Основные идеи интуиционизма

Источник математики, считал Брауэр, — фундаментальная математическая интуиция. Не все обычные логические принципы приемлемы для нее. Так, в частности, обстоит дело с законом исключенного третьего, говорящим, что либо само утверждение, либо его отрицание истинно. Этот закон исторически возник в рассуждениях о конечных множествах объектов. Но затем он был необоснованно распространен также на бесконечные множества. Когда множество является конечным, мы можем решить, все ли входящие в него объекты обладают некоторым свойством, проверив один за другим все эти объекты. Но для бесконечных множеств такая проверка невозможна.

Допустим, что мы, рассматривая конечный набор чисел, доказали, что не все они четны. Отсюда по закону исключенного третьего следует, что по крайней мере одно из них нечетно. При этом утверждение о существовании такого числа можно подтвердить, предъявив это число. Но если бы рассматриваемое множество чисел было бесконечным, заключение о существовании среди них хотя бы одного нечетного числа оказалось бы непроверяемым. Тем самым осталось бы неясным, что означает в этом случае само слово «существование».

По выражению немецкого математика Г. Вейля, доказательства существования, опирающиеся на закон исключенного третьего, извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом местонахождение и не давая возможности воспользоваться им.

Таким образом, по убеждению интуиционистов, закон исключенного третьего не является универсальным, одинаково применимым в рассуждениях о любых объектах. Как не без иронии говорит Вейль, он «может быть верным для всемогущего и всезнающего существа, как бы обозревающего единым взглядом бесконечную последовательность натуральных чисел, но не для человеческой логики».

Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 г. ученик Брауэра А. Рейтинг опубликовал работу с изложением особой интуиционистской логики. В этой логике не действует закон исключенного третьего, несомненный для классической логики. Отбрасывается также ряд других законов, позволяющих доказывать существование объектов, которые нельзя построить или вычислить. В число отвергаемых попадают, в частности, закон снятия.двойного отрицания («Если неверно, что не-А, то А») и закон приведения к абсурду, дающий право утверждать, что математический объект существует, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию.

В дальнейшем идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключенного третьего и близких ему способов математического доказательства, были развиты российскими математиками А.Н. Колмогоровым, В.А. Гливенко, А.А. Марковым и другими. В результате переосмысления основных предпосылок интуиционистской логики возникла конструктивная ло гика, также считающая неправомерным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

Большая советская энциклопедия

Интуиционистская логика

Интуиционистская логика, форма логики предикатов, отражающая взгляд интуиционизма на характер логических законов, считающихся, с его точки зрения, допустимыми в применении к доказательствам суждений из тех частей дедуктивных наук (особенно математики), которые существенно связаны с понятием математической бесконечности.

В соответствии с концепцией интуиционизма, в И. л. нет исключенного третьего принципа и закона снятия двойного отрицания. В качестве И. л. обычно рассматривается формальная логическая система, построенная нидерландским математиком А. Гейтингом в 1930 (охватывает логику предикатов; ещё ранее — на основании соображений, отличных от интуиционистских, — систему И. л. в применении к логике высказываний, составляющей часть логики предикатов, построил советский учёный В. И. Гливенко). Интуиционистская логика Гейтинга отличается тем, что выразимые в ней содержательные рассуждения являются приемлемыми с точки зрения интуиционизма нидерландского математика Л. Э. Я. Брауэра.

С развитием конструктивных направлений в математике и логике И. л. нашла в них применение и поэтому стала часто называться конструктивной логикой (хотя в И. л. и нет некоторых принципов, признаваемых многими представителями этих направлений, например принципа конструктивного подбора, выдвинутого конструктивным направлением, возглавляемым советским математиком А. А. Марковым).

