Реферат Квадратичные формы 2
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
Содержание
1. Теория
1.1 Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 n-мерное векторное пространство. Преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
систем координат.
1.3 Определение квадратичных форм. Общий вид, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
канонический вид, нормальный вид.
1.4 Матрица квадратичнаых форм. Теорема о ранге матрицы.. . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Различные способы приведения квадратичных форм к . . . . . . . . . . . . . . . .8
каноническому виду и к нормальному виду
1.6 Формулы преобразования и матрицы преобразования.. . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Закон инерции квадратичных форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Положительно-определённая квадратичная форма. . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19
2. Приложения
2.1 Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1 Введение
В данной работе мы рассмотрим квадратичные формы и основные операции над ними. А также в заключении моей работы решим пять задач по данной теме.
1.2 n-мерное векторное пространство. Преобразование систем координат.
Из правил сложения векторов и умножения вектора на число вытекают важные свойства, которые легко доказываются:
1)
3)
5)
7) т0 = 0; 8) если т = 0, то или т = 0, или = 0.
Совокупность всех п-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется пмерным векторным пространством.
Геометрический смысл сложения и умножения на число двумерных и трёхмерных векторов.
Вектор называется линейной комбинацией векторов 1, 2, , п, если существуют такие числа т1, т2, , тп, что
= т11 + т22 + т пп
Линейной оболочкой
Система векторов 1,
2, , п называется линейно зависимой, если найдутся такие числа т1, т2, , тп, хотя бы одно из которых не равно нулю, что имеет место равенство
т11 + т22 + т пп = 0.
Линейно независимая система п-мерных векторов
1, 2,, п (1)
называется максимальной линейно независимой системой, если добавление к ней любого п- мерного вектора даёт линейно зависимую систему. Если (1) – максимальная линейно независимая система, то во всякой линейной комбинации векторов 1,2,,п,
, равной нулю, коэффициент при векторе должен отличаться от нуля(!), и вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов 1, 2,, п. Отсюда следует, что система пмерных векторов тогда и только тогда будет максимальной линейно независимой системой, если её векторы линейно независимы, а любой п-мерный вектор является линейной комбинацией этих векторов.
Теперь можно сделать заключение. В п-мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из п векторов, будет максимальной, а любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из п векторов.
Всякая линейно независимая система п-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независимой системе. Действительно, если заданная система векторов не максимальна, то к ней можно присоединить один вектор так, что полученная система останется линейно независимой. Если новая система не максимальна, то к ней можно добавить ещё один вектор. Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока в системе не будет п векторов.
Введём в геометрическом n-мерном пространстве произвольную систему и будем рассматривать переменные
Перейдём к новой системе координат по формулам:
Здесь
Выясним, как изменится матрица квадратичной формы при переходе к новой системе координат. Запишем преобразование координат (2) в матричной форме
Где X – матрица-столбец, составленная из старых координат; Y – матрица-столбец, составленная из новых координат; B – неособенная матрица с элементами. Подставив выражение (3) в равенство
Но, по правилу транспонирования произведения,
Матрица
Таким образом, если в квадратичной форме с матрицей А перейти к новой системе координат, то в любых переменных квадратичная форма будет иметь матрицу
1.3 Определение квадратичных форм. Общий вид, канонический вид, нормальный вид.
Числовая функция а(х, у) двух векторных аргументов х, у называется билинейной, если она линейна по каждому аргументу, то есть
Здесь x, у, х1, х2, у1, у2—любые векторы пространства L, α — произвольное число.
Пусть L — линейное n-мерное пространство е1, ..., еп — базис в нем, и пусть аргументы билинейной функции разложены по этому базису:
Тогда
Введем обозначения:
Тогда получим
Формула (3) выражает функцию а(х,у) в координатах по данному базису.
Многочлен в правой части формулы (3) называется билинейной формой. Вместе с ним билинейной формой называют и самую функцию а(х,у). Числа аik называются коэффициентами данной формы в базисе е1, ..., еп. В качестве аргументов х, у можно рассматривать векторы как действительного, так и комплексного линейного пространства. Соответственно говорят, что форма а(х,у) дана в действительном или в комплексном пространстве. В последнем случае в качестве значений формы а(х, у) допускают комплексные числа; коэффициенты аik этом случае также являются, вообще говоря, комплексными числами.
