Реферат Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Государственное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Волгодонский педагогический колледж
Допущена к защите
“____”____________200__г. Защищена с отметкой:______
Зам. директора по управлению Протокол ИГА №__________
образовательным процессом ________________________
________________________
Выпускная квалификационная работа
Тема:
«Алгебраические уравнения с одной неизвестной и способы их решения в основной школе»
Специальность: 050201_Математика
Выполнил(а):
студент(ка)
Руководитель:
Волгодонск
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………......3
ГЛАВА I. Теоретические особенности алгебраических уравнений.
§1. Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения…………...6
§2. Линейные уравнения………………………………………………....10
§3. Квадратные уравнения. Теорема Виета (прямая и обратная)…….......13
§4. Разложение квадратного трехчлена на множители……………….......21
§5. Уравнения, приводимые к линейным и квадратным………………23
§6. Уравнения третей степени…………………………………………...26
§7. Уравнения четвертой степени……………………………………….29
§8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной
величины………………………………………………………………32
ГЛАВА II. Использование способов решения алгебраических уравнений на педагогической практике.
§1. Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы по
внедрению алгебраических уравнений на уроках математики в 8 классах…………………………………………………………….34
§2. Эффективность использования разработанной системы………......41
Заключение…………………………………………………………………........43
Список литературы………………………………………………………….......44
Приложения……………………………………………………………………...46
Введение
Велика роль математики в современном мире. Она занимает почетное место в сложном и бурном процессе развития человеческого общества и сама становится производительной силой. Практика наших дней оказывается богатейшим источником новых типов математических задач. Все эти задачи не только выдвинули физические, инженерные и технологические проблемы, но и привели к созданию новых разделов математики, таких как программирование для ЭВМ, ветвящиеся случайные процессы, теория оптимального уравнения и многие другие.
Сегодня понятие «алгебраические уравнения» стало необходимым элементом общей математической культуры. При этом учащиеся должны не только знать основные определения данного материала, но и осознавать необходимость глубокого изучения алгебраических уравнений, их решений. Изучение уравнений способствует расширению кругозора учащихся, улучшению качества их знаний и помогает при поступлении в ВУЗы. Поэтому актуальностью исследования является изучение и решение алгебраических уравнений.
Рассмотрение этого вопроса в научно-методической литературе не решает проблемы по изучению данного материала в школьном курсе математики. Во-первых, не выделяется достаточно времени на более глубокое изучение исследуемых понятий; во-вторых, программой не предусмотрен достаточно подробный разбор уравнений, их решений в основной общеобразовательной школе, которые содействуют развитию математического мышления, формированию научного мировоззрения.
На современном этапе развития общества к математике предъявляются серьезные требования с технологизацией и информатизацией.
Поэтому проблему нашего исследования мы видим в необходимости систематизации и углубления знаний учащихся по данному материалу и отсутствии системности при изучении этого материала в курсе основной школы, что не позволяет сделать процесс обучения оптимальным.
Объект исследования: процесс обучения математики в основной общеобразовательной школе.
Предмет исследования: алгебраические уравнения и способы их решения как составляющая курса обучения математики.
Цель исследования: изучить в теории и практике способы решения алгебраических уравнений с одним неизвестным, выявить методические условия, способствующие повышению знаний, умений и навыков учащихся по решению различных видов алгебраических уравнений и апробировать их на практике.
Исходя из поставленных целей исследования, вытекают следующие задачи:
1. Выявить различные виды и способы решения алгебраических уравнений с одним неизвестным.
2. Определить методологические условия, способствующие качественному формированию знаний, умений и навыков в решении алгебраических уравнений.
3. Апробировать на практике в основной школе различные способы решения алгебраических уравнений.
Гипотеза: системное изложение учебного материала по алгебраическим уравнениям в курсе основной общеобразовательной школы будет способствовать углублению и оптимизации знаний по математике и созданию прочной базы для усвоения курса высшей математики.