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

— одна из наиболее важных ветвей неклассической логики, имеющая своей филос. предпосылкой программу интуиционизма. Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 гол. математик и логик А. Рейтинг — ученик создателя интуиционизма Л.Э.Я. Брауэра — дал аксиоматическую формулировку И.л., подчеркнув, что «интуиционизм развивается независимо от формализации, которая может идти только по следам математической конструкции». В И.л. не действует закон исключенного третьего, а также ряд др. законов классической логики, позволяющих доказывать существование объектов, которые невозможно реализовать или вычислить. В числе таких законов — закон (снятия) двойного отрицания и закон приведения к абсурду.

Отбрасывание закона исключенного третьего не означает принятия отрицания этого закона; напротив, И.л. утверждает, что отрицание отрицания этого закона (его двойное отрицание) является верным. Отбрасывание не должно пониматься так же, как введение какого-то третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью.

В классической логике центральную роль играет понятие истины. На его основе определяются логические связки, позволяющие строить сложные высказывания. В И.л. смысл связок задается путем указания тех необходимых и достаточных условий, при которых может утверждаться сложное высказывание.

Если р и q — некоторые высказывания, то их конъюнкцию (р и q) можно утверждать, только если можно утверждать как p, так и q. Дизъюнкцию (р или q) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q. Математическое высказывание р можно утверждать только после проведения некоторого математического построения с определенными свойствами; соответственно отрицание р можно утверждать, если и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено. Понятие противоречия здесь принимается в качестве неопределяемого, практически противоречие всегда можно привести к форме 1 = 2. Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q.

Интуиционистское понимание логических связок таково, что из доказательства истинности высказывания всегда можно извлечь способ построения объектов, существование которых утверждается.

И.л. является единственной из неклассических логик, в рамках которой производилась достаточно последовательная и глубокая разработка многих разделов математики. Эта логика позволяет тонко и точно исследовать трудный и важный вопрос о характере существования объектов, исследуемых в математике.

Идеи, касающиеся ограниченной приложимости законов исключенного третьего, снятия двойного отрицания, редукции к абсурду и связанных с ними способов математического доказательства, разрабатывались рус. математиками А.Н. Колмогоровым, В.И. Гливенко, А.А. Марковым, Н.А. Шаниным и др. В результате критического переосмысления основных принципов И.л. возникла конструктивная логика, также считающая неправильным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

(Источник: «Философия: Энциклопедический словарь». Под ред. А.А. Ивина. — М.: Гардарики, 2004.)

Критика классической математики

Отдельные черты интуиционизма можно проследить ещё в античной математике, а позднее в высказываниях таких учёных, как Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Лебег, Э.Борель. Однако в своём современном виде интуиционизм возник как результат критического пересмотра основ классической математики, проведённого начиная с 1907 года Л. Э. Я. Брауэром.

В основе критики Л. Э. Я. Брауэра лежит вопрос о природе математических объектов и суждений о них. Так, естественно представить, что произвольное натуральное число может быть построено в виде последовательного ряда однородных предметов, например, ряда точек. Столь же естественно представить, что, построив некоторое натуральное число, можно построить затем и следующее, добавив к уже построенному ещё одну точку. Поэтому природа натуральных чисел является интуитивно ясной. Однако наряду с такими объектами в классической математике рассматриваются и объекты с интуитивно неясной природой, например, «множество всех натуральных чисел» и «множество, неизмеримое по Лебегу». С ними не связывается никакого способа их мысленного построения, и потому их действительное существование представляется сомнительным.

Одним из источников возникновения такого рода «монстров» в классической математике являются теоремы чистого существования, в которых наличие искомого объекта утверждается лишь на основе формального опровержения гипотезы о его невозможности. Иначе говоря, фундамент таких теорем составляет представление об абсолютной непогрешимости законов классической логики.

Это представление также стало одной из мишеней критики Брауэра. С его точки зрения, законы классической логики возникли в результате рассмотрения конечных совокупностей, при работе с которыми доказательство чистого существования заведомо может быть дополнено эффективным способом построения искомого объекта — полным перебором. При переходе же к рассмотрению бесконечных совокупностей эти законы становятся недостоверными, поскольку полного перебора таких совокупностей мы провести уже не можем.

