Контрольная работа №1А.

«Система стабилизации скорости подачи лесопильной рамы».
Задание 1. Для контура, соответствующего варианту задания, начертить функциональную схему системы автоматического регулирования. Описать принцип ее действия. Определить из каких динамических звеньев состоит исследуемая САР. Начертить структурные схемы замкнутой и разомкнутой систем. Указать на них сигнал рассогласования ε(t), задающее воздействие y(t), управляемую величину x(t).

Задание 2. Для исследуемой САР определить главные передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем. Определить передаточную функцию по сигналу рассогласования для замкнутой системы. Рассчитать установившееся значение управляемой величины h_уст и статическую ошибку ε_ст при единичном ступенчатом задающем воздействии.

Задание 3. Для исследуемой САР определить вещественную и мнимую составляющие частотной передаточной функции разомкнутой системы. По полученным данным рассчитать и построить графики частотных характеристик разомкнутой системы: а) амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ); б) амплитудную частотную характеристику (АЧХ); в) фазовую частотную характеристику (ФЧХ); г) логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ); д) логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ).

Задание 4. Оценить устойчивость исследуемой системы автоматического регулирования с помощью алгебраического критерия Гурвица и частотного критерия Найквиста. Если система устойчива, по графикам ЛАЧХ и ЛФЧХ оценить запасы устойчивости.



Рис. 1. Функциональная схема системы.
Принцип работы систем стабилизации подачи и нагрузки на пилу лесопильной рамы:

Для осуществления подачи лесопильной рамы требуется двигатель подачи (ДП), в качестве которого используется электродвигатель. Входным сигналом для него является питающее напряжение (U), а выходным сигналом – скорость подачи (v). Чем больше питающее напряжение, тем больше скорость подачи.

Сигнал от двигателя подачи (ДП) преобразуется воспринимающим элементом в электрический сигнал. В случае двигателя подачи воспринимающим элементом является тахогенератор (ТГ). Входным сигналом для него служит скорость подачи (v), а выходным – электрический сигнал тахогенератора (U_тг). Сигнал от тахогенератора является мерой управляемой величины. Чем больше U_тг, тем больше скорость подачи (v).

Задающее устройство (ЗУ) формирует сигнал задания (U₃), который указывает, на каком уровне система должна поддерживать управляемую величину. С помощью сравнивающего устройства это значение сравнивается с текущим значением U_тг. Выходным сигналом от сравнивающего устройства является сигнал рассогласования (ΔU), который представляет собой разность между сигналом задания и U_тг. Чем больше сигнал рассогласования, тем сильней текущее значение управляемой величины отличается от заданного.

Сигнал рассогласования усиливается электромашинным усилителем (ЭМУ) до величины (U) и затем подается на вход двигателя подачи. Таким образом, вся система управления образует замкнутый контур отрицательной обратной связи, задачей которого является поддержание сигнала от управляемой величины на уровне сигнала задания U₃.

Находим передаточные функции всех элементов системы управления, по виду передаточных функций определяем к каким типам динамических звеньев они относятся:

ЭМУ: - апериодическое звено I-го порядка.

ДП: – апериодическое звено II-го порядка.

ТГ: - пропорциональное звено.

Будем обозначать задающее воздействие через y(t), управляемую величину через x(t), них сигнал рассогласования через ε(t). С учетом сказанного, структурная схема замкнутой системы будет имеет вид:



Если в месте подключения обратной связи сделать разрыв, то вместо замкнутой системы управления мы получим разомкнутую систему: Структурная схема разомкнутой системы имеет вид:


Передаточные функции систем управления.

Главная передаточная функция разомкнутой системы определяется как произведение передаточных функций всех звеньев, соединенных последовательно:



Для определения главной передаточной функции замкнутой системы с отрицательной обратной связью используется формула:

, где W_П(p) – передаточная функция звеньев, находящихся в прямой цепи, т.е. без учета звеньев в цепи обратной связи.

Тогда получим:



Для определения передаточной функции замкнутой системы по сигналу рассогласования используется формула:



Тогда получаем:



Чтобы рассчитать установившееся значение управляемой величины h_уст и статическую ошибку ε_ст при единичном ступенчатом задающем воздействии, необходимо воспользоваться формулами: , где

X(s) – изображение в комплексной области выходного сигнала x(t);

Y(s) – изображение в комплексной области входного сигнала y(t);

.

При этом следует учесть, что изображение единичной ступенчатой функции в комплексной области имеет вид:



Тогда для h_уст получаем:



Аналогичным образом найдем ε_ст:



Частотные характеристики систем управления.

Для определения частотных характеристик используется частотная передаточная функция W(iω), которая получается, если в обычную передаточную функцию W(s) вместо комплексной переменной s подставить чисто мнимую величину i·ω (здесь i – это мнимая единица) для которой выполняется равенство i ² = -1). Следует заметить, что частотная передаточная функция является комплексной функцией, т.е. содержит в себе как вещественную P(ω), так и мнимую Q(ω) составляющие:



Зная комплексную передаточную функцию, можно определить A(ω), L(ω) и φ(ω):





при P(ω) > 0 и Q(ω) < 0

при P(ω) < 0

при P(ω) > 0 и Q(ω) > 0

Подставим в передаточную функцию разомкнутой системы W_Р(s) мнимую переменную i·ω.