Методологической основой нашего исследования явилась гуманистическая личностно-ориентированная концепция обучения, которая позволяет поставить потребности учащихся в центре всей педагогической системы.
Теоретическая значимость: на основе теоретического обобщения научно-методических источников выявлен наиболее оптимальный способ решения алгебраических уравнений с одним неизвестным.
Методы исследования: анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, методы эмпирического исследования: наблюдение, анкетирование, контрольные задания, экспериментальные методы статистической обработки результатов.
База исследования: теоретические разработки исследования апробировались в 8 классе средней общеобразовательной школы №4 Мартыновского района, хутора Малоорловский.
ГЛАВА
I
. Теоретические особенности алгебраических уравнений.
§1. Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения.
Буквенные величины, входящие в равенство двух выражений
Равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, называется уравнением.
В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, рассматривают уравнения с одним, с двумя и т.д. неизвестными.
Неизвестные величины в уравнениях обычно обозначают буквами
Будем сначала рассматривать уравнение с одним неизвестным
Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются левой и правой частями уравнения. Каждое слагаемое части уравнения называется членом уравнения.
Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) или областью определения уравнения
Определение. Корнем (или решением) уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. [20, c.34]
Очевидно, что корень уравнения принадлежит ОДЗ этого уравнения.
Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Например, уравнение
Определение. Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если всякий корень одного уравнения является корнем другого, и наоборот. Если оба уравнения не имеют корней (решений), то они также считаются равносильными. [20, c.34]
Иначе говоря, равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают.
Если уравнения
Например,
При решении уравнения путем различных преобразований стараются заменить его более простым, равносильным ему уравнением. Однако такая замена не всегда удается. Тогда возможны следующие два случая:
1. При переходе к новому уравнению может произойти потеря корней. Например, при переходе от уравнения
2. Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся корнями
данного уравнения (так называемые посторонние корни). Например, при переходе от уравнения
Напомним, что числовые равенства обладают следующими свойствами:
1) числовое равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить
одно и то же число;
2) числовое равенство не нарушится, если обе его части умножить или
разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Из свойств числовых равенств и понятия равносильных уравнений вытекают следующие основные свойства уравнений:
1) Уравнение
Доказательство:
Обозначим через
Пусть число
Но это равенство говорит о том, что число
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е.
Пусть теперь
Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е.
Так как
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
Например,
2) Уравнение
Доказательство этого свойства аналогично доказательству свойства 1.
Следствие. Обе части уравнения можно сокращать на общий множитель, не обращающийся в нуль на множестве допустимых значений
данного уравнения.
Действительно, уравнение
равносильно уравнению
3) Уравнение
Эти свойства используются при решении уравнений. [5, c.116]
§2.
Линейные уравнения.
Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнение вида
При этом число
число
Это уравнение равносильно уравнению
Уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения
Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида
Может оказаться, что линейное уравнение не имеет корней или имеет бесконечное множество корней. [5, с.118]
Пример 1. Показать, что уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
Это уравнение не имеет корней, так как левая часть
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Это уравнение содержит параметр
Если
Пример 3. Решить уравнение
Решение.
1) После приведения дробей к общему знаменателю
2) После приведения подобных членов и сведения полученного уравнения к стандартному для линейного уравнения виду
3) а) Если
Таким образом, при
б) Если
Вообще, если уравнение не имеет корней, то говорят также, что множество корней уравнения пустое, и обозначают Ø.
Ответ. 1) При
2) при
3) при
Ответ можно записать короче:
1) если
§3.
Квадратные уравнения. Теорема Виета (прямая и обратная).
Определение. Квадратным уравнением (или уравнением второй степени) называется уравнение вида
Квадратное уравнение
Неполное квадратное уравнение - это уравнение одного из следующих видов:
Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения.
1. Уравнение
2. Уравнение
Если
Если
Действительно, перенося в уравнении
Так как
Разложив левую часть этого уравнения на множители, получим
Данное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Рассматривая
Следовательно, уравнение
Например, неполное квадратное уравнение
Это уравнение можно решить по-другому:
3. Уравнение
В общем случае для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата. [5, c.120]
Применение этого метода поясним сначала на примерах.