В качестве простейшего примера рассмотрим следующую теорему чистого существования:


«для любого вещественного числа x найдётся натуральное число n, равное 1 в случае x = 0, и равное 2 в случае x\neq 0»

Признать такое число n действительно существующим мы могли бы лишь в том случае, если бы умели сравнивать произвольное вещественное число x с нулём, чего, однако, мы делать не умеем. Действительно, число x на деле задаётся некоторой бесконечной последовательностью рациональных чисел \{x_n\}_{n=1}^{\infty}. Эффективным способом сравнения числа x с нулём был бы лишь такой, который позволял бы производить это сравнение на основе просмотра некоторого конечного (пусть и очень большого) набора чисел xk. Однако такое рассмотрение не позволяет надёжно установить верность равенства x = 0.

Аналогичные трудности возникают при попытках прояснения статуса существования многих других объектов классического анализа, например, точек экстремума непрерывной функции на отрезке, нулей знакопеременных непрерывных функций на отрезке и т. д. Никакого способа эффективного построения указанных объектов в нашем распоряжении не имеется.

Такая критика классической математики не связана непосредственно с антиномиями теории множеств. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает.

[править] Интуиционистская логика

Для более ясной формулировки интуиционизма последователь Л. Э. Я. Брауэра А. Гейтинг создал интуиционистскую логику.

При построении интуиционистской математики обычные логические связки, употребляемые для формулировки математических суждений, истолковываются способом, отличным от классического. Любое суждение считается осмысленным, только если оно выражает возможность некоторого умственного построения, и считается истинным, только если исследователю удалось выполнить соответствующее построение. Так, утверждение, начинающееся с квантора существования, означает наличие способа мысленного построения искомого объекта. Дизъюнкция A\vee B суждений A и B означает возможность непосредственно указать среди этих суждений верное. С этой точки зрения, суждение вида A\vee\neg A может и не быть истинным, если проблема A не решена к настоящему времени. Отсюда видно, что закон исключённого третьего неприемлем в интуиционистской математике в качестве логического принципа.

Соотношение теоретико-множественной, интуиционистской и конструктивной математик с точки зрения допускаемых логических средств и абстракций может быть охарактеризовано следующей таблицей:

Теоремы и принципы Теоретико-множественная математика Интуиционистская математика Конструктивная математика

Закон исключённого третьего Да Нет Нет

Закон двойного отрицания Да Нет Нет

Принцип Маркова Да Нет Да

Абстракция актуальной бесконечности Да Частично * Нет

Тезис Чёрча * Да Нет Да

1. ↑ Отказ от абстракции актуальной бесконечности провозглашался как один из принципов интуиционизма, в то же время, впоследствии было показано, что использование принятого в интуиционизме аппарата построений на деле означает привлечение абстракции актуальной бесконечности.

2. ↑ Эффективность в интуиционизме понимается достаточно широко, она не обязательно связана с наличием алгоритма в точном понимании этого термина и может носить, например, характер исторического наступления события, зависеть от фактического решения проблем, от физических факторов.

Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением, которое достигло многих существенных результатов, в том числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