Для того чтобы облегчить последующие расчеты введем две вспомогательные функции, представляющие собой, соответственно, вещественную и мнимую части знаменателя полученной дроби:





Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:



Чтобы избавиться от мнимой составляющей в знаменателе дроби, домножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженный множитель:



Отсюда находим выражения для вещественной и мнимой составляющих комплексной передаточной функции разомкнутой системы:





Для графического представления частотных характеристик следует вычислить значения C(ω), B(ω), P(ω), Q(ω), A(ω), L(ω) и φ(ω) на различных частотах. Расчет приведен в таблице 1. По полученным данным строятся графики АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Таблица 1.

№	ω, рад/с	lg(ω)	C(ω)	B(ω)	P(ω)	Q(ω)	A(ω)	L(ω), дб	φ(ω), град
1	0,0		1	0	18	0	18	25,10545	0
2	0,2	-0,699	0,9965	-0,12	17,805	-2,144	17,934	25,0734	-6,865218
3	0,4	-0,398	0,986	-0,24	17,236	-4,192	17,738	24,97833	-13,66967
4	0,6	-0,222	0,9685	-0,359	16,336	-6,061	17,425	24,82329	-20,356856
5	0,8	-0,097	0,944	-0,478	15,171	-7,689	17,008	24,61302	-26,878055
6	1,0	0	0,9125	-0,597	13,813	-9,037	16,507	24,35339	-33,19458
7	1,2	0,079	0,874	-0,715	12,34	-10,09	15,942	24,0509	-39,27861
8	1,4	0,146	0,8285	-0,832	10,82	-10,86	15,332	23,71217	-45,112778
9	1,8	0,255	0,7165	-1,063	7,8531	-11,65	14,046	22,95096	-56,006227
10	2,2	0,342	0,5765	-1,288	5,2108	-11,64	12,755	22,11378	-65,887966
11	2,6	0,415	0,4085	-1,507	3,0151	-11,12	11,526	21,23379	-74,835998
12	3,0	0,477	0,2125	-1,719	1,275	-10,31	10,392	20,33407	-82,95294
13	3,5	0,544	-0,072	-1,971	-0,332	-9,119	9,1246	19,2043	-92,088041
14	4,0	0,602	-0,4	-2,208	-1,43	-7,893	8,0216	18,08523	-100,26831
15	4,5	0,653	-0,772	-2,427	-2,143	-6,736	7,0687	16,98682	-107,64513
16	5,0	0,699	-1,188	-2,625	-2,575	-5,692	6,2476	15,91426	-114,34109
17	6,0	0,778	-2,15	-2,952	-2,902	-3,984	4,9289	13,85493	-126,06659
18	7,0	0,845	-3,288	-3,171	-2,836	-2,736	3,9408	11,9117	-136,0334
19	8,0	0,903	-4,6	-3,264	-2,603	-1,847	3,1913	10,07931	-144,64181
20	10,0	1	-7,75	-3	-2,02	-0,782	2,166	6,713027	-158,83874
21	12,0	1,079	-11,6	-2,016	-1,506	-0,262	1,5288	3,687058	-170,14086
22	15,0	1,176	-18,69	1,125	-0,96	0,0578	0,9615	-0,34128	-183,44509
23	20,0	1,301	-34	12	-0,471	0,1662	0,4992	-6,03398	-199,44003
24	25,0	1,39794	-53,69	31,875	-0,248	0,1472	0,2883	-10,8034	-210,69818
25	30,0	1,4771213	-77,75	63	-0,14	0,1132	0,1799	-14,9007	-219,01748
26	35,0	1,544068	-106,2	107,63	-0,084	0,0847	0,1191	-18,4851	-225,3852

Рис.2. Годограф АФЧХ разомкнутой системы.


Рис.3. График АЧХ разомкнутой системы.



Рис.4. График ФЧХ разомкнутой системы.


Рис.5. График ЛАЧХ разомкнутой системы.



Рис.7. График ЛФЧХ разомкнутой системы.
Устойчивость системы управления.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:



Коэффициенты характеристического полинома равны:

a₀=0,057; a₁=1,6625; a₂=11,4; a₃=19.

Все коэффициенты характеристического полинома положительны, следовательно, необходимое условие устойчивости выполняется.

Проверить систему управления на устойчивость с помощью алгебраического критерия Гурвица. Записать матрицу Гурвица и вычислим ее диагональные определители:



Все диагональные определители положительны, следовательно, исследуемая система устойчива.

Проверка устойчивости системы с помощью частотного критерия Найквиста. Годограф АФЧХ разомкнутой системы приведен на рисунке 2. Из рисунка видно, что линия годографа не охватывает точку с координатами {-1; 0i}, следовательно, рассматриваемая система является устойчивой.

Запасы устойчивости для исследуемой системы. По графику ЛАЧХ разомкнутой системы (рисунок 8) lg ω_ср ≈ 1,167782. Фазовый угол на этой частоте составляет φ_ср≈-182⁰. Отсюда находим запас устойчивости по фазе:



По графику ЛФЧХ (рисунок 8) находим, что фазовый сдвиг достигает величины -180⁰ при lg ω_L ≈ 1,15. логарифмическая амплитуда на этой частоте равна L(ω_L) ≈ 1,2 дб. Отсюда находим, что

L=-(2)=-2 дб.

Величина ΔA определяется графически по рис. 9. Годограф АФЧХ разомкнутой системы пересекает вещественную ось в точке с координатами {0; -1,1}. Отсюда находим, что

А=-1,1-(-1)=-0,1



Рис. 8. Фрагмент ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы управления.



Рис. 9. Фрагмент годографа АФЧХ разомкнутой системы управления.