Пример 1. Решить квадратное уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на
Применим метод выделения полного квадрата:
Поэтому получим
откуда
Можно выделить полный квадрат в исходном уравнении и без предварительного деления на
Поэтому
Рассмотрим теперь квадратное уравнение общего вида
Применим метод выделения полного квадрата. Для этого запишем левую часть уравнения в следующем виде:
Дальнейшее решение зависит от знака правой части полученного уравнения (2).
Так как
Определение. Выражение
Рассмотрим три случая:
1.
В этом случае уравнение (2) можно записать так:
следовательно,
откуда
или
где
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
2.
В этом случае уравнение (2) принимает вид
откуда
Таким образом, если дискриминант равен нулю, т.е.
Заметим, что формула (3) или, что то же, (4) применима и в случае
3.
В этом случае в правой части уравнения (2) стоит отрицательное число, а в левой части - неотрицательное (положительное или равное нулю). Следовательно, если
Вывод. Квадратное уравнение
По этой формуле можно находить и корни неполных квадратных уравнений, но проще вычислять их путем разложения левой части неполного квадратного уравнения на множители, как было показано.
Замечание 1. Если коэффициент
Например, вычислим корни уравнения
Замечание 2. Если коэффициент
Найдем корни приведенного квадратного уравнения. В формуле (3) полагаема
Например, решим уравнение
Откуда
Пример
2. Решить уравнение
Решение. Разложив знаменатели на множители, имеем
После приведения дробей к общему знаменателю
откуда
Теорема Виета. Если квадратное уравнение
Формулы (5) называются формулами Виета.
Доказательство. По условию дискриминант квадратного уравнения
Найдем сумму и произведение корней:
и формулы (5) получены.
Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.
Для приведенного квадратного уравнения
Полученные для приведенного квадратного уравнения формулы Виета читаются так: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Если корни квадратного уравнения действительные
Теорема (обратная теореме Виета). Если числа
В теореме Виета для приведенного квадратного уравнения
В обратной теореме Виета утверждается: если для чисел
Доказательство. Рассмотрим
Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.
Пример 3. Не решая уравнения
Решение. Дискриминант этого уравнения положителен, так как
Пример 4. Составить приведенное квадратное уравнение, корни которого
Решение. По обратной теореме Виета
§4.
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Рассмотрим квадратный трехчлен
Квадратный трехчлен - это многочлен второй степени. Значения
Мы уже знаем, что число действительных корней квадратного уравнения, а значит, и квадратного трехчлена зависит от знака дискриминанта
Теорема. Если
Доказательство. Так как
Поэтому
Полученное равенство (1) называется формулой разложения квадратного трехчлена на линейные множители. [5, c.129]
Пример 1. Упростить выражение
Решение. Для квадратного трехчлена
Пример 2. Доказать, что выражение
при всех допустимых значениях
Решение. 1) Разложим знаменатель второй дроби на линейные множители. Решив уравнение
2)
3)
4)
§5.
Уравнения, приводимые к линейным и квадратным.
Уравнение вида
называется алгебраическим уравнением n
-й степени. Его левая часть - многочлен n
-й степени относительно
Уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком корня, называются иррациональными.
Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных преобразований (умножения, деления, возведения в целую степень обеих
частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное
рациональное алгебраическое уравнение может оказаться не эквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может
содержать «лишние» корни, которые не будут корнями исходного
иррационального уравнения. Поэтому, вычислив корни полученного
алгебраического уравнения, необходимо проверить, будут ли все они
также и корнями исходного иррационального уравнения.