Интуиция

(от лат. intuitio — пристальное, внимательное всматривание, созерцание) — способность к прямому усмотрению ис­тины, постижению ее без всякого рассуждения и доказательства. Для И. обычно считаются типичными неожиданность, невероят­ность, непосредственная очевидность и неосознанность пути, ве­дущего к ее результату. С «непосредственным схватыванием», внезапным озарением и прозрением много неясного и спорного. Иногда даже говорится, что И. - это куча хлама, в которую свали­ваются все интеллектуальные механизмы, о которых не известно, как их проанализировать. И., несомненно, существует и играет за­метную роль в познании. Далеко не всегда процесс научного и тем более художественного творчества и постижения мира осущес­твляется в развернутом, расчлененном на этапы виде. Нередко че­ловек охватывает мыслью сложную ситуацию, не отдавая отчета во всех ее деталях, да и просто не обращая внимания на них. Особенно наглядно это проявляется в военных сражениях, при постановке диагноза, при установлении виновности и невиновности и т. п. 137 Из многообразных трактовок И. можно эскизно наметить сле­дующие: >> И. Платона как созерцание стоящих за вещами идей, прихо­дящее внезапно, но предполагающее длительную подготовку ума; >> интеллектуальная И. Декарта как понятие ясного и внима­тельного ума, настолько простое и отчетливое, что не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим; >> И. Спинозы, являющаяся «третьим родом» познания (наряду с чувствами и разумом) и схватывающая сущность вещей; >> чувственная И. Канта и его более фундаментальная чистая И. пространства и времени, лежащая в основе математики; >> художественная И. Шопенгауэра, улавливающая сущность мира как мировую волю; >> И. философии жизни (Ницше), несовместимая с разумом, логикой и жизненной практикой, но постигающая мир как фор­му проявления жизни; >> И. Бергсона как непосредственное слияние субъекта с объек­том и преодоление противоположности между ними; >> моральная И. Мура как непосредственное видение добра, не являющегося «естественным» свойством вещей и не допускающе­го рассудочного определения; >> чистая И. времени Брауэра, лежащая в основе деятельности мысленного конструирования математических объектов; >> И. Фрейда как скрытый, бессознательный первоисточник твор­чества; >> И. Полани как спонтанный процесс интеграции, непосред­ственного внезапного усмотрения целостности и взаимосвязи в ранее разрозненном множестве объектов. Этот перечень может быть продолжен. В сущности, едва ли не у каждого крупного философа и психолога имеется свое собствен­ное понимание И. В большинстве случаев эти понимания не ис­ключают друг друга. И. как «прямое видение истины» не является чем-то сверхра­зумным. Она не идет в обход чувств и мышления и не составляет особого рода познания. Ее своеобразие состоит в том, что отдель­ные звенья процесса мышления проносятся более или менее бес­сознательно и запечатлевается только итог мысли — внезапно от­крывшаяся истина. Существует давняя традиция противопоставлять И. логике. Не­редко И. ставится выше логики даже в математике, где роль стро­гих доказательств особенно велика. Чтобы усовершенствовать ме­тод в математике, полагал Шопенгауэр, необходимо прежде всего отказаться от предрассудка — веры в то, будто доказанная истина выше интуитивного знания. Паскаль проводил различие между «ду­хом геометрии» и «духом проницательности». Первый выражает силу и прямоту ума, проявляющиеся в железной логике рассуж­дений, второй — широту ума, способность видеть глубже и про­зревать истину как бы в озарении. Для Паскаля даже в науке «дух проницательности» независим от логики и стоит неизмеримо выше ее. Еще раньше некоторые математики утверждали, что интуитив­ное убеждение превосходит логику, подобно тому как ослепи­тельный блеск Солнца затмевает бледное сияние Луны. Неумеренное возвеличение И. в ущерб строгому доказательству неоправданно. Логика и И. не исключают и не подменяют друг друга. В реальном процессе познания они, как правило, тесно пе­реплетаются, поддерживая и дополняя друг друга. Доказательство санкционирует и узаконивает достижения И., оно сводит к мини­муму риск противоречия и субъективности, которыми всегда чре­вато интуитивное озарение. Логика, по выражению математика Г.Вейля, - это своего рода гигиена, позволяющая сохранить идеи здоровыми и сильными. И. отбрасывает всякую осторожность, ло­гика учит сдержанности. Только проведенное шаг за шагом логи­ческое доказательство делает завоевания И. объективно установ­ленным результатом. Уточняя и закрепляя результаты И., логика сама обращается к ней в поисках поддержки и помощи. Логические принципы не яв­ляются чем-то заданным раз и навсегда. Они формируются в мно­говековой практике познания и преобразования мира и представ­ляют собой очищение и систематизацию стихийно складывающихся «мыслительных привычек». Вырастая из аморфной и изменчивой пралогической И., из непосредственного, хотя и неясного «виде­ния логического», эти принципы всегда остаются связанными с изначальным интуитивным «чувством логического». Не случайно строгое доказательство ничего не значит даже для математика, если результат остается непонятным ему интуитивно. Логика и И. не должны противопоставляться друг другу, каж­дая из них необходима на своем месте. Внезапное интуитивное озарение способно открыть истины, вряд ли доступные последова­тельному и строгому логическому рассуждению. Однако ссылка на И. не может служить твердым и тем более последним основанием для принятия каких-то утверждений. И. приводит к интересным новым идеям, но она нередко порождает также ошибки, вводит в заблуждение. Интуитивные догадки субъективны и неустойчивы, они нуждаются в логическом обосновании. Чтобы убедить в инту- итивно схваченной истине как других, так и самого себя, требу­ется развернутое рассуждение, доказательство (см.: Аргументация контекстуальная).

