение решать задачи есть искусство, приобретаемое практикой" .
Вопросы и советы ученику условно можно подразделить на четыре группы. Это подразделение вопросов, вообще говоря, не является категоричным. Может оказаться, что вопросы, рекомендуемые для первого этапа, окажут помощь и на втором этапе, а рекомендуемые для второго этапа - на третьем и т. п. Дело в том, что этапы решения задачи не могут быть строго изолированы один от другого, между ними существует определенная связь, в их единстве заключается процесс решения задачи.
Далее формулируются и поясняются вопросы и советы учителя ученику, предлагаемые на каждом этапе решения задачи.
1) Вопросы и советы для усвоения содержания задачи (1-й этап). Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения. Первый совет учителя: не спешить начинать решать задачу. Этот совет не означает, что задачу надо решать как можно медленней. Он означает, что решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем: а) сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче; б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно следовать такому совету: выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство -посылки и заключения.
в) Если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые (это тоже совет, которому должен следовать ученик).
г) В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения. При решении текстовых задач алгебры и начал анализа вводят обозначения искомых или других переменных, принятых за искомые.
д) Уже на первой стадии решения задачи, стадии понимания задания, полезно попытаться ответить на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?" Не всегда сразу удается ответить на этот вопрос, но иногда это можно сделать.
Отвечая на вопрос: "Возможно ли удовлетворить условию?", полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи.
2) Составление плана решения задачи (2-й этап). Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. Поэтому крайне необходимо предлагать ученику ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ему лучше и быстрее составить план решения задачи, "открыть" идею ее решения:
а) Известна ли решающему какая-либо родственная задача? Аналогичная задача? Если такая или родственная задача известна, то составление плана решения задачи не будет затруднительным. Но далеко не всегда известна задача, родственная решаемой. В этом случае может помочь в составлении плана решения совет.
б) Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна решающему, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее. Может оказаться, что родственная задача неизвестна решающему и он не может свести данную задачу к какой-либо известной. План же сразу составить не удается.
Стоит воспользоваться советом: "Попытайтесь сформулировать задачу иначе". Иными словами, попытайтесь перефразировать задачу, не меняя ее математического содержания.
При переформулировании задачи пользуются либо определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями). Надо отметить, что способность учащегося переформулировать текст задачи является показателем понимания математического содержания задачи.
Некоторые авторы относят к переформулировке задачи и перевод ее на язык математики, т. е. язык алгебры, геометрии или анализа. Это, скорее, формализация задачи, "математизация" ее. К такому приему и приходится часто прибегать при решении многих текстовых задач.
г) Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе (или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.
д) При составлении плана задачи иногда бывает полезно следовать совету: "Попытайтесь преобразовать искомые или данные". Часто преобразование искомых или данных способствует более быстрому составлению плана решения. При этом искомые преобразуют так, чтобы они приблизились к данным, а данные - так, чтобы они приблизились к искомым. Так, при каждом случае тождественных преобразований данные преобразуются, постепенно приближаясь к результату (искомому). Аналогично уравнение, систему уравнений, неравенство или систему неравенств преобразуют в равносильные, чтобы найти их корни или множество решений.
е) Нередко случается так, что, следуя указанным выше советам, решающий задачу все же не может составить план ее решения. Тогда может помочь еще один совет: "Попробуйте решить лишь часть задачи", т. е. попробуйте сначала удовлетворить лишь части условий, с тем чтобы далее искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи.
ж) Нередко в составлении плана решения задачи помогает ответ на вопрос: "Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?" Обнаружив такой частный случай, решающий ставит перед собой новую цель - воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая. Так можно поступить, постепенно обобщая задачу до исходной, решаемой задачи. Предполагаемый вариант рассуждений - явное применение полной индукции. Итак, совет: "Рассмотрите частные случаи задачной ситуации, решите задачу для какого-нибудь частного случая, примените индуктивные рассуждения".
3) Реализация плана решения задачи (3-й этап). План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам:
а) Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.
б) При реализации плана поможет и совет: "Замените термины и символы их определениями". Так, термин "параллелограмм" заменяется его определением: "Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны", термин "предел числовой последовательности" для доказательства, например, того предложения, что предел суммы двух последовательностей, имеющих пределы, равен сумме пределов этих последовательностей, можно заменить, и вполне успешно, его определением.
в) При решении некоторых задач помогает совет: "Воспользуйтесь свойствами данных в условии объектов".
4) Анализ и проверка правильности решения задачи (4-й этап). Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер. Поэтому анализ решения задачи, проверка решения и достоверности результата должны быть этапом решения задачи. Итак, два совета: "Проверьте результат", "Проверьте ход решения". Проверка результата может производиться различными способами. Проверяя правильность хода решения, мы тем самым убеждаемся и в правильности результата. Значит, надо выполнить совет: "Проверьте все узловые пункты решения", еще раз убедитесь в истинности проведенных рассуждений.
Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно всегда задавать решающему вопрос: "Нельзя ли тот же результат получить иначе?" Иными словами, стоит последовать совету: "Решите задачу другим способом". Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, что и в первом случае, задачу можно считать решенной правильно. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное обучающее значение.
Изложенные выше советы для решения задач позволяют решать многие задачи, но, разумеется, не могут служить рецептом для решения любой задачи. Эти советы, многие из которых сформулировал Д. Пойа, правильно ориентируют решающего задачи на поиск решения, сокращают время решения многих задач, повышают вероятность отыскания верного и рационального способа решения задач. Единого же рецепта для решения любых задач попросту не существует.
5) От общих советов к частным. Начинать надо с общих вопросов, с общих советов, т. е. именно с тех, которые были приведены выше. Может оказаться, что общие вопросы не окажут помощи какому-то ученику. Тогда надо обратиться к дополнительным, более частным вопросам, так чтобы дойти до вопросов, соответствующих уровню развития и математической подготовке ученика. Переходить к частным, конкретным вопросам надо постепенно, чтобы на долю ученика досталась наибольшая часть работы по решению задачи.
Задавая более частные, дополнительные вопросы, нужно учитывать следующее: вопросы должны быть такими, чтобы они направляли мысль ученика в нужную сторону, заставляя его активно мыслить над решением задачи. Разумеется, предлагая вопросы ученикам, надо предоставить время на обдумывание ответов на эти вопросы.
Ясно, что систематизирующие рассмотрения не только ценны для повторения теории и решения задач, но и имеют еще и явно выраженный исследовательский характер, содержат элементы творчества. Существенно, наконец, что они являются верным средством установления связей между различными математическими вопросами.
Общие методы обучения решению математических задач
Организация обучения решению математических задач
Фронтальное решение задач. Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.
1) Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в IV-VII классах, несколько реже, хотя и находит применение, в старших классах средней школы. Это прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях или тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. В настоящее время учителя математики IV-VII классов почти на каждом уроке проводят "пятиминутки" устных упражнений. К сожалению, часто этим и ограничивается выполнение устных упражнений. А надо отметить, что одной из задач обучения математике является обучение быстрым устным вычислениям. Решения этой задачи надо добиваться на всех этапах обучения, поэтому там, где это возможно (а не только на "пятиминутках" устного счета), вычисления следует выполнять устно. Если ученики научатся устно выполнять вычисления и несложные преобразования, то на уроках математики, физики, химии освободится значительная часть времени, которое сейчас расходуется на нерациональное выполнение вычислений и выкладок.
При организации устных фронтальных упражнений следует учесть, что использование табличек, таблиц, кодоскопа и других средств представления учащимся устной задачи значительно экономит врем; устных упражнений и оживляет уроки математики.
Таблички изготавливает обычно учитель или отдельные ученик) по его заданию. На рисунке 44 приводятся примеры табличек с заданиями для устных вычислений при изучении умножения дробны) и целых чисел (удобные размеры табличек 300 х 150мм).
Таблицы для устных упражнений могут иметь различную форм и применяются неоднократно с различными заданиями.
Как таблички, так и таблицы могут быть изображены на пленке и спроецированы на экран или доску через кодоскоп. Изготовление табличек и таблиц - более трудоемкое дело, чем транспарантов (кодопозитивов), а результаты использования практически равноценны.
2) Письменное решение задач с записью на классной доске. В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. При этом задачу на доске может решать либо учитель, либо ученик по указанию учителя. Наиболее часто такую организацию решения задач на уроках математики применяют: а) при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; б) при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; в) при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего варианта; г) при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задачи и т.д. Во всех этих случаях бывает полезно и коллективное решение (или коллективный разбор решения задач).
Рассмотрим подробнее, как можно провести сравнение различных вариантов решения задачи. Учитель может при фронтальном устном анализе условия задачи наметить вместе с учениками несколько вариантов решения задачи. Некоторые из них как нерациональные могут быть сразу отвергнуты. Другие же неотвергнутые варианты для лучшего рассмотрения, оценки и сравнения стоит записать на доске. В этих целях можно сразу вызвать двухтрех учеников к доске для одновременного решения задачи разными способами (если позволяют размеры доски). Надо только учесть, что руководство решением задачи в этом случае требует некоторого мастерства от учителя: необходимо правильно распределить свое внимание между учащимися, решающими задачу у доски, и остальными учениками класса. Нужно также предусмотреть, чтобы внимание учащихся класса, решающих задачу, не рассеивалось действиями учеников у доски. Можно варианты решения воспроизводить на доске поочередно, но это займет больше времени. Для ускорения работы учитель может сам быстро выполнить на доске необходимые записи некоторых вариантов решения. Возможно также использовать кодоскоп, с помощью которого можно воспроизводить заготовленные заранее записи других решений задачи.
3) Письменное самостоятельное решение задач. Наиболее эффективной является такая организация решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Самостоятельное решение учащимися задач на уроках математики имеет многие преимущества.
Во-первых, оно значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу. Таким образом, повышается эффективность урока. Самостоятельное решение задач развивает мыслительную деятельность учащихся, а в этом заключается одно из основных назначений задач и упражнений на уроках математики. Во-вторых, не имея возможности копировать решение задачи с доски, ученик вынужден сам разбираться в решении задачи, а потому и лучше готовиться к урокам математики. В-третьих, самостоятельное решение математических задач часто сокращает время, необходимое для опроса учащихся на уроках математики, так как оценивать успехи учащихся в некоторых случаях можно и по итогам самостоятельного решения задач. В-четвертых, учитель получает возможность направлять индивидуальную работу учеников по решению задачи, предотвращать ошибки, указывать пути их исправления.
Допустимы различные формы организации самостоятельного решения задач учащимися.
Некоторые учителя так организуют самостоятельные работы по решению задач на уроках математики: учитель подбирает задачи; в процессе работы учитель помогает некоторым ученикам советом, как лучше их решить, другим он советует обратиться к учебнику, третьи справляются с работой без помощи учителя. Учитель все время наблюдает за работой учеников, отмечая, кому из учеников и в чем он помог. Затем самостоятельная работа проверяется и оценивается с учетом степени самостоятельности ученика. При такой организации самостоятельной работы осуществляется и обучение, и контроль знаний по изучаемому разделу математики. Чаще всего учитель заранее предопределяет цели самостоятельных работ по решению задач. Такие работы могут быть обучающими новым знаниям, умениям и навыкам, могут быть предназначены для закрепления изученного и тренировки в применении теоретических сведений, могут быть предложены с целью проверки подготовленности учащихся по изученным вопросам. На обучающих самостоятельных работах по решению математических задач учитель может оказывать помощь отдельным учащимся, а может предложить самостоятельное решение задачи после предварительного ее анализа и составления плана решения.
Существуют и такие формы самостоятельных обучающих работ по математике, при выполнении которых учащиеся самостоятельно изучают небольшой теоретический материал, разбирают образцы решения задач, предложенные учителем, самостоятельно решают аналогичные задачи.
