Дисциплина: Высшая математика
Тема: Геометрические векторы

1. Геометрические векторы. Основные определения

В математике, физике, теоретической механике приходится иметь дело с величинами двух типов: одни имеют чисто числовой характер; другие же имеют не только числовую характеристику, но и связаны с понятием о направлении в пространстве. Рассмотрим, например, температуру, массу, энергию, скорость, ускорение, силу. Отличие последних трех величин от первых трех состоит в том, что с ними должно быть связано понятие о направлении. Первые три величины, не связанные с понятием о направлении, называются скалярами. Остальные три величины, имеющие определенное направление, называются векторами.
Так, при измерении температуры, мы получим положительное или отрицательное число, характеризующее ее величину в градусах. Точно так же можно измерить массу, энергию.
Определение 1. Скаляром называется величина, характеризующаяся только числом.
Следовательно, скаляры - это обычные числа, и различие между двумя одинаковыми числами может заключаться лишь в их размерности (м и см, м и кг).
Если необходимо измерить такую величину, как скорость точки, то для этого знать два числа (путь и время) недостаточно. Необходимо еще знать, куда двигается точка, то есть ее направление движения.
Определение 2. Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.
Следовательно, утверждать, что если обе точки движутся со скоростью 2 , то их скорости равны, нет никакого основания. Необходимо знать в какие стороны они двигаются.
Из сказанного следует, что для описания скаляра достаточно написать число и указать его размерность. Для описания векторной величины используют направленные отрезки, длина которых при выбранном масштабе соответствует величине вектора, а направление - совпадает с направлением векторной величины. В дальнейшем эти отрезки и будем называть геометрическими векторами.
При изображении вектора одна точка, ограничивающая вектор, называется началом, а вторая - концом вектора. В конце вектора ставится стрелка. Для краткой записи вектор можно обозначить с помощью двух букв  (первая соответствует началу, вторая - концу) или же одной буквы  (здесь начало и конец не обозначены).

A

B

 


Определение 3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается  или .
Определение 4. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется ноль вектором и обозначается .
Определение 5. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются коллинеарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определение 6. Два вектора  и  называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.
Записывается это так .
Из определения 6 следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. При этом каждый новый вектор будет равен исходному.
Однако следует отметить, что все сказанное выше связано с так называемыми свободными векторами. Кроме них существуют еще передвижные и определенные векторы. У свободных векторов точку приложения можно выбирать где угодно. У передвижных - точку приложения можно перемещать вдоль самого вектора (например, сила, приложенная к твердому телу). У определенных векторов точка приложения должна быть зафиксирована (например, сила, действующая на жидкость). Но изучение всех векторов можно, в конечном счете, свести к изучению свободных векторов, поэтому в дальнейшем мы будем заниматься только ими.

2. Простейшие операции над векторами

К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.
1) Сложение векторов.
Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов  и , необходимо конец вектора  совместить с началом . Вектор , соединяющий точки  и , будет их суммой.

A

B

C

D

C

D

 


Обозначается сума следующим образом: . Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторов  и  совмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.

A

B

D

C

D

C

D

 

A

B

D

C

D

C

D

Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством
.
Если слагаемых больше, например, три: , поступают следующим образом. Строят вначале сумму , а затем, прибавляя , получают вектор .
 


Из рисунка видно, что тот же результат будет, если сложить вначале , а затем прибавить , то есть сумма векторов обладает сочетательным свойством:
.
Если при сложении нескольких векторов конец последнего совпадает с началом первого, то сумма равна ноль вектору . Очевидно, .
2) Разность векторов.
Определение 2. Разностью двух векторов  и  называется такой вектор , сумма которого с вычитаемым  дает вектор .
Значит, если , то .
Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы  и . Вектор  соединяет концы векторов  и  и направлен от вычитаемого к уменьшаемому.

Видно, что если на векторах  и  построить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая - разности.
3) Умножение вектора на число.
Определение 3. Произведением вектора  на число  называется вектор , определенный следующими условиями:
1) ;
2) вектор коллинеарен вектору ;
3) векторы  и  направлены одинаково, если , и противоположно, если .
Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор  можно рассматривать как результат умножения вектора  на . Отсюда,
.
Из определения 3 следует, что если , то векторы  и  коллинеарны. Отсюда вытекает определение коллинеарности векторов.
Определение 4. Любые два вектора  и  коллинеарны, если связаны соотношением , где  - некоторое число.
Величину  можно определить из отношения . Оно положительно, если векторы направлены в одну сторону, и наоборот отрицательно, если направление векторов противоположно.
Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:
;
и сочетательным свойством
.
Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Обозначаются единичные векторы символами  или .
Используя понятие единичного вектора, любой вектор можно представить следующим образом: .

3. Проекция вектора на ось

В процессе выполнения простейших операций иногда приходится сталкиваться с таким понятием, как проекция вектора на какую-либо ось. Введем вначале понятие угла между векторами.
Определение 1. Углом между векторами  и  называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до совмещения со вторым.
 


Положительным считается отсчет угла против часовой стрелки.
Пусть необходимо найти проекцию вектора  на ось . Выберем на оси начало отсчета 0 и масштаб. Совместим с началом отсчета единичный вектор . Тогда угол между  и осью  будет равен углу  между  и . Спроецируем начало и конец вектора на ось . Тогда длина отрезка , а . Длина же проекции вектора :
.

O

a

b

l

A

B

 


Рис. 1
Определение 2. Проекцией вектора  на ось  называется разность между координатами проекций конца и начала вектора  на ось .
Очевидно, что если  - острый угол, проекция положительна; если  - тупой угол, то отрицательна; если , то проекция равна нулю.
Теорема 1. Проекция вектора  на ось  равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ними:
.
Доказательство теоремы вытекает из Рис. 1.
Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Доказательство. Пусть . Обозначим проекцию точки  через , точки  - через , точки  - через .

O

l

A

B

C

 


Тогда
; ; .
Но
.
Теорема 3. Если вектор  умножить на число , то его проекция на ось умножится на то же число.
Докажем для случая :
.
Если , то
.

Литература

1.                Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.
2.                Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Издательство: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.
3.                Клейн Ф. Высшая геометрия. изд. - 2. Издательство: Едиториал УРСС, 2004. - 400c.
4.                Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.