Интуиционизм

- направление в обосновании математики и логики, согласно которому конечным критерием приемлемости методов и результатов этих наук является наглядно-содержатель­ная интуиция. Вся математика должна опираться, согласно И., на интуитивное представление ряда натуральных чисел и на прин­цип математической индукции, истолковываемый как требование действовать последовательно, шаг за шагом; допускаются лишь конструктивные доказательства существования рассматриваемого объекта, указывающие способ его построения. Создателем И. является голландский математик Л. Э. Я. Брауэр (1881 — 1966). В начале XX в. он выдвинул программу радикальной перестройки математики, противопоставив ее концепции сведе­ния математики к логике (см.: Логицизм) и истолкованию мате­матики исключительно как языка математических символов (см.: Формализм). Представители И. полагают, что чистая математика является мыслительной активностью, не зависящей от языка, ее объект -нелингвистические математические конструкции. Язык служит лишь для сообщения математических идей, математика не сво­дится к языку и тем более не может быть истолкована как особый язык. Предметом исследования (математической) логики являет­ся математический язык, более или менее адекватно передающий математические построения. Логика вторична по отношению к ма­тематике, последняя не может быть обоснована с помощью логи­ческих средств. Основной тезис интуиционистов гласит, что существование в математике — это то же самое, что конструктивность, или «построяемость». Из существования математического объекта вытека­ет его непротиворечивость, но не наоборот: не каждый непроти­воречивый объект существует. Построение является единственным средством обоснования в математике. Интуиционисты подвергли резкой критике закон исключенного третьего, закон (снятия) двойного отрицания и ряд других зако­нов логики классической. Согласно Брауэру, логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Закон исключенного третьего, верный в случае конечной математики, неприменим в рассуждениях о бесконечных множествах. Объекты бесконечного множества невозможно пере­брать. Если в процессе перебора не удалось найти элемент с требу­емым свойством, ни утверждение о существовании такого объекта, ни отрицание этого утверждения не является истинным. Критика И. классической логики привела к созданию нового направления в логике — интуиционистской логики. Одновременно с Брауэром сомнения в универсальной прило­жимости закона исключенного третьего высказал рус. философ и логик Н. А. Васильев (1880-1940). Он ставил своей задачей постро­ение такой системы логики, в которой была бы ограничена не только сфера действия этого закона, но и непротиворечия закона. Казавшиеся парадоксальными, идеи Васильева не были в свое время оценены по достоинству.

