Реферат

Реферат Ряды и интеграл Фурье 2

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 9.11.2024



ГЛАВА 1

РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ


Основные сведения




Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т  называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1)  Сумма,  разность,  произведение  и  частное  периодических функций периода Т  есть периодическая функция периода Т.

2)  Если функция f(x)  период Т , то функция f(ax) имеет период .

3)  Если   f(x) - периодическая  функция  периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .


Тригонометрический ряд. Ряд Фурье




Если f(x) разлагается на отрезке  в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

 (1)


,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:





 , где n=1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а   коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье




Точка  разрыва функции  называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле).    Если  периодическая с периодом  функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2.    Если f(x) периодическая функция с периодом  , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

Ряды Фурье для четных и нечетных функций




Пусть f(x)  - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:



     Пусть  теперь   f(x)  - нечетная  функция   с   периодом 2L,  удовлетворяющая   условию   f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

 , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:



Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то

, где,

          ,

           ,

Если f(x)  разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x)  соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций




Последовательность функций  непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

 

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие



Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:



коэффициенты которого определяются равенством:

  n=1,2,...


Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи
 где n=1,2,...
Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке

по ортогональной системе называется ряд:

,
Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).


Комплексная форма ряда Фурье




Выражение  называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если  определяется равенством

, где  


Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
              (n=1,2, . . .)


Задача о колебании струны




Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной  l  с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.



При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению

    (1)    , где а - положительное число.


Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:

    (2)

и начальных условиях:

  (3)


Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t),    (4) , где , .

Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:



Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:



Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что  отрицательное число, разобрав все случаи.

a)  Пусть Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:





откуда  и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

б) Пусть . Тогда решив уравнение





получим , и, подчинив, найдем, что

в)  Если  то



Уравнения имеют корни :



получим:





где  -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:



откуда  , т. е.

    (n=1,2,...)

  (n=1,2,...).

Учитывая это, можно записать:

 (n=1,2,...).


и,  следовательно

, (n=1,2,...),

но так как A и B разные для различных значений n то имеем

, (n=1,2,...),
где  и  произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем  и  так , чтобы выполнялись условия





Эти равенства являются соответственно разложениями функций  и  на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой



где

 (n=1,2,...)

Интеграл Фурье



Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1)  абсолютной интегрируемости на
(т.е. интеграл сходится)
2)  на  любом  конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3)  в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:


, где  ,

.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям  представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что ,  а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

  (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

 ,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции  f(x) :

   (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

 ,

где b(u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
 ,   (5)

где

.

Выражение  в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в  комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.





где n=1,2,... , k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор



при этом,    .

ГЛАВА 2

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье




Исходные данные :

 

  (Рис. 1)
     Функция периодическая с периодом .( f(x+T)=f(x) )  Функция имеет на промежутке  конечное число точек разрыва первого рода.

     Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.

Рис. 1
     Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
     1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале .

     2) F(x) - кусочно-монотонна.
     Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.






     Из разложения видим, что при n нечетном   принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.



Поэтому формулу для  можно записать в виде:



( так как  ).
     Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
.
     Подставим найденные коэффициенты в  получим:


и вообще

.
     Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника ,

2-ая гармоника ,

3-ая гармоника ,

4-ая гармоника ,

5-ая гармоника ,

и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.

Запишем комплексную форму полученного ряда
     Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
,
но при   не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :
(т.к.  см. разложение выше)
и случай когда n=-1:
 (т.к. )
     И вообще комплексная форма:

или

или

Разложение  четной функции в ряд
Данную выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до  смотри рис.2


Рис.2
поэтому разложение по  косинусу  имеет вид:







     Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:



     На основе данного разложения запишем функцию в виде ряда:

и вообще

.
     Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника 

2-ая гармоника  

3-я гармоника

4-ая гармоника 

5-ая гармоника 

     А теперь рассмотрим сумму этих гармоник F(x):