Пусть билинейная форма а(х,у) является симметричной: а(у,х)=а(х,у). Это равносильно тому, что в любом базисе симметрична ее матрица: А* = А. В самом деле,
Отождествим оба аргумента формы а(х,у). Тогда получим а(х,х) = а(х,у) при у = х.
Функция а(х, х) называется квадратичной формой, отвечающей данной симметричной билинейной форме а(х,у).
Исходная (симметричная) билинейная форма а(х, у) называется полярной для квадратичной формы а(х, х).
Докажем, что полярная билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой.
Пусть дана числовая функция f(x) векторного аргумента. Предположим, что f{x) есть некоторая квадратичная форма, т. е. f(x) = a(x,x), причем а{х,у) нам неизвестна. Чтобы найти ее, рассмотрим f(x+y), где х, у — произвольные векторы. Пользуясь свойствами билинейной формы и ее симметричностью, имеем
Отсюда получаем искомое выражение
Формулу (4) можно принять за определение квадратичной формы. Именно можно сказать, что f(x) называется, квадратичной формой, если левая часть формулы (4) является билинейной функцией.
Следует заметить, что определение квадратичной формы не предусматривает наличия базиса; тем самым, оно применимо в бесконечномерных пространствах.
Пример. Пусть L — линейное пространство функций, непрерывных на отрезке [0, 1].
Рассмотрим функцию
аргумент которой x
= x(t)ЄL.
Имеем
Нетрудно непосредственно проверить, что в правой части равенства (5) стоит билинейная форма. Таким образом, f{x) есть квадратичная форма в бесконечномерном пространстве L.
Вернемся к n-мерному случаю. В n-мерном пространстве рассмотрим квадратичную форму и запишем ее выражение через координаты аргументов.
Пусть а (х,у) = а (у, х), х=у. Тогда
……….…………………………
Если принять во внимание симметричность коэффициентов, то члены суммы (6), кроме диагональных, естественно объединяются в пары. При этом получается часто употребляемая запись квадратичной формы в виде
Заметим, что в первой строчке формулы (7) выписаны все члены, содержащие x1.
Ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы: г = Rang A.
Канонический вид квадратичной формы. Если в некотором базисе окажется, что все коэффициенты aik = 0 при i ≠ k, то говорят, что в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид
Приведение квадратичной формы к каноническому виду является важной задачей как в теоретических вопросах, так и в прикладной математике. Ниже рассмотрим два метода приведения квадратичной формы к каноническому виду: метод Лагранжа и метод Якоби.
Если Rang = r < n, то после надлежащего изменения номеров матрицу можно записать в виде
Замечание. Если привести к каноническому виду квадратичную форму, то одновременно приведется к диагональному виду и ее билинейная форма
Нормальный вид квадратичной формы
считая, что у1,...,
уr, уr+1,.
..,
уп— новые координаты вектора х. Выражение (8) называется нормальным видом квадратичной формы f(x).
В комплексном пространстве всякую квадратичную форму можно с помощью невырожденного линейного преобразования привести к нормальному виду (8).
Ограничимся теперь действительными пространствами и действительными линейными преобразованиями. Учитывая, что среди коэффициентов аii могут быть отрицательные, положим
Если первые k коэффициентов аii положительны, а остальные отрицательны, то мы получим
Выражение (9*) также называется нормальным видом формы f(x).
1.4 Матрица квадратичных форм. Теорема о ранге матрицы
Вся квадратичная форма может быть записана в виде
…………………………………….
Ясно, что коэффициенты
Называется матрицей квадратичной формы
Очевидно, что для любой симметричной матрицы A всегда можно указать такую квадратичную форму, что её матрица совпадает с A. Если две квадратичные формы имеют одну и ту же матрицу, то эти формы могут отличаться друг от друга обозначением переменных, что не имеет существенного значения. Две такие квадратичные формы мы можем считать одинаковыми. Таким образом, квадратичные формы вполне определяются своими матрицами.
Теорема о ранге матрицы. Ранг произвольной матрицы равен максимальному порядку ее миноров, отличных от нуля.