Основные идеи интуиционизма

Источник математики, считал Брауэр, - фундаментальная математическая интуиция. Не все обычные логические принципы приемлемы для нее. Так, в частности, обстоит дело с законом исключенного третьего, говорящим, что либо само утверждение, либо его отрицание истинно. Этот закон исторически возник в рассуждениях о конечных множествах объектов. Но затем он был необоснованно распространен также на бесконечные множества. Когда множество является конечным, мы можем решить, все ли входящие в него объекты обладают некоторым свойством, проверив один за другим все эти объекты. Но для бесконечных множеств такая проверка невозможна.

Допустим, что мы, рассматривая конечный набор чисел, доказали, что не все они четны. Отсюда по закону исключенного третьего следует, что по крайней мере одно из них нечетно. При этом утверждение о существовании такого числа можно подтвердить, предъявив это число. Но если бы рассматриваемое множество чисел было бесконечным, заключение о существовании среди них хотя бы одного нечетного числа оказалось бы непроверяемым. Тем самым осталось бы неясным, что означает в этом случае само слово <существование>.

По выражению немецкого математика Г. Вейля, доказательства существования, опирающиеся на закон исключенного третьего, извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом местонахождение и не давая возможности воспользоваться им.

Таким образом, по убеждению интуиционистов, закон исключенного третьего не является универсальным, одинаково применимым в рассуждениях о любых объектах. Как не без иронии говорит Вейль, он <может быть верным для всемогущего и всезнающего существа, как бы обозревающего единым взглядом бесконечную последовательность натуральных чисел, но не для человеческой логики>.

Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 г. ученик Брауэра А. Рейтинг опубликовал работу с изложением особой интуиционистской логики. В этой логике не действует закон исключенного третьего, несомненный для классической логики. Отбрасывается также ряд других законов, позволяющих доказывать существование объектов, которые нельзя построить или вычислить. В число отвергаемых попадают, в частности, закон снятия.двойного отрицания (<Если неверно, что не-А, то А>) и закон приведения к абсурду, дающий право утверждать, что математический объект существует, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию.

В дальнейшем идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключенного третьего и близких ему способов математического доказательства, были развиты российскими математиками А.Н. Колмогоровым, В.А. Гливенко, А.А. Марковым и другими. В результате переосмысления основных предпосылок интуиционистской логики возникла конструктивная логика, также считающая неправомерным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

15 ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

В 1908 г. Л. Брауэром были заложены основания интуиционистской логики. Это направление неклассической логики основано на принципе интуиционизма.

Интуиционизм признает главным и единственным критерием правомерности методов и результатов логики ее интуитивную – наглядно—содержательную убедительность (интуицию). Данное понятие заключается в двух положениях:

1) процессе умственного построения всех логических объектов;

2) отказе от использования абстракции актуальной бесконечности.

Главным объектом критики интуиционистской логики стал классический закон исключенного третьего. Л. Брауэр полагал, что, возникнув в конечном множестве объектов, закон исключенного третьего впоследствии был распространен на бесконечные множества, в результате чего проверить, обладают ли все предметы определенным свойством или нет, не является возможным.

Еще одним важным положением интуиционистской логики было отрицание существования логики вне рамок математики. По мнению интуи—ционистов логика возникла вместе с математикой.

Чтобы избежать парадоксов, математическое доказательство должно основываться не на логической строгости, а на интуитивной очевидности: оно достоверно при условии интуитивного понимания каждой его ступени начиная

с исходных посылок и правил рассуждения. Таким образом, о применимости в доказательстве тех или иных законов логики в конечном счете также должна судить интуиция. Однако при этом интуиционизм не противопоставляет интуицию логике, а развивает понимание логики исключительно как части математики.

