Содержание.

Введение…………………………………………………………………………….……3

Глава I. ……………………………………………………………………………….….5

Глава II. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. ………………7

Глава III.

§1. Подгруппы. Примеры. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп ………17

§2. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп………………………………….20

§3. Кольцо Z целых чисел и циклические Абелевы группы……………….22

§4. Представления Абелевых групп до 11-го порядка……………………..25

Заключение……………………………………………………..................................31

Литература……………………………………………………..………………………33


Введение.
Актуальность исследования обусловлена тем, что изучение студентами групп малых порядков и абелевых групп важно для дальнейшего изучения математики. Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее разделами и относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.
Понятие группы можно освоить на самых первых ступенях математического образования. Вместе с тем знакомство с этим понятием становится одним из самых естественных способов первого ознакомления с современной математикой вообще.

Цель работы. Целью нашей работы является изучение групп малых порядков и абелевых групп. Цель исследования заключается в подготовке теоретического материала для более глубокого самостоятельного изучения студентами, а также применение теоретических основ для решения задач.

В соответствии с поставленной целью, нами выдвинуты следующие задачи :

1. 
   Найти и изучить тему в научно-методической литературе.
   
2. 
   Описать историю возникновения теории групп.
   
3. 
   Описать абелевы группы.
   
4. 
   Охарактеризовать группы гомоморфизмов и изоморфизмов
   
5. 
   Рассмотреть кольца Z целых чисел и циклические Абелевы группы
   
6. 
   Представить абелевы группы до 11-го порядка
   

Предметом исследования являются группы малых порядков, абелевы группы и их свойства.
Объектом исследования является гомоморфизмы и изоморфизмы групп и алгоритм построения групп малых порядков.

Теоретическая и практическая значимость дипломной работы: данная работа может быть использована как студентами, так и преподавателями в процессе изучения теории групп, а также для получения дополнительного материала о группах малых порядков и абелевых группах.

Во время работы были использованы следующие методы:

- метод описания

- сравнительный метод

- метод анализа и синтеза

- метод дедукции и индукции


Структура работы. Представляемая работа состоит из введения, трёх глав, заключения и библиографии. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, раскрываются цель, задачи, указываются предмет, объект и методы исследования.

Полный объем квалификационной работы составляет __ страницы.

Библиография содержит 17 наименований.

Содержание работы.
Разбиение на главы осуществлено так, что в первой главе освещаются исторические корни нашей работы.

Вторая глава вводит само понятие группы, даёт примеры групп и рассматривает их простейшие свойства. В данной главе рассматриваются примеры построения групп малых порядков. Вводятся определения изоморфизма и гомоморфизма.

Третья глава раскрывает понятия подгрупп, приводит примеры, рассматривает детально гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Также в ней рассмотрены кольца Z целых чисел и циклические Абелевы группы и представлены абелевы группы до 11-го порядка.

В заключении мы освещаем результаты исследования и делаем общие выводы.


Глава I.

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m < n). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770—1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calculdes Combinaisons). Современная ему работа Вандермонда (1770 г.) также предвосхищала развитие теории групп.

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.

Галуа обнаружил, что если у алгебраического уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что:

1) всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот;

2) всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы.

Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории. Изучаемый ими предмет был популяризован Серретом, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, Жорданом, чей труд «Действия над подстановками» (Traitédes Substitutions) стал классикой, и Евгением Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

В 1884 г. Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами; за его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.


Глава II.

Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп.

Пусть G — произвольное множество и предположим, что на нем задана некоторая бинарная (двухместная, от двух аргументов) операция «·», обычно называемая умножением, которая для любых двух элементов a, b из данного множества сопоставляет им единственным образом элемент, обозначаемый a · b или просто ab.

При этом элемент ab называется произведением элементов a и b. Если при этом выполнены дополнительно следующие три условия (называемые аксиомами группы):

Определение 2.1

Непустое множество G, на котором определена бинарная операция (·), называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

1) операция (·) ассоциативна, т. е.;

2) в множестве G существует нейтральный элемент, т. е.

(е- правая единица)

3) для каждого элемента в множестве G существует симметричный элемент a^-1, т. е.(a^-1-правый обратный элемент).

Определение 2.2

Если определенная на группе G бинарная операция коммутативна, то группа G называется коммутативной или абелевой.(а*в = в*а)

Определение 2.3

Если операцию(·) умножением, то группу G(∙) называют мультипликативной (группой по умножению).

Если операцию (·)называют сложением, то группуG(+) называют аддитивной (группой по сложению).

Определение 2.4

Группа, элементами которой являются числа, называют числовой группой.

