Тепловое излучение и люминесценция

Энергия, расходуемая светящимся телом на излуче­ние, может пополняться из различных источников. Окис­ляющийся на воздухе фосфор светится за счет энергии, выделяемой при химическом превращении. Такой вид свечения называется хемилюминесценцией. Све­чение, возникающее при различных видах самостоятель­ного газового разряда, носит название электролю­минесценции. Свечение твердых тел, вызванное бомбардировкой их электронами, называют катодо-л юм и не сцен цией. Испускание телом излучения не­которой характерной для него длины волны λ₁ можно вы­звать, облучая это тело (или облучив предварительно) излучением длины волны λ₂, меньшей чем λ₁. Такие про­цессы объединяются под названием фотолюминес­ценции.

Самым распространенным является свечение тел, обусловленное их нагреванием. Этот вид свечения назы­вается тепловым (или температурным) излу­чением. Тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако при невысоких температурах излу­чаются практически лишь длинные (инфракрасные) элек­тромагнитные волны.

Окружим излучающее тело непроницаемой оболочкой с идеально отражающей поверхностью (рис. 154). Воздух из оболочки удалим. Отраженное оболочкой излучение, упав на тело, поглотится им (частично или полностью). Следовательно, будет происходить непрерывный обмен энергией между телом и заполняющим оболочку излуче­нием. Если распределение энергии между телом и излу­чением остается неизменным для каждой длины волны, состояние системы тело — излучение будет равновесным. Опыт показывает, что единственным видом излучения, которое может находиться в равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение. Все остальные виды излучения оказываются неравно­весными.



Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучаю­щими телами обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при повыше­нии температуры. Допустим, что рав­новесие между телом и излучением (см. рис. 1) нарушено и тело излу­чает энергии больше, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к понижению температуры. Это в свою очередь обусловит уменьшение количества излу­чаемой телом энергии. Температура тела будет пони­жаться до тех пор, пока количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энер­гии. Если равновесие нарушится в другую сторону, т. е. количество излучаемой энергии окажется меньше, чем поглощаемой, температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие. Таким обра­зом, нарушение равновесия в системе тело — излучение вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие.

Иначе обстоит дело в случае любого из видов люми­несценции. Покажем это на примере хемилюминесценции. Пока протекает обусловливающая излучение хими­ческая реакция, излучающее тело все больше и больше удаляется от первоначального состояния. Поглощение телом излучения не изменит направления реакции, а на­оборот приведет к более быстрому (вследствие нагрева­ния) протеканию реакции в первоначальном направле­нии. Равновесие установится лишь тогда, когда будет из­расходован весь запас реагирующих веществ и свечение, обусловленное химическими процессами, заменится теп­ловым излучением.

Итак, из всех видов излучения равновесным может быть только тепловое излучение. К равновесным состоя­ниям и процессам применимы законы термодинамики. Следовательно, и тепловое излучение должно подчи­няться некоторым общим закономерностям, вытекающим из принципов термодинамики. К рассмотрению этих за­кономерностей мы и перейдем.

Закон Кирхгофа

Для характеристики теплового излучения, мы будем пользоваться величиной потока энергии, измеряемой в ваттах.

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π), называют энергетической све­тимостью тела R
_э.

Излучение состоит из волн различных частот ω (или длин λ). Обозначим поток энергии, испускаемый едини­цей поверхности тела в интервале частот dω, через dR_ω (чтобы не усложнять обозначений, мы опустили индекс «э» при R
). При малой величине интервала dω поток dR_ω будет пропорционален dω

 (1)

Величина r
_ω называется испускательной спо­собностью тела. Опыт показывает, что испускательная способность сильно зависит от температуры тела. Таким образом, r
_ω
есть функция частоты и температуры. Соответственно и энергетическая светимость является функцией температуры.

Зная испускательную способность, можно вычислить энергетическую светимость:

            (2)

 (чтобы подчеркнуть, что энергетическая светимость и испускательная способность зависят от температуры, мы их снабдили индексом «T»).

