Вычисление среднего квадратического отклонения

Границы классов ( Wн –Wв )	Частоты (р)	Условные отклонения
		(а)	(а)2	ра	ра2
42 –45	1	–3	9	–3	9
46 –48	5	–2	4	–10	20
49 – 51	12	–1	1	–12	12
52 – 54	14	0	0	0	0
55 – 57	8	1	1	8	8
58 – 60	6	2	4	12	24
61 – 63	2	3	9	6	18
64 – 67	2	4	16	8	32
Sр = n = 50	Sра = 9				Sра2 = 123

                                                                       
            Нужно обратить внимание на то, что S имеет два знака (+ и –). Это свидетельствует об отклонении вариант от средней арифметической как в положительную, так и в отрицательную сторону. Среднее квадратическое отклонение  является показателем разнообразия признака. Согласно правилу 3 S   почти все варианты должны укладываться в интервал от –3 S   до +3 S, если минимальный вариант (min  вес ) не ниже Х–3S, а максимальный (max  вес) не выше Х_ср+3 S, то наблюдения ведутся над однородной генеральной совокупностью.

            В нашем примере      Х_ср + 3 S = 53,5 + 14,04 = 67,54

                                                Х_ср – 3 S = 53,5 – 14,04 = 39,46

Как видим, минимальный вариант 42 не ниже Х – 3 S , т.е. 39,46, а максимальный вариант 67 не превышает Х=3 S, т.е. 67,64. Таким образом, выборка однородна, и изучаемые особи относятся к одному вариационному ряду. Среднее квадратическое отклонение выражается в тех же единицах, которыми измеряется признак, т.е. является поименованной величиной.
Коэффициент изменчивости (вариации)

            Основное достоинство среднего квадратического отклонения заключается в том, что оно дает полную количественную характеристику изменчивости изучаемого показателя. Однако сравнить изменчивость двух групп с разными средними значениями изучаемого признака и, тем более, изменчивость разных признаков с помощью данного показателя нельзя. Вот здесь на помощь и приходит следующий показатель изменчивости – коэффициент изменчивости или вариации.

            Коэффициент изменчивости характеризует изменчивость в относительных величинах. Это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической для данной выборки, выраженное в процентах. Коэффициент изменчивости определяется по формуле:




где       C_v – коэффициент изменчивости;

S   – среднее квадратическое отклонение;

Х_cp – средняя арифметическая.


Вычислить C_v для изучаемых  Вами признаков. В нашем примере:


Коэффициент изменчивости позволяет сравнивать степень изменчивости разных признаков. Чем коэффициент изменчивости выше, тем общая изменчивость признака тоже выше. Низкие коэффициенты изменчивости указывают на генетическую однородность популяции по данным показателям, высокие коэффициенты изменчивости свидетельствуют о ее неоднородности.

Ориентировочно считают, что если C_v< 5% – изменчивость низкая, C_v  от 5 до 10% – средняя, C_v >10% – высокая. Максимальное значение коэффициента изменчивости обычно не превышает 30%.

Нормированное отклонение

            Нормированное отклонение – это показатель, характеризующий отдельную варианту или группу вариант. Обозначается буквой Н.

            Нормированное отклонение – это величина, которая указывает, на сколько долей среднего квадратического отклонения каждый конкретный член совокупности отклоняется от средней арифметической. Вычисляется он по формуле:


где       Н – нормированное отклонение;

            Х_ср – средняя арифметическая;

  S  – среднее квадратическое отклонение.

            Как и коэффициент изменчивости, нормированное отклонение – величина относительная. Каждая варианта характеризуется определенным значением Н. Если Н  какой-либо варианты равно +1, значит эта варианта больше Х на 1. Чем больше значение  Н, тем дальше от средней арифметической отстоит данная особь.

Ошибка статистических величин

            Для изучения изменчивости того или иного признака берут не всех представителей, а только часть их (выборочную совокупность или выборку). В каждом конкретном  случае в выборку могут попасть особи, имеющие несколько более высокие или более низкие значения признака, поэтому вычисленные значения биометрических величин будут отражать свойства генеральной совокупности с определенными ошибками. Эти ошибки не могут быть устранены при самой тщательной организации исследований, но их можно учесть. Они получили название ошибок репрезентативности или выборочности.
            Ошибки статистических показателей будут тем больше, чем выше изменчивость признака и чем меньше объем выборки.

Ошибки статистических показателей обозначаются буквой m. Чтобы различать, к какому показателю относится ошибка, рядом с условным ее обознчением подстрочно приписывается обозначение данного показателя.

Например.      m_x  – ошибка средней арифметической,

                         m_S  – ошибка  среднего квадратического отклонения,

m_{cv –} ошибка коэффициента изменчивости.


            Все ошибки измеряются в тех же единицах, что и сами показатели. Ошибки статистических показателей вычисляются по формулам:

где       m_x  – ошибка средней арифметической,

S   – среднее квадратическое отклонение,

n   – объем выборки 




где       m_S  – ошибка среднего квадратического отклонения,

 S   – среднее квадратическое отклонение,


n    – объем выборки.