Одним из направлений интуиционистской логики является конструктивная логика. Основная идея конструктивной логики заключается в запрещении переносить на бесконечные множества принципы, верные для конечных множеств (например, положение о том, что целое больше частного). Само понятие «бесконечность» конструктивная логика также трактует отлично от классической. Если в последней бесконечность – завершенное понятие, то в первой она является потенциальной и становящейся. Для конструктивной логики характерно индуктивное построение объектов и логико—математических теорий в целом. В рамках конструктивной логики был разработан специальный прием исследования – конструктивный метод. Он противопоставлялся аксиоматическому методу и основан на так называемых рекурсивных определениях, связанных с математической индукцией. Однако на данный момент он находит применение только в построении конструктивных наук: логики и математики. Большой вклад в развитие конструктивной логики внесли российские ученые А. Н. Колмогоров, А.А. Марков, Н. А. Шанин.

Лёйтзен Э́гберт Ян Бра́уэр (нидерл. Luitzen Egbertus Jan Brouwer; 27 февраля 1881 — 2 декабря 1966) — голландский философ и математик, выпускник университета Амстердама, работавший в таких областях математики, как топология, теория множеств, математическая логика, теория меры и комплексный анализ.

Член Нидерландской АН в Амстердаме (1912), член-корреспондент Парижской и Гёттингенской АН, профессор Амстердамского университета (1912—1951).

Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Дата рождения:

27 февраля 1881(1881-02-27)

Дата смерти:

2 декабря 1966(1966-12-02) (85 лет)

Страна:

Флаг Нидерландов Голландия

Научная сфера:

топология, теория множеств, математическая логика, теория меры, комплексный анализ

Место работы:

Амстердамский университет

Награды и премии

Теорема Брауэра

Большая советская энциклопедия

Брауэр Лёйтзен Эгберт Ян

Брауэр (Brouwer) Лёйтзен Эгберт Ян (27.2.1881, Оверсхи,—2.12.1966, Амстердам), голландский математик, член Нидерландской АН в Амстердаме (1912), член-корреспондент Парижской и Гёттингенской АН, профессор Амстердамского университета (1912—51). С 1908 Б. последовательно проводил критику т. н. чистых математических доказательств существования, опирающихся на логичность исключенного третьего принцип, что в конечном счёте положило начало целому направлению в обоснованиях математики — математическому интуиционизму. Но независимую от философии интуиционизма ценность имеет проведённый Б. анализ математических доказательств существования с точки зрения конструктивного построения тех объектов, существование которых доказывается. В частности, А. Н. Колмогоровым было показано, что правила так называемой интуиционистской логики находят своё реальное осуществление в логике конструктивного решения математических проблем. В 1911—13 Б. установил ряд важных понятий и результатов в области топологии. В их числе: понятия симплициальной аппроксимации и степени непрерывного отображения; понятие гомотопической классификации отображений; теорема о гомотопической эквивалентности двух отображений (сферы на себя), имеющих одну и ту же степень; теорема об инвариантности числа измерений и инвариантности внутренних точек (при топологическом отображении множества, лежащего в n-мeрном пространстве, в это же пространство); теорема о неподвижной точке, n-мeрная теорема Жордана и др. Эти результаты и методы, найденные для их доказательства, определили значительное влияние Б. на развитие топологии в период между 1-й и 2-й мировыми войнами.

Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947; Вейль Г., О философии математики. Сб. работ, пер. с нем., М. — Л., 1934 (см. раздел: О новом кризисе основ математики).

БРАУЭР Лёйтзен Эгберт Ян

Дата рождения: 27.02.1881

Дата смерти: 02.12.1966

Страна: Нидерланды

Голландский математик, чл. Нидерландской АН в Амстердаме (1912), чл.-кор. Парижской и Геттингенской АН. Чл. Американского философского о-ва (Филадельфия, 1943), чл. Лондонского королевского о-ва (1948), почетный доктор ун-тов в Осло (1929) и Кембридже (1955). Род. в Оверсхи. Профессор Амстердамского ун-та (1912—1951). В 1911 — 1913 Брауэр получил ряд важных результатов в области общей топологии, в частности доказал теорему об инвариантности числа измерений при взаимнооднозначных непрерывных отображениях, теорему о неподвижной точке. Известны Брауэра группа (в алгебре), принцип Брауэра (в функциональном анализе), брауэровы многообразия в алгебраической топологии. Трудности, связанные с теоретико-множественными концепциями современной математики, привели Брауэр к коренной критике логических основ математики, в частности к применению закона исключенного третьего в математических доказательствах и созданию философско-математического направления — интуиционизма. Брауэр одним из первых оценил созданную П. С. Урысоном теорию и содействовал ее популяризации.