Примеры различных групп, а также естественные ситуации, в которых появляются группы мы приведем чуть ниже. Очевидными примерами являются множество целых чисел по сложению, множество ненулевых рациональных чисел по умножению и т. д. Отметим несколько простых следствий из аксиом группы: единичный элемент и обратный элемент определяются единственным образом. Действительно, предположим, что существует два единичных элемента e₁, e₂, тогда применение аксиомы (аксиома 2) дает нам следующую цепочку равенств e₁ = 
e₁e₂ = 
e₂. Аналогично, если для некоторого элемента a существует два обратных b₁, b₂, то, используя аксиомы (аксиома 1)–(аксиома 3), мы получаем следующую цепочку равенств b₁ = 
b₁e
 = 
b₁(
ab₂) = (
b₁a
)
b₂ = 
eb₂ = 
b₂.

Примеры:

Z(+) – абелева группа целых чисел.

Q(+) – абелева группа рациональных чисел.

R(+) – абелева группа действительных чисел.

– множество четных чисел, Z₂ (+) – абелева группа.

Q₊– множество положительных рациональных чисел, Q₊(∙) – абелева группа положительных рациональных чисел.

Q*– множество отличных от нуля рациональных чисел, Q* (∙) – абелева группа отличных от нуля рациональных чисел.

R₊(∙) , R*(∙) – абелевые группы.

M = {1,-1},M(∙)– абелева группа.

B = {0},B(+)– абелева группа.

R, - не группа, т.к. для 0 нет симметричного по операции умножения элемента.

R\{0}, Q\{0}, C{0} – коммутативные группы.

G={A=|a_ijR, |A|≠0} – некоммутативная группа.

Если M — произвольное подмножество группы G, то мы можем рассмотреть операцию умножения на множестве M, которая является отображением · : M
 × 
M
 → 
G
. Операцию · на множестве M мы будем называть индуцированной операцией. Подмножество H группы G называется подгруппой, если оно само является группой относительно индуцированной операции. Легко проверить, что подмножество является подгруппой, если оно замкнуто относительно произведения (т. е. для любых двух h₁, h₂  H элемент h₁ · h₂ вновь лежит в H) и замкнуто относительно взятия обратного (т. е. для любого h  H элемент  h^–1 вновь лежит в H).

Определение 2.5

Если G, H — группы, то отображение φ : G → H, сохраняющее операцию (т. е. для всех g₁, g₂  G выполнено (
g₁ · 
g₂)
φ
 = 
g₁φ
 · 
g₂φ
), называется гомоморфизмом
.

Определение 2.6

Множество Ker(
φ
) = {
g
  
G
 | 
gφ
 = 
e
} называется  ядром гомоморфизма, а множество Gφ
 = {
gφ
 | 
g
  
G
} называется образом гомоморфизма
.

Определение 2.7

Если Ker(
φ
) = {
e
}, а  Gφ
 = 
H, т. е. если φ является биекцией, то отображение φ называется изоморфизмом
, а группы G и H изоморфными (обозначается G
 H).

Теорема о гомоморфизмах утверждает, что H = Ker(φ) — нормальная подгруппа группы G и Gφ  G / H. Изоморфизм можно мыслить для себя, как такую «похожесть» двух групп, что мы их не различаем (хотя реально они могут быть разными множествами). Таким образом, теория, строго говоря, изучает классы изоморфизма групп. Заметим, что и в обыденной жизни мы тоже нередко устанавливаем изоморфизмы более или менее высокого уровня абстракции. Так, например, есть класс изоморфизма мебели, называемый понятием «шкаф» и мы по некоторым признакам безошибочно определяем, относится ли данный объект к «шкафам» или нет. Когда нам не хватает столь высокого уровня абстракции, мы спускаемся к более низкому уровню и начинаем делить шкафы на «кухонные», «книжные», «платяные» и т. д. Понятие изоморфизма для групп — это как раз тот инструмент, с помощью которого мы на нашем уровне абстракции различаем или отождествляем объекты.

Примерами групп, известных нам с начальной школы, являются целые, рациональные, действительные, комплексные числа по сложению, ненулевые рациональные, действительные, комплексные числа по умножению. Все эти группы являются абелевыми. Другой важный пример групп дает нам следующая конструкция. Пусть X — произвольное множество и Sym_X — множество всевозможных биекцией множества X на себя. Зададим умножение на Sym_X как композицию. Тогда Sym_X относительно операции композиции является группой и называется симметрической группой на множестве X или группой подстановок (иногда используется также термин группа перестановок, но нам он кажется неудачным, об этом чуть ниже). Если множество X конечно и |X| = n, то можно считать, что X = {1, ..., n} и Sym_X обозначается за Sym_n. Если Ψ — некоторое свойство отображений, которое сохраняется при композиции, то подмножество отображений, удовлетворяющих свойству Ψ, группы Sym_X образует подгруппу группы Sym_X. Покажем, что композиция отображений удовлетворяет аксиоме ассоциативности (ГР1) (проверка остальных аксиом существенно проще, они вытекают из определения биекции). Для того, чтобы доказать, что композиция отображений ассоциативна, необходимо сначала понять, когда же отображения равны.