Для лучшего проведения самостоятельных работ учащихся по решению математических задач полезно перед началом такой работы проводить инструктаж, в котором четко указать, что должны выполнить учащиеся в такой работе, каков порядок ее выполнения, сроки и пр. Желательно после проверки правильности самостоятельных решений проанализировать с учащимися результаты такой работы. Это возможно на следующих уроках или на консультациях.
4) Комментирование решения математических задач. Комментирование решения задач заключается в следующем: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Некоторые учителя превращают комментирование в запись под диктовку: один ученик воспроизводит голосом все, что он записывает в тетрадь (без каких-либо пояснений), а все остальные поспешно записывают сказанное им. Ясно, что такое применение комментирования не приносит должной пользы.
Комментирование обозначает объяснение, толкование чего-нибудь. Именно так и следует понимать комментирование при решении математических задач. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг в решении задачи должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения. Вот пример комментирования:
"4. Доказать, что сумма трех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.
Обозначим первое из этих чисел буквой n. Тогда два следующих за ним числа запишутся n+1,n+2, так как второе на 1, а третье на 2 больше первого числа. Запишем сумму этих трех чисел и преобразуем ее. Сначала раскрываем скобки, применяя сочетательный закон сложения. Затем приводим подобные члены. Вынося общий множитель (по распределительному закону), получаем результат.
Полученное выражение есть произведение двух множителей 3 и n +1, а потому оно не может быть простым числом ни при каких натуральных значениях n." Такое комментирование приносит явную пользу при решении задач. Учащиеся, даже недостаточно подготовленные по математике, услышав объяснение следующего этапа в задаче, постараются выполнить его самостоятельно. Правда, такое объяснение требует от учеников не только формального решения задачи, но, что очень важно, и понимания существа выполняемого преобразования, активной работы мысли. Но ведь этого и следует добиваться при решении задач.
Индивидуальное решение задач.
1) Необходимость индивидуального подхода при организации обучения решению задач. Фронтальное решение учебных математических задач не всегда приводит к желаемым результатам в обучении математике. При фронтальной работе все ученики класса решают одну и ту же задачу. Для одних учащихся эта задача может оказаться очень легкой, и они при решении такой задачи практически не почерпнут ничего нового. У других, наоборот, задача может вызвать серьезное затруднение. Поэтому необходим учет индивидуальных особенностей учащихся и в связи с этим индивидуальный подбор задач. Задачи следует подбирать и систематизировать так, чтобы, с одной стороны, учитывались возможности и способности ученика, с другой стороны, его способности развивались бы.
Задача учителя заключается, следовательно, в том, чтобы выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика класса и в соответствии с этим организовать решение математических задач. Стоит подчеркнуть эту мысль. Мысль об индивидуализации учебных математических задач по силам и возможностям учащихся. Это позволяет овладеть необходимыми умениями и навыками слабым ученикам и в значительной степени совершенствоваться более сильным.
2) Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по решению задач. В условиях, когда все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, учитель может учитывать индивидуальные особенности учащихся лишь при оказании им помощи в решении задачи, при проверке выполненной работы. При этом не полностью учитываются возможности учащихся. Для более полного учета способностей и математической подготовки учащихся, использования их возможностей необходимо предлагать для самостоятельного решения учащихся не одинаковые, а различные задачи с учетом индивидуальных особенностей ученика. Но поскольку в классе есть примерно равные по успехам в математике ученики, то можно подбирать задачи не для каждого ученика в отдельности (это было бы затруднительно для учителя), а для отдельных групп школьников класса. В этих целях полезно использовать издающиеся теперь "Дидактические материалы по алгебре", "Дидактические материалы по геометрии" для различных классов. При такой постановке обучения слабые ученики, справившись самостоятельно или при помощи учителя с простейшими задачами, обретают веру в свои силы. Сильные же учащиеся имеют возможность совершенствовать свои способности и познания в математике. Разумеется, подбор индивидуальных заданий преследует цель для каждой выбранной учителем группы учащихся составить систему задач. Желательно, чтобы учащиеся не знали о том, кого из них в какую группу определил учитель. Эти группы не должны иметь постоянного состава: по мере овладения необходимыми знаниями учащиеся "переводятся" из группы для менее подготовленных в другую - для более подготовленных.
3) Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по устранению пробелов в знаниях математики. Исключительное значение приобретают самостоятельные работы учеников по устранению пробелов в знаниях математики. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, а также при решении задач на уроке или дома. Ученикам, работающим над устранением пробелов в своих знаниях по математике, надо указать в тетради допущенные ошибки. При этом сильным ученикам достаточно подчеркнуть неверный результат, а ошибку такой ученик найдет сам. Одним ученикам полезно подчеркнуть допущенные ошибки, а некоторым, наиболее слабо подготовленным, исправить. В тетрадях указываются разделы учебника, которые ученик обязан восстановить в своей памяти, и выписываются .задачи (можно указать номера задач из задачников или учебников), которые надлежит ученику решить, чтобы восполнить имеющийся пробел в знаниях и умениях. Конечно, задачи подбираются с учетом причин, вызвавших ошибку. Дело в том, что одна и та же ошибка может быть допущена по различным причинам и устранять надо не ошибку, а причину, ее породившую. Такая организация решения задач по ликвидации пробелов в знаниях школьников приносит большую пользу, чем фронтальные работы над ошибками. При этом учитываются как индивидуальные особенности учащихся, так и характер изучаемого материала.
4) Домашнее решение задач учащимися. Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Это не означает, что для домашнего решения должны предлагаться лишь задачи, аналогичные решенным в классе. Такие домашние задания мало помогают усвоению математики. Решая домашние задачи "как в классе", ученики в лучшем случае прибегают к аналогии, а одной аналогии для обучения решению задач недостаточно. При такой работе ученики, как правило, сначала решают задачи (выполняют письменное задание), а затем читают учебник по математике. Порядок же должен быть иной: сначала повторение по учебнику теоретических сведений, затем решение задач.
Домашнее задание имеет целью не только повторение изученного на уроке, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. С учетом этого оно и должно быть составлено. Учитель дает необходимые указания по решению домашних задач, однако не устраняет всех трудностей, которые должны преодолеть учащиеся в процессе решения домашних задач. Ученики, решая задачи самостоятельно дома, обязаны проявлять свою инициативу, смекалку и настойчивость, мобилизовать для решения задач свои знания. Домашние задания по решению задач целесообразно связывать с углублением и уточнением изученного, с открытием каких-то новых его сторон.
Поскольку ученики обычно имеют индивидуальные особенности, различную подготовку по математике, следует индивидуализировать домашние задания по решению математических задач. При этом надо учитывать многие факторы: ученики при решении домашних задач должны устранить пробелы в знаниях (у кого они имеются), закрепить приобретенные на уроке знания, совершенствовать их. Через индивидуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся, воспитывать у них увлечение математикой. Посильные же задания для слабых и отстающих учащихся помогут им преодолеть многие трудности в обучении решению задач. Надо заметить, что ученики с особым желанием решают задачи, предложенные им в индивидуальном порядке. Такие задания можно заготовить на специальных карточках.
Заключительный этап в решении учебной математической задачи. Для учебных задач особое значение имеет не получение ответа, а процесс нахождения его, процесс переработки входной информации в выходную. Ответ особенно существен для задач, которые человеку приходится решать в практической деятельности, для учебной же задачи на первом месте стоят поиски решения, осуществление его и познавательные выводы из проделанной работы. Поэтому необходим заключительный этап работы над учебной задачей.
Основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение других задач (если оказывается возможным), явно связанных с первой, порождаемых ею, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения.
1) Необходимость обсуждения задачи и ее решения вытекает из основного назначения учебных математических задач. При обсуждении решения задачи нужно остановиться на следующих вопросах:
а) Более полное использование условия задачи. При решении многих задач следует стремиться к достаточно полному использованию содержащейся в них входной информации. Практически это означает, что по одному и тому же условию полезно решать не одну, а несколько задач, целью которых является получение различных результатов. Значит, многие задачи должны явно содержать несколько вопросов. В противном случае целесообразно задавать и дополнительный вопрос: "Что еще можно узнать из условия задачи?"
Можно сделать вывод, что в методическом отношении гораздо полезней многовопросные задачи. Действительно, многовопросность развивает основательность мышления. Она приучает школьников к установлению многосторонних связей в рассматриваемых ситуациях. Многовопросные задачи позволяют более экономно использовать время, отведенное для решения задач на уроках математики, так как на усвоение содержания задачи при этом расходуется гораздо меньше времени, чем при решении нескольких различных по условию одновопросных задач.
б) Обсуждение работы по поиску решения. Основная трудность при решении математической задачи состоит в нахождении решения, а не в осуществлении его. Поэтому оказывается необходимым выявление идеи (главной мысли), положенной в основу решения (как эта идея возникла? .Что помогло найти решение?), иначе говоря, нуждается в обсуждении подход к решению задачи, поиск решения.
Приступая к решению задачи, ищут прежде всего ведущую идею (принцип), из которой следует исходить. Если такая идея найдена, то дальнейшее решение представляет собой ее конкретизацию, воплощение. Но может случиться так, что найденная идея не обеспечивает достижения цели. Тогда ищут иные идеи, подходящие для данной задачи, и испытывают их. Вот эти поиски и отбор идей, из которых можно исходить при решении задач, наверное, и составляют основную трудность решения. Поэтому важно учесть и использовать факторы, помогающие этим поискам, и преодолеть факторы, мешающие им.
Чтобы иметь возможность выбрать идею решения задачи, нужно располагать достаточным запасом таких идей. Этот запас и создается в практике решения задач (при обсуждении решений). Успешные действия при решении подкрепляются, и добытая ценная информация фиксируется в долговременной памяти. Так накапливается хороший опыт решения задач.
Нужно учить школьников пользоваться запасом ведущих идей для решения разнообразных задач, учить выбирать и применять нужную идею. Многие из таких идей были высказаны в качестве советов и вопросов решающему задачу. После решения задачи полезно еще раз обратить внимание учащихся на такие идеи, приводящие к удачному решению задачи.
в) Выявление связей с ранее решенными задачами. При решении математических задач часто используются методы и результаты решения предшествующих задач. Именно поэтому полезно выявление связей рассматриваемой задачи с решенными ранее. Но не только поэтому. Сравнивая задачу с решенными ранее сходными задачами, ученики выявляют их общие и различные черты, лучше усваивают идею решения данной задачи, глубже познают метод решения класса сходных задач и таким образом готовятся к решению следующих задач.
2) Вторая часть заключительного этапа в решении задачи - поиски и осуществление новых способов ее решения, их сравнение и выбор лучшего варианта решения..
Стоит только отметить, что более эффективного пути для воспитания гибкости математического мышления и находчивости, чем путь поисков различных решений задач, пожалуй, нет.
3) Третья составная часть заключительного этапа работы с задачей - формулирование и решение некоторых других задач, "порожденных" разобранной. Мы имеем здесь в виду обобщения и специализации исходной задачи, а также получение других задач из данной в результате частичного изменения ее условия.
Это могут быть задачи, в которых часть данных исходной задачи принимается за искомое, а некоторые искомые считаются данными; задачи, полученные заменой одних объектов другими (без изменения искомых) и т. д. Так возникают задачи, обратные данным, суперпозиции задач, серии задач с различными данными, приводящими к одному результату, и т. п. Эту часть заключительного этапа можно назвать развитием темы задачи. Трудно переоценить значение развития темы задачи для воспитания математического мышления учащихся, развития познавательных способностей, формирования личности ученика. Очень полезно развитие темы задачи и в практическом отношении, так как изменения, обобщения и специализации задач воспитывают творческое отношение к тем задачам, которые ставит перед нами жизнь, делают наше мышление инициативным и более оперативным. В методическом отношении развитие темы задачи особенно ценно тем, что приучает учащихся к переконструированию задач, а это, как известно, основной прием поиска решений. Приведем примеры развития темы задачи.