В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решать которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев. [23, c.107]
Рассмотрим примеры решения некоторых алгебраических уравнений степени
Пример 1. Решить уравнения:
а)
Решение. Оба уравнения можно решить разложением левой части на множители. Проще поступить по-другому:
а)
б)
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Используем разложение на множители:
Поэтому
Значит,
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Заметим важную особенность уравнения: его левая часть содержит неизвестное
Решая его, получаем
Теперь найдем
получаем
Решая уравнение
получаем
Итак,
Отметим, что без введения нового неизвестного решить данное уравнение четвертой степени было бы затруднительно. [5, c.132]
Пример 4. Решить биквадратное уравнение
Решение. Биквадратное уравнение - важный частный случай уравнения четвертой степени. Заменой
1)
2)
корня:
Очевидно, аналогично и при
3)
Например, решим биквадратное уравнение
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде
Ответ:
§6.
Уравнения третей степени.
Будем рассматривать уравнение третей степени вида
Преобразуем это уравнение так, чтобы исчез член с квадратом неизвестного. Если положить
и подставить это выражение в наше уравнение, то после несложных выкладок получится более простое уравнение
которое называется приведенным уравнением третей степени.
Таким образом, остается решить уравнение (2). Полагаем
или, раскрыв скобки и перегруппировав члены:
Так как вместо одного неизвестного ввели две неизвестные
Значит
Мы видим, что
Решая это уравнение, находим:
откуда
Итак, неполное уравнение (2) нам удалось решить алгебраически:
Формула (4) называется формулой Кардана.
По этой формуле получается девять значений, а нас интересует только три значения. Нужные три значения найдем из условия
Чтобы упростить систему поисков, поступим следующим образом: обозначим через
Таким образом, получаем все три корня уравнения (2):
Пример. Определить по формуле Кардана корни уравнения
Здесь
Отсюда по формулам (6) получаем три корня уравнения:
§7.
Уравнения четвертой степени.
Перейдем к исследованию уравнения
четвертой степени. Рассмотрим его способ.
Перенесем три последних члена уравнения (1) в правую часть и прибавим к обеим частям
Тогда получится:
Затем прибавляем к обеим частям последнего уравнения сумму
Уравнение примет вид:
Подберем вспомогательное неизвестное
Но
Поэтому должно быть:
Если раскрыть скобки, то после некоторых преобразований получится также уравнение третьей степени относительно y
:
Пусть
Отсюда
или
Эти два квадратных уравнения и дадут нам все четыре корня уравнения четвертой степени. [24, c.112]
Итак, решение уравнения четвертой степени сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени.
Пример. Найдем корни уравнения
Здесь
Приводим последнее уравнение к трехчленному виду, полагая в нем
Получаем
Затем находим
Мы видим, что
или
Решая первое уравнение, получаем
Решая второе уравнение, получаем
§8.
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком
абсолютной величины.
Эти уравнения можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя ее определение. Так, решение уравнения
сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.
1. Если
Решения этого уравнения:
удовлетворяет лишь второй корень квадратного уравнения (2), и, следовательно, число 3 является корнем исходного уравнения (1).
2. Если
Корнями этого уравнения будут числа
Таким образом, решениями уравнения (1) будут числа 3 и
Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать так, что решениями будут все, значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение
Отметим на числовой оси точки 0 и 3 (нули функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую
ось на три промежутка (рис. 1):
На этих промежутках:
1) при
0 3 х
Рис. 1
Аналогично при
2) при
ГЛАВА II. Использование способов решения
алгебраических уравнений на педагогической практике.
§1. Задачи, условие и этапы организации экспериментальной работы
по внедрению алгебраических уравнений
на уроках математики в 8 классах.
При проведении теоретических исследований были получены выводы о многообразии алгебраических уравнений, а также о том, что изучение алгебраических уравнений повышает уровень знаний по математике. Поэтому для подтверждения этих выводов наше эмпирическое исследование направлено на разрешение следующих задач:
1. Провести анализ содержания школьных учебников.
2. Определить методологические условия, способствующие качественному формированию знаний, умений и навыков в решении алгебраических уравнений.
3. Практически реализовать предложенную экспериментальную программу.