Несмотря на очевидность определения, оно нередко вызывает сложности. Отображения φ : A → B и ψ : A → B (где A, B — произвольные множества) равны, если для любого x  A его образы xφ и xψ равны. Пусть теперь φ, ψ, χ  Sym_X и x  X. Тогда x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = ((xφ)ψ)χ, с другой стороны, x(φ(ψχ)) = (xφ)(ψχ) = ((xφ)ψ)χ, что доказывает ассоциативность композиции.

Этот пример не только позволяет строить большое количество различных групп (чуть ниже мы убедимся, что все группы), но и показывает широкую область применения теории групп. Везде, где есть хоть какая-то симметрия (т. е. биекция), немедленно возникают и группы. Задачи о построении с помощью циркуля и линейки, о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, дифференциальных уравнений в первообразных и т. д. естественным образом сводятся к задачам в теории групп. Различные комбинаторные задачи сводятся к подсчету объектов, удовлетворяющих некоторым свойствам и вновь к теории групп.

Если G — группа, X — множество и задан гомоморфизм φ : G → Sym_X, то говорят, что группа G действует на множестве X. Если Ker(φ) = {e}, то действие называется точным. Для «облегчения» обозначений мы будем отождествлять g с его образом gφ и для произвольного x X его образ относительно gφ будем записывать xg. Введем отношение эквивалентности ~ на X по правилу: элементы x, y  X являются эквивалентными, если существует такой g  G, что xg = y. Классы эквивалентности называются орбитами группы G. Говорят, что группа G действует транзитивно (а представление является транзитивным), если существует лишь одна орбита. Гомоморфизм φ : G → Sym_X называется подстановочным представлением группы G (именно из-за термина «подстановочное представление» термин «группа перестановок» считается неудачным, так как термин «перестановочное представление» имеет другое значение). Если Ker(φ) = {e}, то представление называется точным.

Рассмотрим теперь произвольную группу G и ее подгруппу H. Группа G действует на множестве смежных классов по подгруппе H умножением справа: (Hg₁)g₂ = H(g₁g₂). Таким образом, существует транзитивное представление φ : G → Sym_G/H. Если H не содержит отличных от единичной нормальных подгрупп группы G, то это представление является точным. В частности, если H = {e} то представление G → Sym_G/{e} = Sym_G всегда является точным и называется регулярным представлением группы G. Таким образом, любую группу можно рассматривать как группу подстановок. Оказывается, любое транзитивное представление группы G можно получить таким образом.

Вывод.

Множество чисел является группой по сложению, если оно замкнуто относительно операций сложения и вычитания, и группой по умножению – если оно замкнуто относительно операций умножения и деления (кроме деления на ноль).

Свойства групп:

1) в произведении из n элементов группы скобки можно расставлять произвольно.

2)

3)

4)

5)уравнение ax=b (ya=b) имеет в группе G (*) единственное решение.

6) a,b,cG выполняются законы сокращения a·b=a·cb=с (b·a=c·ab=c)

Определение 2.8

Непустое множество G(*) называется группой, если: 1) (ассоциативность);

2) уравнение ax=b (ya=b) разрешимы в G однозначны.

Теорема2.1

Определения 2.1 и 2.8 эквивалентны.

Определение 2.9

:

1) а¹=а;

2) аⁿ=а*а*…*а(n раз),;

3) а⁰;

4) а^-n=а^-1*а^-1*…*а^-1(nраз),).

Свойства 2.1

1)a
^т
 а
^п
= а
^т+
n
= а
^п+т= а
ⁿ

а
^т
,

2) (aⁿ)^m=a^n*m

Замечание 2.1

(aⁿ)^-1=a^-n.

Определение 2.10

Все группы являются подгруппами групп перестановок, с точностью до изоморфизма.

G = ρ(G)

Вывод:

В связи с этим, группы возникают как группы симметрии.

Например, рассмотрим правильный треугольник.




(рис. 2.1)

Данный пример – группа третьего порядка.

Теперь построим группу из 6-и элементов. На рисунке 2.2 мы видим вписанный шестигранник. Данная группа состоит из 6-и элементов.




(рис. 2.2)

В свою очередь, существует группа также из 6-и элементов, но полученная путём вращения и симметрического отображения, относительно биссектрис, правильного треугольника (изображённого на рис. 2.1).

Попробуем доказать, что данные группы различны. Для этого построим таблицы. Рассмотрим группу из 6-и элементов (правильный шестиугольник – рис. 2.2)

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

(табл. 2.1)

Из таблицы 2.1 видно, что данная группа коммутативна.