Излучение можно характеризовать вместо частоты со длиной волны λ
. Участку спектра dω будет соответство­вать интервал длин волн d
λ
. Определяющие один и тот же участок величины dω и dλ
связаны простым соотно­шением, вытекающим из формулы: λ
=
c
/
v
=
2πс/ω. Диф­ференцирование дает:

            (3)

Знак минус в этом выражении не имеет существенно­го значения, он лишь указывает на то, что с возраста­нием одной из величин, ω или λ
, другая величина убы­вает. Поэтому знак минус в дальнейшем мы не будем писать.

Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал dλ
, может быть по аналогии с (1) предста­влена в виде:

    (4)

Если интервалы d
w и d
l
, входящие в выражения (1) и (4), связаны соотношением (3), т. е. отно­сятся к одному и тому же участку спектра, то величины dR_ω
и dR_λ
, должны совпадать:

.

Заменив в последнем равенстве d
l
согласно (3), получим:

,

откуда



С помощью (5) можно перейти от r_λ к r_ω и на­оборот.

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии dΦ_ω, обусловленный элек­тромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале dω. Часть этого потока dΦ
′
_ω будет поглощена телом. Безразмерная величина

  (6)

называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность зависит от темпера­туры тела. Следовательно, а_ωТ есть функция частоты и температуры.



По определению а_ωТ не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего упавшее на него из­лучение всех частот, а_ωТ = 1. Такое тело называют абсолютно черным. Тело, для которого а_ωТ = а_Т = const < 1, назы­вается серым.

Между испускательной и поглоща­тельной способностью любого тела имеется определенная связь. В этом можно убедиться, рассмотрев следую­щий эксперимент. Пусть внутри за­мкнутой оболочки, поддерживаемой при постоянной температуре Т, поме­щены несколько тел (рис. 2). Полость внутри оболочки эвакуирована, так что тела могут обмениваться энергией между собой и с оболочкой лишь путем испускания и поглощения элек­тромагнитных волн. Опыт показывает, что такая система через некоторое время придет в состояние теплового рав­новесия — все тела примут одну и ту же температуру, равную температуре оболочки T
. В таком состоянии тело, обладающее большей испускательной способностью r
_ωТ
, теряет в единицу времени с единицы поверхности больше энергии, чем тело, обладающее меньшей r
_ωТ
. Поскольку температура (а следовательно и энергия) тел не ме­няется, то тело; испускающее больше энергии, должно и больше поглощать, т. е. обладать большей а_ωТ. Таким образом, чем больше испускательная способность тела r
_ωТ
, тем больше и его поглощательная Способность а_ωТ. Отсюда вытекает соотношение:

,

где индексы 1, 2, 3 и т. д. относятся к разным телам.

Кирхгоф сформулировал следующий закон: отноше­ние испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же, (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:

          (7)

Сами величины r
_ωТ
и а_ωТ, взятые отдельно, могут ме­няться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому. Отношение же их оказывается одинаковым для всех тел. Это означает, что тело, сильнее поглощаю­щее какие-либо лучи, будет эти лучи сильнее и испускать (не следует смешивать испускание лучей с их отраже­нием).

Для абсолютно черного тела по определению а_ωТ = 1. Следовательно, нз формулы (7) вытекает, что r
_ωТ
для такого тела равна f(ω,Т). Таким образом, универсальная функция Кирхгофа f(ω,Т) есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты — f(ω,Т). В экс­периментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны — φ(λ,Т). Обе функции связаны друг с другом формулой

,        (8)

аналогичной формуле (5). Согласно (8) для того, чтобы по известной функции f(ω,Т) найти φ(λ,Т), нуж­но заменить в f(ω,Т) частоту ω через 2πс/λ и получив­шееся выражение умножить на 2πс/λ²:

          (9)

Для нахождения f(ω,Т) по известной φ(λ,Т) нужно воспользоваться соотношением:

    (10)

Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа или платиновая чернь имеют поглощательную способ­ность а_ωТ,  близкую к единице, лишь в ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу.