Пример. Не изменяя основания, преобразуйте данный параллелограмм в равновеликий ему параллелограмм.
Эту у можно специализировать, например, так: а) Дан параллелограмм. Постройте ромб, равновеликий данному параллелограмму и имеющий своей стороной основание этого параллелограмма, б) Постройте прямоугольник, равновеликий данному параллелограмму и имеющий то же самое основание.
Пример. Периметр прямоугольника 2 р. Каким должен быть этот прямоугольник, чтобы площадь его была наибольшей? Обращенной задачей по отношению к данной будет такая:
Площадь прямоугольника 5. Каким должен быть этот прямоугольник, чтобы периметр его был наименьшим?
Пример 4. Задача: "Восстановите равнобедренный треугольник по одной из его вершин и основаниям двух высот" - допускает следующие изменения: а) восстановите равнобедренный треугольник по двум его вершинам и основанию одной из высот, б) восстановите равнобедренный треугольник по основаниям двух высот, лежащим на его боковых сторонах, и двум отличным от вершин точкам основания треугольника, в) восстановите равнобедренный треугольник по основаниям трех его высот, г) восстановите треугольник по основаниям трех его высот. Изменения этой задачи ведут к обобщению как задачи, так и метода ее решения. а
Развитие темы задачи в качестве заключительного этапа работы с ней особенно ценно при творческом подходе учителя к обучению решению задач.
4) По отношению к некоторым задачам с ярко выраженными особенностями (по содержанию и приемам решения) следует говорить и о четвертой части заключительного этапа. Мы имеем в виду прежде всего поучительные выводы (фиксации) из проделанной работы о том, как в подобных случаях находится и осуществляется решение, а также какие особенности задач подсказывают прием решения.
К этой части следует отнести и систематизацию различных возможных подходов к задачам определенного содержания. В ходе работы по решению серии связанных между собой задач наступает момент, когда оказывается очень полезным подвести итоги проделанной работы, систематизировать приемы решений, полнее выявить возможности для осуществления решений задач рассматриваемого вида и сходных с ними.
Ясно, что систематизирующие рассмотрения не только ценны для повторения теории и решения задач, но и имеют еще и явно выраженный исследовательский характер, содержат элементы творчества. Существенно, наконец, что они являются верным средством установления связей между различными математическими вопросами.
Глава 9
Урок математики
Урок как основная форма организации обучения в школе. Специфика уроков математики. Типы урока. Подготовка учителя к урокам
Организация обучения математике
Урок, его структура. Основные требования к уроку. Типы уроков
Организация обучения математике
Помимо анализа содержания курса школьной математики, в задачи методики математики входит исследование и описание значительного количества вопросов, связанных с обучением математике. В числе этих вопросов одно из самых существенных мест занимает вопрос об организации обучения математике, рассмотрение которого с различных сторон является основной темой данной главы. Наибольшее внимание в ней отводится описанию наиболее распространенной организационной формы обучения - уроку. Рассматриваются различные виды уроков, выясняются основные их функции в процессе обучения математике, анализируются возможности использования различных методов обучения при проведении уроков каждого типа. В соответствии с базисной установкой педагогики на формирование интереса к учению рассматриваются организационные приемы активизации процесса обучения и повышения заинтересованности в нем учеников. С этих позиций описаны вопросы организации домашней работы учеников и различных видов контроля. В данной главе кратко описываются также особенности организации процесса обучения математике в вечерних (сменных) средних общеобразовательных школах и средних профтехучилищах.
Назад
Урок, его структура. Основные требования к уроку. Типы уроков
Сущность урока математики. Основной формой организации учебно-воспитательной работы с учащимися в советской средней шко-ле является урок. Сущность его раскрывается в дидактике.
Понятие "урок" имеет характерные черты (основные характери-стики): цель, содержание, средства и методы обучения, организация учебной деятельности.
Главную роль среди основных характеристик играют цели урока: образовательные, воспитательные и развивающие. К образовательным целям относится формирование математических знаний, умений и навыков. Но формировать надо не только математические, но и общеучебные знания, умения и навыки, позволяющие более рационально организовать обучение математике. В единстве с обучением осуществляются цели воспитания и развития личности школьника.
Учебные программы по математике предусматривают решение определенных воспитательных задач. Для усиления воспитывающего влияния обучения учитель обязан тщательно анализировать воспитательные возможности математики и выделять воспитательную цель каждого урока.
В соответствии с целью урока отбирается содержание обучения, и прежде всего содержание урока. Поставить цель урока, рационально отобрать учебный материал учителю помогают учебные программы, учебники, методические пособия, дидактические материалы и др. Специфика учебного предмета "математика" такова, что изложение математического материала на уроке строится с сохранением логики раскрытия этой темы в школьном учебнике.
Выбор оптимальных методов обучения - одна из трудных методических задач. В педагогической литературе имеются рекомендации по выбору оптимальных методов обучения. Вот одна из таких рекомендаций:
"Выбор метода не будет оптимальным, если избранный метод не удовлетворяет хотя бы одному из условий, от которых он зависит:
1) цель урока (обучающая, воспитывающая и развивающая);
2) особенности содержания изучаемого материала (сложность, новизна, характер);
3) особенности учащихся класса (уровень развития мышления. уровень знаний, умений, сформированность навыков учебного труда уровень воспитанности учащихся и др.);
4) оснащенность кабинета дидактическими материалами, техническими средствами обучения;
5) эргономические условия (время проведения урока по расписанию, наполняемость класса и т. д.);
6) индивидуальные особенности учителя (черты характера, уровень овладения тем или другим методом, его отношения с классом)".
Учебный процесс предполагает органическое единство средств методов и приемов работы с организационными формами обучения Каждому методу, приему обучения соответствует своя организационная форма, определяющаяся отношениями между учителем и учащимися и учащихся между собой.
Учитель управляет всей учебной деятельностью на уроке, используя при этом общие (работа со всем классом), групповые (звено, брига да и т. д.) и индивидуальные формы ее. Указанные выше формы организации учебной деятельности выступают на уроке в различных сочетаниях и последовательностях.
В современных условиях обучения достаточно четко ставится вопрос о применении таких организационных форм работы на уроке которые обеспечивали бы эффективное приобретение не только знаний, умений и навыков, но и ценного опыта нравственных и коллективистских отношений.
Огромная роль здесь принадлежит коллективным формам работы которые позволяют уплотнять время урока, создают ситуации взаимообучения учащихся и существенно влияют на развитие личности.
О структуре урока. Рассматривая урок с точки зрения логики процесса обучения, мы придем к понятию "структура урока". В дидактике исследуется понятие "общая дидактическая структура", сущность и компоненты которой усматриваются из схемы: Актуализация прежних знаний и способов действий Формирование новых знаний и способов действий Применение - формирование умений и навыков
Число компонентов общей структуры неизменно - их всегда три. Будем говорить теперь о структуре конкретного урока математики. По сути своей она остается той же, но форма ее может быть изменена в силу многих причин. Одна из таких причин - это необходимость детализации компонентов общей структуры.
Каждый из компонентов общей структуры слишком широк по содержанию и объему. Например, под актуализацией прежних знаний и способов действий понимается не только воспроизведение ранее изученных знаний и способов действий, но и их применение в новых ситуациях, стимулирование познавательной активности учащихся, проверка учителем уровня усвоения знаний и т. д. Столь же широки два других компонента общей структуры урока. Разукрупняя компоненты общей дидактической структуры, мы фактически получаем более конкретные шаги (этапы) процесса обучения на уроке, которые могут выступать в различных последовательностях и взаимосвязях.
Используя понятие "структура урока математики", важно выделить из множества возможных основные этапы урока :
1. Постановка цели урока перед учащимися.
2. Ознакомление с новым материалом.
3. Закрепление нового материала: а) на уровне воспроизведения информации и способов деятельности, б) на уровне творческого применения и добывания знаний.
4. Проверка знаний, умений и навыков.
5. Систематизация и обобщение изученного материала (по теме, разделу и т.п.).
Для каждого урока обязательным является первый этап - постановка цели, выбор остальных обусловлен целью урока.
Опираясь на мотивы учения, необходимо привлечь учащихся к предстоящей на уроке работе, вызвать потребность в познании, в самоконтроле и самооценке своей деятельности и т. д. В течение всего урока учитель изучает реакцию учащихся на все происходящее на уроке.
Мы знаем, что отдельный урок - это только одно звено в цепи других уроков по данной теме или разделу школьного курса. Но, с другой стороны, урок и даже каждый его этап - это нечто целое, законченное.
Основные требования к уроку математики. Анализ структуры урока показывает, что ведущую роль в ней играет цель урока: именно цель урока определяет его структуру, задает отношение между этапами урока, соподчиняет их и объединяет в единое целое.
Итак, одно из главных требований к уроку - его целенаправленность.
В литературе по методике преподавания математики можно найти конкретные рекомендации по постановке общей цели урока, суть которой сводится к следующему: вначале выделяется основная дидактическая (учебная) цель, исходя из которой выявляются возможности для установления целей воспитания и развития учащихся на уроке математики через его математическое содержание.
Целенаправленно и планомерно должно осуществляться не только обучение математике, но и воспитание на уроках математики.
Для практики обучения очень важно, чтобы цель урока, поставленная учителем, была понята учеником. Осознанные учеником цель, учебная познавательная задача помогают ему действовать активно и ускоряют процесс получения результата своих действий.
Очевидно, что одна структура урока может обеспечить более интересную и активную деятельность учащихся, чем другая. И надо стремиться к тому, чтобы урок оптимально обеспечивал активную познавательную деятельность учащихся.
Общая цель урока (единство обучения, воспитания и развития) порождает новые по содержанию и структуре уроки математики. Кратко опишем структуру двух уроков, проводимых с целью "учить учиться".
Пример 1. Учитель X. в системе уроков, проводимых в младших классах с целью "учить учиться", предусматривает специальные уроки: "Как я учу уроки по математике".
В один день недели у пятиклассников было запланировано провести два урока математики. На первом уроке вводилось новое для учащихся правило сложения рациональных чисел с разными знаками и делались первые шаги по выработке умений применять полученное правило на практике. В конце первого урока пятиклассники получили задание на дом: проработать текст учебника, выполнить упражнения. Учащиеся выполняли его не дома, а на следующем уроке математики.
Учитель дает целевую установку: "Ребята, сейчас мы будем вместе выполнять домашнее задание".
Договорились о последовательности его выполнения: прежде всего необходимо проработать текст из учебного пособия, затем выучить правило сложения, но не путем многократного повторения его, а в процессе выполнения упражнений, проговаривая правило вначале вслух, а потом про себя.
Учащиеся с IV класса учатся читать учебную книгу по специальному образцу, подробное описание которого можно найти в книге Н. И. Борисова.
Каждый ученик имеет в учебнике закладки - чистые полоски бумаги, длины которых совпадают с длиной страницы, а ширина - с шириной ее поля. Одна такая полоска совмещается с полем читаемой страницы. Чтение текста ведется с карандашом в руках. При первом чтении на пронумерованной полоске делаются разметки прочитанного: главная мысль, например, отмечается круглыми скобками, особо важные места - восклицательным знаком или двумя вертикальными чертами и т. п. При повторном чтении ученик стремится разобрать трудные места в тексте, перечитать главные мысли, сформулировать основные вопросы и записать ответы на них в рабочей тетради и т. д.