Рассмотрим теперь группу G(▲) (рис. 2.1), состоящую из следующих элементов: Ɛ, δ, δ² τ₁, τ₂ τ₃

Построим таблицу:

+	Ɛ	δ	δ²	τ1	τ2	τ3
Ɛ	Ɛ	δ	δ²	τ1	τ2	τ3
δ	δ	δ²	Ɛ	τ2	τ3	τ1
δ²	δ²	Ɛ	δ	τ3	τ1	τ2
τ1	τ1	τ3	τ2	Ɛ	δ²	δ
τ2	τ2	τ1	τ3	δ	Ɛ	δ²
τ3	τ3	τ2	τ1	δ²	δ	Ɛ

(табл. 2.2)

Из данной таблицы 2.2 видно, что данная группа не коммутативна, т.е. две группы, состоящие из одинакового количества элементов, не совпадают.

Пусть G — произвольная группа, H — ее подгруппа и g — произвольный элемент группы G. Множество Hg
 = {
hg
 | 
h
  
H
} называется смежным классом (правым смежным классом) элемента g. Введем отношение g₁ ≡ 
g₂ (mod 
H
) на множестве элементов группы G по правилу:g₁ ≡ g₂ (mod H) в том и только в том случае, если Hg₁ = 
Hg₂. Использование обозначения, сходного с отношением делимости для целых чисел (см. выше) неслучайно, поскольку отношение делимости является частным случаем равенства смежных классов. Действительно, в качестве группы G берется множество  целых чисел по сложению, а в качестве подгруппы H берется подмножество k чисел, которые делятся на k. Очевидно, что определенное нами отношение является эквивалентностью, множество классов эквивалентности обозначается через G 
/ 
H, мощность |
G 
/ 
H
| множества классов эквивалентности обозначается еще как |
G
 : 
H
| и называется индексом подгруппы H
 в группе G. Очевидно, что для любого g
  
G справедливо |Hg
| = |
H
|, откуда мы сразу получаем важную теорему Лагранжа: |
G
| = |
G
 : 
H
| · |
H
|, в частности порядок подгруппы всегда делит порядок группы.

На множестве G 
/ 
H можно естественным образом определить операцию умножения:Hg₁ · 
Hg₂ : = 
Hg₁ · 
g₂. Для того чтобы определение было корректным, т. е. чтобы выполнялось равенство множеств Hg₁ · 
Hg₂ = {
h₁g₁ · 
h₂g₂ | 
h₁,
 
h₂  
H
} и
 
Hg₁ · 
g₂ = {
hg₁ · 
g₂ | 
h
  
H
}, необходимо и достаточно, чтобы для любого g
  
G выполнялось равенство g^–1Hg
 = {
g^–1hg
 = 
h
 | 
h
  
H
} = 
H (это условие мы будем коротко записывать H^G  
H). Выражение g^–1Hg называется сопряжением с помощью элемента g и часто обозначается H^g. Выражение gHg^–1 = 
H^g–1 мы будем записывать ^gH. Подгруппа H, удовлетворяющая условию H^G  
H, называется нормальной подгруппой группы G (обозначается H
  
G), а получившаяся группа G 
/ 
H называется факторгруппой группы G по подгруппе H
. Понятия нормальной подгруппы и факторгруппы являются одними из важнейших в теории групп, поскольку позволяют частично сводить изучение групп к меньшим группам (частично, так как по данным H и G 
/ 
H группа G определяется неоднозначно). Группа, не содержащая нормальных подгрупп, называется простой.

Очевидно, что пересечение любого количества подгрупп вновь является подгруппой. Это позволяет нам определить подгруппу, порожденную множеством M, как наименьшую подгруппу, содержащую подмножество M, т. е. пересечение всех подгрупп группы G, содержащих множество M. Подгруппа, порожденная множеством M, будет обозначаться M. Легко проверить, что M является множеством всевозможных произведений элементов из M и обратных к ним. Группа, порожденная одним элементом a называется циклической, а ее порядок |a| : = |
a
| называется порядком элемента a. Легко проверить, что порядок элемента — это такое наименьшее число n, для которого  равно e. Из теоремы Лагранжа следует, что порядок элемента всегда делит порядок группы.

Определение 2.11

Группа называется циклической, если она порождается одним элементом. Такая группа имеет вид a^m

a^m* aⁿ= a^m+n

причём может получиться a^k=e.

Следствие 1.

В группе G, отличной от единицы, существует подгруппы тоже не единичные.

_g G

g _e

Следствие 2.

Если группа G имеет простое число элементов, то она циклическая и все эти группы изоморфны. Это согласно теоремы Лагранжа. Т.е. примерами таких групп являются группы, состоящие из 2,3,5,7,11 и т.д. элементов.