где       m_cv – ошибка коэффициента изменчивости,

            С_cv  – коэффициент измечивости,

            n     – объем выборки.

Ошибки статистических показателей позволяют уточнить границы, в которых находится фактическое значение данных показателей. Такими границами считается интервал, равный промежутку: показатель ±2 ошибки.

В нашем примере




2m_x = ± 1,3      X = 53,5 ± 1,3 кг.

Вычислить  m_ср ,  m_S,  m_cv  для изучаемых Вами признаков.

Критерий достоверности

и достоверность разности между средними

            Критерий достоверности позволяет определить, насколько велика допущенная в опыте ошибка. Его обозначают буквой t и вычисляют по формуле:
Если критерий достоверности больше 3 (t>3), то данные опыта достоверны, ошибка составляет около 5%. Если критерий достоверности меньше 3 (t<3),то полученным данным верить нельзя.


            Критерий достоверности зависит от размаха изменчивости и от числа наблюдений. Если t<3, то нужно увеличить выборку, взять для наблюдений больше особей, проверить, нет ли случайных значений вариант. В нашем примере

Полученное число больше 3, значит данные достоверны.


            При сопоставлении данных двух изучаемых групп можно вычислить достоверность разницы данного показателя между ними. Для этого вычисляют критерий достоверности различий. Этот показатель предложил В.С.Госсет, публиковавший свои работы под псевдонимом Стьюдент, отсюда и название – критерий Стьюдента. Критерий Стьюдента td вычисляют по формуле:

где       td– показатель достоверности разности,


X _ср1 – X _{ср2  –} разность между средними арифметическими двух сравниваемых групп (от большего значения Х_ср вычисляется меньшее),

Разность притнято считать достоверной, если td факт >td табл.

Табличное значение td (t) выбирается  по таблице, которая помещается в каждом учебнике по биометрии. Под числом степеней свободы Y (ню) понимается число наблюдений, уменьшенное на число ограничений.

Например:   n₁= 50,  n₂= 50,   Y = (n₁ – 1) + (  n₂ – 1) = (50–1) + (50 – 1) = 98.

В таблице даются достоверные величины td  при трех порогах вероятности (Р): 0,95; 0,99;  0,999 с учетом числа степеней свободы. Оптимально будет выбрать уровень Р 0,95. В месте пересечения строки значения Y и графы уровня вероятности и находится табличное значение td. Так, при значении Y=99 и Р 0,95  td табличное равно 1,98.

Если td_факт.< td_табл., то разность принято считать недостоверной, т.к. при этом нельзя сказать, какая из двух сравниваемых генеральных средних имеет лучшие показатели и сохранится ли подобная зависимость в других исследованиях или опытах.

Например, сравнивая по весу 2 группы детей, имеем:

Х₁ = 23 кг (23,0)   m_хср1 = 3,1 кг,

Х₂ = 24 кг (24,0)   m_хср2 = 2,0 кг,


Таким образом, td_факт = 0,27< td_табл.  Значит, вес детей в 2-х группах  различается недостоверно, т.е. нельзя сказать, какая группа имеет лучшие показатели.

Построение вариантной кривой

Графическое выражение изменчивости признака, отражающее как размах вариации, так и частоту встречаемости отдельных вариант выполняются в виде вариационной кривой. Вариационная кривая (привести рисунок) строится при изучении количественных признаков, значение которых может быть выражено целым и дробным числом. На графике откладываются значения Х_ср, а также интервала Х ± S;  Х ± 2S; Х ± 3S, а также Mo и Ме.

Мода (Мо) и медиана (Ме) являются дополнительными характеристиками среднего значения варьирующего признака в совокупности.

Мода показывает, какая величина варианта (Х_мо)данного признака чаще всего встречается в совокупности.

Медиана указывает на то, какой вариант расположен в середине (центре) вариационного ряда, он делит совокупность на две равные части: с уменьшающимися и увеличивающимися значениями Х от медианы.

Использование Мо и МЕ особенно удобно для сопоставления совокупностей по качественным признакам. Например, модальный цвет кожи у европеоидной расы  – белый, модальное число пальцев на руке – 5 и т.д.

В нормальном распределении величины Х_ср,  Мо и Ме совпадают.

При изучении же дискретных количественных признаков (количество детенышей в помете, число индивидуумов с доминантным признаком, количество зубов и т.д.) и качественных признаков – строится гистограмма. Следует помнить, что при изучении изменчивости качественных признаков (цвет глаз, волос, окраска венчика и др.) устанавливается частота в абсолютных значениях и в % в каждом классе изменчивости и вычерчивается гистограмма, а другие показатели изменчивости не вычисляются.

Задание:

Вычислить показатели изменчивости качественного и количественного признака по заданию преподавателя. Оформить работу в виде индивидуального задания. Объяснить значение всех вычисленных показателей изменчивости.