4. Провести сравнительный анализ результатов.
При проведении эмпирического исследования были использованы следующие методы: наблюдение, анкетирование, педагогический эксперимент, контрольные работы.
Для осуществления эксперимента были выбраны учащиеся 8 класса, средней полной общеобразовательной школы №4, Мартыновского района, хутора Малоорловский. Всего в исследовании приняло участие 28 учеников: 18 мальчиков и 10 девочек. Учитель математики охарактеризовал данный класс, как класс со средней успеваемостью, обучающейся без уклона на какую-либо дисциплину.
Исследование мы проводили на уроках математики, и оно включало в себя три этапа:
- Констатирующий.
- Формирующий.
- Контрольный.
В ходе констатирующего этапа мы осуществили наблюдение на уроках математике в 8 классе, анализировали содержание учебников алгебры, проводили анкетирование учителей, провели контрольную работу №1.
На этом этапе мы провели анализ учебников алгебры разных авторов. По нашему мнению наиболее доступным для учащихся языком написан учебник алгебры 7 класса, авторами которого являются Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. До того как ввести главу II, «Уравнения с одним неизвестным», авторы предлагают изучить главу I, «Алгебраические выражения», куда входят следующие параграфы:
§1. Числовые выражения.
§2. Алгебраические выражения.
§3. Алгебраические равенства. Формулы.
§4. Свойства арифметических действий.
§5. Правила раскрытия скобок.
Выше перечисленные параграфы, знакомят учащихся с темами, которые в дальнейшем помогут при изучении темы «Алгебраические уравнения». Изучив параграфы, входящих в главу I, учащиеся без труда освоят главу II:
§1. Уравнение и его корни.
§2. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным.
§3. Решение задач с помощью уравнений.
Т.к. мы проводили наблюдение лишь в одном классе, наблюдали за деятельностью одного учителя, то наши заключения могут носить случайный характер. В связи с этим мы провели опрос учителей математики нескольких школ с тем, чтобы выявить, применяют ли они методы решения алгебраических уравнений, если применяют, то в каких случаях. Опрос проводился в форме анкеты (см. приложение 1). Шестнадцати респондентам предлагались 7 вопросов, на каждый из которых давались варианты ответов. Результаты анкетирования были занесены нами в таблицу 1.
Таблица №1. Обобщенные данные по результатам анкетирования.
| Номер позиции Номер вопроса | 1 | 2 | 3 | Всего |
| 1 | 11 65% | 5 35% | 0 0% | 16 100% |
| 2 | 9 55% | 5 32% | 2 13% | 16 100% |
| 3 | 10 60% | 1 10% | 5 30% | 16 100% |
| 4 | 10 60% | 3 20% | 3 20% | 16 100% |
| 5 | 8 50% | 3 18% | 5 32% | 16 100% |
| 6 | 2 28,5% | 4 57% | 1 14,5% | 7 100% |
| 7 | 7 45% | 5 35% | 4 20% | 16 100 |
Из таблицы видно, что из шестнадцати опрошенных учителей 65% ответили, что недостаточно времени отводится программой для обучения учащихся предмету, 35% ответили, что вполне достаточно и ни один человек не ответил, что для обучения учащихся этому предмету отводится количество часов в избытке.
Итак, на вопрос – систематизируете ли вы знания учащихся на уроках математики – 55% учителей ответили – нет, 32% - не знаю, 13% - да. Результаты опроса показали, что большинство учителей считают, что нет системы в изложении данной темы. 60% всех учителей считают важным достижение повышения качества знаний учащихся, 30% - активности школьников в учении, 10% - исключение дублирования. При построении оптимальной системы уроков по теме «Алгебраические уравнения» 60% учителей использую методические журналы, остальные – дидактическую литературу и учебные пособия. 50% учителей считают, что трудности возникают в связи с большими затратами времени на изучение материала, 18% - отсутствие необходимой литературы и 32% - сложность для восприятия учащихся. 57% учителей используют алгебраические уравнения с целью получения прочных, осознанных знаний, остальные – для развития логического мышления и формирования познавательных интересов. На вопрос о необходимости использовать систематичность в обучении для лучшего усвоения и углубления знаний математического материала были получены следующие ответы: 45% считают необходимым использовать систематичность в обучении для лучшего усвоения учебного материала, 35% - нет, и 20% - только на факультативах.