В работе над текстом прошлого урока учащиеся отметили самое главное - правило сложения и образцы выполнения действия. Затем в соответствии с образцами, проговаривая шаги, указанные в правиле, они выполняют сложение.
Так постепенно учащиеся приобретают умения "учить уроки".
Пример 2. В старших классах возможно, исходя из допущения, что ученики умеют извлекать новые знания из математической книги, построить урок так, что на первый план выступает обсуждение нового материала, который изучался учениками самостоятельно дома. Учащиеся вначале задают вопросы по самостоятельно проработанному новому материалу, показывают, как они выделяли главное, делали выводы и т. д.
Второе важное требование к уроку математики - это рациональное построение его содержания. Бесспорно, что на уроке математики главным является его математическое содержание, которое должно глубоко отражать логику данного учебного предмета и быть определяющим во всем, что делается на уроке. Именно на базе математического содержания урока формируются у учащихся три вида умений и навыков: математические, общеинтеллектуальные (приемы умственной деятельности), умения и навыки учебной деятельности.
Важно обучать учащихся не столько математическим фактам самим по себе, а приобщать учащихся к методам математики, развивать у них мышление.
Если, например, планируется познакомить учащихся на уроке с новой теоремой и ее доказательством, то на все содержание урока надо посмотреть с точки зрения обучения дедуктивным умозаключениям, общим методам доказательства и т. п. Это же математическое содержание учитель анализирует и с точки зрения возможностей продвижения учащихся в овладении учебными действиями, например действиями "получение следствий" и "подведение под понятие".
Обучение всем видам содержания, умений и навыков должно вестись планомерно, в определенной системе.
В каждом уроке важно выделить стержневую идею его математического содержания и вокруг нее сгруппировать все остальное. Третье требование к уроку - это оптимальный выбор средств, методов и приемов обучения и воспитания на уроке.
Большая роль в отборе средств, методов и приемов работы на уроке отводится учителю. Успех дела зависит здесь во многом от того, насколько глубоко проникает учитель в специфику учебного материала, насколько умело ставит учебные познавательные задачи, учитывая при этом уровень общей и математической подготовки учащихся, их личностные качества и прогнозируя результаты использования того или иного средства, метода или приема.
Выбирая средства, методы и приемы обучения, необходимо помнить, что нельзя их универсализировать. Ни одно из средств, ни один из методов, взятых изолированно, не смогут обеспечить достижения целей обучения.
Специфика самого предмета "математика" такова, что основным в обучении являются наглядно-вербальные средства в различных сочетаниях. Урок математики характеризуется комплексным применением наглядных и технических средств обучения.
Насущные задачи самообразования усилили роль печатных средств на уроках математики. В частности, усилено внимание к работе с учебной книгой непосредственно на уроке. Об этом уже шла речь выше.
Абстрактный характер математических понятий затрудняет восприятие их учащимися. Одним из средств преодоления затруднений такого рода является моделирование.
В школьном курсе математики для раскрытия сущности понятий и отношений между ними используются модели различного вида: предметные, графические, знаковые и др. Среди разнообразия их важно уметь выделять главные, основные. К таким можно отнести координатную прямую, координатную плоскость и др.
В методической литературе нередко встречается термин "опора", который трактуется как вспомогательное средство обучения. Так, вышеупомянутые модели по сути своей есть также своеобразные опоры. В каждой теме школьного курса математики можно выделить различного рода опоры (наглядно-образные, условно-символические и др.), назначения которых весьма разнообразны. На уроках математики каждый раз, когда встает проблема рассказать просто о сложном, используются наглядно-образные опоры (рисунки, чертежи, подчеркивающие самое главное, характерное для данного явления или понятия).
Опоры различного рода могут строить сами учащиеся. Например, они могут дать схему доказательства теоремы или решения задач какого-то вида.
Урок математики характеризуется разнообразием форм организации учебной деятельности учащихся.
Задачи самообразования, самоконтроля и самооценки своего труда требуют развития индивидуальных форм организации учебной деятельности.
Берутся на вооружение и групповые формы работы учащихся на уроках. Правильно организовать работу учащихся в группах - серьезная oметодическая проблема. Недопустимо, чтобы активными в неоднородных группах были только более сильные учащиеся, чтобы они навязывали другим членам группы свои мнения, решения проблем, давали списывать готовые решения задач и т. п. Непродуманная групповая работа может нанести большой вред обучению и воспитанию. Хорошо, если сильные направляют работу более слабых учащихся данной группы, помогают им продвигаться вперед, следят за успехами других.
В зависимости от поставленной цели группы могут формироваться весьма различными способами.
Типы уроков. В современной дидактической и методической литературе чаще всего применяется классификация по основной дидактической цели урока.
Пусть основная дидактическая цель урока - это ознакомление учащихся с новым материалом. В соответствии с этой целью центральным этапом урока является ознакомление с новым материалом. Остальные этапы могут либо отсутствовать, либо быть менее значимыми по сравнению с основным.
Если основная дидактическая цель урока - закрепление изученного материала, то урок естественно отнести к виду уроков по закреплению знаний и т. д. Идя таким путем, мы получим четыре основных типа уроков математики:
1. Урок по ознакомлению с новым материалом.
2. Урок по закреплению изученного.
3. Урок проверки знаний, умений и навыков.
4. Урок по систематизации и обобщению изученного материала. Заметим сразу, что рассматриваемая классификация исключает уроки комбинированного типа.
Возможны разновидности указанных выше основных типов уроков. Например, урок по закреплению знаний делится на два подтипа: урок тренировочного характера и урок творческого применения знаний. Такое подразделение связано с репродуктивным и продуктивным уровнями применения знаний. Но это не означает, что урок тренировочного характера не содержит продуктивных методов, а на уроке творческого применения знаний исключаются репродуктивные методы.
При обучении математике закрепление знаний проходит в основном через решение задач, поэтому уроки закрепления знаний называют уроками по решению задач.
В практике обучения довольно часто выделяют и говорят как о самостоятельных видах об урокахлекциях, уроках самостоятельной работы учащихся, уроках общественного смотра знаний и др.
Рассматривая эти уроки с точки зрения их основной дидактической цели, мы видим, что все они являются лишь разновидностями одного из четырех указанных выше основных типов. Урок-лекция - это урок по ознакомлению с новым материалом, а урок общественного смотра знаний - урок проверки знаний, умений и навыков и т. д. Рассмотренная классификация уроков по их основной дидактической цели не лишена недостатков. Например, названия основных типов уроков в этой классификации ничего не говорят .ни о внутренней организации учебного процесса, ни о способах проведения урока, Вот почему для характеристики уроков используются различные классификации и даже их совокупности.
На практике, кроме выше рассмотренной, получила распространение еще классификация уроков по способам их проведения.
Здесь выделяются, например, урок повторения, урок-беседа, урок - контрольная работа, комбинированный урок и т. д.
Чаще всего, характеризуя какой-либо конкретный урок, исходят из двух классификаций - по основной его дидактической цели и по способам проведения. Например, в самом названии "урок-лекция" усматривается и его основная цель, и способ его проведения.
Бесспорно, что ни одна из классификаций не может всесторонне и исчерпывающе охарактеризовать урок.
Глава 10
Средства обучения математике. Кабинет математики
Наглядные пособия и технические средства информации прямой связи в преподавании математики
Технические средства обратной связи в обучении математике
Наглядные пособия и технические средства информации прямой связи в преподавании математики
Наглядность в преподавании математики. Модели и таблицы. Технические средства прямой связи для статической демонстрации (эпи- и диапроекторы, кодоскопы) и дидактические материалы к ним. Кино и телевидение в преподавании математики
Облегчение восприятия и усвоения учащимися математических знаний может быть достигнуто разумным использованием различных средств и пособий наглядности - моделей, таблиц, чертежей и рисунков, предназначенных для показа с помощью разнообразных проекционных устройств, демонстрацией специальных кинофильмов и т. д.
Однако чрезмерно частое использование средств наглядности может привести к задержке развития у школьников абстрактного мышления, затруднениям при решении задач, требующих развитого пространственного представления, и т. д.
Естественно, невозможно дать универсальные рецепты "соблюдения меры" в использовании тех или иных средств наглядности. В каждом отдельном случае эта мера определяется практически. Пусть, например, решается некоторая стереометрическая задача в классе. Сначала учащиеся должны самостоятельно вычертить чертеж по условию задачи. Некоторые справляются с этим заданием, другие затрудняются. Используя пространственные представления учащихся, учитель пытается добиться выполнения этого задания, проводя дополнительное объяснение. Для тех, кто все еще не понимает задачу, выполняется чертеж на доске, демонстрируется кадр диафильма или диапозитив или же показывается модель.
В другом случае, когда, например, ученики впервые знакомятся с тем или иным понятием, например геометрическими фигурами, целесообразно провести демонстрацию этих понятий по модели на более раннем этапе изложения. Но учителю не следует стараться любой вопрос, любую задачу подкреплять соответствующей наглядностью в той или иной форме.
В распоряжении учителя математики в настоящее время имеются различные средства наглядности, выпускаемые промышленностью. В этих условиях необходимость в изготовлении самодельных наглядных пособий понемногу уменьшается, но вряд ли отпадет совершенно.
Во-первых, изготовление некоторых средств наглядности может быть легко связано с решением ряда вычислительных и геометрических задач и проводиться лабораторно. В этом случае нельзя пренебрегать обучающей функцией этой работы. Мы имеем в виду прежде всего изготовление разнообразных многогранников, тел вращения и особенно их разверток. Важность умения практически рассчитать развертку совершенно очевидна.
Во-вторых, "номенклатура" наглядных пособий, которые могут быть легко изготовлены на месте, всегда шире, чем фабричных, и в значительной мере зависит от вкусов, взглядов умений самого учителя. В преподавании математики можно выделить следующие средства наглядности: а) модели и макеты; б) (настенные) таблицы; в) диапозитивы (слайды), кодограммы и дидактические материалы для эпипроектирования; г) диафильмы; д) кинокольцовки, кинофрагменты и кинофильмы. Средствами наглядности могут служить также разнообразные геометрические, вычислительные и измерительные приборы, которые мы специально рассматривать не будем. Хотя различные средства наглядности обладают большим сходством дидактических функций, можно заметить и некоторые особенности в практическом использовании каждого из них.
Плоские и объемные модели хорошо известны каждому преподавателю математики. Они представляют собой натуральные объекты для наблюдения и непосредственного изучения и применяются во всех классах. Эффективность применения моделей становится особенно ясной, если вспомнить такие образцы, как шарнирные параллелограмм и ромб, равносоставленные фигуры, треугольник, основание которого сохраняется постоянным, а вершина перемещается параллельно основанию (стороны его образуются резиновой нитью или шнуром) - в планиметрии, динамические модели тел вращения, модели многогранников, различные стереометрические наборы, прозрачные и полупрозрачные модели сечений, вписанных и описанных тел и т. д.-в стереометрии, модель термометра - для демонстрации свойств целых чисел и т. д.
Настенные таблицы по математике используются для решения различных дидактических задач, но основная их особенность - возможность размещения на стенах классной комнаты на длительное время. Многократное их использование обеспечивает более глубокое запоминание содержащегося в них материала, с одной стороны, и дает возможность быстро навести необходимую справку - с другой.
В настоящее время практически каждая школа располагает разнообразными техническими средствами прямой связи, в частности диа- и эпипроекторами, а в самое последнее - время на вооружение школ стало поступать новое мощное проекционное устройство - кодоскоп.