Доказательство. Если Rang А =
0, то A — нулевая матрица, и у нее нет отличных от нуля миноров. Естественно считать в этом случае, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.
Пусть далее матрица А — не нулевая. Если некоторый ее минор М порядка r не равен нулю, а все миноры более высокого порядка равны нулю или отсутствуют вовсе, то М является базисным минором. По лемме о базисном миноре столбцы матрицы А, пересекающие минор М, линейно независимы. Поэтому Rang A≥r . По той же лемме любой столбец матрицы А линейно выражается через базисные столбцы. Отсюда, применяя лемму , находим, что Rang A≤r. Таким образом, Rang A=r, что и требовалось доказать.
1.5 Различные способы приведения квадратичных форм к каноническому виду и к нормальному виду.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
Пусть дана квадратичная форма f(x)=а(х,х). Вследствие формулы
мы можем в любом базисе записать f(x) в виде
где g — квадратичная форма, не включающая x1.
Запись вида (1) позволяет доказать возможность приведения квадратичной формы к каноническому виду по индукции.
Теорема. Каждую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду.
Замечание. Здесь речь идет о преобразовании переменных, именно числовых аргументов х1,...,хп многочлена (1). Но теорему можно понимать и геометрически, поскольку всякое невырожденное преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при переходе к новому базису.
Доказательство теоремы. Квадратичная форма от одного переменного всегда имеет канонический вид
Рассмотрим произвольную квадратичную форму f(x) от n числовых аргументов:
Пользуясь предположением индукции, докажем, что ее можно привести к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием n переменных. Возможны два случая:
1) Первый случай. В квадратичной форме хотя f(x) хотя бы один из коэффициентов аij при квадратах переменных отличен от нуля. Не нарушая общности, можем считать, что
именно а11≠ 0. По данным коэффициентам формы f(x) coставим следующее линейное преобразование:
Матрицу этого преобразования обозначим Q:
Преобразование (2) невырождено, так как Det Q = a11 ≠ 0 . Отметим также, что невырожденность преобразования (2) вытекает из его обратимости, которая в свою очередь сразу видна из формул (2).
Возведем в квадрат выражение y1 и разделим на a11 ≠ 0:
где
где g{x2,..., хп) дана записью f(x) в виде (1). Тогда получим
или, что то же самое,
По предположению индукции существует такое невырожденное преобразование переменных в числе п—1
которое приводит к каноническому виду форму
Дополним преобразование (3) так, чтобы в нем участвовали все п переменных. Именно, положим
Преобразуем переменные x1..., xn в переменные у1,... ...,уп по формулам (2), а затем переменные y1,…,уп преобразуем по формулам (4). В результате получим преобразование переменных х1..., хп в переменные z1,...,zn которое приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду
Последнее преобразование является невырожденным, так как представляет собой произведение невырожденных преобразований (2) и (4).
Второй случай. В квадратичной форме f(x) все, диагональные коэффициенты аii равны нулю. Тогда предыдущие рассуждения неприменимы. Но какой-нибудь из коэффициентов отличен от нуля; пусть это будет а12. Тогда квадратичная форма имеет вид
Сделаем преобразование:
Преобразование (6) обратимо и, следовательно, является невырожденным.
Подставив величины (6) в квадратичную форму (5), получим
Слагаемое
Далее квадратичную форму (7) можно невырожденным преобразованием привести к каноническому виду, поскольку дело свелось к первому случаю: коэффициент при
Тем самым рассуждения индукции завершены и теорема доказана.
3
а м е ч а н и е. Из доказательства видно, что квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования, которое также имеет действительные коэффициенты.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.
