Реферат Матричная форма формулы Крамера
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
С.К. Соболев
Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащую
т уравнений и п неизвестных:

Пусть

– матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов (чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А называется основной матрицей системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме



Если же матрица А к тому же не вырождена, т.е.



Этот метод называется матричным способом решения СЛАУ (2).

Пример. Решить систему матричным способом, если это возможно:

Решение. Запишем эту систему как матричное уравнение





Следовательно,

Ответ:

Формулы Крамера для решения СЛАУ
Эти формулы применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная. Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель






Тогда решением системы (2) будет:

Вывод формул Крамера. Распишем подробно формулу (3)

Вспомним, что







Итак, матричный способ дает формулу

Сравним эту формулу с выражением для


Заметим, что у всех элементов k-го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k-го столбца матрицы А. Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим:

Полученная формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны.
Пример. Решить систему

Решение. Вычислим главный определитель системы:


Следовательно,

Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы

Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:
Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения
этой же
строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов):
(разложение по i-й строке),
(разложение по j-му столбцу)
Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения
другой
строки равна нулю (и аналогично для столбцов):
, (для строк, при
),
(для столбцов, при
)
Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:
если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю.
Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе

j- строку на строку с номером i. Понятно что после этого у полученного определителя



Аналогично доказывается для столбцов.
Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать:
Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных.
Основное свойство линейной зависимости: Пусть даны n векторов линейного пространства





Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.