Между диапозитивами и диафильмами много общего. Диафильм, разрезанный на отдельные кадры (слайды), представляет собой основу диапозитива. Но если диапозитивы можно демонстрировать в любой последовательности, которая часто определяется самим ходом учебного процесса, то последовательность демонстрации кадров диафильма является значительно более жесткой. В соответствии с этим диафильмы целесообразнее использовать при изложении материала, требующего определенной логической последовательности, в частности при изложении различных теоретических положений, а также при решении постепенно усложняющихся и тесно между собой связанных задач практического характера. Диапозитивы используются в тех случаях, когда последовательность их применения определяется в ходе работы - например, при решении некоторой задачи обнаружилось незнание учащимися некоторых свойств, которые легко усматриваются с помощью диапроектирования. Тут же извлекается соответствующий диапозитив и демонстрируется. Если намечалось решить несколько тесно связанных между собой задач, но в ходе работы оказалось, что ученики усвоили метод их решения раньше, чем предполагалось, то соответствующие слайды пропускаются. Число диафильмов и наборов диапозитивов, выпускаемых промышленностью, неуклонно увеличивается. Сведения о новых диапозитивах и диафильмах регулярно публикуются в журнале "Математика в школе". Учитель математики должен регулярно пополнять школьную фильмотеку через магазины наглядных пособий.
С помощью эпископов могут демонстрироваться непрозрачные чертежи, рисунки, записи и т. д. Слабая освещенность в этих проекционных устройствах требует специального затемнения помещения. Для демонстрации диапозитивов и диафильмов имеются такие проекционные устройства, как диапроекторы "ЛЭТИ" или "Свет" с мощными источниками освещения, которые можно применять почти без затемнения. В этом смысле применение новых проекционных устройств для демонстрации материалов на прозрачной подложке имеет значительные преимущества, хотя и не заменяет возможностей эпипроекционных устройств.
В последнее время появились новые проекционные устройства -o кодоскопы. Помимо значительно более яркого изображения, кодоскоп имеет ряд важных особенностей и преимуществ, резко отличающих его от проекционных устройств других типов.
Прежде всего, кодоскоп допускает демонстрацию разнообразнейших материалов на прозрачной подложке, в том числе текста и рисунков, заранее заготовленных или наносимых учителем на прозрачную карточку или ленту непосредственно на уроке, в процессе изложения, причем учитель при этом обращен лицом к классу, а изображение проектируется на переднюю стенку класса или непосредственно на классную доску (желательно, окрашенную в светлые тона).
Заранее заготовив изображение основных фрагментов некоторого чертежа и спроектировав его на доску, учитель может уже на доске дочертить недостающие его части, сечения, списанные фигуры и т. д., чем достигается важный педагогический эффект.
Промышленность уже выпускает наборы дидактических материалов для кодоскопов (назовем их кодограммами), кодограммы легко могут быть изготовлены и на месте. Важной особенностью кодоскопа является возможность наложения нескольких кодограмм друг на друга, чем достигается эффект присутствия при построении и создаются большие возможности для составления' условий задач на комбинации геометрических тел, на графическое решение уравнений и их систем, на построение сечений и т. д. Представляет интерес и возможность смещения кодограмм друг относительно друга при их совмещенном показе, например при изложении тем о геометрических преобразованиях.
Новые возможности достигаются при использовании кодоскопа в ходе, опроса учеников. Нескольким ученикам раздаются прозрачные карточки, на которых шариковыми ручками или специальными карандашами ученики записывают ответы. После этого записи учеников демонстрируются через кодоскоп перед всем классом. Если при этом окажется, что требуется внести исправления, ученик возвращается со своей кодограммой на место, где и устраняет недочеты.
Недостаточное количество кодоскопов может быть уже сейчас частично компенсировано довольно простой переделкой в кодоскоп школьного эпидиаскопа. Более подробно о дидактических возможностях кодоскопа говорится в статье "Применение кодоскопа па уроках математики"
Там, где нужно продемонстрировать некоторое математическое свойство в динамике, в процессе изменения некоторого объекта, незаменимой является кинокольцовка, кинофрагмент, кино-фильм. Число дидактических материалов, выпущенных для кино-проектирования, также довольно значительно. Некоторые неудобства причиняет необходимость затемнения помещения при кино-демонстрации. Оно устраняется частично применением "дневных экранов" и "дневных киноустановок", изготовляемых во многих школах. В дальнейшем положение улучшится в результате применения новых мощных источников света, осваиваемых в настоящее время предприятиями, изготовляющими школьное оборудование и киноустановки. Следует помнить общее правило: кинодемонстрация органически вписывается в урок, если она длится недолго. В этом смысле кинокольцовки и короткие кинофрагменты предпочтительнее кинофильмов. Желательно также наличие наиболее характерных кадров кинофрагментов в виде отдельных слайдов - для продолжительной демонстрации их с помощью статических проекторов. Сочетание статического и динамического показа во многих случаях обеспечивает более высокий уровень усвоения.
Некоторые перспективы в области преподавания математики имеет учебное телевидение. Так, телевидение возможно применять для организации серии учебных телепередач с участием наиболее квалифицированных преподавателей одновременно для ряда школ и классов. Отметим, что в течение самого последнего времени в школу начинают проникать замкнутые, т. е. не имеющие выхода в эфир, телевизионные системы. Эти устройства имеют большое будущее для распространения передового опыта, проведения педагогических исследований и т.д., а также в преподавании физики, химии и других дисциплин. Предполагается, что высшей формой организации использования разнообразных технических средств обучения со временем станет школьный технический центр, оборудованный замкнутой телевизионной системой. Из этого центра будет, в частности, удобйо организовать показ кинокольцовок, фрагментов и т. д. непосредственно на экранах телевизоров, расположенных в классных комнатах. В этом случае отпадает проблема затемнения и транспортировки из класса в класс кинопроекционных устройств.
Все возрастающая роль в обучении технических средств, наглядных пособий, вспомогательных дидактических материалов приводит к необходимости создания в каждой школе специализированного математического кабинета (см. [1.63], [1.16]).
Технические средства обратной связи в обучении математике
Роль и место обратной связи в процессе обучения. Способы ввода информации в обучающие устройства. Простейшие технические средства обратной связи. Автоматизированные классы
Проверка знаний и учет успеваемости всегда были важными компонентами процесса обучения на всех уровнях. Но важность этих компонентов становится особенно очевидной в свете кибернетического подхода к интерпретации учебного процесса. Как известно, кибернетика - наука об управлении и связях в сложных динамических системах и процессах, к которым относится и система "учитель - ученик". Под связями здесь подразумеваются прием, преобразование, хранение, использование и передача информации.
С кибернетической точки зрения система "учитель - ученик" в процессе обучения представляется так: объясняя новый учебный материал на основе некоторой развернутой программы своих действий, учитель передает учащимся новые знания, формирует у них необходимые умения и навыки, способность применять полученные знания в практической деятельности. Информационный канал, который при этом используется учителем, называется каналом прямой связи. О степени совпадения фактического состояния ученика, т. е. количества и качества усвоенных знаний, уровня сформированности умений и навыков, с некоторым заданным, эталонным состоянием можно судить на основе информации обратной связи, т.е. педагогического наблюдения и различных форм контроля. Сравнивая эталонное и фактическое состояние учебной деятельности управляемого им классного коллектива, учитель определяет степень их несоответствия (рассогласования). Если эта степень превышает некоторый допустимый предел, учитель вносит коррективы в применяемые им приемы, в форму изложения, рассматривает дополнительные примеры, применяет добавочную наглядность, вообще применяет методы и способы педагогического воздействия, направленные на уменьшение сигнала рассогласования, на активизацию умственной деятельности своих учеников, на мобилизацию их волевых усилий с целью добиться выполнения поставленных учебных и воспитательных задач.
Однако если канал прямой связи достаточно широк и к тому же в течение нескольких последних -десятилетий усиленно вооружается информационными техническими средствами: эпи-, диа-и кинопроекционными устройствами, звукозаписью, учебным телевидением и т. п., то канал обратной связи -от учеников к учителю - значительно уже и обладает заниженной пропускной способностью на самом выходе- у учителя, который не может в достаточно короткий срок воспринять и проанализировать сигналы обратной связи (ОС), поступающие сразу со всех рабочих мест. Это усложняет учителю задачу определения "степени рассогласования", что, в свою очередь, ухудшает его возможности в управлении процессом обучения. Расширение канала ОС на выходе, применение учителем специальных средств ОС, принимающих, сохраняющих и (хотя бы частично) перерабатывающих сигналы ОС от учащихся - важный резерв улучшения условий управления процессом обучения, повышения уровня успеваемости, повышения "коэффициента полезного действия" педагогического труда.
В настоящее время проблеме разработки, совершенствования и внедрения в учебный процесс различных технических средств обратной связи (ТСОС) уделяется весьма значительное внимание Некоторые из них выпускаются серийно и применяются в учебном процессе высшей и средней школы.
Дидактические функции различных ТСОС в значительной мере определяются их конструктивными особенностями, что позволяет нам в рамках, ограниченных данным параграфом, рассмотреть некоторые особенности использования различных ТСОС в преподавании математики, пользуясь следующей упрощенной их классификацией: а) простейшие технические средства ОС; б) электромеханические контролирующие устройства индивидуального пользования; в) автоматизированные классы и г) сложные обучающие комплексы на базе электронных вычислительных машин.
Общей для всех ТСОС является проблема ввода в них информации ОС, т. е. ответов учащихся на поставленные перед ними тем или иным способом вопросы по изучаемому материалу.
Возможности способов ввода информации в ТСОС определяются, вопервых, необходимостью обеспечить простоту сбора, хранения и переработки информации ОС, что вызывает стремление выделить в ответах учеников ту их часть, которая несет основную информационную нагрузку, с другой стороны, ограниченными техникоконструктивными возможностями самих ТСОС различных типов и образцов. В силу этого приходится проявлять подчас изощренность, граничащую с искусством, для того чтобы, пользуясь весьма упрощенным машинным языком, получить достаточно полную и надежную информацию ОС о состоянии знаний, умений и навыков учащихся. Наиболее распространенным в настоящее время является так называемый выборочный способ ввода, имеющий несколько разновидностей. Весьма важный в преподавании математики числовой способ ввода граничит, с одной стороны, с выборочным способом, а с другой - со способами ввода конструированных ответов, которые, в свою очередь, граничат со свободно формируемыми ответами учеников.
1. Общим для всех разновидностей выборочного способа ввода ответов является то, что правильные ответы выбираются учениками из некоторого предложенного им списка. Несмотря на некоторые ограничения, о которых речь будет ниже, в преподавании математики могут применяться разнообразные вопросы с множественным выбором. Применяются следующие разновидности выборочного способа ввода.
а) Ввод ответов на вопрос альтернативного типа (от лат. alterius - один из двух). Несмотря на высокую вероятность угадывания вопросы этого типа могут применяться особенно при фронтальном опросе, когда требуется получить информацию об усвоении нового материала в ходе изложения. Особенно перспективно использование таких вопросов в условиях применения на этом этапе урока контролирующих устройств коллективного пользования - автоматизированных классов. Вот несколько примеров.
Объяснив свойства параллелепипеда, учитель ставит перед классом несколько вопросов:
Является ли правильная четырехугольная призма параллелепипедом? (Ответ имеет вид "да" или "нет" или сводится к этому виду.) Является ли прямой параллелепипед правильной призмой? Может ли основанием прямоугольного параллелепипеда служить ромб? и т. п.
Если ответы на такие вопросы собраны с помощью оборудования автоматизированного класса, учитель может очень быстро сделать достаточно обоснованные выводы о степени понимания и усвоения учащимися того или иного учебного материала. Распределение правильных и неправильных ответов на несколько подобных вопросов позволит выяснить причины основных ошибок, а на этой основе более целенаправленно управлять учебным процессом в ходе изложения нового материала. Появляется также возможность выставления оценки каждому ученику в соответствии с проявленным им вниманием и прилежанием.