Такое устройство представляет собой почти замкнутую полость, снабженную малым отверстием (рис. 3). Излучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем выйти об­ратно из отверстия, претерпевает многократные отраже­ния. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все из­лучение любой частоты поглощает­ся такой полостью. Согласно за­кону Кирхгофа испускательная спо­собность такого устройства очень близка к f(ω,Т), причем Т означает температуру стенок полости. Таким образом, если стенки полости под-церживать при некоторой температуре Т, то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектрально­му составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измеряя болометром интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментально вид функции f(ω, Т) или φ(λ,Т). Результаты таких опытов приведены на рис. 4. Разные кривые относятся к различным значениям темпе­ратуры Т абсолютно черного тела. Площадь, охватывае­мая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре.

Кривые на рис. 4 очень похожи на кривые распре­деления молекул газа по скоростям. Правда, есть и существенное отличие. В то время как кривые распределения по скоростям для разных темпе­ратур пересекают друг друга (охватываемые ими площа­ди одинаковы), кривые спектрального распределения из­лучения абсолютно черного тела для более низких тем­ператур целиком лежат внутри кривых, соответствующих более высоким температурам (как мы увидим в следующем параграфе, площадь, охватываемая этими кривыми, пропорциональна четвертой степени температуры).

Из рис. 4 следует, что энергетическая светимость аб­солютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличе­нием температуры сдвигается в сторону более коротких волн.
 Закон Стефана — Больцмана и закон Вина


Теоретическое объяснение излучения абсолютно чер­ного тела имело огромное значение в истории физики — оно привело к понятию квантов энергии.

Долгое время многочисленные попытки получить тео­ретически вид функции f(ω, Т) не давали общего реше­ния задачи. Стефан (1879), анализируя эксперимен­тальные данные, пришел к выводу, что энергетическая светимость R_э любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выво­дов. Больцман (1884), исходя из термодинамических со­ображений, получил теоретически для энергетической светимости абсолютно черного тела следующее значение:

      (11)

где σ —постоянная величина, Т — абсолютная темпера­тура. Таким образом, заключение, к которому Стефан пришел для нечерных тел (с абсолютно черными телами он не экспериментировал), оказалось справедливым лишь для абсолютно черных тел.

Соотношение (11) между энергетической свети­мостью абсолютно черного тела и его абсолютной темпе­ратурой получило название закона Стефана — Больцмана. Константу σ называют постоянной Стефана — Больцмана. Ее экспериментальное зна­чение равно:

            (12)

Вин (1893), воспользовавшись, кроме термодинамики, электромагнитной теорией, показал, что функция спек­трального распределения должна иметь вид:

            (13)

где F
— неизвестная функция отношения частоты к тем­пературе.

Согласно формуле (9) для функции φ(λ,Т) полу­чается выражение:

           (14)

где ψ(λТ) — неизвестная функция произведения КТ.

Соотношение (4) позволяет установить зависимость между длиной волны λ_m
, на которую приходится макси­мум функции φ(λ,Т), и температурой. Продифференци­руем (14) по λ:

           (15)
Выражение в квадратных скобках представляет собой некоторую функцию ψ(λT). При длине волны λ_т, соот­ветствующей максимуму функции φ(λ,T), выражение (15) должно обращаться в нуль:

.

Поскольку, как следует из опыта, λ_m≠∞, должно выполняться условие: Ψ(λ_тТ) = 0. Решение последнего уравнения относительно неизвестного λ_тТ дает для этого неизвестного некоторое число, которое мы обозначим буквой b. Таким образом, получается соотношение:

        (16)

которое носит название закона   смещения   Вина. Экспериментальное значение константы b
равно:

b=2,90∙10⁷Å∙град=2,90∙10³мк∙град           (17)

Формула Рэлея
— Джииса


Рэлей и Джинс сделали попытку определить функ­цию f(ω,T), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колеба­ние приходится в среднем энергия, равная двум половни­кам kT— одна половинка на электрическую, вторая—на магнитную энергию волны (напомним, что по класси­ческим представлениям на каждую колебательную сте­пень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT
).