Глава III.

§1
. Подгруппы. Примеры. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Теорема о гомоморфизмах для групп.

Мы уже знаем определение гомоморфизма и изоморфизма, исходя из предыдущей главы.

Определение 3.1

Непустое подмножество Н группы G(*)называется подгруппой группы G,если Н является группой относительно операции(*).

Теорема 3.1.

Ø подмножество Н гр. G является подгруппой группы G  выполняется =>условие: 1) h₁,h₂H, h₁·h₂H;

2)hHh^-1H.

Теорема 3.2.

Ø подмножество Н гр. G является подгруппой гр. Gдля элементов выполняется условие 3) h₁,h₂H, h₁·H.

Доказательство на основе Т. 3.1.:

Дано:

Ø=HG(·), G – группа, Н подгруппа группы G.

Доказать:

1) h₁,h₂H, h₁·h₂H. 2) hH, h^-1H.

Решение:

Из того что Н подгруппа группы G(·) =>H(·)-группа => 1) h₁,h₂H, h₁·h₂H. 2) hH, h^-1H | h·h^-1H.

Обратное утверждение:

Дано:

Ø≠HG(·), G – группа, Н подгруппа группы G, 1) h₁,h₂H, h₁·h₂H. 2) hH, h^-1H.

Доказать: H(·)-подгруппа.

Решение:

Чтобы показать на основе определения, что Н является подгруппой:

1) =>H(·)-группоид;

2) h₁,h₂,h₃H => (HG) h₁,h₂,h₃G => (h₁·h₂)·h₃=h₁(h₂·h₃) =>H(·) – полугруппа;

3) По п. 2 из условия получаем:hH, h^-1H =>h·h^-1H =>eH (e-единственный элемент). eH | hH, h·e=e·h=h;

4) По условию 2, hHh^-1H =>hh^-1G =>hh^-1e. Т.о. hHh^-1H | hh^-1=e. Т.о. Н-группа

Ø≠HG(·) =>H(·) – подгруппа группы G.

Ко 2ой теоремы: h₂H≤H

h₁H =>h₁·H.

Одним из важнейших примеров подгрупп является понятие циклической подгруппы группы G.

Пусть а произвольный элемент гр. G. Обозначим через (а) множество всех H<G (Н подгруппа группы G).

Теорема 3.3

(а)<G.

Доказательство.

1) a^m, aⁿ(a) a^m·aⁿ=a^m+n(a) замкнуто относительно операции сложения.

m, nz =>m+nz. (a) – группоид;

2) Показать обратный элемент. a^m(a)

mz=>-mz =>a^-m(a)

a^m·aⁿ=a^m+(-m)=a⁰=e. На основе Т. 3.1. (a)<G.

Определение 3.2

Множество (а) всех целых степенней элементов группы G называют циклической подгруппой группы G.

Примеры:

1. Множество Q^*(·) – коммутативные группы Q^*=Q\{0}. 2Q(2)={2ⁿ|nz} = {…, 1, 2, 4, …}

(2)<Q^*. Этот пример ∞ подгруппы.

2. С^*(·) – коммутативные группы. Выберем элемент: iC^*, тогда (i)={iⁿ|nz}={i, 1, 1, i} либо {1, i, -1, -i}

i¹=i n=4k i^4k=(i⁴)^k=1

i²=-1 n=4k+1 i^4k+1=i^4k·i=i

i³=-1 n=4k+2 i^4k+2=i^4k·i²=-1

i⁴=1 n=4k+3 i^4k+3=i^4k·i³=-i (i)-{i, -1, 1, i}, 1=i⁰

i⁵=inz(i)<С^* (пример конечной подгруппы).


§2.
Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Определение 3.3

Отображение φ гр. G(·) в G() называют гомоморфным, если для элементов a,bGφ(a·b)=φ(a)φ(b).

a,bG, φ(a·b)=φ(a)φ(b)

т.е. образ произведения равен произведению образов.

Определение 3.4

Отображение φ гр. G в G΄называют гомоморфным отображением, если выполняется условие (1) и выполняется условие (2) для элемента G΄или группу G΄aG | φ(a)=a΄(2). φ называют изоморфным, если выполняется условие 1, 2 (aG΄aG | φ(a)=a΄) и условие (3) a,bG, φ(a)=φ(b)=>a=b(3). [a≠b=>φ(a)≠φ(b)]

Примеры:

С*(·)-группа ненулевых комплексных чисел; R₊(·)-группа положительных действительных чисел.

Построим отображение С по =>правилу φ:С^*→R₊

α=a+bi, φ(α)=R₊β=c+di,

φ(β)= R₊α·β = (ac-bd)+(ad+bc)i

φ(α·β)==φ(α)·φ(β).