б) Богатые возможности представляются при применении вопросов выборочного типа. когда на каждый вопрос приводится или предполагается несколько ответов, из которых, как правило, только один верный.
Вот пример. Вычислить на счетной линейке с точностью до 0,01.
Ваш ответ: 1) 0,279. 2) 2,793; 3) 0,28. 4) 2.79. Легко заметить, что в этом примере значащие части почти одинаковы, отличие их в точности и порядке. Ответ, который вводится в контролирующее устройство с помощью числового кода, представляющего собой номер правильного, по мнению ученика, ответа, должен выявить здесь умение ученика расположить движок в нужном для извлечения корня из 7,8 положений, определить порядок результата, указать ответ с заданной точностью. В этом случае против применения вопроса с множественным выбором не возникает возражений.
в) Против выборочных вопросов приведенного выше типа иногда выдвигаются возражения не очень, правда, обоснованные, что приводимые среди ответов для выбора ошибочные ответы могут приниматься учениками в качестве верных. Это опасение устраняется в перекрестновыборочных разновидностях этого способа ввода, когда в ходе решения приходится установить соответствие между элементами множества вопросов и множества ответов на них. Вот характерные примеры:
Пример 1. Установите соответствие между количеством граней многогранников, названных в левой колонке, и числами в правой колонке. (В качестве ответов последовательно введите коды чисел правой колонки.) 1. Четырехугольная пирамида
2. Октаэдр.
3. Икосаэдр.
4. Параллелограмм.
5. Додекаэдр. 20.
5.
12.
8.
6.
г) Остановимся еще на одной разновидности перекрестно-выборочиого способа ввода, которую назовем условно аддитивно-выборочной. Для того чтобы заставить ученика подвергнуть анализу совокупность нескольких вопросов, можно поступить так.
Среди приводимых ниже функций выбрать только четные. В качестве ответов ввести номера (коды) четных функций и их сумму.
у=5х2+cos x
у=2x2-5
y=(x-2)/(x+3)
у=tg x-sin x
y=(cos x +2)/(x2+4)
y=2+tg x
В качестве ответа на данный вопрос следует ввести числа 1, 2 5 или 1+2+5) = 8. Последнее число получится только после анализа всей совокупности вопросов. К сожалению, не во всех конструкциях ТСОС ввод этой разновидности выборочного способа осуществляется достаточно просто.
Весьма совершенным в условиях преподавания математики способом машинного ввода является так называемый числовой ввод когда ответом служит некоторое натуральное число, определяющееся в ходе решения. Числовой способ ввода можно рассматривать как расширение выборочного ввода: ответом служит одно из ограниченного множества чисел (первого десятка, сотни и т.д.). В случае, если в качестве ответов получаются дробные или иррациональные числа, можно применить число- кодированный ввод.
Вот несколько примеров. 1. Чему равен корень уравнения
(Ответ. Число 2 определяется решением. Это число и вводится в ТСОС.)
2. Решите уравнение х+lg(1+2x )=х lg 5+lg 6.
(Ответ. 1 - определяется и вводится в ТСОС.) Оба примера демонстрируют естественность применения числового ввода при решении уравнений.
3. Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего угла, образует с основанием угол в 45°. Сторона основания 1 см. Определите площадь боковой поверхности.
Примечание. Перед вводом результат разделить на . Здесь полученный в результате решения ответ 3 после деления на определяется числом 3, которое и вводится в машину. Это образец число-кодированного ввода.
Числовой и число-кодированный ввод, как уже упоминалось, граничит с одной стороны с выборочным вводом, а с другой - с так называемым конструируемым вводом, когда ответ составляется учащимися тем или иным способом из нескольких закодированных компонентов. В качестве примера рассмотрим применение одной из разновидностей конструируемого ответа результативной.
Выполните следующие упражнения на применение основных соотношений между элементами треугольника. а) Вычислите площадь ромба по его стороне а и острому углу . б) Определите высоту дерева, если наблюдатель, удаленный на а метров от дерева, видит его вершину под углом (ростом наблюдателя пренебречь). в) Определите площадь параллелограмма, если известны его диагонали а и b и угол между ними .
Примечание. Ответ ввести в виде суммы кодов составных частей полученных выражений, воспользовавшись приведенной таблицей:
величина
Код
Действия
Код
а
b
a2
sin
1§а
2
1
2
3
4
5
6
Умножить
Разделить
7
8
Ответы будут иметь такой вид и код: а) a2*sin 3+7+4=14
б) а*tg 1+7+5=13
в) (аb*sin)/2 1+7+2+7+4+8+6 = 35
В связи с громоздкостью и сравнительно сложным машинным языком, таящим опасности неоднозначного выражения ответа, этот способ ввода применяется сравнительно редко, хотя некоторые ТСОС специально рассчитаны на его применение.
К простейшим ТСОС следует отнести, прежде всего, различные устройства типа перфопакетов и перфокассет. В простейшем случае перфопакет представляет собой конверт из плотной бумаги или картона, в котором имеется некоторое количество рядов отверстий диаметром 6-8 мм. Каждый ряд и столбик пронумерованы: ряды, например, индийскими цифрами 1, 2, 3, 4, ..., а столбики-римскими I, II, III, IV....
При использовании выборочного способа ввода ответов в каждом столбике можно ограничиться 4-5 отверстиями. В случае, если, кроме выборочного метода ввода, предусматривается также применение числового и число-кодированного ввода, число отверстий в каждом столбике доводится до 10. Количество столбиков может быть разным- обычно 10.
Для фиксации ответов в пакеты вкладываются чистые листы бумаги (контрольные листы); задания предъявляются фронтально всему классу, или, что лучше, на отдельных карточках каждому ученику. Работая над своим заданием, ученик вводит найденные им ответы пометками на контрольном листе в соответствующих отверстиях.
Например, необходимо установить, какие из чисел нижеприведенного списка делятся на 7: 1) 864913; 2) 53832:3) 76131; 4) 376922; 5) 137831. Найдя в этом случае, что соответствующие числа имеют номера 1 и 4, ученик перечеркивает контрольный лист в отверстиях 1 и 4 первого столбика.
Следующий пример характеризует применение числовой формы введения ответов (в перфопакете с 10 отверстиями в каждом столбике).
Найти наибольший общий делитель чисел: 1) 2310; 2) 15015; 3) 3927.
Ответ ввести в 1-III столбики.
Правильный ответ 231 вводится учеником поразрядно в три столбика. После окончания работы учитель собирает перфопакеты и проверяет правильность ответов. Проверка ускоряется тем, что в ответах выделяется только то, что несет основную информационную нагрузку. Естественно, что в сомнительных случаях требуется полная проверка, которая ускоряется применением шаблонов, дешифровочных перфокарт (с заранее нанесенными правильными ответами).
Недостатком описанных перфопакетов является отсутствие внутренней обратной связи (ученик не может получить немедленно после введения своего ответа подтверждения его правильности) и отсутствие внешней оперативной обратной связи (информация о выполненной работе поступает к учителю после окончания работы учеников). С помощью таких устройств удобно проводить короткие самостоятельные работы на закрепление проработанного материала в конце урока.
Для обеспечения внутренней обратной связи применяются перфопакеты. Здесь верные ответы нанесены на дополнительный лист, отделенный от контрольного дополнительной перфокартой. Ученик, разрывая контрольный лист в отверстиях, соответствующих, по его мнению, правильному ответу, убеждается в его правильности. Чтобы ученик не смог подсмотреть правильные ответы на кодировочном листе, перфопакеты предварительно "пломбируют", например прошивают ниткой определенного цвета.
Значительное распространение в высшей и отчасти средней школе получили электромеханические контролирующие устройства различных конструкций. Наиболее известны в нашей стране "Ласточки", "КИСИ-5" и "Альфы" (на рис. 1 изображена машина К-53 "Ласточка").
1. Кнопки ввода кода ответов.
2. Кнопка сброса до оценки.
3. Билетные поля 1-5 билетов.
4. Билетные поля 6-10 билетов.
8. Крышка билетных полей.
6. Кнопка сброса после оценки
7. Оперативный ключ.
8. Кнопка вызова оценки.
9. Лампа готовности оценки.
10 Индикаторы последовательности
Большинство контролирующих устройств электромеханического типа слишком дороги, обеспечивают лишь выборочный способ ввода ответов и плохо приспособлены для помощи учителю в управлении процессом обучения, они предназначены скорее для индивидуализированной самостоятельной работы вне аудитории и для заключительного контроля. Значительно более приспособлены для классно-урочной работы комплекты устройств оперативной обратной связи коллективного пользования - автоматизированные классы (АК), не совсем верно называемые иногда классами программированного обучения. Хотя в некоторых конструкциях этих классов и осуществляется контролируемое обучение по программированным материалам, основное их назначение - активизация умственной деятельности учащихся в процессе изучения нового материала, организация фронтальной работы по проверке домашнего задания и по закреплению проработанного материала, а также организация управления индивидуализированной самостоятельной работой учащихся.
Существуют -различные конструкции АК, обеспечивающие выполнение разного набора дидактических функций. Некоторые из них уже начали выпускаться серийно (например, "Львов-2"), другие без больших затрат могут быть изготовлены в школьных мастерских, например "Николаев-10"
Среди различных режимов проведения занятий в А К особое внимание привлекает самостоятельная работа над индивидуализированными заданиями учебно-тренировочного характера, в том числе над разветвленными программированными материалами.
В АК эта работа проводится так: перед началом самостоятельной работы учитель сообщает всем учащимся сведения, необходимые для ее выполнения. (Часть этих сведений, впрочем, может быть включена в текст заданий.) Затем каждый получает свой вариант задания. Число вариантов таких заданий в АК описываемой конструкции может быть любым, обычно ограничиваются шестью вариантами. Так как рабочие места можно закрепить за определенными учениками, задания могут быть дифференцированы в соответствии с индивидуальными особенностями учеников по трудности и оформлению. Приступив к работе, ученики по мере выполнения упражнений вводят числовым кодом свои ответы в свои пульты, и уже через несколько минут на ЦП учителя возникает своеобразная световая столбчатая диаграмма выполнения задания коллективом всего класса в динамике. (Естественно, что каждый ученик работает в наиболее доступном ему темпе, причем оборудование обеспечивает поэтапную оперативную внутреннюю обратную связь.) Следя за индикацией, учитель видит, кто из учеников в каждый данный момент занятия нуждается более других в его педагогическом воздействии - совете, консультации, внушении и т. п. Вызывая с помощью специальной сигнализации ученика к себе или подойдя к нему непосредственно, учитель устраняет причины отставания данного ученика и переходит к помощи другому. Интенсивность работы как учеников, так и учителя значительно повышается, одновременно повышается и "коэффициент ее полезного действия". Сразу же в конце занятия учитель может подвести его итоги, выставить оценки, отставшим дать дополнительное задание домой и т. д. Более полная информация, которую можно использовать не только для текущей оценки успеваемости, но и для сбора количественной информации об экспериментальной работе, может быть получена просмотром контрольных листков учащихся на их индивидуальных пультах.
Аналогично организуется работа и в режиме проверки домашнего задания, когда ученики получают задания, цель которых проверить усвоение домашнего задания и степень подготовки к восприятию нового материала, и в течение 10-15 минут отвечают на него каждый самостоятельно, учитель же получает немедленно сведения об этой работе и учитывает их при изложении нового материала.
