Реферат

Реферат Кривые и поверхности второго порядка 2

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 8.11.2024







Конспект
по математике.



Тема: Кривые и поверхности второго порядка.
















Выполнила

 Ерасова Екатерина

ГМУ 11

Окружность.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.



Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема1. Окружность радиуса  C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1046-1.pngс центром в точкеC:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1047-1.png  имеет уравнение (2)

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1048-1.png

Доказательство. Пусть C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1049-1.png - текущая точка окружности. По определению окружности расстояние  C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1050-1.pngравноC:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1046-1.png  (1)

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\pimage301.png(1)

По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1051-1.png

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(2).

Если в уравнении(2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным  C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img895-1.pngи  C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img742-1.png.


Сфера

(частный случай эллипсоида)

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема 13.1 Сфера радиусаC:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1046-1.png  с центром в точкеC:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img800-1.png  имеет уравнение    (13.2)

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\img1388-1.png

C:\Documents and Settings\Коше4ка\Рабочий стол\sfr.gif

Доказательство аналогично доказательству теоремы (1)
ЭЛЛИПС.





Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F1 и F2.

Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F
1
и F
2.
Отрезки F
1
М
и F
2
М
(так же как и длины этих отрезков) назы­ваются  фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F
1
М +
F
2
М = 2а.


Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F1, F2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r
1
и r
2
расстояния от точки М до фокусов (r
1
=
F
1
М,
r
2
=
F
2
М).
Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r
1
+
r
2
= 2а.


Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r
1
и r
2
их выраже­ниями через координаты х, у.

Заметим, что так как F
1
F
2
= 2с
и так как фокусы F
1
и F
2
распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:



Заменяя r
1
и r
2
,
получаем:



Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, полу­чим:



или            



Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2  ,

откуда

2—с22 + а2у2 = а22—с2).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

 ;

а>с, следовательно, а2—с2>0 и величина b—вещественна.

b2 = a2—c2,

тогда

b2x2 + a2y2 = a2b2 ,

или                  

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:

.

Так как с<a
,
то ε<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c
2
=
a
2

b
2
;
поэтому

;

отсюда

    и 

Следовательно,  эксцентриситет  определяется  отношением  осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2, тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b
=
a
и ε=0.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением



Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠b и, следова­тельно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b
.


Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии  от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид


  и  .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса  расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:

х2 + у2 =
R
2
.


 

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на­зываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F
1
и F
2
,
а расстояние между ними—через 2с.


Пусть М—произвольная точка гиперболы с фокусами F
1
и F
2
.
  Отрезки F
1
М
и F
2
М
(так же, как и дли­ны этих отрезков)  называ­ются фокальными радиусами точки М и обозначаются че­рез r
1
и r
2
  (r
1
=
F
1
М,
r
2
=
F
2
М).
  По определению гиперболы разность фокаль­ных радиусов ее точки М есть   по­стоянная   величина; эту постоян­ную принято обозначать через 2а.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F
1
и F
2
.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F
1
М
и F
2
М
через r
1
и r
2
.
Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r
1

r
2
= ±2а.


 Так как F
1

F
2
=2с
и так как фокусы F
1
и F
2
располо­жены на оси Ох симметрично относительно на­чала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внима­ние находим:

   ,  .

Заменяя r
1
и r
2
,
получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:


,

или

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c2x2 – 2a2cx + a4 = a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 ,

откуда                  

(c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 – a2) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

  ;

с>
a
,
следовательно, с2—а2>0 и величина b—вещественна.

b2= с2—а2,

тогда

b
2
x
2

a
2
y
2
=
a
2
b
2
  ,


или                          

 .

Уравнение

 ,

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук­вой ε, получим:

.

Так как для гиперболы с>a
,
то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме­тив, что c
2
=
a
2
+
b
2
,
находим:


;

отсюда

    и    .

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от­ношение  в свою очередь оп­ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха­рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше ε2—1, тем меньше, следо­вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо­лее вытянут ее ос­новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги­перболы a
=
b
и ε
=√2.


Рассмотрим какую-ни­будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

 .

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото­рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии  от него, называются директрисами гипер­болы.

Уравнения директрис в вы­бранной   системе  координат имеют вид

  и  .

Первую из них мы усло­вимся называть левой, вто­рую —правой.

Так как для гиперболы ε
>1,
то .

Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер­болы; ана­логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.


ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо­ку­сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди­ректрисой (пред­полагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F
,
расстояние от фокуса до ди­ректрисы—буквой p
.
Величину р называют параметром параболы.

Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас­стояние от точки М до фокуса (r
=
FM
),
через d
расстояние от точки М до дирек­трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r
=
d
.


Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d  их выраже­ниями через те­кущие координаты х, у.

Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание, находим:

.

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты  отсюда, получаем:




число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда .

Заменяя r и d
,
найдем



Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди­наты точки

М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.

Возведем обе части равенства в квадрат; получим:



или

у2=2рх.

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте­пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.


Эллипсоид



a, b, c — полуоси



Однополостный гиперболоид



c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси


Двухполостный гиперболоид



c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси



Конус



Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат


Эллиптический параболоид





Гиперболический параболоид




Эллиптический цилиндр



a и b — полуоси


Гиперболический цилиндр




Параболический цилиндр



p — фокальный параметр




1. Реферат Анализ внешней среды фирмы 2
2. Статья Мировой опыт в решении проблемы бездомных животных
3. Реферат на тему The Ebonics Debate Essay Research Paper The
4. Курсовая на тему Геополитические проблемы стран Персидского залива
5. Контрольная работа на тему Законы сохренения импульса
6. Реферат на тему Great Expectations Vs Oliver Twist Essay Research
7. Реферат Главные духовные болезни современного общества
8. Реферат на тему Asian Fall Essay Research Paper East Asian
9. Реферат Важнейшие промышленные и финансовые центры США, крупнейшие корпорации
10. Реферат Государственная раздробленность на Руси