φ-гомоморфизм. ЗначитR⁺(·) - группа.

Свойства гомоморфизмов:

Пусть φ-гомоморфизм группы G в группе G΄ (φ:G→G΄). Будем рассматривать группы по умножению:

1) Отображение φ переводит единственный элемент группы G в единственный элемент группы G΄.

Доказательство.

Пусть аG, тогда а·е=а. φ(а)=φ(а·е)=φ(а)*φ(е), т.о. =а΄·φ(е^*). Т.о. а΄·φ(е)=а΄ (1), a΄Gа΄·е΄=d (2). Учитывая, что е΄- группа и единственность единого элемента в группе, делаем вывод: φ(е)=е΄.

2) Для aG (φ(-а)=-φ(а)), т.е. образ обратного элемента = элементу обратному образу, (либо φ(а)^-1)=(φ(а)^-1).

Определение 3.5

Пусть G(·) и G() группы. φ:GG΄ гомоморфизм.

Определение 3.6

Ядром гомоморфизма φ называют множество всех прообразов нейтрального элемента группы G΄данного гомоморфизма.

Определение 3.7

Группа G(·) называется изоморфной группой G(), если изоморфное отображение 1-й группы во 2-ю. GG΄.

3) φ(G) является подгруппой группы G΄.

Теорема 3.4

Каждая инвариантная подгруппа является ядром.

Доказательство.

H = Ker(φ) 

φ:G G/H

G^νC/H, где g gH

Ker ν_n=H

Замечание 3.1

Не любая подгруппа инвариантна.

Рассмотрим пример:

Возьмём группу S₃ = G(▲), рассмотрим её подгруппы:

{e, δ, δ²}

{e, τ₁}

{e, τ₂}

{ e, τ₃}

δ τ₁ τ₁ δ

δ τ₁ δ τ₁ - не инвариантна

ч.т.д.

Определение 3.8

Группа называется абелевой, если она коммутативна.

_{в абелевых группах все подгруппы инвариантны.}


§
3. Кольцо Z целых чисел и циклические Абелевы группы.

Определение 3.9

1) Непустое множество K, на котором определены операции сложения и умножения, называют кольцом, если выполняется => условия:

I. K(+) – абелева группа, т. е.



II. Операция умножения ассоциативна, т.е.

III. Операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения, т. е.

Определение 3.10

Если операция умножения в кольце K коммутативна, то кольцо называется коммутативным.

Примеры. Z(+,∙) – коммутативное кольцо целых чисел.

Q(+,∙)– коммутативное кольцо рациональных чисел.

R(+,∙)– коммутативное кольцо действительных чисел.

– множество четных чисел, 2Z(+) – коммутативное кольцо.

B = {0}, B(+,∙)– нулевое кольцо.

K(+,∙ )– коммутативное кольцо.

N, Z₃, Q₊ – не являются кольцами, т. к. не содержат нейтральный относительно сложный элемент – ноль.

Определение 3.11

Кольцо, элементами которого являются числа, называют числовым кольцом.

Вывод.

Множество чисел являются числовым кольцом, если оно замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.

2) Простейшие свойства кольца.

Теорема 3.5

Пусть К =К,+, –, ∙, 1- кольцо. Тогда для элементов а, b, с кольца:

(1) еслиa+b= а, тоb = 0;

(2) если a+b = 0, тоb= - а;

(3) -(-a) = a;

(4) 0∙a = a∙0 = 0;

(5) (- a) b = а(- b)= - (ab);

(6) (- а)(- b) = a∙b;

(7) (а - b) с = ас - bс и c(a - b) =ca-cb.

Доказательство.

(1) Если а+b=а, тоb=0+b=(-a+a)+b=-a+(a+b)=-a+a=0.

(2) Если а+b=0, тоb=0+b=(-а+а)+b=-а+(а+b)= -а+0 = -а.

(3) В аддитивной группе кольца (-а)+(-(-а))=-а+а.

Отсюда, по закону сокращения, => равен­ство -(- а)=а.

(4) В силу дистрибутивности умножения относительно сложных 0∙a+0∙а=(0+0)∙a= 0∙а, т.e. 0∙а+0∙а=0∙а. В силу (1) из последнего равенства => 0∙а=0.

(5) В cилу (4) и дистрибутивности умножения относительно сложных ab+(-a)b=(a+(-a))b=0∙b=0, т.е. аb+(- а)b=0. Отсюда в силу (2) => (-a)b=-(ab).

Аналогично доказывается, что a(-b)=-(ab).

(6) В силу (5) и (3) (- а)∙(-b) = - ((-а)-b) = -(-(аb)) = а∙b.