Глава 11
Проверка и оценка знаний учащихся
Цели и задачи проверки и оценки знаний учащихся по математике. Проверка домашних заданий. Устная проверка знаний учащихся. Письменные работы и их проверка. Тестовые формы проверки знаний, умений и навыков учащихся по математике
Проверка и оценка знаний учащихся по математике
Проверка знаний, умений и навыков учащихся в процессе обучения математике имеет важнейшее обучающее и воспитательное значение. Прежде всего, проверка знаний, умений и навыков позволяет выявить уровень успеваемости, т. е. степень усвоения учебного материала, полноту, глубину, сознательность и прочность знаний на разных этапах обучения, и обеспечивает таким образом накопление информации, необходимой для направленной деятельности по устранению несоответствия между заданным и истинным уровнем знаний, для управления процессом обучения. Проверка знаний, умений и навыков учащихся повышает их учебную дисциплину, побуждает к активизации умственной деятельности по усвоению материала, способствует выработке сознательного отношения к регулярному труду.
На разных этапах обучения проверка знаний может иметь разное целевое значение. Пожалуй., наиболее важной является систематическая текущая проверка состояния успеваемости, при рациональной организации которой учитель получает в свое распоряжение ценнейшие данные о наличии пробелов в знаниях учащихся и немедленно использует эти данные для устранения пробелов и недочетов. Важное значение имеет также проверка усвоения темы, раздела или проверка на заключительных этапах обучения - в конце четверти, в конце года и по окончании школы.
Результаты проверки успеваемости выражаются в условных баллах, а также в оценочных суждениях учителя. В советской школе принята пятибалльная шкала оценок. При выставлении оценок успеваемости руководствуются утвержденными органами народного образования нормами оценок.
Следует отметить, что существующие нормы оценок весьма условны: один и тот же ответ, одна и та же работа разными учителями оценивается поразному. С другой стороны, пятибалльная система оценок в некоторых случаях, особенно при проведении тонких дидактических экспериментов, при проверке новых пособий, новых методов и средств, оказывается недостаточно чувствительной.
Методы проверки домашних заданий различны. Это и устный опрос у доски или с места по домашнему заданию, и короткая письменная работа, но прежде всего это непосредственная проверка задания в тетрадях - беглая, фронтальная при обходе класса в начале урока и более основательная, выборочная во внеурочное время.
Сопутствующий проверке домашнего задания устный опрос не всегда достаточно экономен - некоторая часть учеников в это время отключается от участия в учебном процессе. Поэтому опытные учителя стараются сочетать устные и письменные формы проверки знаний учеников перед изложением нового материала так, чтобы загрузить в это время работой всех учеников в классе.
Положение облегчается, если применять специальные технические средства проверки знаний учащихся, с помощью которых сведения о проделанной работе могут быть быстро собраны.
Устная проверка знаний учащихся может применяться на разных этапах урока, в том числе и при проверке усвоения домашнего задания, о чем уже шла речь выше. По организационным формам устная проверка может быть индивидуальной и фронтальной. При индивидуальной проверке в течение определенного времени опрашивается только один ученик. Во время опроса могут быть проверены основательно знания данного ученика со всех точек зрения: полноты, глубины, сознательности и прочности, умения и правильности выразить их в устной речи и т. д. Весьма важно в ходе индивидуального опроса не допустить бездействия других учеников - их загружают в это время другими видами работы.
Фронтальная устная проверка знаний учеников может также применяться на разных этапах урока, но лучше всего ее применять для активизации познавательной деятельности учеников, мобилизации умственных и волевых усилий их на овладение учебным материалом в процессе его изложения. Характерным для фронтальной устной проверки знаний является то, что вопросы, как правило, ставятся всему классу. В обычных условиях отвечает на эти вопросы кто-нибудь один, но применение оборудования автоматизированных классов позволяет учителю воспринять и ответы всех учеников одно временно.
О роли частной и оперативной проверки знаний в процессе обучения уже говорилось. Одним из средств такой проверки являются кратковременные письменные работы. Применение этого вида проверки позволяет загрузить самостоятельной работой сразу всех учеников, а в результате его выполнения получить значительную информацию об успеваемости учеников в данный момент времени. Кратковременные письменные работы могут быть совмещены с устным индивидуальным опросом. Такие работы лучше проводить по нескольким вариантам, заимствуя их из дидактических материалов или составленные заранее учителем (обычно 4-6), варианты раздаются всем ученикам в классе. Такие работы могут проводиться в начале урока - для мобилизации внимания и привлечения знаний учащихся к восприятию нового материала, но лучше проводить их в конце урока - на закреплении проработанного материала.
Особый вид письменной работы представляют собой так называемые математические диктанты, целью которых является научить учащихся использованию математической символики, сознательному переходу от устного оформления математических выражений к письменному, к буквенной символике, закрепить в сознании учащихся порядок действий и конструкцию наиболее распространенных алгебраических выражений. Сущность этого вида работы в том, что учитель читает словесный текст, а ученики записывают его с помощью известной им математической символики.
Время от времени в процессе обучения математике практикуется проведение более длительных контрольных работ, на которые отводится один, а иногда и два смежных урока. В ходе таких работ может быть проверен относительно большой комплекс знаний по целой теме или разделу. Такие работы практикуются также в конце четверти или учебного года по совокупности всего материала, проработанного за данный период времени. Можно выделить несколько видов таких работ: а) работы на решение задач и упражнений; б) выполнение чертежей и графиков; в) работы по теоретическому материалу (вывод формул, доказательство теорем, ответы на другие вопросы теоретического характера); г) комбинированные письменные работы с (или без) подробным объяснением.
В связи с тем что эффективность процесса обучения зависит от частоты и оперативности, с которой учителем контролируется ход и степень усвоения учащимися учебного материала, в настоящее время большое внимание уделяется совершенствованию средств и методов контроля.
В частности, исследуется возможность применения в преподавании математики тестовых форм контроля знания. Слово "тест" (англ. test - проба, проверка, испытание) в нашей литературе обычно употребляется в следующем смысле: "тест - это кратковременное, технически просто обставленное испытание, проводимое в равных для всех испытуемых условиях и имеющее вид такого задания, решение которого поддается количественному учету и служит показателем степени развития к данному моменту известной функции у данного испытуемого"
Проведение предварительно проверенных тщательно составленных тестов исключает влияние преподавателя, проводящего тесты, на оценку успеваемости учащегося. Результаты тестирования лучше поддаются статистической обработке, чем балльные оценки; качество самих тестов также может быть проверено математико-статистическими методами.
Каждый тест состоит из вопросов и ответов, подобранных и построенных в соответствии с определенными принципами. Характер вопросов в значительной степени определяется спецификой и логикой того учебного предмета, для проверки которого данный тест предназначается.
Вопросы тестов можно свести к двум основным типам: основанные на узнавании и основанные на припоминании и дополнении.
Наибольшее распространение получили тесты с вопросами первого типа, часто называемые избирательными тестами. К каждому вопросу предлагается несколько ответов на выбор, ученик должен найти среди них правильный.
Среди избирательных тестов, в свою очередь, можно выделить альтернативные тесты, тесты множественного выбора и тесты перекрестного выбора.
Альтернативные тесты сводятся к тому, что ученик должен ответить на предложенный вопрос "да" или "нет". Примеры вопросов альтернативного теста:
1. Является ли правильная четырехугольная призма параллелепипедом? Да, нет (верное подчеркнуть).
2. Делится 3521 на 9?
3. Является ли единица простым числом? и т. д.
Альтернативные тесты применяются реже других разновидностей избирательных тестов. Их применение имеет, однако, определенные перспективы при проведении фронтального устного опроса, особенно при использовании при этом оборудования автоматизированных классов, о чем уже шла речь выше.
Тесты множественного выбора обычно предполагают выбор одного ответа из числа нескольких предложенных. Распространение тестов в последнее время объясняется прежде всего удобством их использования для ввода ответов учеников в различные контролирующие устройства.
Одной из разновидностей избирательных тестов являются тесты перекрестного выбора, или тесты на сопоставление, предназначенные для установления ответов к ним, записанных в произвольном порядке.
Пример. Установите соответствие между количеством граней многогранников, названных в левой колонке, с числом в правой колонке. 1. Четырехугольная пирамида
2. Октаэдр.
3. Икосаэдр.
5. Додекаэдр.
4. Параллелепипед. 1) 20.
2) 5.
3) 12.
4)4.
5) 6
Ваш ответ: 1-2-3-4-5-.
К тестам на сопоставление можно отнести также тесты идентификации, когда вместо словесных или числовых ответов приводятся схемы, графики, диаграммы, чертежи и т. п. Ученик должен распознать изображения и пронумеровать их в соответствии с условием. Пример:
Установите, существует ли соответствие между графиками функции у = ах2 + bх + с (рис. 1) и соотношениями:
а) а < О, = 0;
б) а < О, > 0;
в) а > О, > 0;
г) а > О, = 0 (где - дискриминант).
Сюда же можно отнести и тесты на систематизацию, используемые для определения знания учащимися алгоритмов различных процессов, умения упорядочить те или иные понятия по определенному признаку и т. д. Получили известное распространение и технические средства для их реализации, называемые тренажерами.
Пример. Расположите номера нижеследующих многогранников в порядке возрастания числа их вершин.
1. Параллелепипед.
2. Шестиугольная пирамида.
3. Тетраэдр.
4. Октаэдр.
5. Пятиугольная усеченная пирамида.
Тесты на припоминание и дополнение, т. е. тесты второго типа строятся обычно так: ученику предлагается связный текст, в котором пропущены отдельные числа, слова, формулы или выражения, он должен заполнить пропуски.
Такие тесты используются, в частности, в тетрадях с печатной основой, подобное оформление ответов применяется также в линейных программированных материалах. При машинной проверке знаний ответы к вопросам тестов этого типа вводятся с помощью числового, число - кодированного и результативного способов ввода ответов.
Несколько примеров позволят составить представление об особенностях тестов этого типа.
1. Сторона треугольника, лежащая против прямого угла, называется ............ Это характерный пример из линейного программированного пособия. Ученик должен припомнить и вписать название соответствующей стороны.
2. Дана функция у = х2 - 10х + 2.
Область определения этой функции - интервал ......... График этой функции - кривая, называемая ............ пересекает ось Ох в точке .......... и ось Оу в точке ...... Так как знак коэффициента при старшем члене ............ ветви кривой направлены. .............. . Координаты вершины кривой .......... . Функция принимает положительные значения в интервалах, ..........и отрицательные в ..... . Функция возрастает в................ и убывает в ......
Такой тест характерен для заданий в тетрадях с печатной основой. Вместо оформления полного ответа ученик ограничивается здесь только вписыванием выражений, несущих основную информационную нагрузку, чем достигается экономия времени и учеников и учителя. Изменяя исходные данные, можно пустить в оборот любое количество разных индивидуальных заданий.
Глава 14
Внеклассная работа с учащимися по математике и методика ее преподавания
Общая характеристика внеклассных занятий по математике. Занятия с отстающими. Основные цели внеклассной работы по математике. О содержании внеклассной работы по математике. Основные формы внеклассной работы по математике
Внекласная работа учащихся по математике и методика её проведения
Кружковые занятия по математике и методика их проведения
Работа учащихся с дополнительной литературой при обучении математике
Факультативные занятия по математике и методика их проведения
Внекласная работа учащихся по математике и методика её проведения
Требования, предъявляемые программой по математике, школьными учебниками и сложившейся методикой обучения, рассчитаны на так называемого "среднего" ученика. Однако уже с первых классов начинается резкое расслоение коллектива учащихся: на тех, кто легко и с интересом усваивают программный материал по математике, на тех, кто добивается при изучении математики лишь удовлетворительных результатов, и тех, кому успешное изучение математики дается с большим трудом.