Комплексная форма ряда по косинусам
 Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)

,

но при   не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+2 :

(т.к.  см. разложение выше)

и случай когда n=-2:
 (   т.к. )



     И вообще комплексная форма:

или

или

Разложение нечетной функции в ряд
     Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до  смотри рис.3

Рис.3

поэтому разложение по синусам имеет вид:





     Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.
     При n=1:

,
и при n=2:


     Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде


и вообще


     Найдем первые пять гармоник для данного разложения:

1-ая гармоника 

2-ая гармоника

3-ая гармоника 

4-ая гармоника 

5-ая гармоника 

     И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F(x)

Вывод:

     На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.
Комплексная форма ряда по синусам
     Основываясь на теорию (см.  гл.1) для ряда получаем:
 ,   (т.к. )
тогда комплексный ряд имеет вид:


ГЛАВА 3

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
Проверка условий представимости
     Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от  до  как равную нулю(рис.4).

Рис.4
а) f(x)-определенна на R;

б) f(x)  возрастает на , f(x) убывает на  - кусочнo-монотонна.

f(x)  = const на  и .
 < .
Интеграл Фурье
     В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u):





;




.
     И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:


Интеграл Фурье в комплексной форме
     Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
,
,
а теперь получим интеграл в комплексной форме:
.

ГЛАВА 4


ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА

Основные сведения
    Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:

     Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... :






. . . . . . . . . .
     Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:
,
 где       и разлагаемая  функция  должна  быть  представлена  на  отрезке от -1 до 1.
Преобразование функции
     Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):

т. к. она расположена на промежутке от 0 до  необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.

     Замена:


и тогда F(t) примет вид

или

Вычисление коэффициентов ряда
     Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:











     Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:











     Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно - слагаемое:













      А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):

 




Рис. 5
т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.
Вывод:

     На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.

ГЛАВА 5

ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Прямое преобразование
     Для того, чтобы произвести прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично. Поэтому разбиваем отрезок от 0 до   на N=8 частей, так чтобы приращение:



В нашем случае , и значения функции в k-ых точках будет:


для нашего случая (т.к. a=0).

     Составим табличную функцию:


k

0

1

2

3

4

5

6

7



0

0.785

1.571

2.356

3.142

3.927

4.712

5.498



0

0.707

1

0.707

0

0

0

0



Табл. 1
Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора называется . Поэтому найдем :
, n=0,1,...,N-1

     Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).
     Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:
зная, , где


       , где


n

0

1

2

3

4

5

6

7



0

1

2

3

4

5

6

7



2,4

2

1

0

0.4

0

1

2



0.318

0.25

0.106

0

0.021

0

0.009

0



Табл. 2

Амплитудный спектр


Обратное преобразование
     Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование- есть функция :

В нашем случаи это:


     А теперь найдем модули  и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям:



k

0

1

2

3

4

5

6

7



0

0.785

1.571

2.356

3.142

3.927

4.712

5.498



0

0.707

1

0.707

0

0

0

0



0

0.708

1

0.707

8e-4

5e-5

5e-4

3e-4



Табл. 3
Из приведенной таблицы видно, что  приближенно равно .

     Построим графики используя табл.3, где - это F(k), а - это f(k) рис. 6 :

Рис. 6
Вывод:

     На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.



1. Сочинение на тему Библейская лексика на страницах современных СМИ
2. Диплом Планирование как основная функция управления
3. Курсовая Понятие, типы и виды фирм
4. Реферат История развития гостиничного бизнеса 2
5. Краткое содержание Штабс-капитан Рыбников
6. Реферат Битва при Мальплаке
7. Реферат на тему Demonstrating The Theory Of Natural Selection Essay
8. Реферат на тему Comparing Chivalry In Sir Gawain And The
9. Реферат на тему Woman S Justice Essay Research Paper Woman
10. Диплом Совершенствование системы контроля и надзора службы ветиринарии Иркутской области в отношении