Реферат

Реферат Кривые и поверхности второго порядка 2

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024







Конспект
по математике.



Тема: Кривые и поверхности второго порядка.
















Выполнила

 Ерасова Екатерина

ГМУ 11

Окружность.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.



Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема1. Окружность радиуса  C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1046-1.pngс центром в точкеC:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1047-1.png  имеет уравнение (2)

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1048-1.png

Доказательство. Пусть C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1049-1.png - текущая точка окружности. По определению окружности расстояние  C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1050-1.pngравноC:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1046-1.png  (1)

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\pimage301.png(1)

По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1051-1.png

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(2).

Если в уравнении(2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным  C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img895-1.pngи  C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img742-1.png.


Сфера

(частный случай эллипсоида)

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема 13.1 Сфера радиусаC:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1046-1.png  с центром в точкеC:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img800-1.png  имеет уравнение    (13.2)

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1388-1.png

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\sfr.gif

Доказательство аналогично доказательству теоремы (1)
ЭЛЛИПС.





Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F1 и F2.

Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F
1
и F
2.
Отрезки F
1
М
и F
2
М
(так же как и длины этих отрезков) назы­ваются  фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F
1
М +
F
2
М = 2а.


Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F1, F2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r
1
и r
2
расстояния от точки М до фокусов (r
1
=
F
1
М,
r
2
=
F
2
М).
Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r
1
+
r
2
= 2а.


Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r
1
и r
2
их выраже­ниями через координаты х, у.

Заметим, что так как F
1
F
2
= 2с
и так как фокусы F
1
и F
2
распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:



Заменяя r
1
и r
2
,
получаем:



Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, полу­чим:



или            



Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2  ,

откуда

2—с22 + а2у2 = а22—с2).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

 ;

а>с, следовательно, а2—с2>0 и величина b—вещественна.

b2 = a2—c2,

тогда

b2x2 + a2y2 = a2b2 ,

или                  

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:

.

Так как с<a
,
то ε<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c
2
=
a
2

b
2
;
поэтому

;

отсюда

    и 

Следовательно,  эксцентриситет  определяется  отношением  осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2, тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b
=
a
и ε=0.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением



Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠b и, следова­тельно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b
.


Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии  от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид


  и  .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса  расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:

х2 + у2 =
R
2
.


 

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на­зываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F
1
и F
2
,
а расстояние между ними—через 2с.


Пусть М—произвольная точка гиперболы с фокусами F
1
и F
2
.
  Отрезки F
1
М
и F
2
М
(так же, как и дли­ны этих отрезков)  называ­ются фокальными радиусами точки М и обозначаются че­рез r
1
и r
2
  (r
1
=
F
1
М,
r
2
=
F
2
М).
  По определению гиперболы разность фокаль­ных радиусов ее точки М есть   по­стоянная   величина; эту постоян­ную принято обозначать через 2а.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F
1
и F
2
.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F
1
М
и F
2
М
через r
1
и r
2
.
Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r
1

r
2
= ±2а.


 Так как F
1

F
2
=2с
и так как фокусы F
1
и F
2
располо­жены на оси Ох симметрично относительно на­чала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внима­ние находим:

   ,  .

Заменяя r
1
и r
2
,
получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:


,

или

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c2x2 – 2a2cx + a4 = a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 ,

откуда                  

(c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 – a2) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

  ;

с>
a
,
следовательно, с2—а2>0 и величина b—вещественна.

b2= с2—а2,

тогда

b
2
x
2

a
2
y
2
=
a
2
b
2
  ,


или                          

 .

Уравнение

 ,

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук­вой ε, получим:

.

Так как для гиперболы с>a
,
то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме­тив, что c
2
=
a
2
+
b
2
,
находим:


;

отсюда

    и    .

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от­ношение  в свою очередь оп­ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха­рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше ε2—1, тем меньше, следо­вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо­лее вытянут ее ос­новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги­перболы a
=
b
и ε
=√2.


Рассмотрим какую-ни­будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

 .

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото­рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии  от него, называются директрисами гипер­болы.

Уравнения директрис в вы­бранной   системе  координат имеют вид

  и  .

Первую из них мы усло­вимся называть левой, вто­рую —правой.

Так как для гиперболы ε
>1,
то .

Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер­болы; ана­логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.


ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо­ку­сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди­ректрисой (пред­полагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F
,
расстояние от фокуса до ди­ректрисы—буквой p
.
Величину р называют параметром параболы.

Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас­стояние от точки М до фокуса (r
=
FM
),
через d
расстояние от точки М до дирек­трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r
=
d
.


Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d  их выраже­ниями через те­кущие координаты х, у.

Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим:

.

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты  отсюда, получаем:




число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда .

Заменяя r и d
,
найдем



Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди­наты точки

М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.

Возведем обе части равенства в квадрат; получим:



или

у2=2рх.

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте­пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.


Эллипсоид



a, b, c — полуоси



Однополостный гиперболоид



c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси


Двухполостный гиперболоид



c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси



Конус



Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат


Эллиптический параболоид





Гиперболический параболоид




Эллиптический цилиндр



a и b — полуоси


Гиперболический цилиндр




Параболический цилиндр



p — фокальный параметр




1. Реферат Королевство Миде
2. Реферат на тему Aquaducts In Rome Essay Research Paper In
3. Реферат на тему Безопасность технологических процессов и оборудования
4. Реферат PR-технологии
5. Реферат Проектирование сушильно-сортировочного цеха участки сушки, сортировки, починки и ребросклеивани
6. Реферат Адерманис, Имантс
7. Доклад на тему История этикета
8. Курсовая на тему Исследование системы стратегического планирования
9. Реферат Архитектура и скульптура барокко
10. Реферат Шляхі і метады будаўніцтва індустрыяльнага грамадства ў Савецкай Беларусі