Анализируя полученные ответы на вопросы анкеты, можно сделать вывод о том, что большинство учителей преподают тему «Алгебраические уравнения» не в системе, одни по причине большой затраты времени, другие в связи с отсутствием необходимой литературы.
Для определения эффективности использования разработанной нами системы необходимо сравнить уровень успеваемости учащихся до введения системы и после. Поэтому в ходе констатирующего этапа эмпирического исследования мы провели контрольную работу №1 (см. приложение №2). Задания, подобранные в ней, соответствовали уровню знаний учащихся, были средней сложности.
На основе результатов, полученных в ходе наблюдения, можно сделать вывод о том, что решение алгебраических уравнений с одной неизвестной различными способами способствует активизации самостоятельной деятельности, повышению интереса к предмету, развитию логического мышления, приросту знаний.
На формирующем этапе мы поставили следующие цели:
1. Внедрить на уроках математики в 8 классе материал, содержание которого раскрыто в теоретической части нашей дипломной работы.
2. Провести наблюдение за процессами осмысления, восприятия и запоминания учащимися данного материала.
3. Определить какие вопросы вызвали наибольшие затруднения у учащихся.
В ходе формирующего этапа эмпирического исследования рассматривать алгебраические уравнения с одной неизвестной предлагалось учащимся в качестве дополнительного материала, а так же на факультативах. Способы решения таких уравнений подробно описаны в главе I нашей дипломной работы.
На начальных этапах введения данной темы возникло множество трудностей, связанных прежде всего с тем, что исследование проводилось в 8 классе, где тема «Алгебраические уравнения» изучалась год назад и многие навыки при решении уравнений были забыты. Уравнения довались по следующей схеме: от более простых, к более сложным. Это позволило повысить эффективность воспроизведения памяти данной темы. На уроке алгебры объяснялась тема «Дробно-рациональные уравнения», на котором был изучен алгоритм решения этих уравнений. Приведем фрагмент этого урока.
| Этапы урока | Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
| II. Устный счет IV. Закреп-ление. | Решить уравнения: 1) 2) 3) 4) Как найти неизвестное уменьшаемое? Как найти неизвестное вычитаемое? Решим уравнение: Что в этом уравнении является неизвестным? Как найти неизвестное уменьшаемое? Решим такое уравнение: Что в это уравнении является неизвестным? Как найти неизвестное вычитаемое? Решим уравнение: Что делаем в первую очередь? Каким мы воспользовались свойством? Каким здесь воспользовались законом? Будут ли найденные значения являться корнями уравнения? | 1) 2) 3) 4) Нужно к разн6ости прибавить вычитаемое. Нужно из уменьшаемого вычесть разность. Уменьшаемое. Вычитаемое. Приводим дроби к общему знаменателю. Умножим обе части уравнения на Свойством сократимости. Сочетательным законом. Решая это уравнение, находим его корни: Да, так как при подстановке этих значений в знаменатель, он не обращается в 0. |
В ходе практической работы было выявлено множество позитивов. Отдельно можно выделить: учащиеся начинают осознавать, что без четкого анализа уравнения не возможен выбор правильного способа решения. Это ведет к развитию мыслительной активности учащихся, повышение которых положительно сказывается на всем процессе обучения. В этом случае они осознают, воспринимают и запоминают материал не только усилиями одной памяти, а прежде всего, усилиями мыслительных способностей.
В ходе контрольного этапа эмпирического исследования мы провели контрольную работу №2 (см. приложение №3) с целью выявления эффективности разработанной нами системы. Полученные результаты сравнили с результатами контрольной работы №1, проведенной на констатирующем этапе. Результаты двух контрольных работ мы приведем в следующем параграфе.