Пусть дана квадратичная форма f(x), которая расписана в координатах в некотором базисе е1,…, еп:
Как известно,
Составим матрицу квадратичной формы f(x):
Рассмотрим так называемые главные миноры матрицы А:
Кроме того, для удобства записи дальнейших формул введем величину
Метод Якоби проходит в предположении, что все главные миноры матрицы А отличны от нуля:
При этих предположениях ищется специальный новый базис такой, чтобы
Для того чтобы привести квадратичную форму f(x) к каноническому виду, достаточно для любого
Тогда
Заметим, что для выполнения условий (4) достаточно потребовать соблюдения равенств
В самом деле, из (5) и (3) имеем
Для упрощения дальнейших выводов добавим к (5) дополнительное равенство
При k = 1 условия (5) исчезают и остается только (6), из которого, с учетом первой строчки формул (3), находим
Отсюда
поскольку
Учитывая обозначения (1), можно написать
Дальше будем проводить рассуждение по индукции. Допустим, что уже определены все коэффициенты, входящие в первые k—1 строк формул (3). Для нахождения коэффициентов, входящих в строку с номером k, запишем условия (5), и (6) вместе
Отсюда, используя (3), получим для искомых коэффициентов систему уравнений
Определитель системы (7а) совпадает с
Рkk найдутся. Остается проверить, что построенное преобразование невырождено. С этой целью найдем из системы (7а) коэффициент Pkk. Применяя правило Крамера, получим
Далее, используя треугольную структуру матрицы преобразования (3), найдем определитель D этой матрицы:
Таким образом,
Теперь мы можем определить и коэффициенты квадратичной формы в новом базисе
Значит, в базисе, который построен по методу Якоби,
Приведение
квадратичных форм к нормальному виду.
Пусть квадратичная форма f(x) приведена к каноническому виду
где а11,..., аr ≠ 0, r — ранг f(x).
Допустим, что мы имеем дело с комплексным пространством и разрешаем себе пользоваться линейными
преобразованиями с комплексными коэффициентами. Положим
Из (1) и (2) получим
считая, что у1,...,
уr, уr+1,.
..,
уп— новые координаты вектора х. Выражение (3) называется нормальным видом квадратичной формы f(x). Заметив, что преобразование (2) невырождено, сделаем вывод:
В комплексном пространстве всякую квадратичную форму можно с помощью невырожденного линейного преобразования привести к нормальному виду
(3).
1.6 Формулы преобразования и матрицы преобразования.
Переход от одной аффинной системы координат к другой с тем же началом. Аффинная координатная система, или аффинный репер о пространстве, есть тройка некомпланарных векторов
Тройка векторов
Если наряду с репером
Предположим, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы
Матрица
называется матрицей перехода от базиса
- уравнения (1) однозначно разрешимы относительно старых единичных векторов
Посмотрим, как связаны между собой координаты x, у, г и х', у', г' произвольной точки М (произвольного вектора u = ОМ) в старой и новой координатных системах.
Вектор и=ОМ записывается, во-первых, как линейная комбинация векторов
Вносим в это тождество выражения
Но вектор u единственным образом представляется как линейная комбинация векторов
Эти формулы и выражают старые координаты х, у, г точки М (вектора u) через новые. Матрица
дающая это выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению к матрице А* перехода от базиса
2. Переход от одной аффинной системы координат к другой с изменением начала координат. Общий случай перехода от репера
в пространстве:
на плоскости
Это н есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем. Матрица
коэффициентов
Переход от одной прямоугольной системы координат к другой
Случай прямоугольного репера на плоскости. Можно ограничиться реперами с общим началом. Базис прямоугольного репера состоит из двух взаимно перпендикулярных ортов. Такие базисы будем называть прямоугольными или ортонормальными.
Лемма. Пусть
либо в репер
либо в репер
Доказательство. Репер
Обозначим через
совместится с противоположным ему ортом —
Из доказанного следует, что относительно базиса e1 , e2 орт
тогда как для
либо
т.е
либо
и тогда
Матрица перехода от базиса
в первом случае
во втором
Базисы
Так как detC = l в случае одноименных, detC= -1 в случае разноименных базисов, то только что высказанное определение можно сформулировать и так:
Определение. Два ортогональных базиса (репера) одно-именны, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант, и разноименны, если этот детерминант отрицателен.
Формулы преобразования координат даются матрицами, транспонированными к матрицам перехода от одного базиса к другому; это будут формулы:
1.7 Закон инерции квадратичных форм
Пусть в действительном пространстве дана квадратичная форма:
Пусть
Число положительных и число отрицательных членов в данной формуле называется соответственно положительным и отрицательным индексом формы; разность между положительным и отрицательным индексом называется ее сигнатурой.
Закон инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный индексы являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от выбора базиса, в котором она имеет нормальный вид.