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излуче­ния будет распределена в объеме полости с определен­ной плотностью и = и(Т). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией и (ω,Т), определяемой условием: du_ω
= и(ω,Т)dω, где du_ω
— доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот dω. Полная плотность энергии может быть представлена в виде:

        (18)

Равновесная плотность энергии излучения и(Т) зави­сит только от температуры и не зависит ют свойств сте­нок полости. Это следует из термодинамических сообра­жений. Рассмотрим две полости, стенки которых изгото­влены из разных материалов и имеют первоначально одинаковую температуру. Допустим, что равновесная плотность энергии в обеих полостях различна и, скажем, u
₁
(Т)>
u
₂
(Т). Соединим полости с помощью небольшого отверстия (рис. 5) и тем самым позволим стенкам по­лостей вступить в теплообмен через излучение. Так как по предположению u
₁
> u
₂
, поток энергии из первой по­лости во вторую должен быть больше, чем поток, теку­щий во встречном направлении.
 В результате стенки второй полости станут поглощать больше энергии, чем излучать, и температура их начнет повышаться. Стенки же первой по­лости станут поглощать меньше энергии, чем излучать, так что они будут охлаждаться. Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут вследствие теплообмена друг с другом приобрести различные температуры — это запрещено вторым началом термо­динамики. Поэтому наше допущение о неодинаковости u
₁
и и₂ должно быть признано неправомерным. Вывод о ра­венстве u
₁
(Т) и и₂(Т) распространяется на каждую спек­тральную составляющую u(ω,Т).

Независимость равновесного излучения от природы стенОк полости можно пояснить следующими соображе­ниями. Абсолютно черные стенки поглощали бы всю упавшую на них энергию Ф_э и испускали бы такой же по величине поток энергии Ф_э. Стенки с поглощательной способностью а поглотят долю аФ_э упавшего на них по­тока Ф_э и отразят поток, равный (1—а)Ф_э. Кроме того, они излучат поток аФ_э (равный поглощенному потоку). В итоге стенки полости вернут излучению поток энергии Фэ = (1—а)Ф_э + аФ_э, такой же, какой возвращали бы излучению абсолютно черные стенки.

Равновесная плотность энергии излучения и связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела R
^*
_э
простым соотношением, которое мы сейчас выведем.

В случае плоской волны (т. е. когда энергия перено­сится волной в одном, определяемом вектором k напра­влении) плотность потока энергии I может быть пред­ставлена как произведение плотности энергии и на ско­рость волны с: I = си. Через каждую точку внутри полости проходит бесчисленное количество волн, направления которых равномерно распре­делены в пределах телесного угла 4л. Поток энергии I
= си также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно, в пределах телесного угла dQ
будет заключен поток энергии, плотность кото­рого равна:

.

Возьмем на поверхности полости элементарную пло­щадку ΔS . Эта площадка посылает в пределах телесного угла  в направлении, образующем с нор­малью угол , поток энергии:



По всем направлениям, заключенным в пределах те­лесного угла 2π, площадка ΔS посылает поток энергии:

.

Вместе с тем поток Ф_э должен быть таким, какой из­лучали бы абсолютно черные стенки. Последний же по­ток по определению равен R
^*
_эΔS. Следовательно,

    (19)

Соотношение (19) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения. Отсюда выте­кает, что

    (20)

Рэлей и Джине исходили из того, что равновесное из­лучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Такое представление оправдывается тем, что заме­на поглощающих стенок полости идеально отражающими стенками не изменяет плотности энергии равновесного излучения. Возникновение стоячих волн возможно лишь при выполнении определенных условий.  Пусть полость имеет форму прямоугольного параллелепи­педа со сторонами a
,
b
и с. Совместим с ребрами паралле­лепипеда координатные оси х, у, z
. Условие возникновения стоячей волны вдоль оси х имеет вид:

 (21)

где k_x
— модуль волнового вектора, совпадающий в дан­
ном случае с проекцией волнового вектора на ось х. За-
метим, что данная стоячая волна образована наложением двух бегущих волн, для которых значе­ния k_x
отличаются зна­ком. Для стоячих волн, устанавливающихся вдоль оси у или оси z
, должны выполняться условия, аналогичные (21). Если волновой вектор к не совпадает с направлением ни одной из координатных осей, условия, аналогичные (21), должны выполняться одновременно для всех трех проекций вектора к:

 (22)

В этом случае стоячая волна с данным значением "к (т. е. k
) представляет собой суперпозицию восьми бегу­щих волн одинаковой длины, но различных направлений, для которых проекции волнового вектора равны:



Одинаковые по модулю векторы k, соответствующие восьми приведенным выше комбинациям чисел k_x
,
k_y
и k_z
, располагаются в разных октантах. Векторы (1) и (8) имеют противоположные направления; то же самое отно­сится к векторам (2) и (7), (3) и (6), а также (4) и (5). Векторы (1) и (2) симметричны относительно координат­ной плоскости yz
, векторы (1) и (3) — относительно пло­скости xz
и т. д.