Все это приводит к необходимости индивидуализации обучения математике, одной из форм которой является внеклассная работа.
Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время.
Следует различать два вида внеклассной работы по математике: работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала (дополнительные внеклассные занятия);
работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности (собственно внеклассная работа в традиционном понимании смысла этого термина).
Говоря о первом направлении внеклассной работы, отметим следующее.
Этот вид внеклассной работы с учащимися по математике в настоящее время имеет место в каждой школе. Вместе с тем повышение эффективности обучения математике с необходимостью должно привести к снижению значения дополнительной учебной работы с отстающими. В идеальном случае первый вид внеклассной работы должен иметь ярко выраженный индивидуальный характер и проявляться лишь в исключительных случаях (например, в случае -продолжительной болезни учащегося, перехода из школы другого типа т. п.). Однако в настоящее время эта работа требует еще значительного внимания со стороны учителя математики.
Основной целью ее является своевременная ликвидация (и предупреждение) имеющихся у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики.
Передовой опыт работы учителей математики свидетельствует об эффективности следующих положений, связанных с организацией и проведением внеклассной работы с отстающими.
1. Дополнительные (внеклассные) занятия по математике целесообразно проводить с небольшими группами отстающих (по 3-4 человека в каждой); эти группы учащихся должны быть достаточно однородны как с точки зрения имеющихся у школьников пробелов в знаниях, так и с точки зрения способностей к обучаемости.
2. Следует максимально индивидуализировать эти занятия (например, предлагая каждому из таких учащихся заранее подготовленное индивидуальное задание и оказывая в процессе его выполнения конкретную помощь каждому).
3. Занятия с отстающими в школе целесообразно проводить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий с домашней работой учащихся по индивидуальному плану.
4. После повторного изучения того или иного раздела математики на дополнительных занятиях необходимо провести итоговый контроль с выставлением оценки по теме.
5. Дополнительные занятия по математике, как правило, должны иметь обучающий характер; при проведении занятий полезно использовать соответствующие варианты самостоятельных или контрольных работ из "Дидактических материалов", а также учебные пособия (и задания) программированного типа.
6. Учителю математики необходимо постоянно анализировать причины отставания отдельных учащихся при изучении ими математики, изучать типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении той или иной темы. Это делает дополнительные занятия по математике более эффективными.
Второе из указанных выше направлений внеклассной работы по математике-занятия с учащимися, проявляющими к ее изучению повышенный интерес, отвечает следующим основным целям:
1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям.
2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу.
3. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера. :
4. Воспитание высокой культуры математического мышления.
5. Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.
6. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в технике и практике социалистического строительства.
7. Расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики, о ведущей роли советской математической школы в мировой науке.
8. Воспитание учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной.
9. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников.
10. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего коллектива данного класса (помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими, в пропаганде математических знаний среди других учащихся).
Предполагается, что реализация этих целей частично осуществляется на уроках. Однако в процессе классных занятий, ограниченных рамками учебного времени и программы, это не удается сделать с достаточной полнотой. Поэтому окончательная и полная реализация этих целей переносится на внеклассные занятия этого вида.
Вместе с тем "Между учебно-воспитательной работой, проводимой на уроках, и внеклассной работой существует тесная взаимосвязь: учебные занятия, развивая у учащихся интерес к знаниям, содействуют развертыванию внеклассной работы, и, наоборот, внеклассные занятия, позволяющие учащимся применить знания на практике, расширяющие и углубляющие эти знания, повышают успеваемость учащихся и их интерес к учению. Однако внеклассная работа не должна дублировать учебную работу, иначе она превратится в обычные дополнительные занятия.
Говоря о содержании внеклассной работы с учащимися, интересующимися математикой, отметим следующее.
Традиционная тематика внеклассных занятий ограничивалась обычно рассмотрением таких вопросов, которые хотя и выходили за рамки официальной программы, но имели много точек соприкосновения с рассматриваемыми в ней вопросами. Так, например, при изучении в 6 классе признаков делимости натуральных чисел на занятиях математического кружка рассматривались признаки делимости чисел, не предусмотренные программой (признак делимости на 7, на 11 и т. д.); при изучении геометрических задач на построение циркулем и линейкой на занятиях математического кружка рассматривались геометрические построения при помощи одной линейки и т. п. Также традиционным для рассмотрения на внеклассных занятиях по математике были исторические экскурсы по той или иной теме, математические софизмы, задачи повышенной трудности и т. д.
За последние десятилетия в математике возникли новые направления, имеющие не только большое практическое значение, но и большой познавательный интерес. Экспериментальные исследования, проведенные в ряде школ показали, что многие вопросы так называемой современной математики (в объеме своих начальных понятий) вполне доступны и весьма интересны для изучения их учащимися, даже начиная с 5 класса. На это справедливо указывал Н. Я. Виленкин, предлагая на внеклассных занятиях по математике знакомить учащихся с элементами вычислительной математики, производной и интегралом, основными понятиями математической логики, современной алгебры, комбинаторики, теории информации и т. д. Н. Я. Виленкин рекомендует обращать внимание и на практическую направленность внеклассных занятий и ее занимательность, которые можно реализовать рассмотрением соответствующих задач.
Отметим, что многие из этих вопросов уже нашли свое отражение в программе факультативных занятий по математике; вместе с тем некоторые из них могут быть интересными и доступными для учащихся IV-VI классов.
Происходящее сейчас обновление содержания основного курса математики привело к возникновению тенденции обновления содержания внеклассных занятий по математике, однако это не означает, что следует полностью отказаться от тех или иных традиционных вопросов, которые составляли до сих пор содержание внеклассных занятий и вызывают у учащихся неизменный интерес (например, функции и графики, математические парадоксы и софизмы, неопределенные уравнения, логические и исторические задачи и т. д.).
Можно рекомендовать следующие формы проведения внеклассной работы с учащимися, особо интересующимися математикой:
математические кружки;
математические викторины, конкурсы и олимпиады;
математические вечера; математические экскурсии;
внеклассное чтение математической литературы;
математические рефераты и сочинения; школьная математическая печать.
Говоря об олимпиаде, следует отметить, что до сих пор эта форма внеклассной работы с учащимися являлась своеобразным итогом проделанной работы (чаще всего кружковой). Олимпиада - соревнование, которое, несомненно, стимулирует рост учащихся в смысле их математического образования, воспитывает у них математическое мышление, интерес к математике, настойчивость - желание не отстать от тех, которые успешно справляются с олимпиадным заданием; часто именно участие в олимпиаде и подготовка к ней побуждает учащихся самостоятельной работе, вырабатывает умение работать с научно-популярной литературой и т. д.
Математические олимпиады проводятся на различных уровнях: школьные, районные, городские, областные, республиканские, общесоюзные и международные. В проведении областных и республиканских олимпиад активно участвуют педагогические институты и университеты; общесоюзная олимпиада проводится под эгидой Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Олимпиады также оказывают положительное влияние и на общий уровень преподавания математики, во многом позволяют выявить качество математических знаний учащихся и, кроме того, в какой-то степени ориентируют учителя, характеризуя уровень той математической подготовки, которая считается высокой.
Однако следует обратить внимание на то немаловажное обстоятельство, что олимпиады не являются серьезным источником новой, интересующей учащихся информации и потому не могут считаться основной формой углубленной математической подготовки молодежи.
В последнее время все большую популярность среди учащихся, проявляющих к изучению математики повышенный интерес и способности, завоевывают такие формы углубленной специальной математической подготовки, примыкающие к внеклассной работе, как юношеские математические школы (ЮМШ), заочные математические школы (ЗМШ), школы и классы с математическим уклоном специально для подготовки программистов-вычислителей.
Имея в виду, что каждая из выше перечисленных форм достаточно полно представлена в методической литературе мы ограничимся здесь лишь краткой характеристикой основных форм этого вида работы: математического кружка, внеклассного чтения математической литературы, школ и классов с математическим уклоном.
Назад
Кружковые занятия по математике и методика их проведения
Общая характеристика кружковых занятий по математике
Математический кружок-одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В основе кружковой работы лежит принцип строгой добровольности. Обычно кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако следует иметь в виду, что иногда и слабо успевающие учащиеся изъявляют желание участвовать в работе математического кружка и нередко весьма успешно занимаются там; учителю математики не следует этому препятствовать. Необходимо лишь более внимательно отнестись к таким учащимся, постараться укрепить имеющиеся у них ростки интереса к математике, проследить за тем, чтобы работа в математическом кружке оказалась для них посильной. Конечно, наличие слабо успевающих учащихся среди членов математического кружка затрудняет работу учителя, однако путем индивидуализации заданий, предлагаемых учителем кружковцам, можно в некоторой степени ослабить эти трудности. Главное - сохранить массовый характер кружковых занятий по математике, являющийся следствием доступности посещения кружковых занятий всеми желающими.
Уже при организации математического кружка необходимо заинтересовать учащихся, показать им, что работа в кружке не является дублированием классных занятии, четко сформулировать цели и раскрыть характер предстоящей работы (для этого целесообразно выделить часть времени на одном из уроков математики, с тем чтобы обратиться с сообщением об организации кружка ко всему классу).
На первом занятии кружка надо наметить основное содержание работы, выбрать старосту кружка, договориться с учащимися о правах и обязанностях члена кружка, составить план работы и распределить поручения за те или иные мероприятия (выпуск математической стенной газеты, ведение документации работы кружка и т. п.).
Занятия кружка целесообразно проводить один раз в неделю, выделяя на каждое занятие по одному часу. К организации работы математического кружка целесообразно привлекать самих учащихся (поручать им подготовку небольших сообщений по изучаемой теме, подбор задач и упражнений по конкретной теме, подготовку справок исторического характера, изготовление моделей и рисункЬв к данному занятию и т. д.). На занятиях математического кружка учитель должен создать "атмосферу" свободного обмена мнениями и активной дискуссии. Тематика кружковых занятий по математике в современной школе весьма разнообразна. В тематике кружковых занятий для 5-11 классов находят место вопросы, связанные с историей математики, жизнью и деятельностью российских и зарубежных известных математиков.
Список использованной литературы
Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе / Тобольск, Изд-во ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997 -191 стр.
Ермолаева Н.А. Маслова Г. Г. Новое в курсе математики средней школы / М:, Просвещение, 1978.
Журнал "Математика в школе ".
Ирошников Н.П. Организация обучения математике в 4-5 классах сельской школы : Пособие для учителей ,2-е издание переработано / М: Просвещение, 1982.
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мокрушин Е.Л. и другие. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики / М., Просвещение, 1977.
Методика преподавания математики в средней школе : Общая методика; Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский, -2-е издание переработано и дополнено / М., Просвещение ,1980.
Методические рекомендации по изучению курса методики преподавания математики / Сост. Петрова Е.С., Саратов, Изд-во "Полиграфист", 1983 - 67 стр.
Программы общеобразовательных учреждений / Москва, Просвещение, 1994.
Программы школьных факультативов по математике.
Понтрягин Л.С. О математике и качестве её преподавания - Коммунист, 1980.
Новосельцева З.И. Развернутые планы лекций и учебные задания для студентов по курсу "Теоретические основы обучения математике"/ С.-Петербург, Изд-во "Образование", РГПУ, 1997 -38стр.
Пичурин Л.Ф., Репьев В.В. Вопросы Общей методики преподавания математики / Москва Изд-во "Просвещение", 1979 - 80 стр.
Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе / Минск, Изд-во "Высшая школа", 1990 - 270 стр.
Учебники для средней школы и соответствующие пособия для учителя.
Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе / Москва, Изд-во "Просвещение", 1985 - 336 стр.