(7) В силу (5) и дистрибутивности умножения относительно сложных (а-b)∙с=(а+(-b))∙c=а∙с+(-b)∙с=а∙с+(-b∙с)=а∙с-b∙c. Аналогично доказывается, что c∙(a - b) = c∙a-c∙b.

(8) Разрешимость уравнения x+a=b (y+a=b).

3)
Определение 3.12

Кольцо К называется кольцом без делителей нуля, если:

Определение 3.13

Кольцо К (+,*) называется кольцом с делителями нуля, если

Примеры.

1) Z(+,*), Q(+,*), K(+,*), C(+,*)- кольцо без делителей нуля.

2) - кольцо с делителями нуля.

3) Все поля кольца без делителя нуля.

4) Z_m=-кольцо классов вычетов по модулю m, если m- простое, тоZ_m- кольцо без делителей нуля; если m- составное, то Z_m – кольцо с делителем нуля.

Рассмотрим Z(+), все её подгруппы легко описать, для наглядности можно представить числовую прямую

_{-2 -1 0 1 2}


Если zZ₁ , n- натуральное число, n

<sub>Тогда Z=gh+z

Q Z и zZ, но:



Это есть широко известная теорема о делении с остатком.</sub>

§4.
Представления Абелевых групп до 11-го порядка.

Тождественный элемент e образует группу первого порядка. Обозначим ее как C₁. Несмотря на немногочисленность ее элементов, она, тем не менее, удовлетворяет всем четырем условиям определения группы; в качестве элементов g, g^–1, g₁, g₂, g₃ будет выступать один элемент e. Положительная (+1) и отрицательная (– 1) единицы образуют группу второго порядка C₂. С группой третьего порядка C₃ мы ранее еще не сталкивались. Следующие подстановки и 0,1-матрицы составят такую группу:

,

,



Базисные единицы комплексного числа {i₀, i₁, i₂, i₃} ранее нами уже рассматривались. Они образуют группу четвертого порядка C₄. Однако это не единственная группа из четырех элементов.

В самом деле, в роли образующего элемента a группы C₄, в силу условия цикличности , может выступать либо i₁, либо i₃ — в обоих случаях таблицей умножения является табл. 3.1, что также отвечает ранее приведенной таблице. Но можно в качестве образующих взять две несвязанные транспозиции a и b. В этом случае мы также получим группу четвертого порядка , но которая уже перемножается в соответствии с табл. 3.2 или, если перейти на язык только индексов, табл. 3.3.

Табл. 3.1         Табл. 3.2        Табл. 3.3



Последняя таблица нам также нужна для получения регулярных подстановок:

e = (0),   a = (01)(23),   b = (02)(13),   ab = (03)(12),

которые будут изоморфны исходным подстановкам группы :

e = (0),     a = (01),     b = (23),     ab = (01)(23).

Ситуация окажется несколько иной, если в качестве образующих одной группы C₂C₃ взять несвязанные 2-цикл и 3-цикл, а в качестве образующих другой C₆ — единственный 6-цикл .

Группы шестого порядка, в отличие от групп четвертого порядка, имеют только одну коммутативную структуру, в чем мы могли убедиться ранее, рассматривая шестиугольник (рис. 2.2) и треугольник (рис. 2.1) симметрии относительно биссектрис.

Перейдя к рассмотрению групп шестого порядка, мы пропустили группу пятого порядка. Однако нетрудно догадаться, что группы, порядок которых равен простому числу (2, 3, 5, 7, ...) всегда будут иметь и простое циклическое строение. Но чем больше делителей у порядка группы, пусть даже и одинаковых, тем разнообразнее варианты ее строения. Далее нам предстоит рассмотреть пять различных групп восьмого порядка. Анализ начнем с коммутативных групп.

Поскольку восемь можно представить тремя способами — 1 · 8, 2 · 4, 2 · 2 · 2, существуют три различных коммутативных группы: первая C₈ строится с помощью одного-единственного 8-цикла, вторая C₂C₄ — на двух несвязанных 2- и 4-циклах, наконец, третья — на трех несвязанных 2-циклах.



Из некоммутативных групп 8-ого порядка имеется две: одна обладает симметрией диэдра , другая — кватерниона . Диэдральная группа получается с помощью 4-цикла и транспозиции, индексы которой совпадают с индексами 4-цикла (табл. 3.4).