Каждая тройка чисел т₁ т₂ и т₃ определяет возмож­ное значение волнового числа:



По определению k
= 2π/λ = ω/с. Следовательно, каж­дой тройке чисел m₁ m₂ и m₃ соответствует возможное значение частоты стоячей вол­ны ω (или длины волны λ). Определим количество возмож­ных частот dN_ω
, попадающих в интервал dω. Для этого возь­мем прямоугольную систему координат с осями k_x
,
k_y
,
k_z
(рис. 6). Такую систему на­зывают координатной системой в k-пространстве. Каждой стоя­чей волне с данным значением k
будет соответствовать в k-пространстве точка с коорди­натами, определяемыми усло­виями (22) (точки разме­щаются в октанте с положительными k_x
,
k_y
,
k_z). Плотность этих точек в к-пространстве равна  (объем прямоугольного параллелепипеда с вершинами, помещающимися в соседних точках, равен ; в пределы такого параллелепипеда попа­дает одна точка).

Количество волн dN
_k
, для которых мо­
дуль волнового вектора лежит в пределах от k
до k
+
dk
, равно количеству точек в ⅛ объема шарового слоя тол­щины dk
(см рис. 6):

    (23)

 (
V
— объем полости). Произведя в (23) замену: k
= ω/с, dk
= dω/c, найдем число волн dN_ω, частоты ко­торых попадают в интервал от ω до ω + dω:

   (24)

Вдоль заданного направления могут распространять­ся две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризован­ные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (52.7) умножить на два. Число колебаний (52.7) пропорционально объему полости V
. Поэтому можно говорить о числе ко­лебаний dn_ω, приходящихся на единицу объема полости. Учтя оба направления поляризации, получим:

           (25)

Умножив (25) на среднюю энергию одного колеба­ния, получим приходящуюся на интервал частот dω энергию излучения, заключенную в единице объема, т. е. u(ω,T)dω. Исходя из закона равнораспределения энер­гии по степеням свободы, Рэлей и Джине приписали каждому колебанию энергию, равную kT
(см. выше). В этом случае



 или

     (26)

Перейдя от и(ω,Т) к f(ω,Т) по формуле (26), по­лучим:



Выражение (26), равно как и (25), называется формулой Рэлея — Джинеса. Заметим, что функ­ция (26) удовлетворяет полученному Вином условию (25).

Формула Рэлея — Джинса удовлетворительно согла­суется с экспериментальными данными лишь при боль­ших длинах волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн (см. рис. 7), на котором сплошной линией изображена экспериментальная кривая, пункти­ром — кривая, построенная по формуле Рэлея — Джинса).



Интегрирование выражения (23) или (24) по со в пределах от 0 до ∞ дает для равновесной плотности энергии и(Т) и для энергетической светимости R
^*
_э
бес­конечно большие значения.- Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливает­ся при конечных значениях и(Т).

 Формула Планка


Вывод формулы Рэлея — Джинса с классической точ­ки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представле­ниями классической статистической физики и электроди­намики.

В 1900 г. Планку удалось найти вид функции f
(ω,T
), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуж­дое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде от­дельных порций энергии ε (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

      (27)

Коэффициент пропорциональности ħ получил впо­следствии название постоянной Планка. Опре­деленное из опыта значение равно:

       (28)

В механике есть имеющая размерность «энергиях X время» величина, которая называется действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют кван­том действия. Заметим, что размерность ħ совпа­дает с размерностью момента импульса.