§2. Эффективность использования разработанной системы.
Для выявления эффективности используемой системы необходимо сравнить уровень успеваемости учащихся до введения разработанной системы и после, т.е. сравнить результаты контрольных работ.
Таблица №1. Оценки, полученные учащимися за контрольные работы на констатирующем и контрольном этапах.
| Контрольная работа №1 | Контрольная работа №2 |
| 2 4 5 2 3 3 3 2 5 4 4 4 4 4 2 2 3 3 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 | 4 4 5 4 3 3 2 5 4 3 4 2 2 5 3 2 4 4 4 3 4 4 3 3 4 3 4 3 |
Из таблицы видно, что количество неудовлетворенных оценок после введения системы значительно снизилось. Это говорит о том, что уровень успеваемости у учащихся после введения системы незначительно, но повысился. Для наглядности представим результаты двух контрольных работ в виде диаграмм.
График результатов контрольной работы до введения системы
График результатов контрольной работы после введения системы
Проводя анализ контрольных работ, мы можем предположить, что системное изложение темы «Алгебраические уравнения с одной неизвестной» будет способствовать развитию логического мышления и творческой активности, так как у учащихся появляется интерес, а вследствие этого повышается успеваемость.
Сделав выводы, нами были выявлены условия, которые привели к таким результатам:
1. Временной фактор (контрольная работа №1 проводилась в начале четверти, а контрольная работа №2 по прошествии времени);
2. Ознакомление учащихся с различными видами и способами решения алгебраических уравнений с одной неизвестной;
3. Расширение круга задач, доступных учащимся 8 класса основной общеобразовательной школы.
Эти условия и помогли нам сделать общие выводы по нашему исследованию.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты теоретического и эмпирического исследования позволили нам сделать предположение о том, что в современной школе есть возможности применять предложенную методику изучения алгебраических уравнений и способов их решения. Это обеспечивает подготовку учащихся к восприятию начальных понятий, основ математики, использованию их в практической деятельности. Поэтому большое значение имеют такие вопросы школьного курса математики, которые учитывали бы современные тенденции развития образования, требующие от учащихся глубоких знаний математических понятий, прививающих учащимся стремление поиска новых путей, новых возможностей, новых подходов и разрешению жизненно важных вопросов, как традиционным путем, так и нестандартным.
На основе полученных результатов нашей дипломной работы мы пришли к выводу о том, что процесс изучения алгебраических уравнений доступен пониманию учащихся, может способствовать повышению качества их знаний и уровня обученности по математике, вооружает мощным математическим аппаратом для решения большого круга задач.
В связи с выше изложенным, мы считаем возможным рекомендовать учителям школ создавать условия для изучения алгебраических уравнений с тем, чтобы развить творческие способности и логическое мышление у учащихся, сформировать интерес к знаниям, а также активизировать их мыслительную деятельность.
Список литературы
4. Алгебра: Учебник для 7 кл. ср. шк./Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. М.: Просвещение, 1991.
5. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений/Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. М.: Просвещение, 1998.
6. Алгебра: Учебник для 9 кл. ср. шк./Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. М.: Просвещение, 1992.
7. Алгебра: Учебник для 10-11 кл. ср. шк./Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. М.: Просвещение, 1990.
8. Богатырев Г.И., Боковнев О.А. Математика для подготовительных курсов техникумов на базе 8 классов средней школы. М.: Наука, 1988.
9. Большой энциклопедический справочник. Математика. М: Большая российская энциклопедия, 1998.
10. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабушин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. М.: Наука, 1972.
11. Выгодский Н. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1979.
12. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Наука, 1981.
13. Дорофеев Г.П., Потапов М.К. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. М.: Наука. гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.
14. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. М.: Наука, 1987.
15. Колмогоров А.Н. Математика – наука и профессия. /Сост. Г.А. Гальперин. М.: Наука. гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.
16. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Просвещение, 1979.