Таблица 3.4





Кватернион образуется на двух 4,4-циклах, несмежные индексы которых взаимосвязаны так, что при возведении в квадрат получается одна и та же подстановка — 2,2,2-цикл (табл. 3.5).
Таблица 3.5
Для группы диэдра были приведены только три наиболее характерных соотношения. Однако общее число возможных соотношений определяется числом перестановок всех степеней образующих a и b. Для группы кватерниона полный перечень соотношений выглядит следующим образом:



Если в качестве образующих a и b взять два несвязанных друг с другом 3-цикла, то получится коммутативная группа , которая не может быть сведена к циклической C₉. Последнее означает, что существуют две различных коммутативных группы девятого порядка:



Некоммутативных групп девятого порядка не существует. Подобная ситуация напоминает аналогичную ситуацию, сложившуюся с группами четвертого порядка. Действительно, число 9 раскладывается на два одинаковых простых множителя — 3 · 3; число 4 также раскладывается на одинаковые простые множители — 2 · 2. Отсюда можно ожидать повторения данной ситуации на таких порядках, как 25 = 5 · 5, 49 = 7 · 7 и т.д.

Число 6 раскладывается на два различных простых множителя — 2 · 3. Как мы видели, коммутативная группа, построенная на одном 6-цикле, и коммутативная группа, построенная на 2- и 3-циклах, получились изоморфными. Можно ожидать, что группа десятого порядка (10 = 2 · 5) также имеет изоморфные коммутативные группы C₂C₅  C₁₀. В самом деле, следующее соответствие целиком подтверждает наше предположение.



Кроме коммутативной структуры, группа 9-ого порядка, как и группа 6-ого, при b = (14)(23) имеет диэдральную структуру :



Теперь мы вправе предположить, что в ряду групп 6-го и 10-го порядков окажутся также группы 14-го (2 · 7), 22-го (2 · 11) и т.д. порядков, но не 15-го (3 · 5), поскольку число 15 нечетно, а значит, диэдральной группы для него не существует.


Заключение.

В нашей работе мы преследовали цель изучить группы малых порядков и абелевы группы.

Предметом исследования в нашей работе являлись группы малых порядков, абелевы группы и их свойства.

Нами были изучены и проанализированы работы известных учёных математиков и топологов.

Исследованиями в данной области занимались: Гердт И.В., Куликов А.И., Александров П. С.

Таким образом, анализ литературы проводился на основе книг, учебных пособий, публикаций из газет и журналов.

Объектом исследования являлись гомоморфизмы и изоморфизмы групп и алгоритм построения групп малых порядков.

В ходе научного исследования мы рассмотрели понятие группы, примеры групп, их простейшие свойства, примеры построения групп малых порядков, кольца Z целых чисел и циклические Абелевы группы и абелевы группы до 11-го порядка.

Основными результатами работы можно считать следующие:

1.Изучение темы в научно-методической литературе.

2.Описание истории возникновения теории групп.

3.Описание абелевых групп.

4.Характеристика групп гомоморфизмов и изоморфизмов.

5. 
   Рассмотрение кольца Z целых чисел и циклические Абелевы группы.
   
6. 
   Представление абелевых групп до 11-го порядка.
   

Данная квалификационная работа представляет определённый интерес для студентов физико-математического факультета, т.к. материалы могут быть с успехом применены на занятиях по алгебре, теории групп и топологии.


Литература.

1. 
   Александров П. С. Введение в теорию групп. - М.: Наука, 1980.
   
2. 
   Власова Л.И. Об определяемости групп группами гомоморфизмов . Вестник МГУ. Математика, механика. – 1979.
   
3. 
   Гердт И.В. Малые абелевы группы . Фундамент, и прикл. мат. - 2007.
   
4. 
   Гриншпон Я. О равенстве нулю группы гомоморфизмов абелевых групп . Изв. вузов. Математика. - 1998.
   
5. 
   Завало С. Т., Костарчук В. Н., Хацет Б. И. Алгебра и теория чисел. Ч. 2. - Киев: Вища школа. Головное издательство, 1980.
   
6. 
   Иванов А.В. Прямые суммы и полные прямые суммы абелевых групп . Абелевы группы и модули. Томск, 1980.
   
7. 
   Коргалеев М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, - М.: Наука, 1983..
   
8. 
   Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М., 1977.
   
9. 
   Куликов А.И. Алгебра и начала анализа. –М., 1996.
   
10. 
    Куратовский К. Теория множеств . К. Куратовский, А. Мостовский. - М.: Мир, 1970.
    
11. 
    Крылов П.А. Об абелевых группах без кручения . Абелевы группы и модули. Томск, 1980.
    
12. 
    Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. - М.: Наука, 1977.
    
13. 
    Маркушевич А.
    И. Введение в классическую теорию абелевых функций. М.: Наука, 1979..: Факториал, 1997.
    
14. 
    Мишина А.П. Абелевы группы . Итоги науки и техники. Серия: Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. - М.: ВИНИТИ, 1967.
    
15. 
    Себельдин A.M. О группах гомоморфизмов абелевых групп без кручения . Абелевы группы и модули. Томск, 1976.
    
16. 
    Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории . - М.: Мир, 1977.
    
17. 
    Фукс Л. Бесконечные абелевы группы . - М.: Мир, 1974.