Брауэр Лейтзен Эгберт Ян

Брауэр (Brouwer) Лейтзен Эгберт Ян (27.2.1881, Оверсхи, — 2.12.1966, Амстердам), голландский математик, член Нидерландской АН в Амстердаме (1912), член-корреспондент Парижской и Геттингенской АН, профессор Амстердамского университета (1912—51). С 1908 Б. последовательно проводил критику т. н. чистых математических доказательств существования, опирающихся на логичность исключенного третьего принцип, что в конечном счете положило начало целому направлению в обоснованиях математики — математическому интуиционизму. Но независимую от философии интуиционизма ценность имеет проведенный Б. анализ математических доказательств существования с точки зрения конструктивного построения тех объектов, существование которых доказывается. В частности, А. Н. Колмогоровым было показано, что правила так называемой интуиционистской логики находят свое реальное осуществление в логике конструктивного решения математических проблем. В 1911—13 Б. установил ряд важных понятий и результатов в области топологии. В их числе: понятия симплициальной аппроксимации и степени непрерывного отображения; понятие гомотопической классификации отображений; теорема о гомотопической эквивалентности двух отображений (сферы на себя), имеющих одну и ту же степень; теорема об инвариантности числа измерений и инвариантности внутренних точек (при топологическом отображении множества, лежащего в n-мeрном пространстве, в это же пространство); теорема о неподвижной точке, n-мeрная теорема Жордана и др. Эти результаты и методы, найденные для их доказательства, определили значительное влияние Б. на развитие топологии в период между 1-й и 2-й мировыми войнами.


Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947; Вейль Г., О философии математики. Сб. работ, пер. с нем., М. — Л., 1934 (см. раздел: О новом кризисе основ математики).

Аренд Гейтинг (9 Мая, 1898 – 9 Июля, 1980) голландский математик и логик, студент и последователь Л. Э. Я. Брауэра член Нидерландской АН. Окончил Амстердамский университет (1922). Работал там же (с 1948 г. – профессор). Исследования посвящены основаниям математики. Один из виднейших представителей интуиционизма после Брауэра, опубликовал работу с изложением формальных правил интуиционистской логики высказываний. Интуиционистская логика стала частью математической логики.

Он родился в Амстердаме, Нидерланды, и умер в Лугано, Швейцария.

Аренд ГЕЙТИНГ (1898--1980)

Известный голландский математик и логик. Родился в Амстердаме, в семье школьного учителя. Окончил в 1922 г. Амстердамский университет. Ученик и последователь известного голландского математика, основоположника интуиционизма Л. Э. Я. Брауэра, под руководством которого в 1925 г. успешно защитил докторскую диссертацию. Работал учителем математики в средней школе, одновременно занимаясь математическими исследованиями (в 1928 г. был удостоен премии Голландской математической ассоциации). С 1936 г. работает в Амстердамском университете; с 1948 г. до выхода на пенсию в 1968 г. -- профессор этого университета. Член Нидерландской академии наук.

Исследования А. Гейтинга были посвящены основаниям математики. Он стал одним из виднейших после Брауэра представителей интуиционизма - системы философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности "интуитивно убедительных" умственных построений. Продолжая развивать это направление в математике, А. Гейтинг изложил формальные правила интуиционистской логики высказываний, построил двузначную символическую логику. Во многом благодаря его работам интуиционистская логика стала частью математической логики.