Если излучение испускается порциями ħω, то его энер­гия ε_n должна быть кратной этой величине:

   (29)

Согласно закону Больцмана вероятность Р_п того, что энергия излучения имеет величину е_п, определяется вы­ражением:

          (30)

Нормировочный множитель А можно найти, исходя из условия, что сумма всех Р_п должна быть равна единице. Действительно, сумма Р_п представляет собой вероят­ность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак,

,

откуда

.

Подставив найденное значение А в формулу (53.4), по­лучим:

.

Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени. Произведем через равные промежутки времени Δt
очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных значе­ний на число измерений N
, мы найдем среднее по врег мени значение энергии . При очень большом N количе­ство измерений N_n
, которые дадут результат ε_п, будет равно NP_n
. Поэтому

                   (31)
Таким образом, среднее значение энергии излучения частоты со определяется следующим выражением:

      (32)

Чтобы произвести вычисления, обозначим bw
/
kT
= х и допустим, что величина х может изменяться, прини­мая непрерывный ряд значений. Тогда выражение для ё можно записать в виде:

 (33)

Выражение, стоящее под знаком логарифма, пред­ставляет собой сумму членов бесконечной геометриче­ской прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии, равным е^-x
. Так как знамена­тель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле

.

Подставив это значение суммы в (53.7) и выполнив диф­ференцирование, получим:

.

Наконец, заменив х его значением ħω/kT
, получим окон­чательное выражение для средней энергии излучения ча­стоты ω:

               (34)

Заметим, что при ħ, стремящемся к нулю, формула (26) переходит в классическое выражение . В этом можно убедиться, положив , что выполняется тем точнее, чем меньше ħ. Таким обра­зом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно kT
.

Заменив в формуле Рэлея — Джинса kT
выражением (34), получим формулу, найденную Планком:

             (35)

Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале ча­стот от 0 до ∞. Она удовлетворяет критерию Вина (26). При условии, что ħω/kT<1 (малые частоты или большие длины волн),  можно положить равным приближенно 1 + ħω/k
Т, в результате чего формула (53.9) переходит в формулу Рэлея — Джинса. Это сле­дует также непосредственно из того, что при указанном условии выражение (35) приближенно равняется kT
.

Осуществив преобразование по формуле (35), по­лучим:

       (36)

На рис. 8 сопоставлены графики функций (35) и (36), построенные для одной и той же температуры (5000° К). Масштабы по оси абсцисс логарифмические и выбраны так, что связанные соотношением λ = 2πс/ω значения λ и ω совмещены друг с другом. Из рисунка видно, что частота ω_m, соответствующая максимуму f(ω,Т), не совпадает с 2πс/λ_m
, где λ_m — длина волны, отвечающая максимуму φ(λ,Т).



Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается выражение:

.

Введем вместо ω безразмерную переменную х = ħω/kT
. Подстановка ω = (kT
/ħ)
x
,
dω
= (
kT
/ħ)
dx
пре­образует формулу для R^*_э к виду:

.

Определенный интеграл в последнем выражении мо­жет быть вычислен. Он равен π⁴/15 = 6,5. Подставив его значение, мы придем к закону Стефана — Больцмана:

          (37)

Подстановка в эту формулу численных значений k
, с и ħ дает для постоянной Стефана — Больцмана вели­чину 5,6696∙10^-8 вт/м²∙град⁴, очень хорошо согласую­щуюся с экспериментальным значением (37).

В заключение найдем значение постоянной в законе смещения Вина (16). Для этого продифференцируем функцию (36) по λ и приравняем получившееся вы­ражение нулю:

.

Удовлетворяющие этому уравнению значения λ = 0 и λ = ∞ соответствуют минимумам функции φ(λ,T
). Значение λ_m, при котором функция достигает макси­мума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в квадратных скобках. Обозначив 2πħc
/
kTλ_m
= x
, полу­чим уравнение:

.

Решение этого трансцендентного уравнения дает х = 4,965. Следовательно, 2πħc
/
kTλ_m
= 4,965, откуда

.

Подстановка численных значений ħ, с и k
дает для b
величину 2,90∙10³ мк∙град, совпадающую с эксперимен­тальным значением (17).

Таким образом, формула Планка дает исчерпываю­щее описание равновесного теплового излучения.