Доказательство. Пусть имеется еще один базис
где {zi} — координаты х в базисе
Предположим, что
Заметим, что матрица Q коэффициентов
Подставим выражения (3) в формулу (2). Мы должны получить выражение (1); таким образом, имеем тождество
т. е. равенство, верное при любых у1, ...,уr, уr+1…,yn, считая, что z1,..., zn выражены через у1, ..., уп с помощью (3).
Составим вспомогательную однородную систему уравнений
В системе (5) число неизвестных больше числа уравнений вследствие предположения k>m. Поэтому система (5) имеет нетривиальное решение y1,…,yk. Подставим это решение в тождество (4), взяв дополнительно
В результате, учитывая (3), (5) и (6), получим
Однако это невозможно, так как левая часть (7) строго положительна, тогда как правая либо отрицательна, либо равна нулю. Значит, k не может быть больше т. Теорема доказана.
1.8 Положительно-определённая квадратичная форма
Определение 1. Форма f(x) называется положительно определенной, если f(x) > 0 для всех
Заметим, что
Квадратичная форма f(x) называется отрицательно определенной, если f(x)<0 для любого
Очевидно, что достаточно рассмотреть положительно определенные формы, поскольку отрицательно определенные получаются из них сменой знака.
Ограничиваясь квадратичными формами в конечномерных (n-мерных) пространствах, укажем прежде всего ряд простых необходимых признаков положительной определенности. Пусть в каком-нибудь базисе е1 .,., еп дана квадратичная форма
Как нам известно,
1) Если f(x) является положительно определенной, то
2) Если форма f(x) положительно определена, то определитель ее матрицы положителен:
Для доказательства приведем f(x) к каноническому виду. Пусть
Согласно предыдущему признаку все
Обозначим через
С другой стороны
значит,
Замечание. И это условие не является достаточным для положительной определенности квадратичной формы. Пример: форма
имеет
3) В n-мерном пространстве каждая положительно определенная форма имеет ранг п. Доказательство вытекает из неравенства
Теорема (критерий Сильвестра). Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительны.
Доказательство необходимости. Пусть форма f{x) положительно определена. Возьмем произвольный базис
Если
Все остальные члены, у коэффициентов которых хотя бы один из двух индексов больше k, исчезают за счет нулевых значений координат.
Форма f(x) на подпространстве
Но
Доказательство достаточности. Пусть
Приведем квадратичную форму к каноническому виду методом Якоби. Получим
Бели
Обратим внимание на двумерный случай. Пусть
где на этот раз числовые аргументы формы обозначены через х, у.
Условие Сильвестра сводится к неравенствам
Разумеется, в двумерном случае теорему Сильвестра можно установить без какой-либо специальной теории, поскольку для положительной определенности необходимо a > 0 и при а > 0
2.1. Приложение 1
Пример 1. Дана квадратичная форма
Решение. Составим характеристическое уравнение
или
Подставляя сюда поочередно значения
Формулы преобразования координат при переходе к этому базису:
В базисе
Пример 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Решение. Составим уравнение
или
Для того чтобы найти базис, в котором форма имеет вид, необходима найти собственные векторы симметрического линейного преобразования с матрицей
Запишем систему уравнений, определяющую искомые собственные векторы:
Подставляя сюда
Они составляют нужный базис.
При переходе к базису
Пример 3. Найти для квадратичной формы
её матрицу.
Решение. Для данной квадратичной формы запишем
Следовательно её матрица равна
Пример 4. Подвергнем форму
Мы получили форму
Подвергая её обратному преобразованию
приходим к исходной форме
Пример 5. С помощью линейных преобразований переменных преобразуем квадратичную форму
После преобразования
Перейдёт в форму с матрицей
т.е в форму
Квадратная матрица вида
у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной (канонической) матрицей.
2.2. Приложение 2
Список используемой литературы
1. Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры, «Наука», 1968.
2. Ефимов Н. В., Линейная алгебра и многомерная геометрия, «Мир», 1961
3. Боревич З.И., Определители и матрицы, «Наука», 1986
4. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, «Дрофа», 2001
5. Шилов Г. Е., Математический анализ. Конечномерные линейные пространства, «Наука», 19690>