17. Литаренко Н.И. Правила решения уравнений. Математика в школе. 1996.
18. Мордкович А.Г. Алгебра и начало анализа. Учебное пособие для подготовительных отделений ВУЗов. М.: Высшая школа, 1987.
19. Методика преподавания математики в восьмилетней школе. Под общ. ред. Лепина С.Е. М.: Просвещение, 1965.
20. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. Под ред. В.А. Оганесяна. М.: Просвещение, 1980.
21. Муравин К.С., Крейдлин Е.Г. Сборник задач по алгебре для учащихся 6-8 классов. М.: Просвещение, 1964.
22. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966.
23. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. – под ред. Яковлева Г.Н. М.: Наука. гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.
24. Потрягин Л.С. Математический анализ для школьников. М.: Наука, 1983.
25. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. т.1. М.: Наука, 1964.
26. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. М.: Наука, 1988.
27. Шавгулидзе Е.Т., Чирский В.Г. Уравнения элементарной математики.
Методы решения. М.: Наука, 1992.
28. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглош И.М., Избранные задачи теоремы элементарной математики. (Арифметика и алгебра). М.: Наука, 1976.
29. Шустеф Ф.М. Методика преподавания алгебры. Курс лекций. Минск, Высшая школа, 1967.
Приложение №1.
Анкета учителям.
Уважаемый коллега!
Мы проводим исследование состояния практики работы по изучению алгебраических уравнений в школьном курсе математики.
Просим вас ознакомиться с данной анкетой и максимально объективно ответить на ее вопросы, либо выбрать содержащиеся в ней утверждения.
Ваши ответы помогут нам определить пути дальнейшего совершенствования изучения алгебраических уравнений.
1. Достаточно ли Вам количества часов, отводимых программой, для обучения учащихся предмету, который вы преподаете?
1.1. Количество часов недостаточно.
1.2. Вполне достаточно.
1.3. Количество часов в избытке.
2. Существует ли, по-вашему, система в изложении темы «Алгебраические уравнения» в курсе алгебры 7-9 классов?
2.1. Да.
2.2. Нет.
2.3. Не знаю.
3. Что считаете наиболее важным результатом изучения алгебраических уравнений?
3.1. Достижение повышения качества знаний учащихся.
3.2. Активность школьников в учении.
3.3. Исключение дублирования.
4. Какие источники помогают Вам в построении оптимальной системы уроков по теме «Алгебраические уравнения?»
4.1. Методические журналы.
4.2. Дидактическая литература.
4.3. Учебные пособия.
5. Что затрудняет изложение данной темы в системе?
5.1. Большие затраты времени на изучение материала.
5.2. Сложность для восприятия учащихся.
5.3. Отсутствие необходимой литературы.
6. С какой целью Вы используете алгебраические уравнения?
6.1. С целью получения прочных, осознанных знаний.
6.2. Для развития логического мышления.
6.3. Для формирования познавательных интересов.
7. Считаете ли Вы необходимым использовать систематичность в обучении для лучшего усвоения учебного материала?
7.1. Да.
7.2. Нет.
7.3. Только на факультативах.
Спасибо за ответы!
Приложение №2.
Контрольная работа №1.
I вариант.
1. Решить уравнение:
2. Найти координаты точки пересечения графиков функций:
3. Решить уравнения:
а)
б)
4. Расстояние в
II вариант.
1. Решить уравнение:
2. Найти координаты точки пересечения графиков функций:
3. Решить уравнения:
а)
б)
4. Две бригады, работая вместе, закончили заготовку леса за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из бригад для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой?
Приложение №3.
Контрольная работа №2.
I вариант.
1. Решить уравнение:
2. Решить уравнение:
3. Упростить:
4. Решить уравнение:
5. Прямоугольник, одна сторона которого на
II вариант.
1. Решить уравнение:
2. Решить уравнение:
3. Упростить:
4. Решить уравнение
5. Прямоугольник, одна сторона которого на
